Este documento resume las secciones cónicas en la geometría analítica. Explica que hay cuatro tipos principales de cónicas (hipérbola, parábola, circunferencia y elipse), cada una con propiedades y aplicaciones únicas. También proporciona las ecuaciones analíticas de cada cónica y sus elementos clave. El documento concluye que las cónicas tienen aplicaciones prácticas como describir órbitas en astronomía y trayectorias de vuelo.

2. La Secciones cónicas en la geometría
Analítica
Integrante
MISAEL SÁEZ
JORGE GONZALEZ
MOISES STAIRS
Año
11i1

3. INTRODUCCIÓN
CUANDO NOS REFERIMOS A LAS
CÓNICAS, USUALMENTE PENSAMOS SOLO EN LA
PARTE MATEMÁTICA, VALE DECIR, LAS ECUACIONES Y
LOS CONCEPTOS DE ÉSTAS. SIN EMBARGO, DESDE LOS
TIEMPOS ANTIGUOS TENÍAN UTILIDADES PRÁCTICAS
(YA SEA MEDIO LEGENDARIOS COMO LA HAZAÑA
DE ARQUÍMEDES, AL DESTRUIR NAVES ROMANAS CON
UN ESPEJO GIGANTE O REALES, COMO LA CREACIÓN DE
ESPEJOS PEQUEÑOS, IMPORTANTES MÁS ADELANTE EN
LAÓPTICA)
EN LA EDAD MODERNA Y
CONTEMPORÁNEA, ADQUIRIERON MAYOR
RELEVANCIA PARA EL SER HUMANO EN ÁMBITOS
TANTO MATEMÁTICOS COMO FÍSICOS, INCLUSIVE
LLEGANDO MÁS ALLÁ, SOBREPASANDO LAS
EXPECTATIVAS QUE SE TENÍAN, COMO EL USO
EN TELECOMUNICACIONES E INDUSTRIA.
QUIZÁ, CUANDO LA TECNOLOGÍA SIGA AVANZANDO
TAL COMO LO HACE AHORA EN EL SIGLO
XXI, TENDREMOS QUE RECURRIR A LAS IDEAS DE LAS
CÓNICAS, CON PROPÓSITO DE MEJORAR LO
PREEXISTENTE.

4. IMPORTANCIA DE LA CÓNICA
Apolonio de Perga era contemporáneo de Arquímedes (286 a. de
J.C. - 212 a. de J.C.), aunque algo más joven que él. Vivió la mayor
parte de su vida en Alejandría y se le recuerda como "el gran
geómetra".
Se preocupó de llevar a una perfección definitiva las matemáticas
helénicas, especialmente la Geometría. Su obra fundamental son
ocho famosos libros sobre las secciones cónicas que elevaron el
estudio de las curvas de segundo grado a una perfección no
superada durante siglos.
Al comenzar su libro, Apolonio demuestra que tanto la
circunferencia como la elipse, la parábola o la hipérbola pueden
determinarse al cortar un cono con planos de distinta inclinación
(por ello estas curvas son llamadas Cónicas).
¿Cuál es el motivo principal de que las secciones cónicas ocupen
un lugar tan importante entre todas las posibles curvas?

5. Muchos años más tarde se comprobó que las órbitas de los
planetas y las trayectorias de los cuerpos pesados son curvas
de este tipo. Pero esto no es todo.
La importancia fundamental de las cónicas reside en el
aparato sensitivo del hombre mismo. Su capacidad de
percepción depende principalmente del ojo. El hombre es,
ante todo, una criatura que mira, y los rayos luminosos que
penetran en el ojo o que de él parten en dirección contraria
para construir la visión forman un cono (según las leyes de
refracción y convergencia de una lente biconvexa).

6. CÓNICAS
Para poder hablar en si sobre las cónicas, debemos remontarnos a
la Antigua Grecia, sobre los años 350 A.C con el descubrimiento de
éstas por parte del matemático griego Menecmo y
la descripción detallada por parte del matemático Apolonio (262-
190 A.C.) de Perga, quien estudió las propiedades de las curvas
cónicas.
ELIPSES: Proviene del
término elipsis, que significa una HIPERBOLAS: En el griego antiguo
deficiencia, se utilizaba cuando un significaba "avanzar más allá", se
rectángulo dado debía aplicarse a un adoptó en términos de las cónicas
segmento dado y resultaba escaso en un para el caso en que el área excedía
cuadrado (u otra figura dada). el segmento dado.
PARABOLAS: La palabra parábola en Circunferencia. Se llama
los tiempos de Apolonio tenía como circunferencia al lugar geométrico
significado "colocar al lado" o de los puntos del plano que
"comparar" indicando que no había ni equidistan de un punto fijo llamado
deficiencia ni exceso. centro

7. CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los
puntos que estas a la misma distancia de un plano fijo
llamado centro

8. LA PARÁBOLA
Una parábola es un lugar geométricos de un punto que se
mueve en un plano de tal manera que su distancia de una
reta fija, situada en el plano es siempre igual a su distancia
de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta
Elemento de la
parábola
Foco, directriz, radio vector, eje, vértice, cuerda, lado
recto, parámetro

9. LA ELIPSE
Una elipse el conjunto de puntos (x,y) tales que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante
Elemento de la
elipse
Foco, distancia focal, centro, radio vectores
, cuerda, diámetro, eje mayor, eje menor, vértice, lado
recto, excentricidad, eje focal, directrices.

10. LA HIPÉRBOLA
La hipérbola es el conjunto de puntos (x,y), tales que la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es
contantes positivos y menor que la distancia entre los focos
Elemento de la hipérbola
Focos, distancia foca, centro, vértice, cuerda, radio vectores,
diámetro, eje tan versal, eje conjugado o imaginario, lado
recto, excentricidad, directrices, eje focal

11. Ecuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno
cualquiera de los puntos (x , y)de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que :
pasando la raíz al otro miembro :
desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que :
si hacemos D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos :
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

12. Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos
F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las
distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :
PF + PF' = 2a
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P
es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b2x2 + a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no
tienen porqué ser iguales .

13. Ecuación analítica de la parábola : Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la
directriz es la recta y = -c (por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0) ) , si tomamos un punto
cualquiera P(x , y) de la parábola y un punto Q(x , -c) de la recta debe de cumplirse que :
PF = PQ
elevando al cuadrado :
x2 = 4cy
si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p,q) entonces la ecuación sería :
(x-p)2 = 4c(y-q)
desarrollando la ecuación tendremos :
x2 + p2 - 2xp - 4cy + 4cq = 0
si hacemos D = -2p , E = -4c , F = p2 + 4cq obtendremos que es :
x2 + Dx + Ey + F = 0
en la que podemos observar que falta el término de y2
Nota : como habrás observado el término xy no aparece nunca , esto es porque hemos supuesto que
los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes coordenados , en caso contrario
aparecería este término , que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes .

14. Ecuación analítica de la hipérbola : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los
puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la diferencia
de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :
PF - PF' = 2ª
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(c2-a2)·x2 - a2y2 - (c2-a2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación se
puede quedar :
b2x2 - a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 - q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = -a2 , D = -2pb2 , E = 2qa2 , F = p2b2 - q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los términos A y B no son del
mismo signo.

15. CONCLUSIÓN
Hay cuatro tipos de cónicas, que son la
hipérbola, parábola, circunferencia y elipse.
Cada una tiene aplicaciones prácticas como es en el caso de la
elipse e hipérbola. Éstas son principalmente empleadas en el
estudio de las órbitas, o sea en astronomía. Así también las
elipses se aplican para describir las trayectorias de ciertos
vuelos en avión.
En Universo no hubo mucha información con respecto a las
cónicas, por lo que se tuvo que recurrir a otro tipo de fuentes
como son los libros.