Este documento presenta un esquema inicial sobre probabilidad condicionada. Cubre cinco temas: 1) introducción a la probabilidad condicionada, 2) teorema de la probabilidad compuesta, 3) independencia de sucesos, 4) teorema de la probabilidad total, y 5) teorema de Bayes. Para cada tema, incluye definiciones, fórmulas y ejemplos ilustrativos.

1. TEMA 4
Probabilidad condicionada
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

4. 1. Introducción (1/5)
REGLA DE LAPLACE
Ω
#A
A P( A) =
#Ω
B Ω B
#A ∩ B
A A P( A B) =
#B
Probabilidades y Estadística I

5. 1. Introducción (2/5)
B B Ω
A A
#A ∩ B
#A ∩ B = = # Ω P( A ∩ B) P( A B)
P( A B) = #B P( B)
#B #Ω
Probabilidades y Estadística I

6. 1. Introducción (3/5)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A B ) P ( A) × P ( B A)
= =
∩ ×
∪ +
Probabilidades y Estadística I

7. 1. Introducción (4/5)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A)
=
?
∩ ×
∪ +
Sucesos incompatibles o disjuntos
Probabilidades y Estadística I

8. 1. Introducción (5/5)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A B ) P ( A) × P ( B A)
= =
Probabilidades y Estadística I

9. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

10. 2. Teorema de la prob. compuesta (1/4)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A B ) P ( A) × P ( B A)
= =
? Probabilidades y Estadística I

11. 2. Teorema de la prob. compuesta (2/4)
Probabilidades y Estadística I

12. 2. Teorema de la prob. compuesta (3/4)
EJEMPLO
Una urna contiene r bolas rojas y b azules. Se extrae una bola al azar y se
observa el color. Se devuelve la bola a la urna, introduciéndose también k bolas
adicionales del mismo color. Se extrae aleatoriamente una segunda bola, se
observa el color y se devuelve a la urna junto con k bolas adicionales del mismo
color. Cada vez que se extrae una bola se repite el proceso. Si se extraen 4 bolas,
¿cuál es la probabilidad de que las tres primeras sean rojas y la cuarta azul?
SOLUCIÓN
R1 ≡ “La primera bola es roja”
b R2 ≡ “La segunda bola es roja”
r R3 ≡ “La tercera bola es roja”
A4 ≡ “La cuarta bola es azul”
Probabilidades y Estadística I

13. 2. Teorema de la prob. compuesta (4/4)
Probabilidad a calcular Configuración de la urna Resultado por Laplace
b r
P(R1 ) P(R1 ) =
r b+r
b r+k
P(R 2 | R1 ) P(R 2 | R1 ) =
r+ k b + (r + k)
b r + 2k
P(R 3 | R1 ∩ R 2 ) P(R 3 | R1 ∩ R 2 ) =
r+2k b + (r + 2k)
b
P(A 4 | R1 ∩ R 2 ∩ R 3 )
b P(A 4 | R1 ∩ R 2 ∩ R 3 ) =
r+3k b + (r + 3k)
Probabilidades y Estadística I

14. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

15. 3. Independencia de sucesos (1/3)
INDEPENDENCIA
X| Y=y’j ≡ X ∀ j Y| X=x’i ≡ Y ∀ i Estadística
Descriptiva
fij = fi• × f• j ∀i ≠ j
Probabilidades y Estadística I

16. 3. Independencia de sucesos (2/3)
Probabilidad a calcular Configuración de la urna Resultado por Laplace
b r
P(R1 ) P(R1 ) =
r b+r
b r
P(R 2 | R1 ) P(R 2 ) =
r b+r
b r
P(R 3 | R1 ∩ R 2 ) P(R 3 ) =
r b+r
b b
P(A 4 | R1 ∩ R 2 ∩ R 3 ) P(A 4 ) =
r b+r
Probabilidades y Estadística I

17. 3. Independencia de sucesos (3/3)
P ( A ∩ B ) P ( B ) × P ( A)
=
∩ ×
SUCESOS INDEPENDIENTES
∪ +
SUCESOS INCOMPATIBLES
Probabilidades y Estadística I

18. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

19. 4. Teorema de la probabilidad total (1/2)
k k
=
f• j ∑ fij
=
= 1= 1
i i
∑ f ji × fi• Estadística
Descriptiva
Probabilidades y Estadística I

20. 4. Teorema de la probabilidad total (2/2)
EJEMPLO
Dos cajas contienen chips grandes y chips pequeños. La primera contiene 60
grandes y 40 pequeños. Mientras que la segunda contiene 20 grandes y 10
pequeños. Se selecciona una caja al azar y se extrae un chips, ¿cuál es la proba-
bilidad de que sea un chip grande?
Probabilidades y Estadística I

21. Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada
2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto
3. Independencia de sucesos
4. Teorema de la Probabilidad Total
5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I

22. 5. Teorema de Bayes (1/4)
P( Bi ) P( A Bi ) P( Bi A)
Probabilidad del Verosimilitud de A Probabilidad del
escenario i en el escenario i escenario i después
de observar A
Probabilidades y Estadística I

23. 5. Teorema de Bayes (2/4)
EJEMPLO
Supóngase que el 30% de los ordenadores fabricados por una planta son
defectuosos. Si un ordenador es defectuoso, la probabilidad de que un
controlador lo detecte y lo saque de la cadena de producción es 0.9. Si no es
defectuoso, la probabilidad de que lo saque es 0.2.
ESCENARIO
Sacado de la cadena
Defectuosos
Sacado de la cadena
No Defectuosos
Probabilidades y Estadística I

24. 5. Teorema de Bayes (3/4)
PREGUNTA 1
Si un ordenador se saca de la cadena, ¿cuál es la probabilidad de que
sea defectuoso?
Sacado de la cadena
No defectuosos
×
Defectuosos
=
× + ×
Probabilidades y Estadística I

25. 5. Teorema de Bayes (4/4)
PREGUNTA 2
Si uno compra un ordenador que no ha sido sacado de la cadena,
¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
Sin sacar de la cadena
No defectuosos
×
Defectuosos
=
× + ×
Probabilidades y Estadística I