Relaciones de orden e intervalos de operaciones

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE
LA EDUCACIÓN
CARRERA DE CIENCIAS NATURALES Y DEL
AMBIENTE, BIOLOGÍA Y QUÍMICA
RELACIONES DE ORDEN, INTERVALOS,
OPERACIONES CON INTERVALOS,
INECUACIONES LINEALES, INECUACIONES
CUADRÁTICAS, INECUACIONES RACIONALES E
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
INTEGRANTES:
María Belén Cañizares

Relación de orden con números reales
Una relación de orden es una relación entre dos números que pretende determinar el
orden de los elementos de un conjunto.
Debemos tener presente:
 Signos de relación
 El uso de los signos de relación de los para establecer el orden en el conjunto de
los números reales
 La importancia de la recta real para establecer el orden

 < Menor que _________________________2 < 3
 > Mayor que __________________________5 > 0
 ≤ Menos o igual que __________________2 ≤ 4
 ≥ Mayor o igual que ____________________8 ≥ 1
Signos de relación

Demostración
1) -3 < 5
2) 4 > 3
3) 5 > 1

Intervalos
Son subconjuntos de los números reales (R) que cumplen con una condición a la que se llama límites del
intervalo.
Números reales (R): Conjunto de números formado por los números racionales e irracionales, es decir,
todos los números positivos y negativos, el cero y los números que no se pueden expresar en fracciones de
dos números enteros porque poseen infinitas cifras decimales.
Tipos de intervalo
- Intervalo abierto
- Intervalo cerrado
- Intervalo semiabierto/semicerrado
- Intervalos con extremo infinito
Se lee: “El intervalo cerrado entre a y b es igual
a el conjunto de números reales tal que x
(cualquier número real dentro del intervalo) sea
mayor o igual al límite inferior del intervalo y
menor o igual al límite superior del intervalo. En
este intervalo se incluye a los límites inferior y
superior.
Intervalo cerrado.
Se lo representa con corchetes, de la forma:
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
𝑎, 𝑏 → 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑎
𝑎 → 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑏 → 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

Representación en la recta numérica.
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
Ejercicio: Graficar en la recta numérica
−𝟓, 𝟏𝟎 = 𝒙 ∈ 𝑹 −𝟓 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟎

Intervalo abierto.
Se lee: “El intervalo abierto entre a
y b es igual a el conjunto de
números reales tal que x (cualquier
número real dentro del intervalo) sea
mayor al límite inferior del intervalo
y menor al límite superior del
intervalo. En este intervalo se
excluye a los límites superior e
inferior.
Se lo representa con corchetes, de la forma:
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 < 𝒙 < 𝒃
También se lo puede representar de la forma:
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 < 𝒙 < 𝒃
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 < 𝒙 < 𝒃

𝟎,
𝟕
𝟐
= 𝒙 ∈ 𝑹 𝟎 < 𝒙 <
𝟕
𝟐
Intervalo semiabierto/semicerrado.
Se lee: “El intervalo semiabierto hacia la
derecha entre a y b es igual a el conjunto
de números reales tal que x (cualquier
mayor o igual al límite inferior del
intervalo y menor al límite superior del
intervalo. En este intervalo se incluye al
límite inferior y se excluye al límite
superior.
Se lo representa con corchetes, de la primera forma:
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃

𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃
𝟏, 𝟓 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟓

Se lee: “El intervalo semiabierto hacia
la izquierda entre a y b es igual a el
conjunto de números reales tal que x
(cualquier número real dentro del
intervalo) sea mayor al límite inferior
del intervalo y menor o igual al límite
superior del intervalo. En este
intervalo se excluye al límite inferior y
se incluye al límite superior.
Se lo representa con corchetes, de la segunda forma
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃

−𝟑, 𝟔 = 𝒙 ∈ 𝑹 −𝟑 < 𝒙 ≤ 𝟔
la izquierda entre menos infinito y a es
igual a el conjunto de números reales
tal que x (cualquier número real
dentro del intervalo) sea mayor al
límite inferior del intervalo y menor o
igual que a. En este intervalo se
incluye el valor de a.
Intervalos con extremo infinito.
−∞, 𝒂 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ≤ 𝒂
−∞, 𝒂 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ≤ 𝒂

−∞, 𝒂 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ≤ 𝒂
−∞,
𝟏
𝟐
= 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ≤ −
𝟏
𝟐

Se lo representa con corchetes, de la segunda forma:
−∞, 𝒂 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 < 𝒂
Se lee: “El intervalo abierto entre menos
infinito y a es igual a el conjunto de
menor que a. En este intervalo se
excluye el valor de a.
−∞, 𝒂 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 < 𝒂
−∞, 𝒂 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 < 𝒂

−∞, 𝟐 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 < 𝟐
la derecha entre a y más infinito es
igual al conjunto de números reales tal
que x (cualquier número real dentro
del intervalo) sea mayor o igual a “a”.
En este intervalo se incluye a “a”.
Se lo representa con corchetes, de la tercera forma:
𝒂, +∞ = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ≥ 𝒂
𝒂, +∞ = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ≥ 𝒂

𝒂, +∞ = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ≥ 𝒂
−
𝟗
𝟐
, +∞ = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ≥ −
𝟗
𝟐

Se lee: “El intervalo abierto entre a y
más infinito es igual al conjunto de
mayor a “a”. En este intervalo no se
incluye a “a”.
Se lo representa con corchetes, de la cuarta forma:
𝒂, +∞ = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 > 𝒂
𝒂, +∞ = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 > 𝒂
𝒂, +∞ = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 > 𝒂

𝟓, +∞ = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 > 𝟓
Operaciones con intervalos de números reales
Si A Y B son dos conjuntos de números reales entonces se tiene las siguientes operaciones:
𝟏. − 𝑨 ∪ 𝑩 → 𝑼𝒏𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑨 𝒄𝒐𝒏 𝑩
Ejercicio
Dados los intervalos:
𝑨 = −∞, 𝟖
𝑩 = 𝟑, 𝟏𝟎
Hallar 𝑨 ∪ 𝑩
La unión entre A y B es igual al conjunto de los números reales tal que cualquier número real del
intervalo pertenece a “A” ó cualquier número real del intervalo pertenece a “B”

𝟐. − 𝑨 ∩ 𝑩 → 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑨 𝒄𝒐𝒏 𝑩
Contiene los números que son comunes entre A y B.
𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚 𝒙 ∈ 𝑩
Ejercicio
Dados los intervalos:
𝑨 = −∞, 𝟖
𝑩 = 𝟑, 𝟏𝟎
Hallar 𝑨 ∩ 𝑩
La unión entre A y B es igual al conjunto de los números reales tal que cualquier número real del
intervalo pertenece a “A” y cualquier número real del intervalo pertenece a “B”

3. − 𝑨 𝑰
→ 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑨
Contiene los números que no se encuentran en A.
𝑨 𝑰 = 𝒙 ∈ 𝑹 ∕ 𝒙 ∉ 𝑨
El complemento de A es el conjunto de los números reales tal que cualquier número real del intervalo
no se encuentre en A.
Ejercicio
Dado el intervalo:
𝑨 = −∞, 𝟖
𝑩 = 𝟑, 𝟏𝟎
Hallar 𝑨 𝑰

4. − 𝑨 − 𝑩 → 𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑨 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝑩
Contiene los números que están en A pero que no se encuentran en B.
𝑨 − 𝑩 = 𝒙 ∈ 𝑹 𝒙 ∈ 𝑨 𝒚 𝒙 ∉ 𝑩
La diferencia A menos B es igual al conjunto números reales tal que cualquier número real pertenece a
“A” pero que no se encuentran en “B”.
Ejercicio
Dados el intervalo:
𝑨 = −∞, 𝟖
𝑩 = 𝟑, 𝟏𝟎
Hallar 𝑨 − 𝑩

Inecuaciones
 Una inecuación es un enunciado que incluye
alguna de las relaciones de orden:
 “mayor que” > ……………. 2x + 4 >3x – 9
 “menor que”< ……………. 3(x+4) < 2x + 1
 “mayor o igual que” ≥ ……..
 “menor o igual que” ≤ ……..
2
3 1 2x x 
4 2 8m m  

Inecuaciones lineales
 Son aquellas en las cuales la variable tiene
grado uno.
 Se resuelven con un procedimiento muy
similar al de las ecuaciones lineales, es
decir, dejando las variables a un lado y los
números al otro, pasando a efectuar la
operación contraria.
 Se debe invertir la desigualdad si se pasa
un número negativo a multiplicar o
dividir.

Inecuaciones Lineales
1. Si a los dos miembros de una desigualdad se les
suma o se les resta un mismo número -desigualdad
original
2. Se les multiplica o divide por un mismo número
positivo, la desigualdad resultante poseerá el mismo
signo que la desigualdad original.
3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les
multiplica o divide por un mismo número negativo,
la desigualdad cambia de sentido

5(w-1) ≥ 2w+3(2+w)
Ejercicios

 Se toma en cuenta los siguientes
aspectos principales
1. Expresar
2. Resolver
3. Localizar
4. Solucionar
5. Escribir el conjunto solución

 Estas se las puede resolver x dos
maneras ya sea por la formula o por el
modo :

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