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3. Técnicas de integración
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- 2. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integrales Alfonso Cubillos Departamento de Estad´ıstica, F´ısica y Matem´aticas Universidad de La Sabana C´alculo Integral Integrales
- 3. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica T´ecnicas de integraci´on Regla de sustituci´on Si u = g(x) una funci´on diferenciable cuyo rango es el intervalo I y f es una funci´on diferenciable sobre I, entonces f(g(x))g (x) dx = f(u) du Regla de sustituci´on para integrales definidas Si g es continua sobre [a, b] y f es continua sobre el rango de u = g(x), entonces b a f(g(x))g (x) dx = g(b) g(a) f(u) du C´alculo Integral Integrales
- 4. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica Ejemplo Consideremos la integral 3 1 xex2 dx. Hagamos u = x2 , entonces du = 2xdx, de donde du/2 = xdx. Entonces 3 1 xex2 dx = u(2)=32 =9 u(1)=12=1 eu du 2 = 1 2 9 1 eu du = 1 2 eu |9 1 = 1 2 (e9 − e) C´alculo Integral Integrales
- 5. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica Integrales de funciones sim´etricas Supongamos que f : [−a, a] → R es continua. 1 Si f es par, entonces a −a f(x); dx = 2 a 0 f(x) dx. 2 Si f es impar, entonces a −a f(x); dx = 0. Ejemplo 1 3 −3 (x6 + 1) dx = 2 3 0 (x6 + 1) dx, pues f(x) = x6 + 1 es una funci´on par. 2 1 −1 tan x 1 + x2 + x4 dx = 0, ya que f(x) = tan x 1 + x2 + x4 es una funci´on impar. C´alculo Integral Integrales
- 6. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica Integraci´on por partes Toda regla de diferenciaci´on tiene su correspondiente regla de integraci´on. As´ı la regla de integraci´on por sustituci´on corresponde a la regla de la cadena de diferenciaci´on. Luego la regla que corresponde a la regla del producto para diferenciaci´on es la regla de integraci´on por partes. f(x)g (x) dx = f(x)g(x) − g(x)f (x) dx Si u = f(x) y v = g(x) entonces du = f (x) dx y dv = g (x) dx. As´ı, la anterior expresi´on toma la forma u dv = uv − v du. C´alculo Integral Integrales
- 7. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica Integrales trigonom´etricas Estrategias para evaluar sinm x cosn x dx 1 Si la potencia del coseno es impar n = 2k + 1, factorizar un coseno y usar la identidad cos2 x = 1 − sin2 x para expresar el factor restante en t´erminos de seno: sinm x cos2k+1 x dx = sinm x(cos2 x)k cos x dx (1) = sinm x(1 − sin2 x)k cos x dx (2) Entonces realizamos la sustituci´on u = sin x. De donde, sinm x cos2k+1 x dx = um (1 − u2 )k du. C´alculo Integral Integrales
- 8. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica 2 Si la potencia del seno es impar n = 2k + 1, factorizar un seno y usar la identidad sin2 x = 1 − cos2 x para expresar el factor restante en t´erminos de coseno: sin2k+1 x cosn x dx = (sin2 x)k cosn x dx (3) = (1 − cos2 x)k sin x cosn x dx (4) Entonces realizamos la sustituci´on u = cos x. De donde, sin2k+1 x cosn x dx = − un (1 − u2 )k du. 3 Si la potencia del seno y el coseno son pares, usamos las identidades de mita de ´angulo sin2 x = 1 2 (1 − cos 2x) cos2 x = 1 2 (1 + cos 2x) o sin x cos x = 1 2 sin 2x C´alculo Integral Integrales
- 9. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica Estrategias para evaluar tanm x secn x dx 1 Si la potencia de la secante es par (n = 2k con k ≥ 2), buscar un factor de sec2 x y usar la identidad sec2 x = 1 + tan2 x para expresar el factor restante en t´erminos de tan x: tanm x sec2k x dx = tanm x(sec2 x)k−1 sec2 x dx (5) = tanm x(1 + tan2 x)k−1 sec2 x dx (6) Entonces realizar la sustituci´on u = tan x. As´ı, tanm x sec2k x dx = um (1 + u2 )k−1 du. C´alculo Integral Integrales
- 10. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica 2 Si la potencia de la tangente es impar (m = 2k + 1, k ≥ 2), se debe buscar un factor de sec x tan x y usar la identidad tan2 x = sec2 x − 1 para expresar el factor restante en t´erminos de sec x: tan2k+1 x secn x dx = (tan2 x)k secn−1 x sec x tan x dx (7) = (sec2 x − 1)k secn−1 x sec x tan x dx (8) Entonces utilizamos la sustituci´on u = sec x.. As´ı, tan2k+1 x secn x dx = un−1 (u2 − 1)k du. C´alculo Integral Integrales
- 11. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica Calculo de integrales de la forma a. sin mx cos nx dx b. sin mx sin nx dx c. cos mx cos nx dx Vamos a utilizar las identidades trigonom´etricas: 1 sin A cos B = 1 2 [sin(A − B) + sin(A + B)] 2 sin A sin B = 1 2 [cos(A − B) − cos(A + B)] 3 cos A cos B = 1 2 [cos(A − B) + cos(A + B)] C´alculo Integral Integrales
- 12. Integrales C´alculo Integral T´ecnicas de inte- graci´on Integrales defini- das Integraci´on por partes Integrales trigo- nom´etri- cas M´etodo de sus- tituci´on trigo- nom´etri- ca T´ecnicas de integraci´on Integraci´on por partes Integrales trigonom´etricas M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica M´etodo de sustituci´on trigonom´etrica Tabla de sustituciones trigonom´etricas Expresi´on Sustituci´on Identidad √ a2 − x2 x = a sin θ, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 1 − sin2 x = cos2 x √ a2 + x2 x = a tan θ, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 1 + tan θ = sec θ √ x2 − a2 x = a sec θ, 0 ≤ θ ≤ π 2 o π ≤ θ ≤ 3π 2 sec θ = 1 + tan θ = C´alculo Integral Integrales