El documento describe las reglas de inferencia lógica de predicados como modus ponens, modus tollens, silogismo hipotético, silogismo disyuntivo, conjunción, simplificación, adición y dilema constructivo. También introduce la resolución como una técnica poderosa para probar teoremas en lógica que constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG.

1. REGLAS DE INFERENCIA LOGICA DE PREDICADOS Modificado y adaptado: LEONARDO BERNAL ZAMORA

2. QUE ES INFERENCIA? Inferir es concluir o decidir a partir de algo conocido o asumido; llegar a una conclusión. A su vez, Razonar es pensar coherente y lógicamente; establecer inferencias o conclusiones a partir de hechos conocidos o asumidos.

3. COMO SE PUEDE INFERIR? Realizar inferencias significa derivar nuevos hechos a partir de un conjunto de hechos conocidos como verdaderos. La lógica de predicados proporciona un grupo de reglas sólidas, con las cuales se pueden realizar inferencias.

4. QUE SON REGLAS DE INFERENCIA? Mecanismos sintácticos que permiten deducir f.b.d apartir de otras f.b.d

5. Fuente: Lógica una síntesis didáctica: Fabio Gutiérrez Correal

6. Modus Ponens (MP) de (P  Q) y P, se deduce Q conocida como la regla de la afirmación del antecedente Ejemplo: Si el sol brilla, María está en la playa. El sol brilla. Por lo tanto, María está en la playa.

7. Modus Tollens (MT) de (P  Q) y ~Q, se infiere ~P conocida como negación del consecuente Ejemplo: Si el sol brilla, María está en la playa. María no está en la playa. Luego, el sol no brilla.

8. Silogismo Hipotético (SH) de (P  Q) y (Q  R), deducimos (P  R). se conoce como razonamiento en cadena Ejemplo: Si el sol brilla, María está en la playa Si María está en la playa, está nadando. Si está nadando, estará cansada esta noche. Por lo tanto, si el sol brilla, María estará cansada esta noche.

9. Silogismo Disyuntivo (SD) de (P v Q) y ~P, deducimos que Q . ~P puede ser también ~Q. Ejemplo: El sol brilla o está lloviendo El sol no brilla. Por lo tanto está lloviendo

10. Conjunción (Conj) de P y Q, deducimos P ^ Q Ejemplo: El sol brilla Está lloviendo Por lo tanto, el sol brilla y está lloviendo

11. Simplificación (Simp) De P ^ Q deducimos P Ejemplo: Está lloviendo y el sol brilla Por lo tanto, está lloviendo

12. Adición (Ad) De P inferimos P v Q si sabemos que P es verdadera, P v Q, P v R, P v S… lo será también Ejemplo: Está lloviendo Por lo tanto, está lloviendo o la luna es de queso.

13. Dilema constructivo (DC) de (P  Q) ^ (R  S) y (P v R) inferimos (Q v S) . Ejemplo: Si Juan se va a Alaska, se congelará en invierno. Si se va a Miami, se asará en verano. Juan se va a Alaska o a Miami. Por lo tanto, se congelará en invierno o se asará en verano

14. Pruebas Formales de Validez de Argumentos

15. Fuente: Lógica una síntesis didáctica: Fabio Gutiérrez Correal

16. Fuente: Lógica una síntesis didáctica: Fabio Gutiérrez Correal

18. OTRA REGLA DE INFERENCIA La resolución es una técnica poderosa para probar teoremas en lógica y constituye la técnica básica de inferencia en PROLOG , un lenguaje que manipula en forma computacional la lógica de predicados.

19. Resolución Si (A v B) es verdadero y (~B v C) es verdadero, entonces (A v C) también es verdadero. Utiliza refutación para comprobar una determinada sentencia. La refutación intenta crear una contradicción con la negación de la sentencia original, demostrando, por lo tanto, que la sentencia original es verdadera.

20. RESOLUCION

21. Resolución Es un mecanismo de prueba que opera sobre estatutos que han sido convertidos a forma clausal y produce pruebas por refutación, es decir que para probar si un estatuto es verdadero (demostrar que es válido ) intenta mostrar que la negación de ese estatuto produce una contradicción. forma clausal = forma clausulada CNF : conjuntive normal form Demostrar que la negación de una sentencia genera una contradicción con los hechos conocidos (no es satisfacible).

22. Resolución La resolución fue introducida como una regla de inferencia Resume muchos esquemas de inferencia clásicos. Es un procedimiento completo de inferencia, por que so lo con ella pueden diseñarse sistemas deductivos consistentes y completos. Se aplica a sentencias que tienen que estar escritas forma clausulada . Para toda sentencia se puede encontrar una sentencia equivalente en forma clausulada. Una vez que tenemos las cláusulas, pueden utilizarse en la resolución para generar pruebas.

23. Aplicación de la regla de resolución La propiedad extraordinaria de la regla de resolución es que casi todas las reglas de inferencia se reducen a ella si previamente se escriben las premisas en forma clausulada. Forma Normal Implicativa Modus Ponens P  Q P Q Modus Tollens P  Q ¬Q ¬P Encadenamiento P  Q Q  R P  R Forma Normal Conjuntiva Modus Ponens ¬P V Q P Q Modus Tollens ¬ P V Q ¬Q ¬P Encadenamiento ¬P V Q ¬Q V R ¬P V R

24. Aplicación de la regla de resolución Asumir que se tienen un conjunto de cláusulas F y el estatuto a probar P Convertir todos los estatutos de F a la Forma clausal Negar P y convertirla a forma clausal. Agregar al conjunto de cláusulas obtenidas en el paso anterior Repetir hasta que una contradicción sea alcanzada: Seleccionar dos cláusulas y llamarlas cláusulas padre Resolverlas. Para obtener la cláusula llamada resolvente . Buscar en las cláusulas padre un par de literales T1 y  T1 de tal forma que T1 pertenece a una y  T1 a la otra, eliminar ambas literales y crear el resolvente. Si el resolvente es la cláusula vacía (FALSE), la contradicción ha sido encontrada. De otra manera el resolvente se agrega al conjunto de cláusulas.

25. Teorema + Axiomas (como fórmulas bien formadas, fbf) Teorema + Axiomas (como cláusulas) Método de resolución por refutación Unificación Demostración automática de teoremas + + Lo que queremos hacer ... Jorge Cabrera Gámez Departamento de Informática y Sistemas Universidad de Las Palmas de Gran Canaria © Todos los derechos reservados

26. Ejemplo Axiomas: Es ilegal que un turista venda huacos en Rusia  x,y Turista(x) Λ huacos(y) Λ Vender(x,y)=>Infractor(x) Sumac es un turista en Rusia Turista(Sumac) Cada uno de los turistas en Rusia venden algunos huacos  x,y Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vende(x,y) ¿Es Sumac un infractor? Infractor(Sumac)

27. Ejemplo 1. Eliminación Universal  x,y Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vender(x,y)=>Infractor(x) Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vender(x,y)=>Infractor(x)  x,y Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vende(x,y) Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vende(x,y)

28. Ejemplo 2. Aplicando resolución Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vender(x,y)=>Infractor(x) Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vende(x,y) Infractor(x) Turista(Sumac) ¬ Infractor(Sumac) FALSE

29. Ejemplo Completo Jack es dueño de un perro Quien es dueño de un perro es un amante de los animales Ningún amante de los animales mata a un animal O Jack o Curiosidad mató al gato, cuyo nombre era Tuna ¿Mató Curiosidad al gato? Programación Lógica: Jorge Cabrera Gámez. Departamento de Informática y Sistemas. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.

30. Ref: Programación Lógica A. Jack es dueño de un perro B. Quien es dueño de un perro es un amante de los animales C. Ningún amante de los animales mata a un animal D. O Jack o Curiosidad mató al gato, cuyo nombre era Tuna E. ¿Mató Curiosidad al gato? 1. Expresión como predicados de primer orden A. (  X) perro(X)  dueño(jack, X) B. (  X) {(  Y) perro(Y)  dueño(X, Y)}  naturalista(X) C. (  X) (  Y) naturalista(X)  animal(Y)   mata(X,Y) D1. mata(jack, tuna)  mata(curiosidad, tuna) D2. gato(tuna) E. mata(curiosidad, tuna) Es necesario añadir que los gatos son animales F. (  X) gato(X)  animal(X)

31. Ref: Programación Lógica 2. Transformación a cláusulas Negación del teorema: E.  mata(curiosidad, tuna) 2.1 Eliminación de la implicaciones B. (  X) {(  Y) perro(Y)  dueño(X, Y)}  naturalista(X) C. (  X) (  Y) naturalista(X)  animal(Y)   mata(X,Y) F. (  X) gato(X)  animal(X) B. (  X)  {(  Y) perro(Y)  dueño(X, Y)}  naturalista(X) C. (  X) (  Y)  { naturalista(X)  animal(Y)}   mata(X,Y) F. (  X)  gato(X)  animal(X)

32. Ref: Programación Lógica 2. Transformación a cláusulas 2.2 Mover las negaciones hasta las fórmulas atómicas B. (  X)  {(  Y) perro(Y)  dueño(X, Y)}  naturalista(X) C. (  X) (  Y)  { naturalista(X)  animal(Y)}   mata(X,Y) B. (  X) {(  Y)  perro(Y)   dueño(X, Y)}  naturalista(X) C. (  X) (  Y)  naturalista(X)   animal(Y)   mata(X,Y)

33. Ref: Programación Lógica 2. Transformación a cláusulas 2.3 Renombrar variables A. (  X) perro(X)  dueño(jack, X) B. (  Y) {(  Z)  perro(Z)   dueño(Y, Z)}  naturalista(Y) C. (  U) (  W)  naturalista(U)   animal(W)   mata(U,W) F. (  C)  gato(C)  animal(C) 2.4 Eliminar los cuantificadores existenciales A. (  X) perro(X)  dueño(jack, X) A. perro(a)  dueño(jack, a) donde a es una función de Skolem constante

34. Ref: Programación Lógica 2. Transformación a cláusulas 2.5 Desplazar los cuantificadores universales hasta el comienzo de las fórmulas B. (  Y) {(  Z)  perro(Z)   dueño(Y, Z)}  naturalista(Y) B. (  Y) (  Z)  perro(Z)   dueño(Y, Z)  naturalista(Y) 2.6 Convertir los operadores AND en los más externos 2.7 Eliminar los cuantificadores universales 2.8 Eliminar los conectores AND

35. Ref: Programación Lógica 2. Transformación a cláusulas Conjunto de cláusulas resultante A.1 perro(a) A.2 dueño(jack,a) B.  perro(Z)   dueño(Y, Z)  naturalista(Y) C.  naturalista(U)   animal(W)   mata(U,W) D1. mata(jack, tuna)  mata(curiosidad, tuna) D2. gato(tuna) E.  mata(curiosidad, tuna) F.  gato(C)  animal(C)

36. Programación Lógica: Jorge Cabrera Gámez. Departamento de Informática y Sistemas. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. 3. Resolución por refutación  mata(curiosidad, tuna) mata(jack, tuna)  mata(curiosidad, tuna) mata(jack, tuna)  naturalista(U)   animal(W)   mata(U,W)  naturalista(jack)   animal(tuna)  perro(Z)   dueño(Y, Z)  naturalista(Y)  perro(Z)   dueño(jack, Z)   animal(tuna) dueño(jack, a)  perro(a)   animal(tuna)  gato(C)  animal(C)  gato(tuna)   perro(a) gato(tuna)  perro(a) perro(a) [ ] {U  jack, W  tuna} {Y  jack} {Z  a} {C  a}

37. Obtención de respuestas Procedimiento A: 1. Demostrar el teorema por el procedimiento ya explicado. 2. Añadir al conjunto de cláusulas inicial, no el teorema negado (  p(X)), sino la disyunción de éste con su negado, es decir, (  p(X)  p(X)) (una tautología). 3. Seguir los mismos pasos que condujeron a la demostración del teorema. Dado que la cláusula del teorema contiene una tautología no se concluirá en el resolvente nulo, sino que se concluirá en la cláusula del teorema. 4. La respuesta es el resolvente final.

38. Ejemplo: Axiomas: A1. (  X)( juega(pedro, X)  juega(luis, X)) A2. juega(pedro, fútbol). Teorema: T. (  X) juega(luis, X) El problema consiste en demostrar el teorema y, además, en saber a qué juega luis.

39. Expresados en forma clausular y negando el teorema: A1.  juega(pedro, X)  juega(luis, X)) A2. juega(pedro, fútbol).  T.  juega(luis, Y) El árbol de refutación sería:  juega(luis, Y)  juega(pedro, X)  juega(luis, X) juega(pedro, fútbol).  juega(pedro, X) {} {Y  X} {X  fútbol}

40. Y la obtención de la respuesta sería:  juega(luis, Y)  juega(luis, Y)  juega(pedro, X)  juega(luis, X) juega(pedro, fútbol).  juega(pedro, X)  juega(luis, X) juega(luis, fútbol) {Y  X} {X  fútbol}

41. Puede generalizarse el procedimiento anterior de manera que en lugar de incluir la tautología (  p(X)  p(X)), se incluya la cláusula: (  p(X)  respuesta(X)) donde “respuesta” es un predicado comodín, que no puede aparecer en el conjunto de axiomas. Dado que este predicado no aparece en el resto del conjunto es imposible que pueda desaparecer del árbol modificado de refutación y, por tanto, no se concluirá en la cláusula nula.

42. Obtención de respuestas Procedimiento B: 1. Añadir al conjunto de cláusulas de los axiomas la cláusula (  p(X)  respuesta(X)). El predicado comodín debe contener tantos términos como respuestas se deseen, p.e. (  p(X,Y)  respuesta(X,Y)) 2. Realizar la demostración del teorema, utilizando como objetivo no la cláusula nula, sino una cláusula que contiene solamente el predicado comodín “respuesta”. 3. Las respuestas son los términos del predicado comodín en el estado final.

43. Con este procedimiento, la obtención de la respuesta sería:  juega(luis, Y)  respuesta(Y)  juega(pedro, X)  juega(luis, X) juega(pedro, fútbol).  juega(pedro, X)  respuesta(X) respuesta(fútbol) {Y  X} {X  fútbol}

44. Referencias Fundamentos de la Programación Lógica. Jorge Cabrera Gámez. Departamento de Informática y Sistemas. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. © Todos los derechos reservados Inferencia en Lógica de Predicados. Mg. Samuel Oporto Díaz Universidad de Los Andes. Facultad de Ingeniería. Centro de Simulación y Modelos (CESIMO). Maestría de Modelado y Simulación de Sistemas. Presentación de la tesis de maestría de Luis Astorga