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Subido poradrian pineda gaviria
Tarea 3 algebra
El documento presenta varios problemas relacionados con ecuaciones de cónicas (elipses, circunferencias, parábolas e hipérbolas). En el primer problema, se pide graficar 8 ecuaciones de cónicas y determinar el tipo de curva que representan. El segundo problema involucra completar cuadrados para llevar 4 ecuaciones a su forma canónica. El tercer problema busca valores de K para que 4 ecuaciones representen elipses. El cuarto problema busca valores positivos de K para que 2 ecuaciones representen circunferencias
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- 1. Problema 1. Resolverlos problemas propuestos, con su respectivo desarrollo: Dada las siguientes ecuaciones, graficar, en cada caso, las canónicas correspondientes y decir que tipo de cónica es cada una: 1. 𝑥2 9 + 𝑦2 36 = 1 2. 𝑥2 4 + 𝑦2 100 = 1 3. – ( 𝑥+1)2 121 + 𝑦2 1 = 1
- 2. 4. 𝑥 9 + 𝑦2 36 = 1 5. (𝑥 + 2)2 + ( 𝑦 − 1)2 = 16
- 3.
- 4. 7. ( 𝑥−2)2 4 + ( 𝑦+1)2 25 =1 8. ( 𝑥 − 1)2 − 𝑦2 = 1
- 5. Problema 2. Enel siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica en la forma canónica: 1) 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 = 𝟏𝟗 Organizamos la ecuación −𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟗 Agrupamos. (−𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟔𝒙)+ ( 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒚) = 𝟏𝟗 Factorizamos −𝟒( 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙) + ( 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒚) = 𝟏𝟗 Completamos el trinomio perfecto −𝟒( 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒) + ( 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝟏) = 𝟏𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟏 Factorizamos el trinomio. −𝟒( 𝒙 + 𝟒) 𝟐 + ( 𝒚 + 𝟏) 𝟐 = 𝟒 Ajustamos la ecuación a la forma canónica. −𝟒( 𝒙 + 𝟒) 𝟐 𝟒 + ( 𝒚 + 𝟏) 𝟐 𝟒 = 𝟒 𝟒 Ecuación de forma canónica −( 𝒙 + 𝟒) 𝟐 + ( 𝒚 + 𝟏) 𝟐 𝟒 = 𝟏 2) 𝟐𝒚 𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎 Organizamos la ecuación 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟓 = 𝟎 Agrupamos. ( 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙) + ( 𝟐𝒚 𝟐 − 𝟖𝒚) = −𝟓 Factorizamos 𝟑( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙) + 𝟐( 𝒚 𝟐 − 𝟒𝒚) = −𝟓 Completamos el trinomio perfecto 𝟑( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝟐( 𝒚 𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒) = −𝟓 + 𝟑 + 𝟖 Factorizamos el trinomio. 𝟑( 𝒙 + 𝟏) 𝟐 + 𝟐( 𝒚 − 𝟐) 𝟐 = 𝟖
- 6. Ajustamos la ecuacióna la forma canónica. 𝟑( 𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟖 + 𝟐( 𝒚 − 𝟐) 𝟐 𝟖 = 𝟖 𝟖 Ecuación de forma canónica. 𝟑( 𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟖 + ( 𝒚 − 𝟐) 𝟐 𝟒 = 𝟏 3) 𝟗𝒚 𝟐 + 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟖 Organizamos la ecuación 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟗𝒚 𝟐 = 𝟖 Agrupamos. (𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙) + (𝟗𝒚 𝟐 ) = 𝟖 Factorizamos (𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙) + 𝟗(𝒚 𝟐 )=8 Completamos el trinomio perfecto Factorizamos el trinomio. Ajustamos la ecuación a la forma canónica. Ecuación de forma canónica 4) 𝟐𝟓𝒙 𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟒𝒚 𝟐 Organizamos la ecuación
- 7. Agrupamos. Factorizamos Completamos el trinomioperfecto Factorizamos el trinomio. Ajustamos la ecuación a la forma canónica. Ecuación de forma canónica Problema 3. Halle los valores de “K” (si existe) para que las siguientes ecuaciones corresponda a las ecuaciones de la elipse de centro (0,0): a) 𝟓𝑿 𝟐 + ( 𝑲 + 𝟓) + 𝟑𝒀 𝟐 = 𝟏𝟓 b) 𝒚 𝟐 + ( 𝒌 𝟐 + 𝟏) 𝒚 + 𝟑 𝟐 𝒚 𝟐 = 𝟏 c) 𝑿 𝟐 + (𝑲 𝟐 − 𝟓 𝟑 𝑲 − 𝟒) 𝒀 + 𝟐𝒀 𝟐 = 𝟐 d) 𝑲 𝟐 𝑿 𝟐 + ( 𝑲 𝟐 − 𝟒) 𝒀 + 𝟐( 𝑲 𝟐 + 𝟏) 𝒀 𝟐 = 𝟐 Problema 4. Halle (si existe) los valores de “K”, que pertenecen a los reales positivos, para que las siguientes ecuaciones corresponda a las ecuaciones de las circunferencias: a) 𝟗( 𝒚−𝟏) 𝟐 𝟐𝒌−𝟏 + ( 𝒌+𝟒) 𝒙 𝟐 𝟐 = 𝟏 b) (𝒌+𝟓)( 𝒙+𝟏) 𝟐 𝟐𝒌+𝟏 + ( 𝟕𝒌−𝟑) 𝒚 𝟐 𝒌+𝟏 = 𝟏 Problema 5. Halle analíticamente las intersecciones entre la recta 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 y la circunferencia que tiene centro en ( 𝟒, 𝟐) y el radio es 𝒓 = 𝟏