1) Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente son recíprocas de las razones cosecante, secante y cotangente respectivamente. 2) Para ángulos complementarios, una razón trigonométrica de un ángulo es igual a la co-razón del ángulo complementario. 3) Se resuelven ejemplos numéricos que ilustran las propiedades de las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios.

1. Semana 7
Trigonometría

2. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
semana
07
• seno y cosecante son recíprocos.
• coseno y secante son recíprocos.
• tangente y cotangente son recíprocos.
¡Tenga en cuenta que...!
La co-razón resulta de añadir o quitar el
prefijo “co” a una razón trigonométrica.
seno
co-razón de
coseno
tangente
co-razón de
cotangente
secante
co-razón de
cosecante
Nota
Propiedades de las razones trigonométricas
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Para un mismo ángulo, dos razones trigonométricas son recíprocas
si una es la inversa de la otra.
θ
C
a
b
c
B
A
sen ; cscθ θ= =
a
c
c
a
cos ; secθ θ= =
b
c
b
c
tan ; cotθ θ= =
a
b
b
a
En general se cumple
senq · cscq=1
cosq · secq=1
tanq · cotq=1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS
En un triángulo rectángulo, toda razón trigonométrica de un ángulo
agudo es igual a la co-razón trigonométrica (complemento) de ese
ángulo.
θ
α
C
a
b
c
B
A
sen ; cosθ α= =
a
c
a
c
tan ; cotθ α= =
a
b
a
b
sec ; cscθ α= =
c
b
c
b
Si a y q son ángulos complementarios, es decir, a+q=90°, se cumple
que
senq=cosa
tanq=cota
secq=csca

3. Material DidácticoAcademia ADUNI
Expresando de su razón a su co-razón
trigonométrica
• sen40° = cos50°
• tan(37° + x) = cot(53° – x)
• sec2q = csc(90° – 2q)
Observación
No es necesario recordar las seis razones
trigonométricas. Basta recordar las tres
primeras (seno, coseno y tangente), las
otras tres se deducen de las anteriores, ya
que son sus recíprocas.
• csc
sen
α
α
=
1
• sec
cos
α
α
=
1
• cot
tan
α
α
=
1
¡Recuerde que...!
Problemas resueltos
1. Si a y b son ángulos agudos, tal que se cumple la siguiente
condición
tan(2a+3b – 20°)cot(5a+3b – 50°)=1
halle el valor de a.
Resolución
Por razones trigonométricas recíprocas
2a+3b – 20°=5a+3b – 50°
30°=3a
∴ a=10°
2. Si se sabe que x e y son ángulos agudos, además
tan3xcot(x+10°)=1 (I)
sen4x=cosy (II)
halle cos(y – x – 5°)+tan(y – 5x).
Resolución
De (I), por razones trigonométricas recíprocas
3x=x+10°
2x=10°
→ x=5°
De (II), por razones trigonométricas de ángulos complementarios
4x+y=90°; de (I)
4(5°)+y=90°
→ y=70°
Piden
cos tan60 45
1
2
1° + ° = +
cos tan60 45
3
2
° + ° =

4. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
Si x e y son ángulos agudos, se cumple que
• sen x csc y =1 ↔ x = y
• cos x sec y =1 ↔ x = y
• tan x cot y =1 ↔ x = y
Nota
Si a y q son ángulos agudos, se cumple que
• sen a = cos q ↔ a + q = 90°
• tan a = cot q ↔ a + q = 90°
• sec a = csc q ↔ a + q = 90°
Observación
3. Si los ángulos 9x – 40° y 50° – 2x son agudos, tal que cos(9x – 40°)
sec(50° – 2x)=1, calcule el valor de M
x
x
x
x
= +
sen
cos
tan
cot
6
5
10
.
Resolución
Dato:
cos(9x – 40°)sec(50° – 2x)=1
Por razones trigonométricas recíprocas, se cumple que
9x – 40°=50° – 2x → 11x=90°
Luego
• 6x+5x=90° → sen6x=cos5x
• 10x+x=90° → tan10x=cotx
Reemplazamos en M.
M
x
x
x
x
= + = +
cos
cos
cot
cot
5
5
1 1
∴ M=2
4. Si sen(x+10°)cos y=cos(80° – x)cos(x – 30°), x e y son ángulos
agudos, calcule tan
x y−
+ °




3
35 .
Resolución
Del dato se observa que x+10° y 80° – x son ángulos agudos
complementarios, entonces
sen(x+10°)=cos(80° – x)
Reemplazando en el dato, tenemos
sen
cos
cos cos cosx
x
y x x+( )
° −( )
= ° −( ) − °( )10
80
80 30
cos y=cos(x – 30°)
y=x – 30° → x – y=30°
Luego
tan tan tan
x y−
+ °



 = ° + °( ) = °
3
35 10 35 45
∴ tan
x y−
+ °



 =
3
35 1

5. Academia ADUNI Material Didáctico
Práctica dirigida
1. Si 2x – y, x+2y y x – y son ángulos agudos, tal
que sen(2x – y) . csc(x+2y)=1
tan(x – y) . cot 30°=1
calcule el valor de la expresión
2 tanx+cos(x+y)
A)
5
2
B)
3
2
C)
1
2
D) 2
2. En el gráfico se observa un terreno que tiene la
forma de un triángulo rectángulo, en donde se
desea construir una cerca de tal manera que la
longitud AB=AD. Calcule 2sena secb.
B
A D C
β
α
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
3. Un Mirage 2000 que vuela a 4 km de altitud se
aproxima a su objetivo ubicado en el punto A,
como se observa en la figura. Si 4cota=cotb,
¿a qué distancia del objetivo se encuentra en
ese instante?
A
α
β
A) 4 5 km B) 3 5 km
C) 2 5 km D) 2 3 km
4. Si a y q son ángulos agudos y complementa-
rios, donde
cosα =
+4 4
5
x
x
y senθ =
−
−
5 1
6 5
x
x
calcule tan cotα θ+ +
5
12
.
A)
7
12
B)
3
4
C)
1
2
D) 1
Práctica domiciliaria
1. Para realizar su tarea de trigonometría, Mauri-
cio cuenta con una calculadora que, por una
accidental caída, pierde la funcionalidad de al-
gunas teclas. Las teclas que no funcionan son
la del sen y la del dígito 3. Uno de los ejercicios
pide hallar el valor exacto de sen36°. En ese
caso, Mauricio debe calcular
A) – cos144° B) sen756°
C) cos54° D) – cos54°
2. Si 2q – a y 3q+a son ángulos agudos, tal que
sen(2q – a)=cos(3q+a),
calcule el valor de la expresión
tan(3q –1°)+sen(2q – 6°)
A)
5
4
B)
11
6
C)
3
4
D)
13
6
3. Si x es un ángulo agudo que cumple que
sec(3x – 10°)cos(2x+10°)=1
calcule el valor de sen tanx x+ °( ) +10 3 3 .
A)
1
2
B)
4
3
C)
5
2
D)
7
2

6. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
01 - C
02 - B
03 - D
04 - B
05 - C
06 - D
07 - B
08 - D
09 - D
10 - D
4. En el gráfico mostrado, calcule el valor de EC a
partir de la siguiente condición.
sec(60° – a)=csc(15°+2a), a: ángulo agudo
A
B
E C
α
2α
1
A)
3
2
B) 3 1-
C) 1 D) 2
5. Un estudiante, al revisar un libro de trigonome-
tría, encontró la siguiente identidad trigonomé-
trica: tan(nq)=ntan(q), n ∈ N. Calcule el equi-
valente de la expresión 2tan(nq)cot(q).
A) 1 B) n
C) 2n D) 2
6. Calcule la medida del ángulo agudo a para el
cual se cumple que
tan
sec sec sec ...sec
csc csc csc ..
3 15
2
1 2 3 89
1 2 3
α + °


 =
° ° ° °
° ° ° ..csc89°
A) 18° B) 15°
C) 20° D) 25°
7. En el gráfico mostrado, calcule la longitud BD a
partir de la siguiente condición:
tan(45°+q)tan(75°–2q)=1
C
ADB
θ
θ
8 cm
A) 18 cm B) 16 cm C) 8 cm D) 8 3 cm
8. De las siguientes condiciones:
tan(q–a)cot(2a)=1 (I)
sec(a+q)=csc(2a) (II)
donde los ángulos dados son agudos, calcule
sen(a+q).
A)
2
2
B)
1
2
C)
3
5
D)
3
2
9. Si x=15°, calcule el valor de la siguiente expre-
sión: M=senx sen2x sen3x sec4x sec5x.
A) 6 B) 0 C)
6
5
D)
2
2
10. Si se cumple que
3a+2b=2°+4°+6°+...+18°
sen 4b csc 3a=tan 45°;
3a y 4b: ángulos agudos
calcule el valor de la expresión
M = +( )[ ] +
+
4 2 5
1
1
1
3
2
2
tan º
tan
sen
α
α
β
A)
5
4
B)
3
2
C)
7
4
D)
11
4