El Teorema Central del Límite establece que la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal cuando la muestra sea suficientemente grande. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, más se aproximará la media muestral a la media de la población. El Teorema también indica que la varianza de la distribución de las medias muestrales será igual a la varianza de la población dividida entre el tamaño de la muestra.

1. Teorema Central del
Límite (TCL)
ANDRÉS GÓMEZ
JOHN CHERREZ

2. Definición
El teorema central del límite (TCL)
es una teoría estadística que
establece que, dada una muestra
aleatoria suficientemente grande
de la población, la distribución de
las medias muestrales seguirá
una distribución normal.
Además, el TCL afirma que a
medida que el tamaño de
la muestra se incrementa, la media
muestral se acercará a la media de
la población.

3. Principales propiedades del Teorema central del límite
Utilidad en el ámbito estadístico y probabilístico.
Si el tamaño de la
muestra es
suficientemente grande,
la distribución de las
medias muestrales
seguirá
aproximadamente una
distribución normal.
Propiedades
La varianza de la
distribución de las
medias muestrales será
σ²/n. Que es la varianza
de la población
dividido entre el
tamaño de la muestra.
La media poblacional y la
media muestral serán iguales.
Es decir, la media de la
distribución de todas las
medias muestrales será igual
a la media del total de la
población.
El TCL considera una muestra como grande cuando el tamaño de la
misma es superior a 30. Por tanto, si la muestra es superior a 30, la
media muestral tendrá una función de distribución próxima a una
normal.

4. Ejemplos de distribución normal
Los tres paneles muestran los histogramas de 1000 muestras extraídas al azar para
diferentes tamaños de muestra: n=10, n= 25 y n=50. A medida que aumenta el
tamaño de la muestra, y el número de muestras tomadas se mantiene constante, la
distribución de las medias de 1000 muestras se acerca más a la línea suave que
representa la distribución normal.

5. Es para una distribución normal de las observaciones individuales y esperaríamos que la
distribución de muestreo convergiera en la normal rápidamente. Los resultados muestran que,
incluso con un tamaño de muestra muy pequeño, la distribución se aproxima a la distribución
normal.

6. Una distribución uniforme que, de forma un poco sorprendente, se acerca
rápidamente a la distribución normal incluso con solo una muestra de 10.

7. Es una distribución sesgada. Esta última podría ser una exponencial, geométrica o binomial con una
pequeña probabilidad de éxito creando el sesgo en la distribución.
Sin embargo, con un tamaño de muestra de 50, que no se considera muy grande, la distribución de las
medias muestrales ha adquirido muy decididamente la forma de la distribución normal.