Este documento presenta el Teorema de Bayes y lo aplica para resolver dos problemas. En el primer problema, se calcula la probabilidad de que un motor seleccionado al azar sea defectuoso basado en las tasas de defectos de tres máquinas ensambladoras. En el segundo problema, se calcula la probabilidad de que un producto defectuoso haya sido ensamblado por una máquina en particular. El documento explica el Teorema de Bayes y lo aplica para resolver ambos problemas.

1. TEOREMA DE
BAYES
Probabilidad y Estadística

2. PROBLEMA 1 (INTRODUCTORIO)
 En la Compañía Armadora del Norte, 3
máquinas automatizadas B1, B2, B3,
ensamblan 28%, 34% y 38% de los
motores de combustión interna,
respectivamente.
 Después de un análisis exhaustivo se
llegó a la conclusión el 3%, 4% y 2% de
los motores ensamblados por cada
máquina, respectivamente, presentaban
defectos. 2

3.  Sise selecciona al azar uno de los
motores terminados, ¿cuál es la
probabilidad de que sea
defectuoso?
3

4. DIAGRAMA ILUSTRATIVO:
S
B1
A B2
B1
B3
B3
4

5.  En el esquema, el espacio muestral S
está representado por el rectángulo. S
contiene a las regiones (particiones)
B1, B2, B3, que representan los eventos
de la siguiente manera:
 Evento B1: Motor ensamblado por la
máquina B1.
 Evento B2: Motor ensamblado por la
máquina B2.
 Evento B3: Motor ensamblado por la
máquina B3.
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6.  Los eventos B1, B2, B3 son disjuntos
(mutuamente excluyentes)
 Nótese que
P (B1) + P (B2) + P (B3) =
0.28 + 0.34 + 0.38 = 1
 Se cumple que P (S) = 1
También, en el esquema, se muestra una
región sombreada A, que representa el
 Evento A: Motor defectuoso.
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7. TEOREMA DE PROBABILIDAD
TOTAL (REGLA DE ELIMINACIÓN)
 Para resolver el problema …
 TEOREMA: Si los eventos B1, B2,...,
Bn, representan una partición del
espacio muestral S tal que P (Bi) ≠ 0
para i = 1, 2,..., n, entonces para
cualquier evento A de S
P A   PBi  PA Bi 
n
i 1 7

8. Idea para entender como se
obtiene el resultado del teorema
 Deldiagrama se puede notar que el
evento A es la unión de los eventos
correspondientes a la intersección de
A con B1, B2 y B3, de modo que
n
P( A)   P( A  Bi )
i 1
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9. DIAGRAMA ILUSTRATIVO:
S
B1
A∩B1 B2
B1
A∩B2
B3
A∩B3
B3 A
9

10.  Utilizando probabilidad condicional
P( A  Bi )
P( A Bi ) 
P( Bi )
P( A  Bi )  P( Bi )  P( A Bi )
n
Por lo tanto P( A)   P( A  Bi ) 
i 1
P( A)   PBi  PA Bi 
n
i 1
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11. Solución del problema 1
 Aplicando el teorema de
probabilidad total al problema se
obtiene
P (A) = (0.28) (0.03) + (0.34) (0.04)
+ (0.38) (0.02)
P (A) = 0.0296
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12. PROBLEMA 2
 Con base en los datos del problema
1, suponga que al seleccionar
aleatoriamente un producto, éste sea
defectuoso. La preguntas ahora serán
 a) ¿cuál es la probabilidad de que
este producto fuera hecho por la
máquina B2? ¿o por la máquina B3?
¿o por B1?
 b) Preguntas de este tipo puede
responderse con ayuda del
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13. TEOREMA DE BAYES
 TEOREMA: Si los eventos B1, B2,..., Bn
representan una partición del espacio
muestral S, donde P (Bi) ≠ 0 para
i = 1, 2,..., n, entonces para cualquier
evento A en S tal que P(A) ≠ 0,
PBr  PA Br 
PBr A  ; para r  1,2,, n
 P B  P  A Bi 
n
i
i 1
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14. Demostración
Por probabilidad condicional se sabe que
P A  Br 
PBr A 
P(A)
Pero como
P A   PBi  PA Bi 
n
i 1
Entonces P A  Br 
PBr A 
 P B  P  A Bi 
n
i
i 1
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15. Así también, como
P A  Br 
PA Br   
P( Br )
P A  Br   P( Br )  PA Br 
De modo que al sustituir en la expresión
previa se tiene que
PBr  PA Br 
PBr A 
 P B  P  A Bi 
n
i
i 1
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16. Nota
 ElTeorema de Bayes se aplica
cuando los eventos, para los
cuales deseamos calcular sus
probabilidades posteriores, son
mutuamente excluyentes, y la
unión de todos ellos es el espacio
muestral.
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17. Solución al problema 2
 Aplicando el Teorema de Bayes, con r = 2
PB2  PA B2 
PB2 A 
PB1  PA B1   PB2  PA B2   PB3  PA B3 
PB2 A 
0.34 0.04
0.280.03  0.340.04  0.380.02
PB2 A 
136 17
  0.4594
296 37
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18.  Con r= 3
PB3  PA B3 
PB3 A 
PB1  PA B1   PB2  PA B2   PB3  PA B3 
P (B3 | A) = (0.38*0.02) / (0.28*0.03 +
0.34*0.04 + 0.38*0.02)
= 0.0076 / 0.0296
P (B3 | A) = 76/296 = 19/74 = 0.2567
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19. EJERCICIO
 En una biblioteca son asignados
cuatro estudiantes para colocar
sellos de identificación en los
libros: Ricardo, Rosy, Enrique y
Juanita.
 Los sellos tienen que ser
colocados estrictamente con una
orientación vertical (“al derecho”).
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20.  Ricardo, que sella el 26% de los libros, no
coloca el sello adecuadamente en 1 de
cada 400 libros.
 Rosy, que sella el 34% de los libros, no
coloca el sello adecuadamente en 1 de
cada 460 libros.
 Enrique, que sella el 22% de los libros, no
coloca el sello adecuadamente en 1 de
cada 200 libros.
 Juanita, que sella el 18% de los libros, no
coloca el sello adecuadamente en 1 de
cada 300 libros.
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21.  Sise elige, al azar, un libro que ya
pasó por el proceso de sellado, y
se observa que sello de
identificación ha sido colocado con
una orientación contraria (“al
revés”) ¿cuál es la probabilidad de
que el libro haya sido sellado por
Juanita?
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22. Solución
Sean los eventos:
 A = Sello mal colocado.
 B1 = Libro sellado por Ricardo.
 B2 = Libro sellado por Rosy.
 B3 = Libro sellado por Enrique.
 B4 = Libro sellado por Juanita.
 Empleando Teorema de Bayes
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23. PB4 A 
PB4  PA B4 
PB1  PA B1   PB2  PA B2   PB3  PA B3   PB4  PA B4 
P (B4 | A) = (0.18*1/300) / (0.26*1/400
+ 0.34*1/460 + 0.22*1/200
+0.18*1/300)
P (B4 | A) = 0.1942.
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