1) El documento presenta varios problemas de cálculo integral relacionados con depreciación, costos, eficiencia, inversiones, ganancias, procesamiento de datos, distancia, agotamiento de recursos, cambio de biomasa, tasa de aprendizaje, crecimiento de bacterias y diseño de una plomada. 2) Se pide calcular la depreciación de una máquina durante el segundo año y determinar cómo aumentará el costo de fabricación si la producción sube de 10 a 13 unidades. 3) También se pide resolver varios problemas integrales

1. Facultad de Ingenier´ıa
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
C´alculo integral
Taller 2 de aplicaciones
DEPRECIACI´ON
El valor de venta de cierta m´aquina industrial decrece durante un periodo de 10 a˜nos a una
raz´on que cambia con el tiempo. Cuando la m´aquina tiene x a˜nos, la raz´on a la cual cambia
es
x2
+ 1
(x + 3)(x + 2)2
d´olares al a˜no ¿En cu´anto se deprecia la m´aquina durante el segundo a˜no?
COSTO MARGINAL
En cierta f´abrica el costo marginal es
q5
q2 + 1
d´olares la unidad cuando el nivel de produc-
ci´ones q unidades ¿En cu´anto aumentar´a el costo de fabricaci´on total, si el nivel de producci´on
sube de 10 a 13 unidades?
EFICIENCIA
Despu´es de t horas un trabajador produce a una raz´on de cambio de 100te−0,5t
unidades por
hora. Un trabajador que llega al trabajo a las 8:00 am, ¿cu´antas unidades produce entre las
10:00 am y el mediod´ıa?
INVERSI´ON
Suponga que dentro de t a˜nos un plan de inversi´on generar´a utilidades a raz´on de P1(t) =
2 + t2
et
cientos de d´olares al a˜no, mientras que una segunda inversi´on generar´a utilidades a
raz´on de P2(t) = 4 +
t3
et/50
2
cientos de d´olares al a˜no.
a) ¿Durante cu´antos a˜nos ser´a m´as rentable el segundo plan? (Ayuda: Utilizar software).
b) Calcule el exceso de utilidad suponiendo que invierte en el segundo plan durante el periodo
determinado en el literal a).

2. C´alculo Integral P´agina 2 de 4
c) Trace las curvas de la tasa de rentabilidad y = P1(t) y y = P2(t) y sombree la regi´on
cuya ´area represente el exceso de utilidad neto calculado en el literal b). (Ayuda: Utilizar
software).
GANANCIAS NETAS
Suponga que cuando una m´aquina industrial de t a˜nos, genera ingresos a raz´on de R (t) =
520 − (t2
+ 5t)et/300
d´olares al a˜no y cuyos costos se acumulan a raz´on de C (t) = 200 +
t2
100
+ 7t et/100
d´olares al a˜no.
a) ¿Cu´antos a˜nos transcurren antes de que la rentabilidad de que la m´aquina comience a
disminuir?
b) Calcule las ganancias netas generadas por la m´aquina durante el tiampo determinado en
el literal a).
c) Trace la curva de la tasa de ingresos y = R (t) y la curva de la traza de costos y = C (t)
y sombree la regi´on de cuya ´area representa las ganancias netas calculadas en el literal
b).
PROCESAMIENTO DE DATOS POR COMPUTADOR
Los operadores de un nuevo servicio de procesamiento de datos por computador estiman que
la fracci´on de personas que mantendran sus afiliaciones por lo menos t meses , est´a dada por
la funci´on f(t) = t2
e−3t
. Si hay 8000 socios fundadores y los operadores esperan atraer 200
nuevos miembros al mes, ¿cu´antos miembros tendr´a el servicio dentro de 10 meses?
DISTANCIA Y VELOCIDAD
Un objeto se mueve de manera que la velocidad al cabo de t minutos es v(t) = t tan−1
t
metros por minuto ¿Qu´e distancia recorre el objeto durante el segundo minuto?
AGOTAMIENTO DE FUENTES DE ENERG´IA
Se extrae petr´oleo de un campo petrolero t a˜nos despu´es de su apertura a una tasa de
P (t) = 1,3te0,04t
mil millones de barriles por a˜no. El campo tiene una reserva de 20 mil
millones de barriles, y el precio del petr´oleo se mantiene constante a $26 por barril.
a) Determine la cantidad de petr´oleo, P(t), extraida del campo en el momento t. ¿Cu´anto
petr´oleo se extrae del campo durante los primeros tres a˜nos de su operaci´on?, ¿Cu´anto
durante los siguientes tres a˜nos?
b) ¿Durante cu´antos a˜nos T, opera el campo antes de agotarse el petr´oleo?

3. C´alculo Integral P´agina 3 de 4
c) Si la tasa de inter´es anual prevaleciente permanece fija a 5 % capitalizado continuamente,
¿Cu´al es el valor presente del flujo de ingresos cont´ınuo V = 26P (t) durante el periodo
de operaci´on del campo, 0 ≤ t ≤ T?
d) Si el propietario del campo petrolero decide vender en el primer d´ıa de operaciones,
¿considera que el valor presente determinado en el inciso c) ser´ıa un precio de venta
justo? Explique su razonamiento.
CAMBIO DE BIOMASA
Una proteina con masa m (gramos) se desintegra en amino´acidos a la tasa dada por
dm
dt
=
−2
(t + 1)(t + 2)
g/h
¿Cu´anta m´as proteina hay despu´es de 2 horas que despu´es de 5 horas?
TASA DE APRENDIZAJE
En un experimento sobre aprendizaje se proporciona a los pacientes una serie de figuras que
deben memorizar. El experimento determina el tiempo t en minutos que el paciente tarda
en memorizar todas las figuras. El paciente promedio aprende a una tasa instant´anea
L (t) =
4t
√
t + 1
hechos por minuto,
donde L(t) es el total de hechos memorizables en el tiempo t.
1. Aproximadamente cu´antas figuras aprende en promedio en 3 minutos el paciente una
vez han pasado 5 minutos?
2. Aproximadamente cu´antas figuras aprende en promedio el paciente en 8 minutos?
3. Por qu´e hay diferencia entre la respuestas de los numerales anteriores?
CRECIMIENTO DE BACTERIAS
El n´umero de bacterias presente en cierto cultivo despu´es de t minutos de un experimento
era de Q(t) = 2000te0,005t
¿Cu´al fue el n´umero medio de bacterias presentes durante los
primeros cinco minutos del experiemnto?
DISE ˜NO DE UNA PLOMADA
Se le ha pedido que dise˜ne una plomada que pesa alrededor de 190 gr. Para cumplir su
cometido, decide que su forma debe ser parecida a la de un s´olido de revoluci´on que se
muestra a continuaci´on. Determine el volumen de la plomada. Si para su fabricaci´on elige

4. C´alculo Integral P´agina 4 de 4
lat´on que tiene un peso de 8.5 gr/cm2
, ¿?cu´anto pesar´a la plomada? (Redondee al gramo
m´as cercano).
PROBABILIDAD
Para cada una de las siguientes funciones f(x), verificar que
∞
−∞
f(x) dx = 1 y calcular
∞
−∞
xf(x) dx.
1. f(x) =



1
3
si 2 ≤ x ≤ 5
0 en otro caso
2. f(x) =



x
2
si 0 ≤ x ≤ 2
0 en otro caso
3. f(x) =



3
x4
si x ≥ 1
0 si x < 1
4. f(x) =



xe−x/2
4
si x ≥ 0
0 si x < 0
5. f(x) =



ce−cx
si x ≥ 0
0 si x < 0