1. UNIDAD 4: Geometría analítica.
Tema 8. Espacios afines.
Problemas
1. Calcular la pendiente y la y-intersección (si existe) de las rectas:
a) x  5 y  20 c) 6 x  5 y  15 d) y  1
b) x  4
2. Encontrar una ecuación para la recta que pasa por el punto P con la pendiente m que se indica
en cada caso y dibujar dicha recta:
3
m b) P(1,2) m  infinita
a) P (0,3)
4
2
m0
m d) P (0,4)
c) P (0,0)
3
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados y dibujar dicha recta:
b) P (2,1), Q (0,3) d) M (1,2), N (3,2)
a) A(0,0), B (2,6) c) C (2,8), D (5,0)
4. Escribir en todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,1) y es
a) paralela a 4 x  2 y  3 b) perpendicular a 4 x  2 y  3 .
5. Calcular la distancia entre el punto P y la recta r o entre las dos rectas r y s en los siguientes
casos:
a) P (0,0) r  4 x  3 y  10 b) P (2,1) r  x  y  2  0
c) r  x  y  1, s  x  y  5
6. Hallar la recta paralela a la recta 3x  3 y  5  0 , que corta al eje OX en el punto de abcisa 3.
Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

2. 7. Determinar los valores de a y b para que la recta ax  by  2  0 sea paralela a la recta
 x  y  0 y corte a un eje coordenado en un punto de ordenada 4.
8. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto P(2,-1) y es
a) paralela a la recta r  2 x  3 y  5 b) perpendicular a la recta s  x  y  3  0 .
Determinar, usando el teorema de Rouché-Frobenius, la posición relativa de las rectas r y s. Si
son concurrentes, determinar el punto de corte y si son paralelas la distancia entre ambas.
9. Dadas las rectas x  by  1  0 y 2 x  y  6c  0 , hallar los valores de b y c para que las rectas
sean paralelas no coincidentes. Hallar tales valores para que las rectas sean coincidentes.
10. Las rectas 2 x  y  0 , 3x  2 y  1 y 2 x  6 y , ¿determinan un triángulo?
xy
  1 pasa por el punto (4,-3) y el área del triángulo que determina con los ejes
11. La recta
ab
coordenados es 3 unidades cuadradas. Hallar la ecuación de la recta.
12. Hallar el área del triángulo de vértices A(1,2), B(1/2,0) y C(2,3).
13. Hallar el área del triángulo limitado por las rectas x  y  1  0 , x  y  3  0 y y  2  0 .
1
14. Hallar la distancia entre las rectas 2 x  y  3  0 y x  y  5  0.
2
15. Determinar un punto sobre la recta 3x  y  0 , de forma que con los puntos A(3,0) y B(5,2)
forme un triángulo de área 5.
16. Dados los puntos A(0,0,0), B(1,0,0) y C(1,1,1), hallar:
a) las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por los tres puntos.
b) la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la recta que pasa por A y C.
c) la ecuación del plano que pasa por A’(-1,0,0) y es paralelo al plano del apartado a).
Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

3. 17. Estudiar la posición relativa de las rectas
 x  2  3

r   y  1   s  ( x, y, z )  (10,3,5)  (2,0,1)
y

 z  2
18. Estudiar la posición relativa de las rectas
x  y  z  0 2 x  y  z  1  0
r s
y
x  z  1  0 4 x  2 y  z  5  0
19. Hallar la ecuación del plano paralelo a   2 x  y  z  1  0 que pasa por el punto P(2,-1,5).
20. Hallar la ecuación del plano paralelo al definido por A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1) que pasa por
el punto de intersección de las rectas
x  1  
x  y  2 
s  y  1 
r y
x  z  0 
 z  2  4
21. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r  x  y  z  1 y es paralelo a la recta
s  x 1  y  1 z .
22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas
x  
x  z  1 
s  y  
r y
y  0 
z  1  
23. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano definido por el
x 1 1 y
punto P(-1,1,6) y la recta r    z .
3 2
Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

4. 24. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(3,2,7) y es perpendicular a la recta
x 1 y 2  z
r   .
1
2 3
25. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(3,2,7) y B(6,3,4) y es perpendicular al plano
  x  3 y  2 z  7  0.
26. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2,-1,4) y es perpendicular a los planos   x  y y
'  x  y  z .
 x  2 y  3z  4  0
al plano   x  2 y  z  0 .
27. Hallar la distancia de la recta r  
3x  2 y  7 z  2  0

28. Calcular la distancia del punto P(3,2,7) a la recta r  x  y  z .
29. Considerar las rectas en el espacio
 x  1  2
 z2
r1   y  1 r2  x   y 
y
3

z  
Hallar:
a) la distancia entre r1 y r2.
b) la menor esfera que es tangente común a r1 y a r2.
30. Hallar la ecuación
a) general de la recta r paralela por el punto (1,2) a la recta que pasa por los puntos de
intersección de las curvas y  x 2 y x  y 2 .
x  1  
b) explícita de la recta s que pasa por (1,1) y es perpendicular a  .
y  1 
Determinar, usando el teorema de Rouché-Frobenius, la posición relativa de las rectas r y s. Si
son concurrentes, determinar el punto de corte y si son paralelas la distancia entre ambas.
Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

5. 31. a) Hallar la ecuación (en todas las formas posibles) de la recta que pasa por el punto de
intersección de r1 y r2, y es paralela a r3:
 x  2  3
y 1 z  2 x5 y 3 z 4 
r1  x  1   r2    r3   y  1  2
1 2
2 4 3 
 z  5  2
b) Dadas las rectas
x  1  
 x 1 y  4
r   y  1   s   z 3
y
2 3

z  2
demostrar que son coplanarias y hallar la ecuación implícita del plano que determinan.
c) Hallar la posición relativa de la recta y el plano determinados en los apartados anteriores y, si
es pertinente, su distancia.
32. Estudiar las posiciones relativas de los planos 1, 2 y 3, según los valores que pueda tomar el
parámetro a:
1  x + ay + z = 1 2  x – y – az = 0 3  ax + y – z = -2
Si en alguno de los casos los tres planos se cortan en un punto, hallar ese punto de corte.
33. Hallar la ecuación (en todas las formas posibles) del plano π que pasa por el punto P de corte de
 x  2  3

las rectas r  ( x, y, z )  (10,3,5)   (2,0,1) y s   y  1   y es perpendicular a los planos
 z  2

 ' x  y y  '' x  y  z .
34. Estudiar la posición relativa de los planos  1  x  y  z  1 ,  2  x  3 y  az  2 y
 3   x  ay  3z  4 , en función del valor que tome el parámetro a.
Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito