Teorema del residuo

1. TEOREMA DEL RESIDUO
Veamos ahora un método para hallar el resto de la división de un polinomio P(x) entre x - a sin
necesidad de realizarla.
Observa en el margen la división del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥³ + 5𝑥² − 2𝑥 − 24 entre 𝑥 − 3.
El resultado obtenido nos permite escribir:
𝑃 (𝑥) = (𝑥 − 3) · (𝑥² + 8𝑥 + 22) + 42
Al sustituir en esta igualdad x por 3; es decir, al calcular el valor numérico de P(x) para x = 3
obtenemos:
𝑃 (3) = (3 − 3) · (3² + 8 · 3 + 22) + 42
No es necesario calcular el segundo paréntesis, puesto que está multiplicado por 0.
𝑃 (3) = 0 · (32 + 8 · 3 + 22) + 42 = 0 + 42, 𝑃 (3) = 42
El resto de la división del polinomio P(x) entre x - a es igual al valor numérico del polinomio P(x)
para x = a.
Observa que, al dividir el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥³ + 5𝑥² − 2𝑥 − 24 entre 𝑥 + 4, obtenemos
0 de resto. Por lo tanto, el valor numérico del polinomio para x = - 4 es 0.
Dicho de otro modo, como P(x) es divisible por x + 4, podemos concluir que - 4 es una raíz de
P(x).
Si el polinomio P(x) es divisible por x - a, de manera exacta, entonces a es una raíz del polinomio
P(x).