El documento trata temas relacionados con la división de polinomios y el teorema del residuo. Explica que el residuo de dividir un polinomio P(x) entre un factor lineal x - a es igual a P(a). También cubre cómo encontrar las raíces de una función al hacer que el residuo sea cero y métodos para determinar las posibles raíces de un polinomio como la regla de los signos de Descartes.

1. MATEMÁTICAS IV Bloque 4

2. TEOREMA DEL RESIDUO
Si un polinomio 𝑃(𝑥) se divide entre un factor lineal de la forma 𝑥 − 𝑎,
el residuo de la división es igual a 𝑃(𝑎)
Ejemplo
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 15 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 − 4
𝑓 4 = (4)2
−7 4 + 15 = 3
El residuo es 3

3. TEOREMA DEL FACTOR
Una raíz es un punto donde la
función corta en el eje x
Si al sustituir 𝑥 − 𝑎 el residuo
𝑟 = 0 entonces a es una raíz de
la función.
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 7𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 = −3
𝑓 −3 = (−3)3+(−3)2−7 −3 − 3 = 0
(x+3) es un factor

4. DIVISIÓN SINTÉTICA
Divide 𝑥3
+ 8𝑥2
+ 6𝑥 + 1 entre 𝑥 +
5
Divide −45𝑥 − 2 + 𝑥3
entre 𝑥 + 7

5. DETERMINAR ECUACIÓN CON
RAÍCES
𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟3 … (𝑥 − 𝑟𝑛)
Donde n es el grado de la ecuación
Lineal n=1
Cuadrática n=2
Cúbica n=3
Ejemplo: Encuentra el polinomio de grado 3 cuyos ceros son 2, 4 y -5
y que su gráfica pase por el punto P(3,-24)

6. REGLA DE LOS SIGNOS DE
DESCARTES
Raíces positivas  # de cambios de signo o cambios de signo menos
multiplo de 2
𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 2
Cambios de signo = 3
Raíces positivas = 3 o 1
Raíces negativas  # de cambios de signo o cambios de signo menos
multiplo de 2 después de sustituir (–x)
𝑃 −𝑥 = (−𝑥)4−(−𝑥)3 + 3 −𝑥 2 − (−𝑥) − 2
𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 − 2
Cambios de signo = 1
Raíces negativas = 1
Si el polinomio P(x) no tiene valor constant (𝑎 = 0) entonces va a tener raíces

7. TEOREMA DE LAS COTAS
Cota superior  si los resultados de la division sintetica son positivos
o cero
Cota inferior  si los resultados de la division sintética son
alternados positivos y negativos
𝑥5 + 2𝑥4 − 5𝑥3 + 8𝑥2 − 7𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 = 2

8. TEOREMA DE LAS RAÍCES
RACIONALES
• Raíces  dividir los factores de los coeficientes del término de grado más alto (p) entre
los más bajos (q) (±
𝑝
𝑞
)
2𝑥3 − 7𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝 = ±1, ±2
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑞 = ±1, ±3
±
𝑝
𝑞
= ±
1
1
, ±
1
2
, ±
3
1
, ±
3
2
Raíces:
±
𝑝
𝑞
= ±1, ±
1
2
, ±3, ±
3
2

9. CÓMO ENCONTRAR POSIBLES
RAÍCES
Encontrar los factores de 𝑎0 y 𝑎 𝑛
Encuentra todas las posibles combinaciones de
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎0
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎 𝑛
Con la regla de los signos de Descartes encuentren las posibles
combinaciones de signos de las raíces
Utiliza la división sintética para saber si cada una de las
combinaciones del paso 2 son raíces (residuo=0)
Escribe el resultado de la división sintética de manera: 𝑃 𝑥 = (𝑥 −
𝑟)(𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛)
Continuar hasta encontrar todas las raíces.

10. 𝑥4 − 5𝑥3 − 5𝑥2 + 23𝑥 + 10
1 -5 -5 23 10
-2 -2 14 -18 -10
1 -7 9 5 0
(𝑥 + 2)(𝑥3 − 7𝑥2 + 9𝑥 + 5)
𝑥3
− 7𝑥2
+ 9𝑥 + 5
1 -7 9 5
5 5 -10 -5
1 -2 -1 0
(𝑥 + 2)(𝑥 − 5)(𝑥2 − 2𝑥 − 1)
Por formula general
(𝑥 + 2)(𝑥 − 5) 𝑥 − (1 + 2) 𝑥 − (1 − 2)