Jfjdjskbehdd

1. 5th
SECONDARY
CHAPTER 2
PRODUCTOS
NOTABLES

2. MOTIVATING
STRATEGY

3. MOTIVATING | STRATEGY
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Matemático francés nació en Paris , vivio una infancia con pocos recursos
económicos, pero logro superarse por sus dotes académicos
Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a
construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro años volvió a París y
dos más tarde demostró una conjetura de Pierre de fermat que no había
podido ser probada por matemáticos tan insignes como Euler y Gauss.
Publicó un total de 789 trabajos, entre los temas que abordo destacan:
• Limite y continuidad de una función
• Funciones de variable compleja
• Cálculo integral
• Convergencia de series infinitas
• Ecuaciones diferenciales

4. HELICO
THEORY

5. HELICO | THEORY
P R O D U C T O S
N O T A B L E S
I) Desarrollo de un Binomio al Cuadrado
(𝐚 + 𝐛)𝟐
=𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 (𝐚 − 𝐛)𝟐
=𝒂𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝑬𝑱𝑬𝑴𝑷𝑳𝑶𝑺:
𝟏) (𝟓𝐱 + 𝟑)𝟐 = (5𝑥)2
+2(5𝑥)(3)+32
= 𝟐𝟓𝒙𝟐
+ 𝟑𝟎𝐱 + 𝟗
𝟐) (𝟑𝐱 − 𝟒)𝟐 = (3𝑥)2
−2(3𝑥)(4)+42
= 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝐱 + 𝟏𝟔
𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝑳𝒆𝒈𝒆𝒏𝒅𝒓𝒆
(𝒂 + 𝒃)𝟐
+(𝒂 − 𝒃)𝟐
= 𝟐(𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
)
(𝒂 + 𝒃)𝟐−(𝒂 − 𝒃)𝟐= 𝟒𝒂𝒃
𝑻𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐

6. HELICO | THEORY
𝐚 + 𝐛 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
𝟑𝐚 + 𝟓𝐛 𝟑𝒂 − 𝟓𝒃 = 𝟗𝒂𝟐
𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐
+ 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃
𝒙 + 𝟒 𝒙 + 𝟔 = 𝒙𝟐
𝒙 + 𝟕 𝒙 − 𝟗 = 𝒙𝟐
II)
III)
Diferencia de cuadrados
Identidad de Stevin
−𝟐𝟓𝒃𝟐
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
+𝟏𝟎𝒙+𝟐𝟒
−𝟐𝒙 −𝟔𝟑

7. HELICO | THEORY
(𝒂 + 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
+ 𝟑𝒂𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐
+ 𝒃𝟑
(𝒂 + 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝟑𝒂𝒃(𝒂 + 𝒃)
IV)Desarrollo de un binomio al cubo
(𝒂 − 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
− 𝟑𝒂𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐
− 𝒃𝟑
(𝒂 − 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
− 𝒃𝟑
− 𝟑𝒂𝒃(𝒂 − 𝒃)
𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒖𝒄𝒉𝒚

8. HELICO | THEORY
𝐚 + 𝐛 𝒂𝟐
− 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
V) Suma y diferencia de cubos
𝐚 − 𝐛 𝒂𝟐
+ 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
= 𝒂𝟑
− 𝒃𝟑
VI) Desarrollo de un Trinomio al cuadrado
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
+ 𝟐(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄)

9. VII) Trinomio al cubo
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟑
= 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
+ 𝟑 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒄 𝒃 + 𝒄
𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒖𝒔𝒖𝒂𝒍:
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟑 = 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟔𝒂𝒃𝒄

10. HELICO | THEORY
𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
= −𝟐(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄)
VIII) Identidades condicionales
𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
= 𝟑𝒂𝒃𝒄
𝑺𝒊 ∶ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟎
𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆:

11. HELICO
PRACTICE

12. HELICO | PRACTICE
Problema 1
Sabiendo que
𝒂 + 𝒃 = 𝟓
𝒂𝒃 = 𝟐
𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Halle el valor de 𝑬 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑
𝑹𝒆𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂𝒓!
Binomio suma al cuadrado
𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝟑𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃
Identidad de Cauchy
(𝒂 + 𝒃)𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
* Primero:
𝟓 = 𝒂𝟐
+ 𝟐 𝟐 + 𝒃𝟐
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
= 𝟐𝟏
(𝒂 + 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝟑𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃
𝟓 𝟐 𝟓
* Segundo:
𝟏𝟐𝟓 = 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝟑𝟎
𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
= 𝟗𝟓
𝑬 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝟐𝟏 + 𝟗𝟓
𝑬 = 𝟏𝟏𝟔
∴ 𝑬 = 𝟏𝟏𝟔

13. HELICO | PRACTICE
Problema 2
Halle el valor de:
𝑷 =
𝟖
𝟖𝟎 𝟑𝟒 + 𝟏 𝟑𝟖 + 𝟏 𝟑𝟏𝟔 + 𝟏 + 𝟏
∴ 𝑷 = 𝟖𝟏
𝑷 = 𝟖
(𝟑𝟒 − 𝟏)(𝟑𝟒 + 𝟏) 𝟑𝟖 + 𝟏 𝟑𝟏𝟔 + 𝟏 + 𝟏
𝑷 = 𝟖
(𝟑𝟖 − 𝟏) 𝟑𝟖 + 𝟏 𝟑𝟏𝟔 + 𝟏 + 𝟏
𝑷 = 𝟖
(𝟑𝟏𝟔 − 𝟏) 𝟑𝟏𝟔 + 𝟏 + 𝟏
𝑷 = 𝟖
𝟑𝟑𝟐 − 𝟏 + 𝟏
𝑷 =
𝟖
𝟑𝟑𝟐
Recordar
Diferencia de
cuadrados
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐
−𝒃𝟐
= 𝟑𝟒

14. HELICO | PRACTICE
Problema 3
Simplifique:
𝑹 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟓) − (𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟐𝟏)𝟐
+𝟗𝟎
∴ 𝑹 = 𝟗
𝑹 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟓) − (𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐𝟏)𝟐+𝟗𝟎
Recordar
Identidad de Stevin
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐
+ 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃 𝑹 =( )
𝒙𝟐 −𝒙 −𝟏𝟐 ( )
𝒙𝟐
−𝒙 −𝟑𝟎 −(𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟐𝟏)𝟐
+𝟗𝟎
𝐻𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝒎
𝑹 = (𝒎 − 𝟏𝟐)(𝒎 − 𝟑𝟎) − (𝒎 − 𝟐𝟏)𝟐
+𝟗𝟎
𝑹 = 𝒎𝟐
−𝟒𝟐𝒎 +𝟑𝟔𝟎 −( )
𝒎𝟐
−𝟒𝟐𝒎+𝟒𝟒𝟏 +𝟗𝟎
𝑹 = 𝟑𝟔𝟎 − 𝟒𝟒𝟏 + 𝟗𝟎
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒:
Desarrollo de un
Binomio al cuadrado
(𝒂 − 𝒃)𝟐
= 𝒂𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

15. HELICO | PRACTICE
Problema 4
Si se sabe que:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟐
𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄 = 𝟔𝟎
Halle el valor de:
𝑹 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
𝟏𝟐
∴ 𝑹 = 𝟐𝟒
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
+ 𝟐 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄
𝑹𝒆𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂𝒓!
Trinomio al cuadrado
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄
𝟔𝟎
𝟏𝟒𝟒 = 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
+ 𝟏𝟐𝟎
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝟐𝟒

16. HELICO | PRACTICE
Problema 5
Si: a= 𝟓 + 𝟑 − 𝟏 b=𝟏 − 𝟑 c= − 𝟓
Reduzca: M=
(𝒂𝟑+𝒃𝟑+𝒄𝟑)(𝒂𝟐+𝒃𝟐+𝒄𝟐)
𝟏𝟐𝒂𝒃𝒄(𝒂𝒃+𝒃𝒄+𝒂𝒄)
∴ 𝑴 = −
𝟏
𝟐
Recordar
Si a+b+c=0
Se cumple:
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = −𝟐(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄)
𝒂 = 𝟓 + 𝟑 − 𝟏
𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑
= 𝟑𝒂𝒃𝒄
+ M=
(𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐)
𝟏𝟐𝒂𝒃𝒄(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄)
𝑴 =
−𝟔
𝟏𝟐
𝒃 = 𝟏 − 𝟑
𝒄 = − 𝟓
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟎
M=__________________________________
(𝟑𝒂𝒃𝒄)(−𝟐(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄))
𝟏𝟐𝒂𝒃𝒄(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄)

17. HELICO | PRACTICE
Problema 6
Jaimito le pregunta a su abuelo por su edad y este le contesta:
“Si reduces: M=
𝒙+𝟓 𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟐𝟓 −(𝒙−𝟒)(𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟏𝟔)
𝟑
obtendrás mi edad hace 20 años”.¿Cuál es la edad del abuelo de
Jaimito?
∴ 𝑳𝒂 𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒃𝒖𝒆𝒍𝒐 𝒆𝒔 𝟔𝟑 + 𝟐𝟎 = 𝟖𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔
M=
𝒙 + 𝟓 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟓𝟐 − (𝒙 − 𝟒)(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒𝟐)
𝟑
Recordar
Suma y diferencia de cubos
(𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐) = 𝒂𝟑+𝒃𝟑
𝑴 =____________________
(𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐
+ 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
) = 𝒂𝟑
−𝒃𝟑
(𝒙𝟑 + 𝟓𝟑) −(𝒙𝟑 − 𝟒𝟑)
𝟑
𝑴 =
𝟏𝟐𝟓 + 𝟔𝟒
𝟑
= 𝟔𝟑

18. HELICO | PRACTICE
Problema 7
Un grupo de economistas estimo que el
crecimiento de la economía peruana, durante
el primer trimestre del año estará dado por
los valores numéricos de la expresión:
𝑃𝑛 𝑎; 𝑏; 𝑐 = 𝑎𝑛
+ 𝑏𝑛
+ 𝑐𝑛
, donde 𝑛
representa el número de mes y 𝑃𝑛 esta
expresado como porcentaje de crecimiento
del producto bruto interno
𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes .
 Si el país en Enero 𝑛 = 1 alcanzó un
crecimiento del 2%
 Si el país en Febrero 𝑛 = 2 alcanzó un
crecimiento del 5%
 Si el país en Marzo 𝑛 = 3 alcanzó un
crecimiento del 20%
Halle el valor de 𝑎𝑏𝑐 ∴ 𝒂𝒃𝒄 = 𝟑
Recordar:
Otra forma usual del desarrollo del trinomio al cubo
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑
= 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
− 𝟐 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
+ 𝟔𝒂𝒃𝒄
𝑷𝒏 𝒂; 𝒃; 𝒄 = 𝒂𝒏
+ 𝒃𝒏
+ 𝒄𝒏
𝒏 = 𝟏 → 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟐
𝒏 = 𝟐 → 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
= 𝟓
𝒏 = 𝟑 → 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 = 𝟐𝟎
De:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑
= 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
− 𝟐 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝒄𝟑
+ 𝟔𝒂𝒃𝒄
𝟐 𝟐 𝟓 𝟐𝟎
𝟖 = 𝟑𝟎 − 𝟒𝟎 + 𝟔𝒂𝒃𝒄
𝟖 = −𝟏𝟎 + 𝟔𝒂𝒃𝒄
𝟏𝟖 = 𝟔𝒂𝒃𝒄
𝒂𝒃𝒄 = 𝟑