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1. Potencias de exponente natural
Completa en tu cuaderno la siguiente tabla de cuadrados y cubos perfectos:
PIENSA Y CALCULA
104 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Escribe en forma de potencia:
a) 5 · 5 · 5 · 5 b) –5 · (–5) · (–5)
Calcula mentalmente:
a) 23 b) (–2)3
c) (–2)4
d) 07 e) (–7)1
f) (–9)0
Calcula:
a) 34 b) (–3)4
c) 35 d) (–3)5
Calcula:
a) 132 b) 0,252 c) 173 d) 2,53
Utilizando la calculadora,halla las siguientes potencias:
a) 210 b) 3,7518 c) 264 d) π10
Expresa el resultado en forma de una sola po-
tencia utilizando las propiedades de las potencias:
a) 25 · 24 b) 59 : 53 c) (24)3
d) 32 · 33 · 34
Solución:
a) 29 b) 56 c) 212 d) 39
6
Solución:
a) 1024 b) 2,15 · 1010
c) 1,84 · 1019 d) 93648,05
5
Solución:
a) 169 b) 0,0625 c) 4913 d) 15,625
4
Solución:
a) 81 b) 81 c) 243 d) –243
3
Solución:
a) 8 b) –8 c) 16
d) 0 e) –7 e) 1
2
Solución:
a) 54 b) (–5)3
1
APLICA LA TEORÍA
2 Potencias y raíces
5 m
A = 25 m2
Número
Cuadrado perfecto
Cubo perfecto
1
1
1
2
4
8
3 4 5
25
6
216
10
Solución:
Número
Cuadrado perfecto
Cubo perfecto
1
1
1
2
4
8
3
9
27
4
16
64
5
25
125
6
36
216
10
100
1000
2. Potencias de exponente entero
Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias y calcula el resultado:
a) 27
: 24
b) 25
: 24
c) 25
: 25
d) 24
: 27
Solución:
a) 23
= 8 b) 21
= 2 c) 20
= 1 d) 2–3
= 1/8
PIENSA Y CALCULA
UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 105
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Calcula mentalmente en forma de fracción el re-
sultado de las siguientes potencias:
a) 2–1 b) (–2)–1 c) 2–2
d) (–2)–2 e) 2–3 f) (–2)–3
Calcula:
a) 1–9 b) (–7)–1 c) 3–2 d) (–3)2
e) 5–1 f) (–5)–1 g) ( )–1
h) ( )–1
Expresa el resultado en forma de una sola poten-
cia utilizando las propiedades de las potencias:
a) 2–5 · 24 b) 54 : 57 c) (2–4)3 d) 32 · 3–3 · 34
Aplicando la potencia de un producto o de un co-
ciente, escribe como una sola potencia:
a) 35 · 55 · 75 b) 76 : 96
c) 6–3 · 7–3 d) 3–4 : 5–4
Solución:
a) (3 · 5 · 7)5
b) (7 : 9)6
c) (6 · 7)–3
d) (3 : 5)–4
14
Solución:
a) 2–1
b) 5–3
c) 2–12
d) 33
13
Solución:
a) 1 b) –1/7 c) 1/9 d) 9
e) 1/5 f) –1/5 g) 4/3 h) 6
1
6
3
4
12
Solución:
a) 1/2 b) –1/2 c) 1/4
d) 1/4 e) 1/8 f) –1/8
11
APLICA LA TEORÍA
Expresa el resultado en forma de una sola poten-
cia utilizando las propiedades de las potencias:
a) x2 · x3 b) x5 : x2
c) (x3)4
d) x2 · x3 · x4
Multiplica para eliminar el paréntesis:
a) 3a2b(2ab2 – 5a2b3)
b) 2x3y2z(3xy2z2 + 4x2yz3 – 6x3z4)
Saca factor común todos los factores que puedas:
a) 6a3b2 – 8a4b5
b) 18x2y5z2 + 12x2y3z3 – 6x3y3z4
Se tiene un depósito de gasoil para la calefacción,
con forma de cubo cuya arista mide 2,25 m. Si el
litro de gasoil de calefacción cuesta a 0,65 €, cal-
cula lo que cuesta llenar el depósito.
Solución:
Coste: 2,253 · 1000 · 0,65 = 7403,91 €
10
Solución:
a) 2a3b2(3 – 4ab3)
b) 6x2y3z2(3y2 + 2z – xz2)
9
Solución:
a) 6a3b3 – 15a4b4
b) 6x4y4z3 + 8x5y3z4 – 12x6y2z5
8
Solución:
a) x5 b) x3 c) x12 d) x9
7
3. Radicales
Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
Solución:
PIENSA Y CALCULA
106 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
¿Cuántas raíces reales tienen los siguientes radicales?
a) b) c)
d) e) f)
Calcula mentalmente si es posible:
a) b) c) d)
Simplifica los radicales:
a) b) c) d)
Extrae todos los factores posibles de:
a) b)
Suma y resta los siguientes radicales:
a) – + b) 5 – 3 + 4
Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de
los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones:
a) … +
b) … ±8
c) … +
Un contenedor tiene forma de cubo. Si tiene una
capacidad de 8 m3, ¿cuánto mide la arista?
Solución:
Arista:
3
√
—
8 = 2 m
23
Solución:
a) ≠ b) = c) ≠
3
√27
3
√8
3
√8 + 27
√100 – 36
√64√36√36 + 64
22
Solución:
a) 4√
—
2 b) 13√
—
2
√8√200√98√18√32√50
21
Solución:
a) 9a2c3√
—
ab b) 4a2c53
√
—
2a2b2
3
√128a8b2c15√81a5bc6
20
Solución:
a)
3
√
—
52 b)
3
√
—
52 c)
3
√
—
52 d)
4
√
—
53
24
√51812
√589
√566
√54
19
Solución:
a) ± 5 b) –5 c) No tiene. d) –3
3
√–27√–49
3
√–125√25
18
Solución:
a) Dos b) Una c) Ninguna
d) Una e) Dos f) Una
3
√1√1
3
√–8
√–25√0√36
17
APLICA LA TEORÍA
Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de
los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones:
a) 43 … 12 b) (–7)5… –75
c) 732
… 76 d) (8 – 5)2 … 9
El disco duro de un ordenador portátil tiene 40 Gb
de capacidad, y un CD-ROM, 650 Mb. ¿Cuántos
CD-ROM caben en el disco duro si 1 Gb = 210 Mb?
Solución:
Nº de CD: 40 · 210 : 650 = 63,02
16
Solución:
a) ≠ b) = c) ≠ d) =
15
Número
Cuadrado o cubo perfecto 4
2
8 9 16 25 27 81 100 125 1000
Número
Cuadrado o cubo perfecto
2
4
2
8
3
9
4
16
5
25
3
27
9
81
10
100
5
125
10
1000
UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 107
©GrupoEditorialBruño,S.L.
4. Propiedades y relaciones entre potencias y radicales
Aplicando las propiedades de los radicales, expre-
sa como una sola raíz:
a) · b) :
c) ( )2
d)
Aplica las propiedades de los radicales y calcula:
a) · b) :
c) · d)
Escribe los siguientes radicales en forma de poten-
cia:
a) b)
c) d)
Las cuatro paredes de un cuarto de baño son cua-
dradas y tienen en total 324 azulejos cuadrados. Si
cada azulejo mide 25 cm de lado, ¿cuánto mide de
longitud cada pared?
Escribe las siguientes potencias en forma de radi-
cal y calcula el resultado:
a) 271/3 b) 49–1/2
c) 1283/7 d) 243–2/5
Realiza las siguientes operaciones con la calcula-
dora y redondea los resultados a dos decimales:
a)
b)
c)
d) – +
Realiza las siguientes operaciones con la calculado-
ra y redondea los resultados a dos decimales:
a) 2,35 · – : 4,83
b) (9,23 – ) · 1,517
Solución:
a) 575,45 b) 583669,35
√34703
√675√80
30
Solución:
a) 24,15 b) 9,56 c) 2,19 d) 4,64
5
√2345
3
√805√85
7
√35
3
√875
√583
29
28
Solución:
Cada pared tiene: 324 : 4 = 81 azulejos.
Cada lado tiene: √
—
81 = 9 azulejos.
Cada lado mide: 9 · 25 = 225 cm = 2,25 m
27
Solución:
a) 31/5 b) 5–1/6 c) 35/7 d) 7–2/3
1
3
√72
7
√35
1
6
√5
5
√3
26
Solución:
a) ± 6 b) ±2 c) 5 d) ±2
√3
√
—
64
3
√5
3
√25
√5√20√6√6
25
Solución:
a) √
—
15 b) √
—
2
c)
3
√
—
52 d)
6
√
—
5
3
√√
—
5
3
√5
√3√6√3√5
24
APLICA LA TEORÍA
Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
a) · b) : c) ( )3
d)
Solución:
a) ±35 b) ±2 c) ± 8 d) ± 2
3
√√
—
64√4√9√36√49√25
PIENSA Y CALCULA
Solución:
a)
3
√
—
27 = 3
b) = ±
c) = ( )3
= ( )3
= 23 = 8
d) = = = =
1
9
1
32
1
(5
√35)2
1
(5
√243)2
1
5
√2432
7
√277
√128
7
√1283
1
7
1
√49
108 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Ejercicios y problemas
1. Potencias de exponente natural
Escribe en forma de potencia:
a) 2 · 2 · 2 · 2 b) –2 · (–2) · (–2)
c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) –3 · (–3)
Calcula mentalmente:
a) 33 b) (–3)3 c) (–3)4
d) 70 e) (–1)7 f) (–1)8
Calcula:
a) 192 b) 0,752 c) 233 d) 1,53
Expresa el resultado en forma de una sola po-
tencia utilizando las propiedades de las potencias:
a) 32 · 36 b) 57 : 56 c) (32)5
d) 52 · 5 · 53
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
utilizando las propiedades de las potencias:
a) x3 · x4 b) x7 : x4 c) (x3)5
d) x · x2 · x3
Multiplica para eliminar el paréntesis:
a) 2a3b(3a2b – 6a3b3)
b) 3xy2z3(4x2y3z + 5x3y – 7x5z)
Saca factor común todos los factores que puedas:
a) 12a4b5 – 18a3b6
b) 6x5y2z3 + 15x2y5z3 – 18x2y3z5
Calcula el número de bytes que caben en un disco
duro de 50 Gb, sabiendo que:
1 Kb = 210 bytes; 1 Mb = 210 Kb; 1 Gb = 210 Mb
2. Potencias de exponente entero
Calcula mentalmente en forma de fracción el re-
sultado de las siguientes potencias:
a) 3–1 b) (–3)–1
c) 3–2
d) (–3)–2
e) 3–3 f) (–3)–3
Calcula:
a) 7–1 b) (–7)–1
c) ( )
–1
d) ( )
–1
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
utilizando las propiedades de las potencias:
a) 35 · 3–4
b) 24 : 2–3
c) (5–4)–3
d) 17–2 · 173 · 17–4
Solución:
a) 3 b) 27 c) 512 d) 17–3
41
Solución:
a) 1/7 b) –1/7 c) 3/5 d) 2
1
2
5
3
40
Solución:
a) 1/3 b) –1/3 c) 1/9
d) 1/9 e) 1/27 f) –1/27
39
Solución:
50 Gb = 50 · 210 · 210 · 210 =
= 50 · 230 = 5,37 · 1010 bytes
38
Solución:
a) 6a3b5(2a – 3b)
b)3x2y2z3(2x3 + 5y3 – 6yz2)
37
Solución:
a) 6a5b2 – 12a6b4
b) 12x3y5z4 + 15x4y3z3 – 21x6y2z4
36
Solución:
a) x7 b) x3 c) x15 d) x6
35
Solución:
a) 38 b) 5 c) 310 d) 56
34
Solución:
a) 361 b) 0,5625 c) 12167 d) 3,375
33
Solución:
a) 27 b) –27 c) 81
d) 1 e) –1 f) 1
32
Solución:
a) 24 b) (–2)3 c) 35 d) (–3)2
31
UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 109
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Aplicando la potencia de un producto o de un
cociente, escribe como una sola potencia:
a) 26 · 36 · 76 b) 35 : 75
c) 2–3 · 5–3 d) 5–4 : 7–4
Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de
los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones:
a) 43 … 64 b) (–7)5 … 75
c) 732
… 79 d) (8 – 5)2 … 32
Un bloque de casas tiene 6 plantas, y en cada plan-
ta hay 6 viviendas. Si viven de media 6 personas en
cada vivienda, escribe en forma de potencia el
número de personas que viven en el bloque, y cal-
cula el resultado.
3. Radicales
Calcula mentalmente si se puede:
a) b) c) d)
Simplifica los radicales:
a) b) c) d)
Extrae todos los factores posibles de:
a) b)
Suma y resta los radicales:
a) 3 – 2 +
b) 2 – 3 – 4
Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de
los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones:
a) …
b) … –
c) … +
Un cartón de leche es de forma cúbica y contiene
dos litros. Otro cartón de 2 litros tiene forma de
prisma cuadrangular y la arista de su base mide
10 cm. Calcula la superficie de ambos. ¿Cuál es
menor?
4. Propiedades y relación entre potencias y
radicales
Aplicando las propiedades de los radicales, ex-
presa como una sola raíz:
a) ·
b) :
c) ( )3
d)
Solución:
a) √
—
21 b) √
—
7 c)
5
√
—
73 d)
10
√
—
3
5
√√
—
3
5
√7
√2√14
√7√3
51
Solución:
Arista del cubo:
3
√
—
2 = 1,26 dm = 12,6 cm
Superficie del cubo: 6 · 12,62 = 952,56 cm2
Altura del prisma: 2000 : 102 = 20 cm
Superficie del prisma:
2 · 102 + 4 · 10 · 20 = 1000 cm3
Es menor el área del cubo.
50
Solución:
a) = b) ≠ c) ≠
4
√81
4
√16
4
√16 + 81
√36√100√100 – 36
√100√36 + 64
49
Solución:
a) 8√
—
2 b) –17√
—
2
√98√18√200
√72√50√32
48
Solución:
a) 9a4bc3√
—
3bc b) 5a3b5c83
√
—
b2c
3
√125a9b17c25√243a8b3c7
47
Solución:
a)
3
√
—
7 b)
5
√
—
74 c)
5
√
—
73 d)
5
√
—
73
30
√71820
√71215
√7126
√72
46
Solución:
a) ± 7 b) –2 c) No tiene. d) 5
3
√125
4
√–16
3
√–8√49
45
Solución:
Nº = 63 = 216 personas.
44
Solución:
a) ≠ b) ≠ c) = d) =
43
Solución:
a) (2 · 3 · 7)6 b) (3 : 7)5
c) (2 · 5)–3 d) (5 : 7)–4
42
110 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Ejercicios y problemas
Aplica las propiedades de los radicales y calcula:
a) · b) :
c) · d)
Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:
a) b) c) d)
Escribe en forma de radical las siguientes po-
tencias:
a) 31/5 b) 5–1/3
c) 64/5 d) 7–3/5
54
Solución:
a) 21/3 b) 7–1/2 c) 32/5 d) 2–3/5
1
5
√23
5
√321
√7
3
√2
53
Solución:
a) ± 9 b) ±3 c) 4 d) ±2
5
√√
—
1024
3
√16
3
√4
√5√45√3√27
52
Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes
casos:
a) 2x
= 32 b) 34
= x
c) x3
= 125 d) x3
= –8
Calcula:
a) 25 + 33 + 52 b) (–2)5 + 32 – 53
c) (–2)6 + 34 – (–5)3 d) 106 – (–10)3 + 102
Calcula:
a) ( )3
b) (– )3
c) ( )4
d) (– )4
Calcula:
a) 5–1 b) (–5)–1 c) 223
d) (– )–1
Expresa el resultado en forma de una sola potencia
utilizando las propiedades de las potencias:
a) 5–3 · 5–4
b) 3–4 : 3–7
c) (7–3)–5
d) 13–2 · 13–3 · 13–4
Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de los
signos = o ≠ entre las siguientes expresiones:
a) 53 … 15 b) (–2)5 … –32
c) 235
… 215 d) (7 – 3)5 … 45
Calcula mentalmente:
a) b)
c) d)
Solución:
a) 5 b) –5
c) 0,1 d) –0,2
3
√–0,008
3
√0,001
3
√–125
3
√125
61
Solución:
a) ≠ b) =
c) ≠ d) =
60
Solución:
a) 5–7 b) 33
c) 715 d) 13–9
59
Solución:
a) 1/5 b) –1/5 c) 256 d) –3
1
3
58
Solución:
a) 8/27 b) –8/27 c) 16/81 d) 16/81
2
3
2
3
2
3
2
3
57
Solución:
a) 84 b) –148
c) 270 d) 1001100
56
Solución:
a) x = 5 b) x = 81
c) x = 5 d) x = –2
55
Para ampliar
Solución:
a)
5
√
—
3 b)
c)
5
√
—
64 d)
1
5
√73
1
3
√5
UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 111
©GrupoEditorialBruño,S.L.
¿Entre qué dos números enteros están las si-
guientes raíces?
a) b)
c) d)
Introduce dentro del radical los factores que están
fuera:
a) 32ab3c
b) 23a2b5c2
c) 32ab3c4
d) 23a2bc4
Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes
casos:
a) = ±5 b) = x
c) = 5 d) = 2
Calcula descomponiendo en factores primos:
a) b)
c)
3
d)
5
Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 43/2 b) 82/3
c) 163/4 d) 324/5
Con calculadora
Utilizando la calculadora, halla:
a) 310 b) 7,2513
c) (3/2)15 d) π2
e) 3–5 f) (–3)8
Realiza las siguientes operaciones con la calculado-
ra y redondea los resultados a dos decimales:
a) b)
c) d)
Realiza las siguientes operaciones con la calculado-
ra y redondea los resultados a dos decimales:
a) 5,23 ( – ) : 7,25
b) (7,255 – ) · 1,757
Solución:
a) –0,31
b) 1002023,47
3
√874658
√3217√209
69
Solución:
a) 213,92 b) 20,04
c) 8,89 d) 2,15
6
√2,555
√55555
3
√8043√45760
68
Solución:
a) 59049 b) 1,53 · 1011
c) 437,89 d) 9,87
e) 4,12 · 10–3 f) 6561
67
Solución:
a) √
—
(23)2 = ±8
b)
3
√
—
(22)3 = 4
c)
4
√
—
(23)4 = ±8
d)
5
√
—
(24)5 = 16
66
√243
32√ 8
125
3
√3375
3
√216
65
Solución:
a) x = 25 b) x = ±7
c) x = 125 d) x = 5
x
√32
3
√x
√49√x
64
Solución:
a) √405a3b7c2
b)
3
√2 560a8b16c8
c)
4
√65610a5b15c18
d)
5
√491520a14b6c22
5
√15a4bc2
4
√10ab3c2
3
√5a2bc2
√5ab
63
Solución:
a) Entre 7 y 8 b) Entre 4 y 5
c) Entre 3 y 4 d) Entre 2 y 3
5
√100
4
√93
3
√84√55
62
Solución:
a) = 6 b) = 15
c)
3
= d)
5
=
3
2√35
25
2
5√23
53
3
√33 · 533
√23 · 33
112 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Ejercicios y problemas
Tenemos una finca en forma de cuadrado cuyo
lado mide 14,75 m. Calcula el precio de venta
sabiendo que el metro cuadrado vale 23 €
Calcula el número de bytes que caben en un disco
duro de 20 Gb, sabiendo que 1 Kb = 210 bytes,
1 Mb = 210 Kb y 1 Gb = 210 Mb
En una tienda compran una docena de docenas de
huevos. Por cada huevo han pagado 0,05 €. ¿Cuán-
to han pagado por todos los huevos?
Alba tiene una caja en forma de cubo llena de cani-
cas.Tiene 5 canicas de largo, otras 5 de ancho y
otras 5 de alto. Escribe en forma de potencia el
número total de canicas y calcula el precio sabien-
do que cada canica cuesta 0,15 €
Tenemos 12 cajas de cocos y cada caja tiene 12
cocos. Escribe en forma de potencia el número
total de cocos y halla el precio sabiendo que cada
uno cuesta 1,5 €
Escribe en forma de potencia el número de abue-
los que tiene cada persona, y calcula el resultado.
Tenemos un bloque de hielo de 1 m de largo,
20 cm de ancho y 20 cm de alto. Lo cortamos en
cubitos para enfriar refrescos. Cada cubito mide
2 cm de largo, 2 cm de ancho y 2 cm de alto, y en
cada refresco ponemos dos cubitos. ¿Para cuántos
refrescos tendremos?
Una finca cuadrada de 100 m de lado está plantada
de nogales. Si cada nogal ocupa 25 m2, ¿cuántos
nogales hay plantados?
El patio de butacas de un teatro tiene igual núme-
ro de filas que de columnas, y se venden todas las
entradas para una sesión, obteniéndose 675 €. Si
cada entrada cuesta 3 €, ¿cuántas filas tiene el tea-
tro?
Solución:
Nº de entradas: 675 : 3 = 225 entradas.
Nº de filas: √
—
225 = 15 filas.
78
Solución:
Superficie: 1002 = 10000 m2
Nº de nogales: 10000 : 25 = 400 nogales.
77
Solución:
Volumen del bloque:
100 · 20 · 20 = 40000 cm3
Volumen de cada cubito: 23 = 8 cm3
Nº de cubitos: 40000 : 8 = 5000 cubitos.
Nº de refrescos: 5000 : 2 = 2500 refrescos.
76
Solución:
Nº de abuelos: 22 = 4 abuelos.
75
Solución:
Nº de cocos: 122
Coste: 122 · 1,5 = 216 €
74
Solución:
Canicas: 53
Coste: 53 · 0,15 = 18,75 €
73
Solución:
Han pagado: 122 · 0,05 = 7,2 €
72
Solución:
Capacidad:
20 · 210 · 210 · 210 = 20 · 230 = 2,15 · 1010 bytes.
71
Solución:
Precio: 14,752 · 23 = 5003,94 €
70
Problemas
UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 113
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Queremos poner baldosas en el suelo de una
habitación cuadrada, y en cada lado caben 13 bal-
dosas. Si cada baldosa cuesta 1,5 €, ¿cuánto cues-
tan todas las baldosas que necesitamos?
Una finca es cuadrada y tiene una superficie de
1369 m2. ¿Cuánto mide el lado?
Un bloque de casas tiene x plantas, y en cada plan-
ta hay x viviendas. Si viven x personas de media en
cada vivienda, calcula el valor de x sabiendo que
en la casa viven 64 personas.
Para profundizar
Una empresa de productos lácteos compró un
cubo de leche de 1,5 m de arista. Esta leche se
envasó en recipientes de 1 litro, que se vendieron
a 0,85 € cada uno. Si el litro de leche se había
pagado a 0,5 €, y el transporte y el coste de enva-
sado habían generado un gasto de 0,15 € por
litro, ¿cuál fue el beneficio?
Expresa en forma de potencia de 2 el número
total de cuadrados que tiene un tablero de aje-
drez, sabiendo que posee 8 filas y 8 columnas.
Escribe en forma de potencia el número de bisa-
buelos que tiene cada persona y calcula el resul-
tado.
Una célula se reproduce cada hora por biparti-
ción. ¿Cuántos días tardará en sobrepasar un
millón?
Un velero cuesta 0,5 millones de euros y se deva-
lúa cada año un 18%. ¿Cuántos años tardará en
valer menos de 150 000 €? Observa que si se
devalúa un 18%, su valor será un 82% del precio
inicial.
Una caja tiene forma de cubo cuyo volumen es de
3,375 m3. Calcula su superficie.
Solución:
Arista:
3
√
—
3,375 = 1,5 m
Superficie: 6 · 1,52 = 13,5 m2
87
Solución:
500000 · 0,82x < 150000
El menor x que lo verifica es x = 7 años.
86
Solución:
2x > 1000000
El menor x que lo verifica es x = 20 horas.
Lo alcanza en el primer día.
85
Solución:
Nº de bisabuelos: 23 = 8 bisabuelos.
84
Solución:
Nº de cuadrados: 8 · 8 = 23 · 23 = 26 cuadrados.
83
Solución:
Volumen de leche:
1,53 = 3,375 m3 = 3375 litros.
Valor de la venta:
3 375 · 0,85 = 2868,75 €
Valor de la compra:
3 375 · 0,5 = 1687,5 €
Gastos: 3375 · 0,15 = 506,25 €
Beneficio:
2868,75 – (1687,5 + 506,25) = 675 €
82
Solución:
x3 = 64 ⇒ x =
3
√
—
64 = 4
81
Solución:
Lado: √
—
1369 = 37 m
80
Solución:
Nº de baldosas: 132 = 169 baldosas.
Coste: 169 · 1,5 = 253,5 €
79
114 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Aplica tus competencias
Las potencias y los ordenadores
La información se guarda en los discos de forma digi-
tal, por eso cuando se copia de un disco a otro, no
pierde calidad. Un byte ocupa dos posiciones.
1 Kb = 210 bytes
1 Mb = 210 Kb
1 Gb = 210 Mb
Un disco de 3 1/2 tiene 1,44 Mb. Halla su capa-
cidad en bytes.
Un CD-ROM tiene 640 Mb. Halla su capaci-
dad en bytes.
El disco duro de un ordenador tiene 40 Gb.
Halla su capacidad en bytes.
Solución:
Capacidad:
40 · 210 · 210 · 210 = 40 · 230 = 4,29 · 1010 bytes
90
Solución:
Capacidad:
640 · 210 · 210 = 640 · 220 = 671088640 bytes
89
Solución:
Capacidad:
1,44 · 210 · 210 = 1,44 · 220 = 1509949 bytes
88
UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 115
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Comprueba lo que sabes
¿Qué son radicales equivalentes? Pon un ejem-
plo.
Expresa el resultado en forma de una sola poten-
cia utilizando las propiedades de las potencias:
a) 35 · 34 b) a9 : a3
c) (xn)p d) x3 : x7
Sustituye los puntos por uno de los signos = o ≠
entre las siguientes expresiones:
a) 53 … 15 b) (–6)5 … – 65
c) 352
… 310 d) (7 – 5)4 … 16
Extrae todos los factores posibles de:
a) b)
Suma y resta los radicales:
a) 3 – 2 +
b) 2 – 4 + 5
Escribe en forma de radical las siguientes poten-
cias y calcula el resultado:
a) 251/2 b) 125–1/3
c) 163/4 d) 32–2/5
El disco duro de un ordenador portátil tiene una
capacidad de 40 Gb, y un CD ROM, de
650 Mb. ¿Cuántos CD ROM caben en el disco
duro si 1 Gb = 210 Mb?
Una finca tiene forma de cuadrado. Si se vende a
razón de 3,6 €/m2 y se han obtenido por la ven-
ta 3 802,5 €, ¿cuánto mide de lado la finca?
Solución:
√
—
3802,5
—
: 3,6 = 32,5 m
8
Solución:
Nº de CDs: 40 · 210 : 650 = 63,02
7
6
Solución:
a) 12√
—
2 – 10√
—
2 + 6√
—
2 = 8√
—
2
b) 10√
—
3 – 12√
—
3 + 10√
—
3 = 8√
—
3
√12√27√75
√72√50√32
5
Solución:
a) 9a2c3√
—
ab
b) 2a2
c43
√
—
22
a2
b2
3
√32a8b2c12√81a5bc6
4
Solución:
a) ≠ b) =
c) ≠ d) =
3
Solución:
a) 39 b) a6
c) xn · p d) x–4
2
Solución:
Dos radicales son equivalentes si tienen las mismas
raíces.
Si en un radical multiplicamos el índice y el expo-
nente por el mismo número, obtenemos otro radical
equivalente.
Ejemplo
3
√
—
52 =
6
√
—
54 =
9
√
—
56 =
12
√
—
58 = … = 2,92…
1
Solución:
a) = ± 5 b) =
c) = ± 8 d) = 1
4
1
5
√322
4
√163
1
5
1
3
√125
√25
116 SOLUCIONARIO
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Calcula:
( )5
Calcula:
7,285
Calcula:
Calcula:
Suma y resta los siguientes radicales:
4 – 7 + 5
Calcula:
1,57 ( – )
Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de
DERIVE o Wiris:
Se tiene un depósito de gasóil para la calefac-
ción, con forma de cubo cuya arista mide
2,25 m. Si el litro de gasóil de calefacción cuesta
0,65 € el litro, calcula lo que cuesta llenar el
depósito.
Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.es
y elige Matemáticas, curso y tema.
98
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
97
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
5
√678√83
96
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
√18√8√50
95
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
7
√865
94
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
√12607,25
93
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
92
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
3
4
91
Paso a paso
Windows Derive
UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 117
©GrupoEditorialBruño,S.L.
Calcula las siguientes potencias:
a) (2/3)6 b) (–2/3)7
Calcula las siguientes potencias:
a) 264 b) 239,725
Calcula:
a) b)
Calcula:
a) b)
Suma los radicales:
a) 7 – 2 + 5
b) 9 – 5 + 3
Calcula y luego redondea mentalmente a dos
decimales:
a)
b) +
c) + 5,27
d) (73,53 – 55,35)2 ·
Escribe las expresiones numéricas correspondientes a los
siguientes enunciados y halla el resultado:
El número 23,45 elevado al cuadrado, menos la
raíz cuadrada de 825,83
El número 1,5 elevado a la quinta, menos la raíz
cuadrada de 1,83, más la raíz cúbica de 2,5
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda
de DERIVE o Wiris:
Queremos vender los chopos de una finca que
tiene 54 filas y 54 columnas, al precio de 54 €
cada chopo. Expresa en forma de potencia el
valor de los chopos y halla el resultado.
Calcula la arista de un depósito de forma cúbica
que ha costado llenarlo de leche 3 215,625 €, si
el litro de leche se ha pagado a 0,6 €
Calcula el número de bytes que caben en un
CD-ROM de 650 Mb, sabiendo que:
1 Kb = 210 bytes y 1 Mb = 210 Kb
Solución:
Capacidad:
650 · 210
· 210
= 681574400 bytes.
109
Solución:
Arista:
3
√
—
3215,
—
625/0,6 = 17,5 dm = 1,75 m
108
Solución:
Valor: 543 = 157464 €
107
Solución:
1,55 – √
—
1,83 +
3
√
—
2,5 = 7,598183881
106
Solución:
23,452 – √
—
825,83 = 521,1652419
105
Solución:
a) 23,43 b) 30,45
c) 1,03 · 105 d) 8,18 · 1011
5
√3760
5
√45,52 – 7,253
√75,47√473,5
√473,5 + 75,47
104
Solución:
a) 76√
—
2 b) 44√
—
3
√12√75√147
√162√8√50
103
Solución:
a) 17 b) 3,849417183
5
√845,23
3
√4913
102
Solución:
a) 1,732050807 b) 16,007998
√256,256√3
101
Solución:
a) 18446744073709551616
b) 7,916283613 · 1011
100
Solución:
a) 64/729 b) –128/2187
99
Linux/Windows
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Tema02 3 potencias y raices

  • 1. 1. Potencias de exponente natural Completa en tu cuaderno la siguiente tabla de cuadrados y cubos perfectos: PIENSA Y CALCULA 104 SOLUCIONARIO ©GrupoEditorialBruño,S.L. Escribe en forma de potencia: a) 5 · 5 · 5 · 5 b) –5 · (–5) · (–5) Calcula mentalmente: a) 23 b) (–2)3 c) (–2)4 d) 07 e) (–7)1 f) (–9)0 Calcula: a) 34 b) (–3)4 c) 35 d) (–3)5 Calcula: a) 132 b) 0,252 c) 173 d) 2,53 Utilizando la calculadora,halla las siguientes potencias: a) 210 b) 3,7518 c) 264 d) π10 Expresa el resultado en forma de una sola po- tencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 25 · 24 b) 59 : 53 c) (24)3 d) 32 · 33 · 34 Solución: a) 29 b) 56 c) 212 d) 39 6 Solución: a) 1024 b) 2,15 · 1010 c) 1,84 · 1019 d) 93648,05 5 Solución: a) 169 b) 0,0625 c) 4913 d) 15,625 4 Solución: a) 81 b) 81 c) 243 d) –243 3 Solución: a) 8 b) –8 c) 16 d) 0 e) –7 e) 1 2 Solución: a) 54 b) (–5)3 1 APLICA LA TEORÍA 2 Potencias y raíces 5 m A = 25 m2 Número Cuadrado perfecto Cubo perfecto 1 1 1 2 4 8 3 4 5 25 6 216 10 Solución: Número Cuadrado perfecto Cubo perfecto 1 1 1 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 10 100 1000
  • 2. 2. Potencias de exponente entero Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias y calcula el resultado: a) 27 : 24 b) 25 : 24 c) 25 : 25 d) 24 : 27 Solución: a) 23 = 8 b) 21 = 2 c) 20 = 1 d) 2–3 = 1/8 PIENSA Y CALCULA UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 105 ©GrupoEditorialBruño,S.L. Calcula mentalmente en forma de fracción el re- sultado de las siguientes potencias: a) 2–1 b) (–2)–1 c) 2–2 d) (–2)–2 e) 2–3 f) (–2)–3 Calcula: a) 1–9 b) (–7)–1 c) 3–2 d) (–3)2 e) 5–1 f) (–5)–1 g) ( )–1 h) ( )–1 Expresa el resultado en forma de una sola poten- cia utilizando las propiedades de las potencias: a) 2–5 · 24 b) 54 : 57 c) (2–4)3 d) 32 · 3–3 · 34 Aplicando la potencia de un producto o de un co- ciente, escribe como una sola potencia: a) 35 · 55 · 75 b) 76 : 96 c) 6–3 · 7–3 d) 3–4 : 5–4 Solución: a) (3 · 5 · 7)5 b) (7 : 9)6 c) (6 · 7)–3 d) (3 : 5)–4 14 Solución: a) 2–1 b) 5–3 c) 2–12 d) 33 13 Solución: a) 1 b) –1/7 c) 1/9 d) 9 e) 1/5 f) –1/5 g) 4/3 h) 6 1 6 3 4 12 Solución: a) 1/2 b) –1/2 c) 1/4 d) 1/4 e) 1/8 f) –1/8 11 APLICA LA TEORÍA Expresa el resultado en forma de una sola poten- cia utilizando las propiedades de las potencias: a) x2 · x3 b) x5 : x2 c) (x3)4 d) x2 · x3 · x4 Multiplica para eliminar el paréntesis: a) 3a2b(2ab2 – 5a2b3) b) 2x3y2z(3xy2z2 + 4x2yz3 – 6x3z4) Saca factor común todos los factores que puedas: a) 6a3b2 – 8a4b5 b) 18x2y5z2 + 12x2y3z3 – 6x3y3z4 Se tiene un depósito de gasoil para la calefacción, con forma de cubo cuya arista mide 2,25 m. Si el litro de gasoil de calefacción cuesta a 0,65 €, cal- cula lo que cuesta llenar el depósito. Solución: Coste: 2,253 · 1000 · 0,65 = 7403,91 € 10 Solución: a) 2a3b2(3 – 4ab3) b) 6x2y3z2(3y2 + 2z – xz2) 9 Solución: a) 6a3b3 – 15a4b4 b) 6x4y4z3 + 8x5y3z4 – 12x6y2z5 8 Solución: a) x5 b) x3 c) x12 d) x9 7
  • 3. 3. Radicales Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: Solución: PIENSA Y CALCULA 106 SOLUCIONARIO ©GrupoEditorialBruño,S.L. ¿Cuántas raíces reales tienen los siguientes radicales? a) b) c) d) e) f) Calcula mentalmente si es posible: a) b) c) d) Simplifica los radicales: a) b) c) d) Extrae todos los factores posibles de: a) b) Suma y resta los siguientes radicales: a) – + b) 5 – 3 + 4 Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones: a) … + b) … ±8 c) … + Un contenedor tiene forma de cubo. Si tiene una capacidad de 8 m3, ¿cuánto mide la arista? Solución: Arista: 3 √ — 8 = 2 m 23 Solución: a) ≠ b) = c) ≠ 3 √27 3 √8 3 √8 + 27 √100 – 36 √64√36√36 + 64 22 Solución: a) 4√ — 2 b) 13√ — 2 √8√200√98√18√32√50 21 Solución: a) 9a2c3√ — ab b) 4a2c53 √ — 2a2b2 3 √128a8b2c15√81a5bc6 20 Solución: a) 3 √ — 52 b) 3 √ — 52 c) 3 √ — 52 d) 4 √ — 53 24 √51812 √589 √566 √54 19 Solución: a) ± 5 b) –5 c) No tiene. d) –3 3 √–27√–49 3 √–125√25 18 Solución: a) Dos b) Una c) Ninguna d) Una e) Dos f) Una 3 √1√1 3 √–8 √–25√0√36 17 APLICA LA TEORÍA Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones: a) 43 … 12 b) (–7)5… –75 c) 732 … 76 d) (8 – 5)2 … 9 El disco duro de un ordenador portátil tiene 40 Gb de capacidad, y un CD-ROM, 650 Mb. ¿Cuántos CD-ROM caben en el disco duro si 1 Gb = 210 Mb? Solución: Nº de CD: 40 · 210 : 650 = 63,02 16 Solución: a) ≠ b) = c) ≠ d) = 15 Número Cuadrado o cubo perfecto 4 2 8 9 16 25 27 81 100 125 1000 Número Cuadrado o cubo perfecto 2 4 2 8 3 9 4 16 5 25 3 27 9 81 10 100 5 125 10 1000
  • 4. UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 107 ©GrupoEditorialBruño,S.L. 4. Propiedades y relaciones entre potencias y radicales Aplicando las propiedades de los radicales, expre- sa como una sola raíz: a) · b) : c) ( )2 d) Aplica las propiedades de los radicales y calcula: a) · b) : c) · d) Escribe los siguientes radicales en forma de poten- cia: a) b) c) d) Las cuatro paredes de un cuarto de baño son cua- dradas y tienen en total 324 azulejos cuadrados. Si cada azulejo mide 25 cm de lado, ¿cuánto mide de longitud cada pared? Escribe las siguientes potencias en forma de radi- cal y calcula el resultado: a) 271/3 b) 49–1/2 c) 1283/7 d) 243–2/5 Realiza las siguientes operaciones con la calcula- dora y redondea los resultados a dos decimales: a) b) c) d) – + Realiza las siguientes operaciones con la calculado- ra y redondea los resultados a dos decimales: a) 2,35 · – : 4,83 b) (9,23 – ) · 1,517 Solución: a) 575,45 b) 583669,35 √34703 √675√80 30 Solución: a) 24,15 b) 9,56 c) 2,19 d) 4,64 5 √2345 3 √805√85 7 √35 3 √875 √583 29 28 Solución: Cada pared tiene: 324 : 4 = 81 azulejos. Cada lado tiene: √ — 81 = 9 azulejos. Cada lado mide: 9 · 25 = 225 cm = 2,25 m 27 Solución: a) 31/5 b) 5–1/6 c) 35/7 d) 7–2/3 1 3 √72 7 √35 1 6 √5 5 √3 26 Solución: a) ± 6 b) ±2 c) 5 d) ±2 √3 √ — 64 3 √5 3 √25 √5√20√6√6 25 Solución: a) √ — 15 b) √ — 2 c) 3 √ — 52 d) 6 √ — 5 3 √√ — 5 3 √5 √3√6√3√5 24 APLICA LA TEORÍA Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) · b) : c) ( )3 d) Solución: a) ±35 b) ±2 c) ± 8 d) ± 2 3 √√ — 64√4√9√36√49√25 PIENSA Y CALCULA Solución: a) 3 √ — 27 = 3 b) = ± c) = ( )3 = ( )3 = 23 = 8 d) = = = = 1 9 1 32 1 (5 √35)2 1 (5 √243)2 1 5 √2432 7 √277 √128 7 √1283 1 7 1 √49
  • 5. 108 SOLUCIONARIO ©GrupoEditorialBruño,S.L. Ejercicios y problemas 1. Potencias de exponente natural Escribe en forma de potencia: a) 2 · 2 · 2 · 2 b) –2 · (–2) · (–2) c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) –3 · (–3) Calcula mentalmente: a) 33 b) (–3)3 c) (–3)4 d) 70 e) (–1)7 f) (–1)8 Calcula: a) 192 b) 0,752 c) 233 d) 1,53 Expresa el resultado en forma de una sola po- tencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 32 · 36 b) 57 : 56 c) (32)5 d) 52 · 5 · 53 Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x3 · x4 b) x7 : x4 c) (x3)5 d) x · x2 · x3 Multiplica para eliminar el paréntesis: a) 2a3b(3a2b – 6a3b3) b) 3xy2z3(4x2y3z + 5x3y – 7x5z) Saca factor común todos los factores que puedas: a) 12a4b5 – 18a3b6 b) 6x5y2z3 + 15x2y5z3 – 18x2y3z5 Calcula el número de bytes que caben en un disco duro de 50 Gb, sabiendo que: 1 Kb = 210 bytes; 1 Mb = 210 Kb; 1 Gb = 210 Mb 2. Potencias de exponente entero Calcula mentalmente en forma de fracción el re- sultado de las siguientes potencias: a) 3–1 b) (–3)–1 c) 3–2 d) (–3)–2 e) 3–3 f) (–3)–3 Calcula: a) 7–1 b) (–7)–1 c) ( ) –1 d) ( ) –1 Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 35 · 3–4 b) 24 : 2–3 c) (5–4)–3 d) 17–2 · 173 · 17–4 Solución: a) 3 b) 27 c) 512 d) 17–3 41 Solución: a) 1/7 b) –1/7 c) 3/5 d) 2 1 2 5 3 40 Solución: a) 1/3 b) –1/3 c) 1/9 d) 1/9 e) 1/27 f) –1/27 39 Solución: 50 Gb = 50 · 210 · 210 · 210 = = 50 · 230 = 5,37 · 1010 bytes 38 Solución: a) 6a3b5(2a – 3b) b)3x2y2z3(2x3 + 5y3 – 6yz2) 37 Solución: a) 6a5b2 – 12a6b4 b) 12x3y5z4 + 15x4y3z3 – 21x6y2z4 36 Solución: a) x7 b) x3 c) x15 d) x6 35 Solución: a) 38 b) 5 c) 310 d) 56 34 Solución: a) 361 b) 0,5625 c) 12167 d) 3,375 33 Solución: a) 27 b) –27 c) 81 d) 1 e) –1 f) 1 32 Solución: a) 24 b) (–2)3 c) 35 d) (–3)2 31
  • 6. UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 109 ©GrupoEditorialBruño,S.L. Aplicando la potencia de un producto o de un cociente, escribe como una sola potencia: a) 26 · 36 · 76 b) 35 : 75 c) 2–3 · 5–3 d) 5–4 : 7–4 Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones: a) 43 … 64 b) (–7)5 … 75 c) 732 … 79 d) (8 – 5)2 … 32 Un bloque de casas tiene 6 plantas, y en cada plan- ta hay 6 viviendas. Si viven de media 6 personas en cada vivienda, escribe en forma de potencia el número de personas que viven en el bloque, y cal- cula el resultado. 3. Radicales Calcula mentalmente si se puede: a) b) c) d) Simplifica los radicales: a) b) c) d) Extrae todos los factores posibles de: a) b) Suma y resta los radicales: a) 3 – 2 + b) 2 – 3 – 4 Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones: a) … b) … – c) … + Un cartón de leche es de forma cúbica y contiene dos litros. Otro cartón de 2 litros tiene forma de prisma cuadrangular y la arista de su base mide 10 cm. Calcula la superficie de ambos. ¿Cuál es menor? 4. Propiedades y relación entre potencias y radicales Aplicando las propiedades de los radicales, ex- presa como una sola raíz: a) · b) : c) ( )3 d) Solución: a) √ — 21 b) √ — 7 c) 5 √ — 73 d) 10 √ — 3 5 √√ — 3 5 √7 √2√14 √7√3 51 Solución: Arista del cubo: 3 √ — 2 = 1,26 dm = 12,6 cm Superficie del cubo: 6 · 12,62 = 952,56 cm2 Altura del prisma: 2000 : 102 = 20 cm Superficie del prisma: 2 · 102 + 4 · 10 · 20 = 1000 cm3 Es menor el área del cubo. 50 Solución: a) = b) ≠ c) ≠ 4 √81 4 √16 4 √16 + 81 √36√100√100 – 36 √100√36 + 64 49 Solución: a) 8√ — 2 b) –17√ — 2 √98√18√200 √72√50√32 48 Solución: a) 9a4bc3√ — 3bc b) 5a3b5c83 √ — b2c 3 √125a9b17c25√243a8b3c7 47 Solución: a) 3 √ — 7 b) 5 √ — 74 c) 5 √ — 73 d) 5 √ — 73 30 √71820 √71215 √7126 √72 46 Solución: a) ± 7 b) –2 c) No tiene. d) 5 3 √125 4 √–16 3 √–8√49 45 Solución: Nº = 63 = 216 personas. 44 Solución: a) ≠ b) ≠ c) = d) = 43 Solución: a) (2 · 3 · 7)6 b) (3 : 7)5 c) (2 · 5)–3 d) (5 : 7)–4 42
  • 7. 110 SOLUCIONARIO ©GrupoEditorialBruño,S.L. Ejercicios y problemas Aplica las propiedades de los radicales y calcula: a) · b) : c) · d) Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: a) b) c) d) Escribe en forma de radical las siguientes po- tencias: a) 31/5 b) 5–1/3 c) 64/5 d) 7–3/5 54 Solución: a) 21/3 b) 7–1/2 c) 32/5 d) 2–3/5 1 5 √23 5 √321 √7 3 √2 53 Solución: a) ± 9 b) ±3 c) 4 d) ±2 5 √√ — 1024 3 √16 3 √4 √5√45√3√27 52 Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes casos: a) 2x = 32 b) 34 = x c) x3 = 125 d) x3 = –8 Calcula: a) 25 + 33 + 52 b) (–2)5 + 32 – 53 c) (–2)6 + 34 – (–5)3 d) 106 – (–10)3 + 102 Calcula: a) ( )3 b) (– )3 c) ( )4 d) (– )4 Calcula: a) 5–1 b) (–5)–1 c) 223 d) (– )–1 Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 5–3 · 5–4 b) 3–4 : 3–7 c) (7–3)–5 d) 13–2 · 13–3 · 13–4 Sustituye en tu cuaderno los puntos por uno de los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones: a) 53 … 15 b) (–2)5 … –32 c) 235 … 215 d) (7 – 3)5 … 45 Calcula mentalmente: a) b) c) d) Solución: a) 5 b) –5 c) 0,1 d) –0,2 3 √–0,008 3 √0,001 3 √–125 3 √125 61 Solución: a) ≠ b) = c) ≠ d) = 60 Solución: a) 5–7 b) 33 c) 715 d) 13–9 59 Solución: a) 1/5 b) –1/5 c) 256 d) –3 1 3 58 Solución: a) 8/27 b) –8/27 c) 16/81 d) 16/81 2 3 2 3 2 3 2 3 57 Solución: a) 84 b) –148 c) 270 d) 1001100 56 Solución: a) x = 5 b) x = 81 c) x = 5 d) x = –2 55 Para ampliar Solución: a) 5 √ — 3 b) c) 5 √ — 64 d) 1 5 √73 1 3 √5
  • 8. UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 111 ©GrupoEditorialBruño,S.L. ¿Entre qué dos números enteros están las si- guientes raíces? a) b) c) d) Introduce dentro del radical los factores que están fuera: a) 32ab3c b) 23a2b5c2 c) 32ab3c4 d) 23a2bc4 Calcula el valor de x en cada uno de los siguientes casos: a) = ±5 b) = x c) = 5 d) = 2 Calcula descomponiendo en factores primos: a) b) c) 3 d) 5 Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 43/2 b) 82/3 c) 163/4 d) 324/5 Con calculadora Utilizando la calculadora, halla: a) 310 b) 7,2513 c) (3/2)15 d) π2 e) 3–5 f) (–3)8 Realiza las siguientes operaciones con la calculado- ra y redondea los resultados a dos decimales: a) b) c) d) Realiza las siguientes operaciones con la calculado- ra y redondea los resultados a dos decimales: a) 5,23 ( – ) : 7,25 b) (7,255 – ) · 1,757 Solución: a) –0,31 b) 1002023,47 3 √874658 √3217√209 69 Solución: a) 213,92 b) 20,04 c) 8,89 d) 2,15 6 √2,555 √55555 3 √8043√45760 68 Solución: a) 59049 b) 1,53 · 1011 c) 437,89 d) 9,87 e) 4,12 · 10–3 f) 6561 67 Solución: a) √ — (23)2 = ±8 b) 3 √ — (22)3 = 4 c) 4 √ — (23)4 = ±8 d) 5 √ — (24)5 = 16 66 √243 32√ 8 125 3 √3375 3 √216 65 Solución: a) x = 25 b) x = ±7 c) x = 125 d) x = 5 x √32 3 √x √49√x 64 Solución: a) √405a3b7c2 b) 3 √2 560a8b16c8 c) 4 √65610a5b15c18 d) 5 √491520a14b6c22 5 √15a4bc2 4 √10ab3c2 3 √5a2bc2 √5ab 63 Solución: a) Entre 7 y 8 b) Entre 4 y 5 c) Entre 3 y 4 d) Entre 2 y 3 5 √100 4 √93 3 √84√55 62 Solución: a) = 6 b) = 15 c) 3 = d) 5 = 3 2√35 25 2 5√23 53 3 √33 · 533 √23 · 33
  • 9. 112 SOLUCIONARIO ©GrupoEditorialBruño,S.L. Ejercicios y problemas Tenemos una finca en forma de cuadrado cuyo lado mide 14,75 m. Calcula el precio de venta sabiendo que el metro cuadrado vale 23 € Calcula el número de bytes que caben en un disco duro de 20 Gb, sabiendo que 1 Kb = 210 bytes, 1 Mb = 210 Kb y 1 Gb = 210 Mb En una tienda compran una docena de docenas de huevos. Por cada huevo han pagado 0,05 €. ¿Cuán- to han pagado por todos los huevos? Alba tiene una caja en forma de cubo llena de cani- cas.Tiene 5 canicas de largo, otras 5 de ancho y otras 5 de alto. Escribe en forma de potencia el número total de canicas y calcula el precio sabien- do que cada canica cuesta 0,15 € Tenemos 12 cajas de cocos y cada caja tiene 12 cocos. Escribe en forma de potencia el número total de cocos y halla el precio sabiendo que cada uno cuesta 1,5 € Escribe en forma de potencia el número de abue- los que tiene cada persona, y calcula el resultado. Tenemos un bloque de hielo de 1 m de largo, 20 cm de ancho y 20 cm de alto. Lo cortamos en cubitos para enfriar refrescos. Cada cubito mide 2 cm de largo, 2 cm de ancho y 2 cm de alto, y en cada refresco ponemos dos cubitos. ¿Para cuántos refrescos tendremos? Una finca cuadrada de 100 m de lado está plantada de nogales. Si cada nogal ocupa 25 m2, ¿cuántos nogales hay plantados? El patio de butacas de un teatro tiene igual núme- ro de filas que de columnas, y se venden todas las entradas para una sesión, obteniéndose 675 €. Si cada entrada cuesta 3 €, ¿cuántas filas tiene el tea- tro? Solución: Nº de entradas: 675 : 3 = 225 entradas. Nº de filas: √ — 225 = 15 filas. 78 Solución: Superficie: 1002 = 10000 m2 Nº de nogales: 10000 : 25 = 400 nogales. 77 Solución: Volumen del bloque: 100 · 20 · 20 = 40000 cm3 Volumen de cada cubito: 23 = 8 cm3 Nº de cubitos: 40000 : 8 = 5000 cubitos. Nº de refrescos: 5000 : 2 = 2500 refrescos. 76 Solución: Nº de abuelos: 22 = 4 abuelos. 75 Solución: Nº de cocos: 122 Coste: 122 · 1,5 = 216 € 74 Solución: Canicas: 53 Coste: 53 · 0,15 = 18,75 € 73 Solución: Han pagado: 122 · 0,05 = 7,2 € 72 Solución: Capacidad: 20 · 210 · 210 · 210 = 20 · 230 = 2,15 · 1010 bytes. 71 Solución: Precio: 14,752 · 23 = 5003,94 € 70 Problemas
  • 10. UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 113 ©GrupoEditorialBruño,S.L. Queremos poner baldosas en el suelo de una habitación cuadrada, y en cada lado caben 13 bal- dosas. Si cada baldosa cuesta 1,5 €, ¿cuánto cues- tan todas las baldosas que necesitamos? Una finca es cuadrada y tiene una superficie de 1369 m2. ¿Cuánto mide el lado? Un bloque de casas tiene x plantas, y en cada plan- ta hay x viviendas. Si viven x personas de media en cada vivienda, calcula el valor de x sabiendo que en la casa viven 64 personas. Para profundizar Una empresa de productos lácteos compró un cubo de leche de 1,5 m de arista. Esta leche se envasó en recipientes de 1 litro, que se vendieron a 0,85 € cada uno. Si el litro de leche se había pagado a 0,5 €, y el transporte y el coste de enva- sado habían generado un gasto de 0,15 € por litro, ¿cuál fue el beneficio? Expresa en forma de potencia de 2 el número total de cuadrados que tiene un tablero de aje- drez, sabiendo que posee 8 filas y 8 columnas. Escribe en forma de potencia el número de bisa- buelos que tiene cada persona y calcula el resul- tado. Una célula se reproduce cada hora por biparti- ción. ¿Cuántos días tardará en sobrepasar un millón? Un velero cuesta 0,5 millones de euros y se deva- lúa cada año un 18%. ¿Cuántos años tardará en valer menos de 150 000 €? Observa que si se devalúa un 18%, su valor será un 82% del precio inicial. Una caja tiene forma de cubo cuyo volumen es de 3,375 m3. Calcula su superficie. Solución: Arista: 3 √ — 3,375 = 1,5 m Superficie: 6 · 1,52 = 13,5 m2 87 Solución: 500000 · 0,82x < 150000 El menor x que lo verifica es x = 7 años. 86 Solución: 2x > 1000000 El menor x que lo verifica es x = 20 horas. Lo alcanza en el primer día. 85 Solución: Nº de bisabuelos: 23 = 8 bisabuelos. 84 Solución: Nº de cuadrados: 8 · 8 = 23 · 23 = 26 cuadrados. 83 Solución: Volumen de leche: 1,53 = 3,375 m3 = 3375 litros. Valor de la venta: 3 375 · 0,85 = 2868,75 € Valor de la compra: 3 375 · 0,5 = 1687,5 € Gastos: 3375 · 0,15 = 506,25 € Beneficio: 2868,75 – (1687,5 + 506,25) = 675 € 82 Solución: x3 = 64 ⇒ x = 3 √ — 64 = 4 81 Solución: Lado: √ — 1369 = 37 m 80 Solución: Nº de baldosas: 132 = 169 baldosas. Coste: 169 · 1,5 = 253,5 € 79
  • 11. 114 SOLUCIONARIO ©GrupoEditorialBruño,S.L. Aplica tus competencias Las potencias y los ordenadores La información se guarda en los discos de forma digi- tal, por eso cuando se copia de un disco a otro, no pierde calidad. Un byte ocupa dos posiciones. 1 Kb = 210 bytes 1 Mb = 210 Kb 1 Gb = 210 Mb Un disco de 3 1/2 tiene 1,44 Mb. Halla su capa- cidad en bytes. Un CD-ROM tiene 640 Mb. Halla su capaci- dad en bytes. El disco duro de un ordenador tiene 40 Gb. Halla su capacidad en bytes. Solución: Capacidad: 40 · 210 · 210 · 210 = 40 · 230 = 4,29 · 1010 bytes 90 Solución: Capacidad: 640 · 210 · 210 = 640 · 220 = 671088640 bytes 89 Solución: Capacidad: 1,44 · 210 · 210 = 1,44 · 220 = 1509949 bytes 88
  • 12. UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 115 ©GrupoEditorialBruño,S.L. Comprueba lo que sabes ¿Qué son radicales equivalentes? Pon un ejem- plo. Expresa el resultado en forma de una sola poten- cia utilizando las propiedades de las potencias: a) 35 · 34 b) a9 : a3 c) (xn)p d) x3 : x7 Sustituye los puntos por uno de los signos = o ≠ entre las siguientes expresiones: a) 53 … 15 b) (–6)5 … – 65 c) 352 … 310 d) (7 – 5)4 … 16 Extrae todos los factores posibles de: a) b) Suma y resta los radicales: a) 3 – 2 + b) 2 – 4 + 5 Escribe en forma de radical las siguientes poten- cias y calcula el resultado: a) 251/2 b) 125–1/3 c) 163/4 d) 32–2/5 El disco duro de un ordenador portátil tiene una capacidad de 40 Gb, y un CD ROM, de 650 Mb. ¿Cuántos CD ROM caben en el disco duro si 1 Gb = 210 Mb? Una finca tiene forma de cuadrado. Si se vende a razón de 3,6 €/m2 y se han obtenido por la ven- ta 3 802,5 €, ¿cuánto mide de lado la finca? Solución: √ — 3802,5 — : 3,6 = 32,5 m 8 Solución: Nº de CDs: 40 · 210 : 650 = 63,02 7 6 Solución: a) 12√ — 2 – 10√ — 2 + 6√ — 2 = 8√ — 2 b) 10√ — 3 – 12√ — 3 + 10√ — 3 = 8√ — 3 √12√27√75 √72√50√32 5 Solución: a) 9a2c3√ — ab b) 2a2 c43 √ — 22 a2 b2 3 √32a8b2c12√81a5bc6 4 Solución: a) ≠ b) = c) ≠ d) = 3 Solución: a) 39 b) a6 c) xn · p d) x–4 2 Solución: Dos radicales son equivalentes si tienen las mismas raíces. Si en un radical multiplicamos el índice y el expo- nente por el mismo número, obtenemos otro radical equivalente. Ejemplo 3 √ — 52 = 6 √ — 54 = 9 √ — 56 = 12 √ — 58 = … = 2,92… 1 Solución: a) = ± 5 b) = c) = ± 8 d) = 1 4 1 5 √322 4 √163 1 5 1 3 √125 √25
  • 13. 116 SOLUCIONARIO ©GrupoEditorialBruño,S.L. Calcula: ( )5 Calcula: 7,285 Calcula: Calcula: Suma y resta los siguientes radicales: 4 – 7 + 5 Calcula: 1,57 ( – ) Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE o Wiris: Se tiene un depósito de gasóil para la calefac- ción, con forma de cubo cuya arista mide 2,25 m. Si el litro de gasóil de calefacción cuesta 0,65 € el litro, calcula lo que cuesta llenar el depósito. Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. 98 Solución: Resuelto en el libro del alumnado. 97 Solución: Resuelto en el libro del alumnado. 5 √678√83 96 Solución: Resuelto en el libro del alumnado. √18√8√50 95 Solución: Resuelto en el libro del alumnado. 7 √865 94 Solución: Resuelto en el libro del alumnado. √12607,25 93 Solución: Resuelto en el libro del alumnado. 92 Solución: Resuelto en el libro del alumnado. 3 4 91 Paso a paso Windows Derive
  • 14. UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES 117 ©GrupoEditorialBruño,S.L. Calcula las siguientes potencias: a) (2/3)6 b) (–2/3)7 Calcula las siguientes potencias: a) 264 b) 239,725 Calcula: a) b) Calcula: a) b) Suma los radicales: a) 7 – 2 + 5 b) 9 – 5 + 3 Calcula y luego redondea mentalmente a dos decimales: a) b) + c) + 5,27 d) (73,53 – 55,35)2 · Escribe las expresiones numéricas correspondientes a los siguientes enunciados y halla el resultado: El número 23,45 elevado al cuadrado, menos la raíz cuadrada de 825,83 El número 1,5 elevado a la quinta, menos la raíz cuadrada de 1,83, más la raíz cúbica de 2,5 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE o Wiris: Queremos vender los chopos de una finca que tiene 54 filas y 54 columnas, al precio de 54 € cada chopo. Expresa en forma de potencia el valor de los chopos y halla el resultado. Calcula la arista de un depósito de forma cúbica que ha costado llenarlo de leche 3 215,625 €, si el litro de leche se ha pagado a 0,6 € Calcula el número de bytes que caben en un CD-ROM de 650 Mb, sabiendo que: 1 Kb = 210 bytes y 1 Mb = 210 Kb Solución: Capacidad: 650 · 210 · 210 = 681574400 bytes. 109 Solución: Arista: 3 √ — 3215, — 625/0,6 = 17,5 dm = 1,75 m 108 Solución: Valor: 543 = 157464 € 107 Solución: 1,55 – √ — 1,83 + 3 √ — 2,5 = 7,598183881 106 Solución: 23,452 – √ — 825,83 = 521,1652419 105 Solución: a) 23,43 b) 30,45 c) 1,03 · 105 d) 8,18 · 1011 5 √3760 5 √45,52 – 7,253 √75,47√473,5 √473,5 + 75,47 104 Solución: a) 76√ — 2 b) 44√ — 3 √12√75√147 √162√8√50 103 Solución: a) 17 b) 3,849417183 5 √845,23 3 √4913 102 Solución: a) 1,732050807 b) 16,007998 √256,256√3 101 Solución: a) 18446744073709551616 b) 7,916283613 · 1011 100 Solución: a) 64/729 b) –128/2187 99 Linux/Windows Practica