Este documento presenta información sobre multiplicación y división de números enteros. Explica cómo calcular productos y cocientes de números enteros teniendo en cuenta la regla de los signos. También incluye ejemplos de cómo resolver operaciones combinadas aplicando la jerarquía correcta. Finalmente, proporciona ejercicios para que los estudiantes desarrollen sus destrezas en estas operaciones.

1. PROFESORA: GLADYS MORENO
PRIMER PERIODO
MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS
Desde las 8:00 am a un tanque vacío se le vierten 28 Litros de agua cada hora y se les
extraen simultáneamente 5L. ¿Cuántos litros de agua habrá en el tanque a las 11:00 am?
Una de las maneras para averiguar cuantos litros de agua habrá en el tanque a las 11:00
am, consiste en hacer el cálculo de los litros que se vertieron durante tres horas y a esta
cantidad, restarle la cantidad de litros que se extrajeron en ese mismo tiempo.
Se debe realizar un producto de 3.28 = 84, lo que quiere decir que después de las 3 horas
se habrán depositado 84L de agua.
Por otra parte, se realiza un producto de 3.5 = 15L de agua. Lo que indica que al cabo de
3 horas habrán salido del tanque 15L de agua
Finalmente, para calcular la cantidad de litros que habrá en el tanque a las 11:00 am se
realiza la resta.
84L-15L = 69L
Para calcular el producto de dos números enteros debemos tener en cuenta:
- Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es positivo:
+.+ = +
-.- = +
Ejemplo: (el punto en la multiplicación significa por)
(-8).(-2)= 16 (-3).(-5)= 15 7.3= 21 4.10= 40
- Si dos números enteros tienen diferente signo su producto es negativo
+.- = -
-.+ = -
Ejemplo:
(-7).2= (-14) 10.(-8)= (-80) (-15).3= (-45) 3.(-2)= (-6)
Ejercicios
Hallar el producto
(-5).(-2).3 = 30 porque -.- da + y +.+ = +
(-1).4.6 = (-24) porque -.+ da – y -.+ = -
(-10).(-10).(-3) = (-300) porque -.- da + y +.- = -

2. Si la temperatura en un día es 13°C y la triplicamos. ¿Cuál será el resultado?
Solución:
13°C.3 -= 39°C entonces la nueva temperatura será 39°C
Juan tiene una deuda de $2000 si se va a jugar y en el juego la deuda se le cuadruplica.
¿Cuanto está debiendo Juan en total?
Seria (-2000).4 = (-8000) lo que quiere decir que Juan está debiendo $8000 en total
Desarrolla tus destrezas
1- Calcula los siguientes productos:
a- (-8).(-4) b- (-31).(-4) c- (-13).(-42) d- (-23).(-10)
e- 42.(-7) f- 4.9 g- 6.(-15) h- 100.0
2- Completa la siguiente tabla:
Numero (-12) (-6) (-13) 21 32 (-4)
Doble
Triple
Cuádruplo
3- Indica si cada afirmación es verdadera V o si es falsa F
a- El producto de dos enteros positivos es positivo ( )
b- El producto de dos enteros negativos es negativo ( )
c- El producto de un entero negativo con cero nos da un entero negativo( )
d- El producto de un entero positivo con un negativo de positivo ( )
e- El producto de un entero negativo con un entero positivo da negativo ( )
4- Encuentra y corrige el error en las siguientes multiplicaciones de números enteros:
5- a- (-1).4.(-17).(8.5)
= (-68).40
= (-2720)
b- ((-5(.4.(-7).(-8)).(-3)
= 1120.(-3)
= 3360
DIVISION EXACTA DE NUMEROS ENTEROS
En cierto experimento científico se debe disminuir la temperatura de una
sustancia a razón de 13°C por cada hora. Si el experimento da inicio con una
temperatura de 0°C.
¿Cuántas horas habrán transcurrido cuando la temperatura alcanza los 78°C
bajo cero?
Para resolver la situación, se puede dividir la temperatura final entre la
cantidad de grados Celsius entre los que disminuye la temperatura cada hora.
(-78) ÷ (-13) = 6

3. Este resultado significa que habrán transcurrido 6 horas desde el inicio del experimento
hasta alcanzar la temperatura final.
Para calcular el cociente de dos números enteros, se divide el valor absoluto del
dividendo entre el valor absoluto del divisor. El cociente es positivo si el dividendo y el
divisor tienen el mismo signo, y es negativo si dichos términos tienen diferente signo.
La regla de los signos en la división en los números enteros es la misma que en la
multiplicación de números enteros:
El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo.
+ ÷ + = + - ÷ - = +
El cociente de dos números enteros de diferente signo es negativo
+ ÷ - = - - ÷ + = -
Ejemplo:
18 ÷ (-6) = (-3), ya que (-6).(-3) = 18
(-45) ÷ (-9) = 5, ya que (-9).5 = (-45)
(-96) ÷ 8 = (-12), ya que 8.(-12) = (-96)
108 ÷ 12 = 9, ya que 12.9 = 108
Si se sabe que el producto de dos números es 156 y uno de los factores es (-12), para
averiguar Cuál es el otro factor se efectúa la división
156 ÷ (-12) = (-13)
Si un buzo se sumerge en el mar 15m cada hora, se puede averiguar cuánto tiempo ha
transcurrido si el buzo se encuentra a (-75)m efectuando la siguiente división
(-75) ÷ (-15) = 5
Según lo anterior han transcurrido 5horas.
Desarrolla tus destrezas
1- Calcula los cocientes
144 ÷ (-12) b- (-82) ÷ 2 c- (-26) ÷ (-2) d- 18 ÷ (-6)
(-20) ÷ 4 f- (-12) ÷ (-12) g- 35 ÷ (-7) h- (-190) ÷ (-10)
2- Indica si cada afirmación es verdadera V o falsa F
a- Todo número entero dividido por otro entero siempre da un numero entero ( )
b- Si el dividendo es múltiplo del divisor el resultado siempre es un numero entero ( )
c- Si divido u número entero positivo entre un numero entero negativo el cociente es
un numero entero positivo ( )
d- Si divido dos números enteros del mismo signo el cociente es positivo ( )
e- Si divido dos números enteros negativos el cociente es negativo ( )

4. 3- Resuelva los siguientes problemas
a- ¿Qué cociente se obtiene al dividir el cuádruplo de (-12) entre (-6)?
b- Un buzo se sumerge a una velocidad de 20m por minuto. ¿Cuantos minutos
tarda en alcanzar 900m de profundidad?
c- Thomas tiene una deuda de $120000 que debe pagar en 24 cuotas mensuales
iguales. ¿Cuánto debe pagar Thomas mensualmente?
d- Un avión se aproxima a tierra perdiendo 12000 pies de altura en 15 minutos.
¿Qué altura pierde el avión en cada minuto?
e- Una piscina tiene 2056 Litros de agua. Si se vacía a razón de 257L por hora.
¿Cuántas horas demorara en vaciarse?
Operaciones Combinadas con los Números Enteros
Para resolver operaciones combinadas con números enteros, se les da
prioridad a algunas operaciones con respecto a otras; es decir existe una
jerarquía de las operaciones que indica el orden en que estas deben ser
efectuadas.
Para efectuar operaciones combinadas con números enteros, se sigue este
orden:
1- Se resuelven multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
2- Se resuelven las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
Ejemplo:
15 + 18 ÷ (-3) se resuelve primero la división
= 15 + (-6) se resuelve luego la suma de los números enteros
= 9 este sería el resultado final
Otro:
12 + 3.18 – 29 primero se resuelve la multiplicación
= 12 + 54 – 29 se resuelve luego la adición y sustracción
= 37
Otro
96 ÷ 4 – 2.(-9) se resuelve primero la división y luego la multiplicación
= 24 +18 se efectúa la adición
= 42
Otro
(-7).(-4) + 9.(-3) se resuelven las multiplicaciones
= 28 -27 se efectúa luego la sustracción
= 1
Ten en cuenta: un polinomio aritmético es una expresión en las que intervienen varias
multiplicaciones y/o divisiones ligadas por los signos + y –

5. Cuando en un polinomio hay dos o más operaciones del mismo orden, estas se efectúan
según aparezcan de izquierda a derecha.
Ejemplo: (-30) ÷ 5.3 se realiza primero la división
= (-6).3 luego se realiza la multiplicación
= (-18)
Resolver la siguiente operación
2 + 20 ÷ 5 +5.3 + 4 – 5.4 – 8 + 4.2 – 16 ÷4
= 2+ 4 + 15 + 4 – 20 – 8 + 8 – 4
= 2 + 4 + 15+ 4 +8 -20 – 8 - 4
= 33 – 32
= 1
Operaciones con Paréntesis
Cuando hay operaciones combinadas en las que aparecen signos de agrupación, el orden
para resolver es el siguiente:
1- Se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis. Si hay unos
dentro de otros, se empieza por los internos.
2- Se efectúan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
3- Se realizan las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
Ejemplo:
(15- 6) + 3 - [(20 – 5.2) + (5 + 24 -÷ 4 ) ] - (-3)
= (15 – 6) +3 - [(20 – 10) + (5 + 6) ] – (-3) se aplicó el producto y la división
= 9 + 3 - [10 + 11 ] - (-3) se aplicólajerarquíade lasoperacionesconlos paréntesis
= 9 + 3 – 21 – (-3) se resolvióoperaciones concorchetes
= 9 +3 -21 + 3 porque –(-) es+ se eliminaronlossignosde agrupación
= (-6) se efectuaron adiciónysustracción
Desarrolla tus destrezas
Realizacadaoperaciónteniendoencuentalajerarquía
a (-15).2 –(-16) ÷ (-8) b (-12) + (-9).6 ÷ (-2) c 7 -3. (-4)- 27 ÷(-9)
d (-45) –(-49) ÷7.(-6) e (-20) + 6.(-5) ÷ (-2-9 f 54 ÷ (-3).2 – 9.(-4)
Calcula el resultado de cada operación
a (3 – 8) + [5 – (-2) ] b 5 - [63 – 2 – (12 – 8) – 3 + 6 ] c 18 ÷ [12 ÷(-2) ]
d (5 + 3.2 ÷6 – 4).(4÷2 – 3 + 6) e (7-2+ 4)- (-2+5) f (-12).3 +18 ÷(-12÷6 + 8)
Nota: en hojas cuadriculadas desarrollatus destrezasy las presentacomo trabajo

6. Segundo periodo
En geometría
Clasificación de Polígonos según el número de lados
Según su número de lados los polígonos se clasifican como esta en la siguiente tabla
Para calcular la cantidad de diagonales
de un polígono de n lados se utiliza la
fórmula: n.(n -3)/2
Ejemplo si el polígono tiene 9 lados, el
nonágono tiene
9.(9 -3)/2 = 9.6/2 = 27 diagonales
La suma de los ángulos interiores de un
polígono de n lados se puede
determinar mediante la fórmula:
(n -2).180°, es así como la suma de los
ángulos interiores de un hexágono
será: (6 -2).180° =720°
A partir de la formula anterior se puede llegar a deducir que cada uno de los ángulos
interiores de u n polígono regular de n lados mide: (n -2).180°/n. esto significa que la
medida de cada ángulo interior de un hexágono regular es (6 – 2).180°/6 = 120°
Desarrolla tus destrezas
1- Responde teniendo en cuenta la fórmula para hallar la suma de los ángulos
interiores de un polígono de n lados, las siguientes preguntas.
a. Cuál es la suma de los ángulos interiores de u decágono
b. Cuanto mide cada ángulo interior de un nonágono regular
2- Indica si cada afirmación es verdadera V o falsa F
a. El rombo es un polígono regular
b. El cuadrado es un polígono irregular
c. El cuadrado tiene dos diagonales congruentes
d. Un polígono es cóncavo
3- Completa la siguiente tabla

7. CUADRILATEROS
Son polígonos de 4 lados, en estos se identifican pares de lados opuestos (que no
tienen puntos en común) y pares de lados consecutivos (que tienen un punto en
común, vértice)
En un cuadriláteros dos angulos son opuestos si solo comparten dos vértices del
cuadrilátero y consecutivos si comparten un lado del cuadrilátero.
En el cuadrilátero se identifican los siguientes elementos
Los vértices, puntos (P,Q,R,S)
Los lados PQ , QR, RS, PS
Las diagonales PR y QS
Los lados opuestos PQ y RS, PR y QS
Los pares de los lados consecutivos (PQ y QR,
RS y SP son algunos de ellos)
Los angulos interiores del cuadrilátero (∡P, ∡Q, ∡R, ∡S), con 360° como la suma de sus
medidas: 60° + 90° +90° +120°= 360°.
Los angulos opuestos: (∡S, ∡Q) y los angulos consecutivos (∡S y ∡P)
Los cuadrilateros se clasifican en Paralelogramos, trapecios y trapezoides
Paralelogramos
Un paralelogramo es un
cuadrilátero cuyos pares de lados
opuestos son paralelos.
Los cuadriláteros de la tabla son
paralelogramos
Polígono regular Numero de
diagonales
Suma de las medidas de los
ángulos interiores
Medida de cada
Angulo interior
Triangulo
equilátero
0 180 60
cuadrado 2 360 90
pentágono
hexágono
heptágono
octágono
nonágono
decagono

8. Propiedades de los Paralelogramos
1- La diagonal de un paralelogramo define dos triángulos congruentes
2- Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes
3- Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes
4- Las diagonales de un paralelogramo no se intersecan en un punto medio
5- Pares de ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios, es decir
suman 180°
Ejemplo
La figura muestra el paralelogramo PQRS, con m∡P=
120°. Como el ángulo Q es suplemento con el ángulo
P, entonces:
m∡Q = 180° - 120° = 60°
El ángulo S es el suplemento del ángulo Q, por tanto
m ∡S= 180° - 60° = 120°
Como los ángulos opuestos de un paralelogramo son
congruentes, se tiene que
m∡R = m∡Q = 60°
Trapecios
El trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente dos lados paralelos
denominados bases. A la distancia entre las bases se denomina altura
Los trapecios se clasifican como:
. Trapezoides
Los
trapezoides son cuadriláteros que no tienen pares de lados paralelos.
Los trapezoides se clasifican en simétricos y asimétricos

9. Desarrolla tus destrezas
1- Observa la figura que está compuesta por el cuadrilátero DFEB y el triángulo ADB
¿Cuánto mide el ángulo E y el ángulo D?
1- Indica cual afirmación es verdadera V o falsa F. dibuja la figura que crea pertinente
a. En todo paralelogramo siempre se cumple que los ángulos consecutivos son
suplementarios (suman 180°) ( )
b. Al unir los puntos medios de los lados de un rombo se obtiene un cuadrado ( )
c. Si en un cuadrilátero las diagonales son perpendiculares, el cuadrilátero es un
cuadrado ( )
d. Todos los ángulos de un cuadrado miden 90°( )
e. Las diagonales de un rectángulo son diagonales entre si ( )
f. Todo romboide es un rombo ( )
g. Los ángulos consecutivos de un rombo son congruentes( )
Numeros racionales
https://www.youtube.com/watch?v=ypr7pXu7zsw
Después de verel video
Definaque son números racionalesyescriba5 ejemplos
de que consta una fracciónescribalaspartesde lafracción yrepresente gráficamente 3/4,1/5,
7/2, 8/4, 1/2,6/3, 2/3
Escriba lasclasesde números decimales, defínalas yde ejemplos
Será que un númerodecimal esunnumeroracional?Justifique

10. Cuálessonlasclasesde números decimalesyescribaunosejemplos
¿Un númeroracional se puede expresarcomofracciónycomo decimal?
¿Seráque un númeronatural serátambiénnúmeroracional? Justifique
¿Todonúmeroenteroseránúmeroracional?
¿Todonúmeroracional seránúmeroentero?
Comose simplificanlos números racionales, explíqueloconvariosejemplos
Comose sumanlos números racionales,escribaunosejemplos
Comose multiplicanlosnúmerosracionales,de ejemplos
Comose dividenlosnúmerosracionales,de ejemplos
Nota: desarrolla tus destrezasenhojas cuadriculadas y las presentacomo trabajo