El documento presenta un proceso detallado para calcular datos agrupados en intervalos y obtener medidas de tendencia central como la media aritmética, desviación media, varianza y desviación estándar. Se expone el cálculo de intervalos, frecuencias y la representación de datos, destacando la importancia de la precisión y el uso de marcas de clase. Además, se menciona que en futuras presentaciones se abordarán gráficos y la contextualización de los datos obtenidos.

1. Datos agrupados
G. Edgar Mata Ortiz

2. Introducción
En esta serie de 4 presentaciones se construye una
tabla de datos agrupados paso por paso.
El objetivo es mostrar detalladamente las
operaciones aritméticas necesarias para resumir un
conjunto de datos, agrupándolos en 10 intervalos.
Se incluye el cálculo de intervalos aparentes y
reales además de las medidas de tendencia central
y dispersión más usuales. Lim. Inferior Lim. Superior
Totales
=
Desviación media =
=
=
Frecuencias
Medidas de tendencia central y
dispersión
Clases o categorías
Intervalos
Marcas de
clase
ix if ifa ifr ifra i if x i ix x f  
2
i ix x f

3. Datos agrupados
Procedimiento para datos agrupados
En esta última sección, vamos a calcular algunas
medidas de tendencia central y dispersión:
- Media aritmética
- Desviación media
- Varianza
- Desviación estándar

4. Datos agrupados
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 81 52 81 64 83 79 77 74 79 70 77 77 62 67 81
2 71 68 71 85 65 91 51 61 80 82 63 91 71 74 78
3 86 65 66 56 73 75 83 62 70 60 68 86 66 83 75
4 67 45 78 77 83 65 89 54 60 69 75 66 73 72 68
5 86 76 48 66 67 74 58 70 60 49 88 56 68 90 75
6 74 70 85 73 76 66 72 87 69 70 66 70 55 88 70
7 71 80 70 75 76 69 71 77 72 63 64 56 57 66 80
8 75 74 90 89 81 64 62 91 61 62 64 58 72 69 59
9 75 71 79 86 74 74 75 81 67 97 54 73 80 63 70
10 63 67 49 100 66 79 71 77 75 60 66 58 72 57 60

5. Datos agrupados
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
62 67 79 71 79 65 70 84 62 73 87 65 72 65 92
72 59 60 66 63 83 65 87 62 79 89 51 70 70 56
54 62 82 78 64 76 71 71 73 53 68 85 77 68 72
67 77 42 80 68 64 73 55 79 43 58 74 78 79 57
67 66 75 77 66 73 76 70 54 90 61 62 90 81 81
66 83 69 72 65 85 74 79 59 72 78 67 81 77 57
78 54 77 77 79 75 75 62 73 80 53 89 59 67 78
81 65 62 63 85 68 74 75 61 60 62 50 94 77 91
65 80 73 81 50 75 89 71 59 79 83 80 92 69 57
75 69 60 73 62 83 72 66 85 61 52 86 55 83 80

6. Datos agrupados
En las tres presentaciones anteriores se llevaron a
cabo los primeros diez pasos.
Se calcularon los intervalos aparentes y reales, las
marcas de clase y las frecuencias; absoluta,
acumulada, relativa y relativa acumulada.
Lim. Inferior Lim. Superior
Totales
=
Desviación media =
=
=
Frecuencias
Medidas de tendencia central y
dispersión
Clases o categorías
Intervalos
Marcas de
clase
ix if ifa ifr ifra i if x i ix x f  
2
i ix x f

7. Datos agrupados
Marcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
Límite Límite clase absoluta acumulada relativa rel. acumulada
inferior superior
40.5 46.5 43.5 3 3 0.010000 0.010000
46.5 52.5 49.5 9 12 0.030000 0.040000
52.5 58.5 55.5 23 35 0.076667 0.116667
58.5 64.5 61.5 43 78 0.143333 0.260000
64.5 70.5 67.5 62 140 0.206667 0.466667
70.5 76.5 73.5 63 203 0.210000 0.676667
76.5 82.5 79.5 53 256 0.176667 0.853333
82.5 88.5 85.5 26 282 0.086667 0.940000
88.5 94.5 91.5 16 298 0.053333 0.993333
94.5 100.5 97.5 2 300 0.006667 1.000000
Intervalos reales
 La última frecuencia relativa acumulada debe ser igual a uno.

8. Datos agrupados
Undécimo paso: Determinar la media aritmética de
los datos: 𝒙
Para este undécimo paso vamos a agregar una
columna en la que se multipliquen las marcas de
clase por las frecuencias absolutas
correspondientes: 𝒇𝒊 𝒙𝒊
En este punto es donde se pierde algo de exactitud.
Marcas de Frecuencias
Límite Límite clase F. absoluta
inferior superior
40.5 46.5 43.5 3
Intervalos reales

9. Datos agrupados
Se pierde algo de exactitud en los cálculos porque:
Si se multiplica la frecuencia absoluta por la marca
de clase es como si sumáramos todos los datos
pero considerando que todos los valores dentro de
cada intervalo son iguales a su marca de clase.
Marcas de Frecuencias
Límite Límite clase F. absoluta
inferior superior
40.5 46.5 43.5 3
Intervalos reales Los valores encontrados dentro del
primer intervalo fueron: 42, 43 y 45.
Si los sumamos: 42+43+45 = 130
Al multiplicar 43.5x3 = 130.5
Evidentemente no son iguales:
130 ≠ 130.5
Se considera que el error no es
significativo.

10. Datos agrupados
Undécimo paso: Determinar la media aritmética de
los datos: 𝒙
Esta pérdida de exactitud es suficientemente
pequeña como para permitirnos usar los resultados
con confianza.
Si calculamos la media aritméticas sin agrupar
datos, sumando uno por uno y dividiendo entre 300
es: 71.18333
En cambio, el resultado que obtenemos al agrupar
datos es: 71.36

11. Datos agrupados
Marcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
clase absoluta acumulada relativa rel. acumulada
43.5 3 3 0.010000 0.010000 130.50
49.5 9 12 0.030000 0.040000 445.50
55.5 23 35 0.076667 0.116667 1276.50
61.5 43 78 0.143333 0.260000 2644.50
67.5 62 140 0.206667 0.466667 4185.00
73.5 63 203 0.210000 0.676667 4630.50
79.5 53 256 0.176667 0.853333 4213.50
85.5 26 282 0.086667 0.940000 2223.00
91.5 16 298 0.053333 0.993333 1464.00
97.5 2 300 0.006667 1.000000 195.00
Suma = 21408.00
Media aritmética: 71.36

12. Datos agrupados
Undécimo paso: Determinar la media aritmética de
los datos: 𝒙
Si calculamos la media aritméticas sin agrupar
datos, sumando uno por uno y dividiendo entre 300
es: 71.18333
Aplicando el proceso de datos agrupados la media
aritmética fue: 71.36
Existe diferencia pero no es significativa.

13. Datos agrupados
Undécimo paso: Determinar la media aritmética de
los datos: 𝒙
La media aritmética nos indica el punto medio de
los datos, es una medida de tendencia central.
Existen otras medidas de tendencia central como la
mediana y la moda.
Consulta el procedimiento para obtenerlas

14. Datos agrupados
Duodécimo paso: Determinar la desviación media
de los datos: 𝐷 𝑥
Para estudiar un conjunto de datos no es suficiente
con conocer su tendencia central.
Se necesita determinar la dispersión de los datos,
es decir, que tanto se alejan de la media aritmética.
Un valor que nos indica esta dispersión es la
desviación media de los datos.

15. Datos agrupados
Duodécimo paso: Determinar la desviación media
de los datos: 𝐷 𝑥
Esta desviación media es el promedio de las
distancias de cada dato respecto a la media,
aunque en datos agrupados, ya vimos que se usa
la marca de clase para representar todos los datos
dentro de un intervalo.
El procedimiento es:
i ix x f

16. Datos agrupados
Duodécimo paso: Determinar la desviación media
de los datos: 𝐷 𝑥
i ix x f Diferenciaabsolutaentre
cadamarcadeclase ylamedia por
la frecuenciaabsoluta
 

17. Datos agrupados
Duodécimo paso: Determinar la desviación media
de los datos: 𝐷 𝑥
Para los primeros dos intervalos es:
La tabla siguiente incluye esta columna.
 43.5 71.36 3 27.86 3 27.86 3 83.58i ix x f         
 49.5 71.36 9 21.86 9 21.86 9 196.74i ix x f        

18. Datos agrupados
Marcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
clase absoluta acumulada relativa rel. acumulada
43.5 3 3 0.010000 0.010000 130.50 83.58
49.5 9 12 0.030000 0.040000 445.50 196.74
55.5 23 35 0.076667 0.116667 1276.50 364.78
61.5 43 78 0.143333 0.260000 2644.50 423.98
67.5 62 140 0.206667 0.466667 4185.00 239.32
73.5 63 203 0.210000 0.676667 4630.50 134.82
79.5 53 256 0.176667 0.853333 4213.50 431.42
85.5 26 282 0.086667 0.940000 2223.00 367.64
91.5 16 298 0.053333 0.993333 1464.00 322.24
97.5 2 300 0.006667 1.000000 195.00 52.28
Suma = 21408.00 2616.80
Media aritmética: 71.36
Desviación media: 8.72266667𝐷 𝑥

19. Datos agrupados
Decimotercer paso: Determinar la varianza y la
desviación estándar de los datos: s2 y s
Posteriormente abordaremos el tema de media,
varianza y desviación estándar de una muestra y
una población.
El procedimiento está dado por:
 
2
i ix x f

20. Datos agrupados
Decimotercer paso: Determinar la varianza y la
desviación estándar de los datos: s2 y s
 
2
i ix x f El cuadradodela diferencia
decada marca declase yla media por
la frecuencia absoluta
 

21. Datos agrupados
Decimotercer paso: Determinar la varianza y la
desviación estándar de los datos: s2 y s
Para los primeros dos intervalos:
Agregamos una columna más a la tabla.
 
2
2
(43.5 71.36) 3 (776.1976)3 2328.5388i ix x f     
 
2
2
(49.5 71.36) 3 (477.8596)9 4300.7364i ix x f     

22. Datos agrupados
Marcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
clase absoluta acumulada relativa rel. acumulada
43.5 3 3 0.010000 0.010000 130.50 83.58 2328.5388
49.5 9 12 0.030000 0.040000 445.50 196.74 4300.7364
55.5 23 35 0.076667 0.116667 1276.50 364.78 5785.4108
61.5 43 78 0.143333 0.260000 2644.50 423.98 4180.4428
67.5 62 140 0.206667 0.466667 4185.00 239.32 923.7752
73.5 63 203 0.210000 0.676667 4630.50 134.82 288.5148
79.5 53 256 0.176667 0.853333 4213.50 431.42 3511.7588
85.5 26 282 0.086667 0.940000 2223.00 367.64 5198.4296
91.5 16 298 0.053333 0.993333 1464.00 322.24 6489.9136
97.5 2 300 0.006667 1.000000 195.00 52.28 1366.5992
Suma = 21408.00 2616.80 34374.12
Media aritmética: 71.36
Desviación media: 8.72266667
Varianza: 114.5804
Desviación estándar: 10.70422347
Medidas de tendencia central y
dispersión
𝐷 𝑥

23. Datos agrupados
En la siguiente diapositiva podemos ver la tabla
completa.
En posteriores presentaciones abordaremos el
tema de la representación gráfica de los datos.
Además es necesario contextualizar la información
para interpretar las tablas y gráficas obtenidas en
estas cuatro presentaciones.

24. Datos agrupados
Marcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
Límite Límite clase absoluta acumulada relativa rel. acumulada
inferior superior
40.5 46.5 43.5 3 3 0.010000 0.010000 130.50 83.58 2328.5388
46.5 52.5 49.5 9 12 0.030000 0.040000 445.50 196.74 4300.7364
52.5 58.5 55.5 23 35 0.076667 0.116667 1276.50 364.78 5785.4108
58.5 64.5 61.5 43 78 0.143333 0.260000 2644.50 423.98 4180.4428
64.5 70.5 67.5 62 140 0.206667 0.466667 4185.00 239.32 923.7752
70.5 76.5 73.5 63 203 0.210000 0.676667 4630.50 134.82 288.5148
76.5 82.5 79.5 53 256 0.176667 0.853333 4213.50 431.42 3511.7588
82.5 88.5 85.5 26 282 0.086667 0.940000 2223.00 367.64 5198.4296
88.5 94.5 91.5 16 298 0.053333 0.993333 1464.00 322.24 6489.9136
94.5 100.5 97.5 2 300 0.006667 1.000000 195.00 52.28 1366.5992
Suma = 21408.00 2616.80 34374.12
Media aritmética: 71.36
Desviación media: 8.72266667
Varianza: 114.5804
Desviación estándar: 10.70422347
Medidas de tendencia central y
dispersión
Intervalos reales
𝐷 𝑥

25. Gracias por su atención
licmata@hotmail.com
http://licmata-math.blogspot.com/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata