El documento describe la función de onda para el átomo de hidrógeno. Explica que la función de onda se puede expresar como el producto de un factor radial y uno angular. Luego muestra cómo estos factores dan lugar a diferentes orbitales atómicos como 1s, 2s, 2p, etc. y cómo se pueden representar gráficamente.
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para encontrar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El método se puede aplicar cuando la función consiste en una suma finita de funciones polinominales, exponenciales o trigonométricas, y permite hallar una solución particular Yp usando una tabla de derivadas.
This table summarizes the derivatives of common elementary and composite functions. For elementary functions, the derivative is given. For composite functions f(u) with u = u(x), the derivative is the derivative of the inner function u' multiplied by the derivative of the outer function evaluated at u.
En primer lugar al llegar al laboratorio se recibió por parte del docente una inducción sobre El Campo Eléctrico que se refiere al comportamiento del campo con diferentes materiales como en este caso fue el zinc y el cobre, luego con el voltímetro procedimos a medir las cargas que hay en diferentes posiciones con las placas de zinc y cobre.
Este documento describe cómo determinar la fuerza resultante de un sistema de fuerzas coplanares utilizando notación escalar y vectorial. Explica que las fuerzas individuales se descomponen en componentes rectangulares a lo largo de los ejes x e y, y que la fuerza resultante se encuentra sumando algebraicamente las componentes x e y de cada fuerza. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
El documento describe el proceso de regresión polinomial, que permite ajustar curvas polinomiales en lugar de líneas rectas a datos científicos. Explica que la regresión polinomial extiende el método de mínimos cuadrados para ajustar datos a polinomios de grado m, y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes del polinomio. Además, calcula el error estándar y coeficiente de determinación para evaluar el ajuste.
Este documento presenta la información de un grupo de física III en la universidad. El grupo está formado por 5 estudiantes y su profesor es el Msc. Optaciano Vásquez García. El documento introduce los conceptos de dieléctricos y aislantes eléctricos, explica sus diferencias y da ejemplos de cada tipo de material. También describe las aplicaciones y propiedades de los dieléctricos sólidos, líquidos y gaseosos.
La ley de Gauss permite calcular campos eléctricos de distribuciones simétricas de carga. Establece que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4πε0 veces la carga neta interior. Se utiliza para derivar una expresión cuantitativa relacionando el flujo con la carga interior.
1) El documento presenta 10 problemas de física moderna relacionados con la relatividad y la mecánica cuántica. 2) Los problemas incluyen cálculos de masa, energía y velocidad de partículas como electrones y protones en movimiento. 3) También se calculan frecuencias, longitudes de onda y cantidades de movimiento de fotones.
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para encontrar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El método se puede aplicar cuando la función consiste en una suma finita de funciones polinominales, exponenciales o trigonométricas, y permite hallar una solución particular Yp usando una tabla de derivadas.
This table summarizes the derivatives of common elementary and composite functions. For elementary functions, the derivative is given. For composite functions f(u) with u = u(x), the derivative is the derivative of the inner function u' multiplied by the derivative of the outer function evaluated at u.
En primer lugar al llegar al laboratorio se recibió por parte del docente una inducción sobre El Campo Eléctrico que se refiere al comportamiento del campo con diferentes materiales como en este caso fue el zinc y el cobre, luego con el voltímetro procedimos a medir las cargas que hay en diferentes posiciones con las placas de zinc y cobre.
Este documento describe cómo determinar la fuerza resultante de un sistema de fuerzas coplanares utilizando notación escalar y vectorial. Explica que las fuerzas individuales se descomponen en componentes rectangulares a lo largo de los ejes x e y, y que la fuerza resultante se encuentra sumando algebraicamente las componentes x e y de cada fuerza. También presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
El documento describe el proceso de regresión polinomial, que permite ajustar curvas polinomiales en lugar de líneas rectas a datos científicos. Explica que la regresión polinomial extiende el método de mínimos cuadrados para ajustar datos a polinomios de grado m, y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes del polinomio. Además, calcula el error estándar y coeficiente de determinación para evaluar el ajuste.
Este documento presenta la información de un grupo de física III en la universidad. El grupo está formado por 5 estudiantes y su profesor es el Msc. Optaciano Vásquez García. El documento introduce los conceptos de dieléctricos y aislantes eléctricos, explica sus diferencias y da ejemplos de cada tipo de material. También describe las aplicaciones y propiedades de los dieléctricos sólidos, líquidos y gaseosos.
La ley de Gauss permite calcular campos eléctricos de distribuciones simétricas de carga. Establece que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4πε0 veces la carga neta interior. Se utiliza para derivar una expresión cuantitativa relacionando el flujo con la carga interior.
1) El documento presenta 10 problemas de física moderna relacionados con la relatividad y la mecánica cuántica. 2) Los problemas incluyen cálculos de masa, energía y velocidad de partículas como electrones y protones en movimiento. 3) También se calculan frecuencias, longitudes de onda y cantidades de movimiento de fotones.
El documento presenta un ejemplo de cómo aplicar el Teorema de Lagrange para maximizar el volumen de una caja rectangular dada una restricción en el área del cartón. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar que la dimensión óptima es x=2, y=2, z=1, dando el volumen máximo de 8 unidades cúbicas.
Este documento presenta los resultados de un experimento sobre celdas galvánicas. Se construyeron cinco celdas usando diferentes electrodos y electrolitos. Se midió el potencial de cada celda y se comparó con el teórico. La celda de zinc y cobre tuvo el mayor potencial experimental y teórico, con un 88.18% de rendimiento. La celda de hierro y estaño tuvo el menor potencial y 100% de rendimiento. El análisis indica que la limpieza adecuada es importante para reducir errores en mediciones con
Este documento presenta la ley de Gauss y algunas aplicaciones. La ley establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por la permitividad del vacío. Se resuelven 10 problemas que ilustran cómo usar la ley para calcular flujos eléctricos y campos eléctricos en diferentes configuraciones de cargas puntuales y distribuidas.
Circuitos de corriente directa. ing. carlos moreno (ESPOL)Francisco Rivas
El documento explica la fuerza electromotriz (fem) y el voltaje terminal de una batería. La fem es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería cuando no hay corriente presente, mientras que el voltaje terminal es la diferencia cuando hay corriente debido a la resistencia interna de la batería. También describe cómo calcular la corriente y potencia en circuitos eléctricos usando las leyes de Kirchhoff.
Este documento trata sobre problemas de electroestática relacionados con cargas puntuales, lineales y superficiales. Incluye 7 problemas resueltos sobre cargas puntuales, como determinar la carga de dos esferas separadas por hilos o el campo eléctrico creado por dos cargas. También cubre 4 problemas sobre cargas lineales como calcular el campo creado por una distribución de carga rectilínea o mantener en equilibrio un cable con carga. Finalmente, presenta un problema sobre una distribución de carga con densidad variable.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
El documento describe un problema de vaciado de un tanque a través de un orificio en su base. La ecuación diferencial asociada es dt/dh = -hg^2ca/A(h), donde h es la altura del líquido, a es el área del orificio, g la gravedad, c el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. Esta ecuación permite determinar la variación de la altura del líquido con el tiempo al resolverse sujeto a condiciones iniciales.
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un capítulo sobre el flujo de campo eléctrico y la ley de Gauss. Explica el cálculo del flujo eléctrico debido a cargas puntuales y distribuciones continuas de carga, así como a través de superficies regulares planas y curvas. También introduce la relación entre el campo eléctrico, la carga interna y el área, y cómo aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por distribuciones esféricamente simétricas de carga. Contiene numeros
Las técnicas volumétricas de precipitación como los métodos de Mohr, Volhard y Fajans permiten determinar la concentración de iones mediante titulaciones con nitrato de plata. El método de Mohr usa cromato de potasio como indicador para titular haluros, mientras que los métodos de Volhard y Fajans emplean tiocianato de potasio e indicadores de adsorción respectivamente para lograr precisión en la detección del punto de equivalencia.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden en la químicaNancy Garcia Guzman
El documento habla sobre diferentes leyes y conceptos relacionados con la cinética química y las reacciones químicas, incluyendo la ley de acción de masas, velocidad de reacciones, ley de crecimiento y descomposición radioactiva. Explica que estas leyes se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales que involucran variables como la temperatura, el tiempo, la masa y la velocidad. A continuación, presenta el teorema general para el crecimiento y decrecimiento exponencial modelado mediante una ecuación difer
Este documento presenta 23 problemas de termodinámica química resueltos. Los problemas cubren temas como el cálculo de calor involucrado en cambios de estado y variaciones de temperatura, trabajo realizado durante cambios de volumen de gases, y cálculos termodinámicos como calor de combustión y variación de entropía. Las soluciones a los problemas proporcionan los pasos para llegar a la respuesta numérica correcta.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
El documento presenta 4 ejercicios de física sobre fuerza eléctrica, campo eléctrico y capacitancia. El primer ejercicio calcula las cargas iniciales de dos esferas atraídas y repelidas por fuerzas eléctricas. El segundo calcula el campo eléctrico en un punto producido por una barra de carga uniforme. El tercero calcula la fuerza sobre una carga puntual en el centro de un semicírculo de carga. Y el cuarto relaciona la densidad de carga en una esfera con su c
1) Un capacitor está formado por dos conductores separados por un aislante o vacío. La capacitancia de un capacitor depende del área de las placas y la distancia entre ellas.
2) Existen diferentes configuraciones de capacitores como placas paralelas, cilíndrico y esférico. La capacitancia de un capacitor en serie o paralelo depende de las capacitancias individuales.
3) Al insertar un dieléctrico entre las placas, la capacitancia aumenta debido a la polarización del material. La constante
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Este documento presenta un modelo matemático para predecir la evolución del número de estudiantes en la Escuela de Ciencias de la Computación usando el modelo de crecimiento poblacional de Malthus. Se recolectan datos de matrículas pasadas y se aplica el modelo para calcular el número de estudiantes en los próximos dos períodos, mostrando un decrecimiento.
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1Bertha Vega
Este documento presenta 8 ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden. El primer ejercicio establece una ecuación diferencial basada en la pendiente de una familia de curvas y encuentra la curva particular que pasa por el punto (0,0). El segundo ejercicio repite el primero pero con una pendiente diferente. El tercer ejercicio modela el crecimiento exponencial de la población de una ciudad. Los ejercicios restantes aplican modelos de crecimiento exponencial o decaimiento exponencial a diversos problemas biológicos y
Resolucion problemas de campo electricoJosé Miranda
Este documento presenta 7 problemas relacionados con campos eléctricos. El primer problema calcula la fuerza resultante sobre una carga eléctrica ejercida por otras dos cargas. El segundo problema calcula la fuerza ejercida sobre una carga por otras tres cargas situadas en los vértices de un rectángulo. El tercer problema calcula la fuerza sobre una carga debido a otras tres cargas.
El documento resume la biografía y los logros de Arthur Compton, incluyendo su descubrimiento del efecto Compton en 1922. El efecto Compton demostró la naturaleza dual onda-partícula de la luz al observar un cambio en la longitud de onda de los fotones al interactuar con electrones. El documento también presenta las ecuaciones y cálculos teóricos para derivar la ecuación del corrimiento de Compton.
1) El documento describe cómo calcular el área y longitud de arco de una región polar usando coordenadas polares. 2) Para calcular el área se integra r2 entre los límites angulares, mientras que para longitud de arco se integra la raíz cuadrada de r2 más la derivada de r elevada al cuadrado. 3) También explica cómo encontrar puntos de intersección y calcular el área entre dos curvas polares.
Al sustituir cada trío de números cuánticos (n,l,ml) en la solución de la ecuación de Schrödinger para la función de onda ψ se pueden obtener los distintos orbitales. Así:
--para n=1 y l=0 se obtiene el orbital ψ(1,0,0);
--para n=2 y l=0 se obtiene el orbital ψ(2,0,0);
--para n=2 y l=1 se pueden obtener tres orbitales, uno por cada uno de los tres valores permitidos de ml: ψ(–1, 0 y 1): ψ(2,1,−1), ψ(2,1,0) y ψ(2,1,−1);
etc.
El documento presenta un ejemplo de cómo aplicar el Teorema de Lagrange para maximizar el volumen de una caja rectangular dada una restricción en el área del cartón. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar que la dimensión óptima es x=2, y=2, z=1, dando el volumen máximo de 8 unidades cúbicas.
Este documento presenta los resultados de un experimento sobre celdas galvánicas. Se construyeron cinco celdas usando diferentes electrodos y electrolitos. Se midió el potencial de cada celda y se comparó con el teórico. La celda de zinc y cobre tuvo el mayor potencial experimental y teórico, con un 88.18% de rendimiento. La celda de hierro y estaño tuvo el menor potencial y 100% de rendimiento. El análisis indica que la limpieza adecuada es importante para reducir errores en mediciones con
Este documento presenta la ley de Gauss y algunas aplicaciones. La ley establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por la permitividad del vacío. Se resuelven 10 problemas que ilustran cómo usar la ley para calcular flujos eléctricos y campos eléctricos en diferentes configuraciones de cargas puntuales y distribuidas.
Circuitos de corriente directa. ing. carlos moreno (ESPOL)Francisco Rivas
El documento explica la fuerza electromotriz (fem) y el voltaje terminal de una batería. La fem es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería cuando no hay corriente presente, mientras que el voltaje terminal es la diferencia cuando hay corriente debido a la resistencia interna de la batería. También describe cómo calcular la corriente y potencia en circuitos eléctricos usando las leyes de Kirchhoff.
Este documento trata sobre problemas de electroestática relacionados con cargas puntuales, lineales y superficiales. Incluye 7 problemas resueltos sobre cargas puntuales, como determinar la carga de dos esferas separadas por hilos o el campo eléctrico creado por dos cargas. También cubre 4 problemas sobre cargas lineales como calcular el campo creado por una distribución de carga rectilínea o mantener en equilibrio un cable con carga. Finalmente, presenta un problema sobre una distribución de carga con densidad variable.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
El documento describe un problema de vaciado de un tanque a través de un orificio en su base. La ecuación diferencial asociada es dt/dh = -hg^2ca/A(h), donde h es la altura del líquido, a es el área del orificio, g la gravedad, c el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. Esta ecuación permite determinar la variación de la altura del líquido con el tiempo al resolverse sujeto a condiciones iniciales.
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un capítulo sobre el flujo de campo eléctrico y la ley de Gauss. Explica el cálculo del flujo eléctrico debido a cargas puntuales y distribuciones continuas de carga, así como a través de superficies regulares planas y curvas. También introduce la relación entre el campo eléctrico, la carga interna y el área, y cómo aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por distribuciones esféricamente simétricas de carga. Contiene numeros
Las técnicas volumétricas de precipitación como los métodos de Mohr, Volhard y Fajans permiten determinar la concentración de iones mediante titulaciones con nitrato de plata. El método de Mohr usa cromato de potasio como indicador para titular haluros, mientras que los métodos de Volhard y Fajans emplean tiocianato de potasio e indicadores de adsorción respectivamente para lograr precisión en la detección del punto de equivalencia.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden en la químicaNancy Garcia Guzman
El documento habla sobre diferentes leyes y conceptos relacionados con la cinética química y las reacciones químicas, incluyendo la ley de acción de masas, velocidad de reacciones, ley de crecimiento y descomposición radioactiva. Explica que estas leyes se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales que involucran variables como la temperatura, el tiempo, la masa y la velocidad. A continuación, presenta el teorema general para el crecimiento y decrecimiento exponencial modelado mediante una ecuación difer
Este documento presenta 23 problemas de termodinámica química resueltos. Los problemas cubren temas como el cálculo de calor involucrado en cambios de estado y variaciones de temperatura, trabajo realizado durante cambios de volumen de gases, y cálculos termodinámicos como calor de combustión y variación de entropía. Las soluciones a los problemas proporcionan los pasos para llegar a la respuesta numérica correcta.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
El documento presenta 4 ejercicios de física sobre fuerza eléctrica, campo eléctrico y capacitancia. El primer ejercicio calcula las cargas iniciales de dos esferas atraídas y repelidas por fuerzas eléctricas. El segundo calcula el campo eléctrico en un punto producido por una barra de carga uniforme. El tercero calcula la fuerza sobre una carga puntual en el centro de un semicírculo de carga. Y el cuarto relaciona la densidad de carga en una esfera con su c
1) Un capacitor está formado por dos conductores separados por un aislante o vacío. La capacitancia de un capacitor depende del área de las placas y la distancia entre ellas.
2) Existen diferentes configuraciones de capacitores como placas paralelas, cilíndrico y esférico. La capacitancia de un capacitor en serie o paralelo depende de las capacitancias individuales.
3) Al insertar un dieléctrico entre las placas, la capacitancia aumenta debido a la polarización del material. La constante
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Este documento presenta un modelo matemático para predecir la evolución del número de estudiantes en la Escuela de Ciencias de la Computación usando el modelo de crecimiento poblacional de Malthus. Se recolectan datos de matrículas pasadas y se aplica el modelo para calcular el número de estudiantes en los próximos dos períodos, mostrando un decrecimiento.
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1Bertha Vega
Este documento presenta 8 ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden. El primer ejercicio establece una ecuación diferencial basada en la pendiente de una familia de curvas y encuentra la curva particular que pasa por el punto (0,0). El segundo ejercicio repite el primero pero con una pendiente diferente. El tercer ejercicio modela el crecimiento exponencial de la población de una ciudad. Los ejercicios restantes aplican modelos de crecimiento exponencial o decaimiento exponencial a diversos problemas biológicos y
Resolucion problemas de campo electricoJosé Miranda
Este documento presenta 7 problemas relacionados con campos eléctricos. El primer problema calcula la fuerza resultante sobre una carga eléctrica ejercida por otras dos cargas. El segundo problema calcula la fuerza ejercida sobre una carga por otras tres cargas situadas en los vértices de un rectángulo. El tercer problema calcula la fuerza sobre una carga debido a otras tres cargas.
El documento resume la biografía y los logros de Arthur Compton, incluyendo su descubrimiento del efecto Compton en 1922. El efecto Compton demostró la naturaleza dual onda-partícula de la luz al observar un cambio en la longitud de onda de los fotones al interactuar con electrones. El documento también presenta las ecuaciones y cálculos teóricos para derivar la ecuación del corrimiento de Compton.
1) El documento describe cómo calcular el área y longitud de arco de una región polar usando coordenadas polares. 2) Para calcular el área se integra r2 entre los límites angulares, mientras que para longitud de arco se integra la raíz cuadrada de r2 más la derivada de r elevada al cuadrado. 3) También explica cómo encontrar puntos de intersección y calcular el área entre dos curvas polares.
Al sustituir cada trío de números cuánticos (n,l,ml) en la solución de la ecuación de Schrödinger para la función de onda ψ se pueden obtener los distintos orbitales. Así:
--para n=1 y l=0 se obtiene el orbital ψ(1,0,0);
--para n=2 y l=0 se obtiene el orbital ψ(2,0,0);
--para n=2 y l=1 se pueden obtener tres orbitales, uno por cada uno de los tres valores permitidos de ml: ψ(–1, 0 y 1): ψ(2,1,−1), ψ(2,1,0) y ψ(2,1,−1);
etc.
Este documento explica cómo calcular los momentos de inercia e Ixy para un área con respecto a ejes inclinados. Proporciona ecuaciones para Iu, Iv e Iuv en términos de Ix, Iy e Ixy. Explica que los momentos de inercia principales corresponden a los ejes donde Iu y Iv son máximos y mínimos, lo que ocurre cuando sen2θ/(Ix-Iy/2) = -Ixy/cos2θ.
Este documento presenta una introducción a las coordenadas polares, incluyendo su definición, cómo graficar puntos, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas. También explica cómo expresar ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares en forma polar, y viceversa. El documento contiene ejemplos y ejercicios para practicar estas conversiones.
El documento resume los contenidos de las semanas 5 a 7 del curso de física, incluyendo teoría y aplicaciones del movimiento parabólico de caída libre, movimiento circular uniforme y operaciones con vectores, con el objetivo de consolidar el aprendizaje de estos temas.
Este documento describe el proceso para determinar la ecuación empírica que relaciona el periodo y la longitud de un péndulo simple a través de métodos gráficos y analíticos. Se realizó un experimento variando la longitud del péndulo y midiendo su periodo, obteniendo datos que muestran una relación potencial. Al aplicar logaritmos naturales a los datos y graficarlos, la curva se linealiza dando como resultado una ecuación de recta cuya pendiente y ordenada al origen permiten determinar los valores de las constantes
Este documento presenta el procedimiento para determinar la ecuación empírica que relaciona el periodo y la longitud de un péndulo simple a través de métodos gráficos y analíticos. Se realiza un experimento variando la longitud del péndulo y midiendo su periodo, obteniendo datos que se grafican en forma de una curva. Luego, se linealiza la curva aplicando logaritmos para determinar la pendiente B y el intercepto A de la recta resultante, lo que permite establecer las constantes K y n de la ecuación emp
Este documento describe el proceso para determinar la ecuación empírica que relaciona el periodo y la longitud de un péndulo simple a través de métodos gráficos y analíticos. Se realizó un experimento variando la longitud del péndulo de 20 a 100 cm y midiendo el periodo en cada caso. Los datos se graficaron en forma de Ln(periodo) vs Ln(longitud), dando una recta cuya pendiente es n=0.52 y el intercepto es Ln(K)= -1.77, por lo que la ecuación empírica es Periodo
Este documento explica las funciones trigonométricas básicas como el seno, coseno y tangente. Define estas funciones en términos de los lados de un triángulo rectángulo y presenta fórmulas para resolver triángulos rectángulos dados ciertos datos. También incluye tablas con valores notables de las funciones trigonométricas y gráficas que muestran su comportamiento periódico.
Tema 1. Mecánica de una y un Sistema de Partículas_6fd984e3ee86105fdf6e306618...EstebanConde3
Este documento presenta el contenido de un curso de Mecánica Clásica. Se divide en 5 unidades que cubren temas como sistemas de coordenadas, cinemática de partículas, leyes de Newton, fuerzas conservativas, dinámica lagrangiana, oscilaciones armónicas, teoría de la relatividad especial y dinámica del sólido rígido. Adicionalmente incluye una bibliografía de referencia sobre mecánica clásica.
Este documento trata sobre ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Explica cómo transformar entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo graficar ecuaciones dadas en forma polar. También cubre temas como hallar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar y ejemplos de gráficas polares especiales.
Coordenadaspolaresygrficaspolares 111012212941-phpapp01PSM san cristobal
Este documento explica el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo asignar coordenadas polares (r, θ) a puntos en un plano, cómo transformar entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo graficar ecuaciones en el sistema de coordenadas polares. Incluye ejemplos de transformar puntos entre los dos sistemas de coordenadas y bosquejar una curva polar conocida como la Rosa de Tres Pétalos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la trigonometría. Explica las definiciones de las funciones trigonométricas directas e inversas utilizando un triángulo rectángulo como ejemplo. También describe cómo resolver triángulos rectángulos aplicando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Finalmente, proporciona tablas con los valores notables de las funciones trigonométricas y gráficas que ilustran su comportamiento.
El documento describe las coordenadas polares y rectangulares, incluyendo cómo graficar puntos usando ambos sistemas de coordenadas. Explica cómo los ángulos positivos y negativos se definen dependiendo de los cuadrantes, y cómo convertir entre las dos representaciones de coordenadas.
La descripción mecanocuántica del átomo más sencillo que existe, el de hidrógeno, se puede hacer mediante la ecuación de Schrödinger, que tiene en cuenta el concepto de la dualidad onda-partícula. También es aplicable a cualquier átomo hidrogenoide, que es todo aquel que tienen un solo electrón, independientemente de la composición de su núcleo.
El documento introduce los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas como alternativas al sistema cartesiano. Explica cómo transformar entre los diferentes sistemas y cómo calcular integrales en cada uno de ellos. Proporciona ejemplos numéricos de conversiones entre sistemas de coordenadas.
Este documento presenta información sobre construcciones geométricas básicas, ángulos en la circunferencia y potencia y eje radical. Explica cómo realizar construcciones de segmentos, ángulos, perpendiculares, paralelas y mediatrices usando regla y compás. También define conceptos como ángulos en la circunferencia, potencia de un punto respecto a una circunferencia y eje radical de dos circunferencias.
Prueba de Acceso a la Universidad - Química - Bloque 5. Química Orgánica.pptxTriplenlace Química
Selección de preguntas del bloque 5 ( química orgánica) del examen de Biología de la Prueba de Acceso a las Universidades de Madrid.
Algunos contenidos:
Estudio de funciones orgánicas.
Nomenclatura y formulación orgánica según las normas de la IUPAC.
Funciones orgánicas de interés: oxigenadas y nitrogenadas, derivados halogenados, tioles, perácidos. Compuestos orgánicos polifuncionales.
Tipos de isomería.
Tipos de reacciones orgánicas.
Principales compuestos orgánicos de interés biológico e industrial: materiales polímeros y medicamentos Macromoléculas y materiales polímeros.
Polímeros de origen natural y sintético: propiedades. Reacciones de polimerización.
Prueba de Acceso a la Universidad - Biología - Bloque 4. Microorganismos y su...Triplenlace Química
1) El documento presenta los principales temas sobre microbiología y biotecnología que pueden aparecer en exámenes de acceso a la universidad, incluyendo conceptos sobre microorganismos, bacterias, virus, y relaciones entre microorganismos y seres humanos. 2) También incluye secciones sobre biotecnología, con detalles sobre aplicaciones e importancia de los microorganismos en investigación e industria. 3) Por último, proporciona observaciones y sugerencias para estudiar estos temas.
Prueba de Acceso a la Universidad - Biología - Bloque 5. Autodefensa de los o...Triplenlace Química
Selección de preguntas del bloque 5 ( inmunología) del examen de Biología de la Prueba de Acceso a las Universidades de Madrid.
Se tratan estos temas:
1. Concepto de infección.
2. Mecanismos de defensa orgánica.
2.1. Inespecíficos. Barreras naturales y respuesta inflamatoria.
2.2. Específicos. Concepto de respuesta inmunitaria.
3. Concepto de inmunidad y de sistema inmunitario.
3.1. Componentes del sistema inmunitario: moléculas, células y órganos.
3.2. Concepto y naturaleza de los antígenos.
3.3. Tipos de respuesta inmunitaria: humoral y celular.
4. Respuesta humoral.
4.1. Concepto, estructura y tipos de anticuerpos.
4.2. Células productoras de anticuerpos: linfocitos B.
4.3. Reacción antígeno-anticuerpo.
5. Respuesta celular.
5.1. Concepto.
5.2. Tipos de células implicadas: linfocitos T, macrófagos.
6. Respuestas primaria y secundaria. Memoria inmunológica.
7. Tipos de inmunidad.
7.1. Congénita y adquirida.
7.2. Natural y artificial.
7.3. Pasiva y activa.
7.4. Sueros y vacunas. Importancia en la lucha contra las enfermedades infecciosas.
8. Disfunciones y deficiencias del sistema inmunitario.
8.1. Hipersensibilidad (alergia).
8.2. Autoinmunidad.
8.3. Inmunodeficiencias. El SIDA y sus efectos en el sistema inmunitario.
9. El trasplante de órganos y los problemas de rechazo: células que actúan.
Prueba de Acceso a la Universidad - Química - Bloque 4. Reacciones de oxidaci...Triplenlace Química
Este documento presenta un examen de Química sobre reacciones de oxidación-reducción. Incluye cuatro problemas relacionados con el cálculo de masas y volúmenes involucrados en una reacción redox entre dióxido de manganeso y ácido clorhídrico, obteniéndose cloro gaseoso, cloruro de manganeso y agua. Explica los conceptos clave de estados de oxidación, semirreacciones de oxidación y reducción, y el método del ion-electrón para ajustar ecuaciones
Prueba de Acceso a la Universidad - Biología - Bloque 3. Genética y evolución...Triplenlace Química
Selección de preguntas del bloque 3 ( Genética y evolución) del examen de Biología de la Prueba de Acceso a las Universidades de Madrid.
Se tratan estos temas:
1. La genética molecular o química de la herencia.
1.1. Identificación del ADN como portador de la información genética.
1.1.1. ADN y cromosomas.
1.1.2. Concepto de gen.
1.1.3. Conservación de la información: la replicación del ADN. Etapas de la replicación.
1.1.4. Diferencias entre el proceso replicativo de eucariotas y procariotas.
1.2. El ARN.
1.2.1. Tipos y funciones.
1.2.2. La expresión de los genes.
1.2.3. Transcripción y traducción genética en procariotas y eucariotas.
1.3. El código genético en la información genética.
1.4. Alteraciones de la información genética.
1.4.1. Concepto de mutación y tipos.
1.4.2. Los agentes mutagénicos.
1.4.3. Consecuencias de las mutaciones.
1.4.3.1. Consecuencias evolutivas y aparición de especies.
1.4.3.2. Efectos perjudiciales: mutaciones y cáncer.
2. Genética mendeliana.
2.1. Conceptos básicos de herencia biológica.
2.1.1. Genotipo y fenotipo.
2.2. Aportaciones de Mendel al estudio de la herencia.
2.2.1. Leyes de Mendel.
2.2.2. Cruzamiento prueba y retrocruzamiento.
2.2.3. Ejemplos de herencia mendeliana en animales y plantas.
2.3. Teoría cromosómica de la herencia.
2.3.1. Los genes y los cromosomas.
2.3.2. Relación del proceso meiótico con las leyes de Mendel.
2.3.3. Determinismo del sexo y herencia ligada al sexo e influida por el sexo.
3. Evolución.
3.1. Pruebas de la evolución.
3.2. Darwinismo.
3.3. Neodarwinismo o teoría sintética de la evolución.
3.4. La selección natural.
3.5. La variabilidad intraespecífica. La mutación y la reproducción sexual como fuente de variabilidad.
3.6. Evolución y biodiversidad.
Prueba de Acceso a la Universidad - Biología - Bloque 2. La célula viva, morf...Triplenlace Química
Selección de preguntas del bloque 2 ( La célula viva, morfología, estructura y fisiología celular) del examen de Biología de la Prueba de Acceso a las Universidades de Madrid.
Se tratan estos temas:
1. La célula: unidad de estructura y función.
2. Esquematización de diferentes estructuras y orgánulos celulares
3. Célula procariótica y eucariótica.
4. Células animales y vegetales.
5. Célula eucariótica: componentes estructurales y funciones. Importancia de la compartimentación celular.
5.1. Membranas celulares: composición, estructura y funciones.
5.2. Pared celular en células vegetales.
5.3. Citosol y ribosomas. Citoesqueleto. Centrosoma. Cilios y flagelos.
5.4. Orgánulos celulares: mitocondrias, peroxisomas, cloroplastos, retículo endoplasmático, complejo de Golgi, lisosomas y vacuolas.
5.5. Núcleo: envoltura nuclear, nucleoplasma, cromatina y nucleolo. Niveles de organización y compactación del ADN.
6. Célula eucariótica: función de reproducción.
6.1. El ciclo celular: interfase y división celular.
6.2. Mitosis: etapas e importancia biológica.
6.3. Citocinesis en células animales y vegetales.
6.4. La meiosis: etapas e importancia biológica.
7. Célula eucariótica: función de nutrición.
7.1. Concepto de nutrición. Nutrición autótrofa y heterótrofa.
7.2. Ingestión.
7.2.1. Permeabilidad celular: difusión y transporte.
7.2.2. Endocitosis: pinocitosis y fagocitosis.
7.3. Digestión celular
7.4. Exocitosis y secreción celular.
7.5. Metabolismo.
7.5.1. Conceptos de metabolismo, catabolismo y anabolismo.
7.5.2. Aspectos generales del metabolismo: reacciones de oxidorreducción y ATP.
7.5.3. Estrategias de obtención de energía: energía química y energía lumínica.
7.5.4. Características generales del catabolismo celular: convergencia metabólica y obtención de energía.
7.5.4.1. Glucólisis.
7.5.4.2. Fermentación.
7.5.4.3. ß-oxidación de los ácidos grasos.
7.5.4.4. Respiración aeróbica: ciclo de Krebs, cadena respiratoria y fosforilación oxidativa.
7.5.5. Características generales del anabolismo celular: divergencia metabólica y necesidades energéticas.
7.5.5.1. Concepto e importancia biológica de la fotosíntesis para el mantenimiento de la vida sobre la Tierra.
7.5.5.2. Etapas de la fotosíntesis y su localización en células procariotas y eucariotas.
7.5.6. Quimiosíntesis.
7.5.7. Integración del catabolismo y del anabolismo.
Prueba de Acceso a la Universidad - Biología - Bloque 1. La base molecular y ...Triplenlace Química
Selección de preguntas del bloque 1 (Base molecular y fisicoquímica de la vida) del examen de Biología de la Prueba de Acceso a las Universidades de Madrid.
Se tratan estos temas:
1. Composición de los seres vivos: bioelementos y biomoléculas.
1.1. Concepto.
1.1. Clasificación, teniendo en cuenta la proporción en la que entran a formar parte de los seres vivos.
1.1. Bioelementos más característicos de cada grupo anterior y su función.
2. El agua y las sales minerales.
2.1. El agua.
2.1.1. Estructura.
2.1.2. Propiedades físico-químicas.
2.1.3. Funciones biológicas.
2.1.4. Disoluciones acuosas. Difusión, ósmosis y diálisis.
2.2. Sales minerales.
2.2.1. Clasificación.
2.2.2. Funciones generales en los organismos.
3. Glúcidos.
3.1. Concepto y clasificación.
3.2. Monosacáridos: estructura y funciones.
3.3. Enlace glucosídico. Disacáridos y polisacáridos.
4. Lípidos.
4.1. Concepto y clasificación.
4.2. Ácidos grasos: estructura y propiedades.
4.3. Triacilglicéridos y fosfolípidos: estructura, propiedades y funciones.
4.4. Carotenoides y esteroides: propiedades y funciones.
5. Proteínas.
5.1. Concepto e importancia biológica.
5.2. Aminoácidos. Enlace peptídico.
5.3. Estructura de las proteínas.
5.4. Funciones de las proteínas.
6. Enzimas.
6.1. Concepto y estructura.
6.2. Mecanismo de acción y cinética enzimática.
6.3. Regulación de la actividad enzimática: temperatura, pH, inhibidores.
7. Vitaminas: concepto, clasificación y carencias.
8. Ácidos nucleicos.
8.1. Concepto e importancia biológica.
8.2. Nucleótidos. Enlace fosfodiéster. Funciones de los nucleótidos.
8.3. Tipos de ácidos nucleicos. Estructura, localización y funciones.
Prueba de Acceso a la Universidad - Química - Bloque 1. Estructura atómica y ...Triplenlace Química
Ejercicios modelo de Química de la prueba de acceso a la Universidad (Selectividad). Parte 1. Estructura atómica, configuración electrónica, sistema periódico y propiedades de los elementos, enlace químico, geometría de las moléculas.
Quimica de Acceso a la Universidad_0A. Formulacion y Nomenclatura de Quimica ...Triplenlace Química
Nomenclatura de Química Inorgánica según las reglas de la IUPAC para estudiantes de Bachillerato, Acceso a la Universidad y Química de primer curso universitario.
Resumenes de Quimica Inorganica Descriptiva - 05 - Metales de transicion y co...Triplenlace Química
Metales de transición y metalurgia
Los metales de transición son los elementos químios que comúnmente conocemos propiamente como “metales”: hierro, plata, mercurio, wolframio… Tienen muchas propiedades en común. Sus números de oxidación más típicos son 2+ y 3+. Muchos son coloreados, lo que deben a su particular configuración electrónica (especialmente a los orbitales d). Forman aleaciones unos con otros. Entre ellos se encuentran los elementos químicos de puntos de fusión más elevados. Se obtienen por reducción (con C en muchos casos) o electrolíticamente.
Introducción a los compuestos de coordinación
Los compuestos de coordinación o complejos están formados generalmente por un átomo central (normalmente un catión metálico) y, unido a él por enlaces coordinados, átomos o grupos de átomos llamados ligandos. El número de ligandos es el número de coordinación. Los complejos suelen ser coloreados y para un mismo átomo central su color depende de la naturaleza de los ligandos y del número de ellos y se explica por la llamada teoría del campo cristalino.
3.4. Enlace covalente - Teoria de orbitales moleculares.pptxTriplenlace Química
A diferencia de la teoría del enlace de valencia, basada en el concepto de orbitales localizados entre dos átomos, la teoría de orbitales moleculares considera que los electrones de enlace se encuentran en orbitales formados entre varios (2, 3, 4…) átomos de la molécula. Por ejemplo, en el benceno los 6 orbitales 2p de los 6 C pueden formar varios orbitales moleculares que unen al mismo tiempo a los 6 átomos de C. Un orbital molecular sería como uno atómico pero en vez de tener un solo núcleo acoge a varios (en el ejemplo citado del benceno los orbitales moleculares aludidos tendrían 6 núcleos).
Principios de Quimica y Estructura - ENA1 - Ejercicio 12 Formula empirica a ...Triplenlace Química
Fórmula empírica de un compuesto a partir de datos de combustión del mismo] Una muestra de 1,367 g de un compuesto orgánico se quemó en una corriente de aire para obtener 3,002 g de CO2 y 1,640 g de H2O. Si el compuesto original contenía solo C, H y O, ¿cuál su fórmula empírica? (Datos: Ar(C) = 12,011; Ar(H) = 1,008; Ar(O) = 15,999)
Principios de Quimica y Estructura - ENA3 - Ejercicio 03 Energia de ionizaci...Triplenlace Química
La longitud de onda del fotón que emite un átomo al pasar de un estado de número cuántico principal n2 a un estado inferior n1 viene dada por: (1/λ) = RZ2[(1/n1)2 – (1/n2)2], siendo R la constante de Rydberg, que para el deuterio (2H) vale 109707 cm-1. Calcular la energía mínima necesaria en eV para separar el electrón del núcleo de deuterio cuando el átomo se halla en su estado fundamental. (Datos: constante de Planck: 6,63·10^-34 Js; velocidad de la luz: 3·10^8 ms-1; 1 J = 6,242·10^18 eV).
Tecnicas instrumentales en medio ambiente 06 - tecnicas cromatograficasTriplenlace Química
La mayor dificultad con que el analista se encuentra cuando se ha de estudiar muestras ambientales suele ser su tremenda complejidad. Aunque existen tratamientos químicos que pueden aislar los analitos de interés, lo mejor es llevar a cabo un tratamiento fisicoquímico: la cromatografía. Hay muchas y variadas técnicas cromatográficas, pero el objetivo de todas es separar las sustancias que forman una mezcla y enviarlas secuencialmente a un detector para que las determine y cuantifique. En general, estas técnicas se pueden clasificar en varias familias: cromatografía de gases, de líquidos, mediante fluidos supercríticos y en capa fina.
Todas se basan en el mismo fenómeno: permitir que las sustancias que forman una mezcla entren en contacto con dos fases (un líquido y un gas, un sólido y un líquido, etc.). Una de las fases es estática (no se mueve) y tenderá a retener las sustancias en mayor o menor grado; la otra, móvil, tenderá a arrastrarlas. Cada sustancia química tiene distinta tendencia a ser retenida y a ser arrastrada. Dicho más correctamente, cada sustancia tiene distinto coeficiente de distribución entre las dos fases. El coeficiente de distribución es una medida de la tendencia relativa a quedar en una fase u otra.
Se opera de modo que en una primera etapa se deja que las sustancias que forman la mezcla entren en contacto con la fase estática. Cada sustancia de la mezcla tendrá una mayor o menor afinidad por esta fase. Después se hace pasar la otra fase, que arrastrará en mayor grado las sustancias menos afines por la primera. Típicamente, el proceso se lleva a cabo en una columna. Dentro de ella está fijada la fase estática y a través de ella se hace pasar la fase móvil, que se llama eluyente.
En cromatografía de gases la fase móvil es un gas llamado portador. La otra suele ser un líquido adsorbido sobre un sólido (cromatografía de gases gas-líquido) o, bastante menos comúnmente, un sólido (cromatografía de gases gas-sólido).
La técnica ofrece unos excelentes resultados cuando se acopla con un espectrómetro de masas porque cada sustancia que va eluyendo puede ser fácilmente identificada. También se obtiene mucha información cuando se acopla al cromatógrafo un espectrómetro IR o uno de RMN.
La cromatografía de gases se aplica sobre todo a muestras orgánicas volátiles o volatilizables por derivatización. Pueden estar en estado sólido, líquido o, por supuesto, gas, pero muestras líquidas y sólidas deben vaporizarse previamente. La modalidad de gas-sólido permite detectar y cuantificar gases atmosféricos, por ejemplo.
En cromatografía de líquidos la fase móvil es líquida. Las columnas son mucho más cortas que en gases. El control de la temperatura no es tan crítico, pero sí ha de serlo el de la presión. Se ejercen presiones muy altas para hacer pasar la fase móvil (un líquido) a través de la estática (un sólido). Se aplica a especies no volátiles o térmicamente inestables.
Tecnicas instrumentales en medio ambiente 05 - espectrometria de masasTriplenlace Química
La espectrometría de masas puede ser atómica o molecular. La espectrometría atómica analiza los elementos químicos de una muestra, mientras que la molecular identifica y cuantifica las moléculas presentes. Existen diversos métodos de ionización que determinan el tipo de espectro obtenido.
Resumenes de quimica inorganica descriptiva 01 - hidrogeno, alcalinos y alc...Triplenlace Química
El hidrógeno: propiedades, reactividad, obtención, usos
En esta presentación se explican las propiedades del hidrógeno y se da cuenta de su importancia industrial, por ejemplo para la fabricación de dos compuestos muy utilizados como el amoniaco y el ácido clorhídrico. Se resumen los métodos de obtención de este gas (electrolisis, gas de síntesis…) y sus usos (además de los mencionados, el refinado del petróleo, la obtención de grasas saturadas y de metanol…). También se habla de su reactividad (formación de hidruros y reducción de óxidos).
Los metales alcalinos; sus propiedades y reactividad
En esta presentación se explican las propiedades de los metales alcalinos. Dentro de ella, un vídeo muestra su alta reactividad con el agua. Se mencionan sus métodos de obtención (particularmente de sus sales fundidas) y sus compuestos más importantes (óxidos, peróxidos, superóxidos, hidróxidos y carbonatos. Se resumen los dos procesos clásicos más importantes para la obtención del carbonato sódico: el Solvay y el Leblanc.
Los metales alcalinotérreos: propiedades y reactividad
En esta preparación se hace un somero repaso a las propiedades de los metales alcalinotérreos, así como a su obtención, reactividad y usos. Se resaltan las características más peculiares del berilio, el magnesio, el calcio, el estroncio, el bario y el radio. Se destacan entre sus compuestos importantes sus óxidos, sus carbonatos y sus sulfatos. Como curiosidad, se explica la formación natural de estalactitas y estalagmitas.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Business Plan -rAIces - Agro Business Techjohnyamg20
Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
4. La función de onda, 𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
𝑟, 𝜃, 𝜑 , que sirve para describir a los átomos hidrogenoides se puede expresar
como el producto de un factor radial, que solo depende de 𝑟, y un factor angular, que depende de y :
𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑅 𝑛,𝓁 𝑟 𝑌𝓁
𝑚 𝓁
𝜃, 𝜑 [1]
Cuando se aplica dicha función de onda a la ecuación de Schrödinger se llega a estas soluciones para los
factores radial y angular (MacQuarrie, Donald A.; Simon, John D.: Physical Chemistry: a molecular approach,
University Science Books, 1997):
𝑅 𝑛,𝓁 𝑟 = −
𝑛−𝓁−1 !
2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3
2𝑍
𝑛𝑎
2𝓁+3
𝑟 𝓁
𝑒−
𝑍𝑟
𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁
2𝓁+1 2𝑍𝑟
𝑛𝑎
[2’]
𝑌𝓁
𝑚 𝓁
𝜃, 𝜑 =
2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 !
4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 !
𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁
𝑚 𝓁
cos 𝜃 [2”]
(En la expresión anterior, 𝑎 =
ℎ2 𝜀0
𝜋𝜇𝑒2, siendo 𝜇 la masa reducida y 𝑒 la carga del electrón).
Cada solución particular de los factores radial y angular puede obtenerse dando valores a 𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁 en [2’] y
[2”]. Los resultados se multiplican y así se obtiene cada orbital. En la tabla 1 se muestra cómo se obtienen así
algunos orbitales.
Triplenlace.com
6. Como se puede observar, algunas de estas soluciones son complejas, pues contienen el número imaginario 𝑖
(= −1). No obstante, según un teorema de la mecánica cuántica, se pueden combinar dos soluciones de la
ecuación de Schrödinger para átomos hidrogenoides correspondientes al mismo número cuántico 𝑛 (es decir,
que tengan la misma energía) para obtener nuevas soluciones de la ecuación de Schrödinger. Por ejemplo, con
los orbitales 2p-1 y 2p1 se pueden realizar dos combinaciones lineales (una basada en la suma de ambos y otra
en su diferencia) que sí son funciones de onda reales a las que se les llama 2px y 2py. (El orbital 2p0 es real; se le
denomina 2pz). La tabla 2 modifica la anterior mostrando las funciones de onda reales 2px, 2py y 2pz. No se han
modificado las expresiones para las funciones correspondientes a 𝑛, 𝓁, 𝑚 𝓁 = (1,0,0) (orbital 1s) y
𝑛, 𝓁, 𝑚 𝓁 = (2,0,0) (orbital 2s) porque son reales.
Triplenlace.com
Ir al
ÍNDICE
8. La función de onda no se puede representar gráficamente porque depende de tres variables, lo que supone
que se necesitarían cuatro dimensiones para dibujarla. No obstante, se puede adquirir una idea de su forma
estudiando por separado los factores radial (que depende de una sola variable) y angular (que depende de
dos). Se considera esto a continuación.
Triplenlace.com
9. Representación del factor radial de la función de onda
Como hemos dicho, el factor radial solo depende de r, es decir, de la distancia desde el núcleo, razón por la
cual aporta información sobre el tamaño del orbital. En todos los puntos de una superficie esférica de radio 𝑟 y
centro el núcleo la función 𝑅(𝑟) tendrá el mismo valor.
Al depender la función de una sola variable, se puede representar en un plano. En la figura 1 se muestran
representaciones de 𝑅 𝑟 frente a la distancia desde el núcleo en cualquier dirección del espacio y expresada
en unidades de distancia atómica (𝑟/𝑎0) para distintos orbitales.
Triplenlace.com
10. Triplenlace.com
Fig. 1. Variación del factor radial de la función de
onda con la distancia desde el núcleo expresada
en unidades atómicas, 𝑟/𝑎0. (En el eje de
ordenadas, en vez de 𝑅(𝑟) se ha representado
𝑎0
3/2
𝑅(𝑟) por convenio).
11. De la observación de las gráficas anteriores se pueden obtener dos conclusiones interesantes sobre la parte
radial de la función de onda:
1. Para un mismo tipo de orbital (s, p, d, f), este –y el electrón al que representa– ejerce influencia más lejos
del núcleo cuando mayor es el número cántico principal. Por ejemplo, el factor radial del orbital 1s
prácticamente ha caído a 0 a unas 5 unidades de distancia atómica mientras que el del 2s cae a una distancia
aproximadamente el triple. Análogo comportamiento tienen los orbitales p, d y f.
2. Para determinados valores de 𝑟/𝑎 (sin contar el 𝑟 = 0 y 𝑟 → ∞) en los que el factor radial es cero. Se trata
de los puntos en los que la función corta al eje de abscisas. Esto supone que existen superficies esféricas a
ciertas distancias del núcleo en las que el factor radial (y, por lo tanto, la función de onda) es nulo. Se llaman
nodos radiales y siempre son esféricos. Se puede demostrar que cada orbital tiene 𝑛 − 𝓁 − 1 nodos radiales.
Así, el orbital 1s no tiene nodos radiales (1 – 0 – 1 = 0), pero el 2s tiene uno; el 3s, dos; el 4s, tres… No es
difícil averiguar el valor exacto de 𝑟/𝑎 que corresponde a un nodo radial; basta igualar el factor radial a 0.
Por ejemplo, tomando la función radial del orbital 2s (tabla 2) e igualándola a 0 se llega a 1 −
𝑍𝑟
2𝑎
= 0, de
donde 𝑟/𝑎 = 2. Por tanto, para un orbital 2s, una superficie esférica de radio 2 unidades atómicas de
distancia constituye un nodo radial.
Triplenlace.com
12. Representación del factor angular de la función de onda
A diferencia de la parte radial de la función de onda, que proporciona información sobre el tamaño del orbital,
la parte angular, 𝑌 𝜃, 𝜑 , indica la forma aproximada y la orientación del orbital, ya que depende de dos
ángulos, y estos, combinados, pueden señalar cualquier dirección del espacio. La parte angular es función de
dos coordenadas (los ángulos 𝜃 y 𝜑), por lo que su representación requiere tres dimensiones.
Triplenlace.com
Factor angular de los orbitales s
La representación del factor angular de los orbitales
s es muy sencilla porque, como se ve en la tabla 2,
𝑌0
0
𝜃, 𝜑 =
1
4𝜋
, es decir, es un valor constante,
independiente de los ángulos y . Para hacer la
representación conviene utilizar coordenadas
esféricas, que son: (1) la distancia hasta el centro de
coordenadas; (2) el ángulo entre el eje 𝑍 y el vector
que une el centro de coordenadas con el punto; (3)
el ángulo entre el eje 𝑋 y la proyección de dicho
vector en el plano 𝑋𝑌. Se indican en la figura 2. Fig. 2. Coordenadas polares esféricas.
13. Haremos primero una representación en el plano, es decir, empleando solo dos
coordenadas: la (1), que se reserva a la función angular 𝑌 𝜃, 𝜑 , y la (2), que es el
ángulo 𝜃. Es decir, se trata de hacer la representación para 𝜑 = 0. Se obtiene es
circunferencia de radio
1
4𝜋
, como se indica en la figura 3.
Triplenlace.com
Para obtener la representación tridimensional basta
considerar que 𝑌 𝜃, 𝜑 tiene el mismo valor para cualquier
𝜑. En la figura 3 se ha representado 𝑌 𝜃, 𝜑 para 𝜑 = 0; para
otros valores de 𝜑 se obtendrían también circunferencias,
pero giradas 𝜑 grados respecto a la anterior respecto al eje
vertical. Por ello, la forma espacial del factor angular puede
generarse girando mentalmente desde 0 hasta 360o el perfil
de la figura 3 alrededor del eje vertical. El resultado es la
superficie esférica que puede verse en la figura 4.
Fig. 3. Representación en el plano del factor angular, 𝑌 𝜃, 𝜑 , de la
función de onda de los orbitales s manteniendo constante el valor de
𝜑 (𝜑 = 0). El radio es la medida del valor constante 𝑌 𝜃, 𝜑 =
1
4𝜋
.
Fig. 4.
Representación
en el espacio del
factor angular
𝑌 𝜃, 𝜑 de la
función de onda
de los orbitales
s.
14. Factor angular de los orbitales p
De forma análoga se puede obtener la forma del factor angular de los orbitales p. Lo haremos con los pz, cuya
expresión analítica, según se puede ver en la tabla 2, es
3
4𝜋
cos 𝜃. Se empieza representando en un plano el
factor angular 𝑌 𝜃, 𝜑 mediante la coordenada (1) indicada en la figura 2 frente al ángulo 𝜃 (este, mediante la
coordenada 2) para un valor constante 𝜑 = 0. Para ello construimos la tabla de valores 3 (página siguiente).
Representando estos valores y otros hasta 𝜃 = 360 se obtienen las dos circunferencias tangentes de la figura 5
(página siguiente).
Si se hacen representaciones análogas para valores de 𝜑 entre 0 y 360o se lograrán los mismos perfiles que en la
figura 5 pero girados 𝜑 grados en torno al eje Z. El resultado tridimensional es dos superficies esféricas
tangentes como se muestra en la figura 6 (página siguiente).
Triplenlace.com
15. Triplenlace.com
Tabla 3. Valores de 𝑌 𝜃, 𝜑 para orbitales
pz en función de 𝜃.
𝜃 / grados 𝑌 𝜃, 𝜑 =
3
4𝜋
cos 𝜃
0 0,239
30 0,2067
45 0,1688
60 0,1194
90 0
120 –0,1194
135 0,1688
Fig. 5. Representación en el plano del factor
angular 𝑌 𝜃, 𝜑 de la función de onda para los
orbitales pz manteniendo constante el valor de 𝜑
(𝜑 = 0). Las líneas dentro de los círculos
representan los valores de la tabla (la línea
continua es el valor de 𝑌 𝜃, 𝜑 para 𝜃 = 30
grados; las discontinuas son los otros valores de
𝑌 𝜃, 𝜑 de la tabla 3). Se han dibujado de
colores distintos (gris y naranja) las partes
positiva y negativa de la función.
Fig. 6.
Representa-
ción en el
espacio del
factor
angular
𝑌 𝜃, 𝜑 de la
función de
onda de los
orbitales pz.
16. En la figura 7 se dibujan los factores angulares correspondientes a los orbitales s, p y d. Todos los factores
angulares de los orbitales s tienen la misma forma esférica independientemente de que sean 1s, 2s, 3s… ya que,
como se ha visto, 𝑌 𝜃, 𝜑 solo depende de los números cuánticos 𝓁 y 𝑚 𝓁. Lo análogo sucede con los p, los d y
los f. Ahora bien, en los p hay que distinguir tres orientaciones posibles que dependen del valor de 𝑚 𝓁. Los d
responden a 5 tipos (cuatro de ellos iguales entre sí pero con distinta orientación). Los f (no dibujados) son 7.
Triplenlace.com
Fig. 7. Representación del factor
angular de la función de onda
según el tipo de orbital. Para los
orbitales s el factor angular tiene
simetría esférica; para los p
consiste en dos superficies
esféricas tangentes; para los d,
en cuatro lóbulos mutuamente
perpendiculares, excepto el dz
2,
formado por dos lóbulos y un
toroide central. No se han
dibujado los factores angulares
de los orbitales f, de los cuales
hay 7 diferentes, pero guardan
cierto parecido con los de los
orbitales d. Los colores se
refieren al signo algebraico de la
función.
17. Triplenlace.com
Nodos angulares
Los factores angulares de la función de onda también tienen nodos (excepto la función de onda 1s). Es
razonable que sea así. Como se ve en la figura 7, las funciones tienen una parte positiva y una negativa,
representadas por distintos colores. Estos signos son algebraicos, se denominan fases y no tienen nada que ver
con las cargas eléctricas. Entonces, tiene que existir una región del espacio (o más de una) en la que la función
valga cero. Estas regiones son los nodos angulares. Por ejemplo, en el caso de los orbitales pz, el nodo angular
es el plano XY, como se ha dibujado en la figura 8. Todos los orbitales p tienen un solo nodo angular. Los d
tienen dos. Así, los dos nodos angulares de los orbitales dxy son los planos 𝑋𝑍 e 𝑌𝑍 (ver la figura 7 para
comprobarlo). Los de dz2 son dos conos cuyos vértices están en el origen, como se ilustra en la figura 8.
Fig. 8. Superficies nodales angulares del orbital pz
(izquierda) y el orbital dz
2.
Se sabe que el número de superficies nodales
angulares viene dado por 𝓁. Como el número de nodos
radiales es 𝑛 − 𝓁 − 1, el número total de nodos
(planos, conos, esferas) de cualquier orbital es 𝑛 − 1.
18. Representación parcial de la función de onda
Como se dijo anteriormente, la función de onda no se puede representar porque depende de tres variables.
Para una función de una variable, 𝑓(𝑥), se necesita un plano, en uno de cuyos ejes se representa la función y
en el otro la variable (𝑥). Si la función es de dos variables, entonces se requiere el espacio de tres dimensiones.
En uno de los tres ejes se representa la función, 𝑓(𝑥, 𝑦), y en los otros dos las variables 𝑥 e 𝑦.
Triplenlace.com
Fig. 9. Representación de tres funciones matemáticas. A la izquierda, en verde, función de una variable del tipo 𝑓 𝑥 =
𝑚𝑥 + 𝑛 (ecuación de una recta de pendiente 𝑚 y ordenada en el origen 𝑛); y, en rojo, función de una variable 𝑓(𝑥) =
𝑟2
− 𝑥2 1/2
(ecuación de una circunferencia de radio 𝑟); para representarlas basta el plano. A la derecha, función de dos
variables del tipo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑟2
− 𝑥2
− 𝑦2 1/2
(ecuación de una superficie esférica de radio 𝑟). Se requiere el espacio de
tres dimensiones. En uno de los ejes (por ejemplo, el vertical) se representa 𝑧 ≡ 𝑓 𝑥, 𝑦 ; en los otros, las variables 𝑥 e 𝑦.
19. Ahora bien, si se quiere representar la función de onda 𝑥, 𝑦, 𝑧 se necesitaría un espacio de cuatro
dimensiones, ya que es preciso un eje para la función y tres más para las variables de las que depende. Esto es
imposible.
No obstante, existen varios procedimientos para tener una idea de cómo es la forma de la función de onda.
Uno de ellos es hacer constante una de las variables. Con ello se obtendría una proyección en un espacio de
tres dimensiones de la función de onda de cuatro dimensiones. Sería como ver la sombra de un árbol
proyectada en la pared; la sombra, desde luego, no es el árbol, pero da una idea de la forma tridimensional del
árbol. Un ejemplo matemático lo proporciona la superficie esférica. Su ecuación es: 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( 𝑟2
− 𝑥2
−
Triplenlace.com
20. Orbitales 1s
Como se ve en la tabla 1, el orbital 1s completo tiene prácticamente la misma forma analítica que su parte
radial, diferenciándose solo en un factor numérico. Es decir, la función de onda 1,0,0 𝑟, 𝜃, 𝜑 solo depende de
𝑟, y no de 𝜃 ni 𝜑. Por lo tanto, la representación frente a 𝑟 de la función de onda correspondiente al orbital 1s
será prácticamente igual que la de la parte radial. Si consideramos un plano en cuyo origen de coordenadas
estuviera el núcleo del átomo de hidrógeno, una visión bidimensional de cómo varía el valor de la función de
onda con la distancia sería la que aparece en la figura 10, a la izquierda. A la derecha se muestra la imagen
tridimensional que se obtiene girando el perfil alrededor del eje vertical. De ambas representaciones se
deduce que la función de onda alcanza el valor máximo en el núcleo, decayendo rápidamente en todas las
direcciones radiales.
Triplenlace.com
Fig. 10. Representación de los valores de la función de onda 1s en función de la distancia al núcleo.
A la izquierda, representación bidimensional; a la derecha, tridimensional.
21. Orbitales 2p
El mismo tratamiento se le puede dar a los orbitales 2pz, cuya expresión analítica (tabla 2) es
1
32𝜋
𝑍
𝑎
5/2
𝑟𝑒−
𝑍𝑟
2𝑎 cos 𝜃. Como se ve, la función no depende de 𝜑. Si se hace 𝜃 = 0, el orbital solo depende de
𝑟. La representación del orbital frente a 𝑟 es la gráfica que se ve en la figura 11 a la izquierda. Si se van dando
valores a 𝜃 entre 0 y 360o se obtiene la representación tridimensional de la derecha.
Triplenlace.com
Fig. 11. Valores de la función de onda 2p en función de la distancia al núcleo. A la izquierda, representación
bidimensional para 𝜃 = 0; a la derecha, tridimensional para todos los valores de 𝜃 entre 0 y 360o.
22. Representación gráfica de la función de distribución radial de
los orbitales s, p, d y f
Triplenlace.com
Fig. 12.
Capa
esférica
de
espesor
d𝑟 a
distancia 𝑟
del
núcleo.
Considérese la imagen de la figura 12. El centro de coordenadas
representa al núcleo de un átomo hidrogenoide. La capa
esférica dibujada, de espesor infinitesimal d𝑟, se encuentra a
una distancia del núcleo comprendida entre 𝑟 y 𝑟 + d𝑟.
Llamaremos probabilidad radial, Pr 𝑟→𝑟+d𝑟, a la “fracción” del
electrón que se halla en esa delgada capa. Esta probabilidad se
puede calcular así:
Pr 𝑟→𝑟+d𝑟 = 𝑅 𝑟 2 𝑟2
d𝑟 [3]
siendo 𝑅 𝑟 el factor radial de la función de onda y 𝑅 𝑟 2
𝑟2
la llamada función de distribución radial, que es
la densidad de probabilidad asociada con la parte radial de la función de onda. La fórmula es válida para todos
los tipos de orbitales (s, p, d, f) (Levine: Physical Chemistry, p. 646).
La figura 13 (página siguiente) contiene representaciones gráficas de 𝑅 𝑟 2
𝑟2
frente a 𝑟/𝑎0 de varios tipos de
orbitales (𝑎0 es la unidad de distancia atómica; se le llama radio de Bohr).
23. Triplenlace.com
Fig. 13. Variación de la función de
probabilidad radial, 𝑅 𝑟 𝑟2
, en función
de la distancia al núcleo expresada en
unidades atómicas.
24. Triplenlace.com
La densidad de probabilidad radial guarda cierta analogía con 2
, que es la densidad de probabilidad de la
función de onda completa. Es sabido que, para los orbitales s, 2 tiene su valor máximo en el núcleo. Sin
embargo, la densidad de probabilidad asociada solo al factor radial, 𝑅 𝑟 2
𝑟2
, es nula en el núcleo, como
puede verse en la figura anterior. La aparente paradoja queda resuelta al observarse que la expresión
matemática de la función de distribución radial incluye el factor 𝑟2
. Lógicamente, este factor es 0 en el núcleo.
Pero, además, ambas densidades se refieren a
elementos de volumen diferentes, y eso impide que
sean comparables. Mientras 2
se refiere a un
elemento de volumen d𝜏 que siempre es del mismo
tamaño infinitesimal; 𝑅 𝑟 2
𝑟2
se refiere a una capa
de volumen infinitesimal 4𝜋𝑟2d𝑟 que se va haciendo
mayor al aumentar 𝑟. En el núcleo, 4𝜋𝑟2d𝑟 es 0, por lo
que en dicho punto la densidad de probabilidad radial
es nula. Tras alcanzar un máximo para cierto valor de 𝑟,
la función 𝑅 𝑟 2
𝑟2
empieza a decaer porque,
aunque el volumen de la capa sigue aumentando, la
densidad electrónica va disminuyendo conforme nos
alejamos del núcleo. Son, pues, dos efectos
contrapuestos los que explican los perfiles de
𝑅 𝑟 2
𝑟2
de la figura anterior. Para el orbital 1s, todo
esto se puede esquematizar mediante la figura 14.
Fig. 14. Variación con la distancia (representada en el eje
de abscisas) de la densidad electrónica de los orbitales
1s ( 𝜓2
, en rojo) comparada con la variación con la
distancia de la función de distribución radial, 𝑅(𝑟) 2
𝑟2
,
del mismo orbital 1s (en azul).
25. Triplenlace.com
Fuentes
• MacQuarrie, Donald A.; Simon, John D.: Physical Chemistry: a molecular approach, University Science Books,
1997.
• Atomic orbitals, Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital, (vista en agosto de 2019).
• Levine, Ira: Química cuántica, Editorial AC, 1977.
• Levine, Ira: Physical Chemistry, 6ª ed. McGraw-Hill, 2009.
• McRobbie, Porscha, Geva, Eitan: Hydrogen Atom Radial Functions,
http://demonstrations.wolfram.com/HydrogenAtomRadialFunctions/, Wolfram Demonstrations Project, 2010
(vista en agosto de 2019).
• Chang, Raymond: Physical Chemistry for the Chemical Sciences, University Science Books, 2014
• Blinder, Sy M.: Introduction to Quantum Mechanics: in Chemistry, Materials Science, and Biology, Elsevier
Academic Press, 2004.