Este documento resume diferentes tipos de transformaciones proyectivas como la homología y la afinidad. La homología conserva la incidencia y hace corresponder puntos y rectas de una figura a otra mediante un centro y eje de homología. La afinidad es una homología donde el centro está en el infinito, por lo que todas las rectas entre puntos homólogos son paralelas a la dirección de afinidad. La afinidad se define mediante un punto, la dirección y razón de afinidad.

1. Tema 3.d TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS:
HOMOLOGÍA Y AFINIDAD.
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS:
1. PROYECTIVIDAD: TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS.
1.1. HOMOGRAFÍA.
1.1.1. HOMOLOGÍA.
1.1.1.1.1. AFINIDAD.
PROYECTIVIDAD
Además de la clasificación anterior, podemos diferenciar las transformaciones proyectivas, que son las que se
producen por proyección y sección.
Proyectar consiste en hacer pasar por un elemento cualquiera una recta o plano que al intersecar con una recta
o plano de proyección definirá la proyección del elemento, llamada sección. Podemos proyectar desde un punto
(centro de proyección) o desde una recta (recta de proyección).
Aquí aparecerán los elementos IMPROPIOS (punto, recta o plano), que son los que se encuentran en el infinito.
HOMOGRAFÍA
Es una transformación geométrica que hace corresponder elementos de la misma especie (punto con
punto, recta con recta…) de tal manera que a puntos y rectas incidentes de una figura le corresponden
puntos y rectas incidentes de la otra. La homología, la afinidad, la homotecia, la traslación, la simetría y el
giro son transformaciones homográficas.

2. HOMOLOGÍA
Es una transformación geométrica homográfica que tiene un centro de homología con el que se encuentran
alineados todos los puntos homólogos y una recta u eje de homología, que es una recta doble, es decir,
formada por puntos que en la transformación coinciden con ellos mismos. Puede desarrollarse en el plano o
en el espacio. Ahora la estudiaremos en el plano.
http://www.educared.org/wikiEducared/Transformaciones_geom%C3%A9tricas_basadas_en_la_proporcion
alidad_directa.html
 Dos puntos homólogos A y A’, están siempre alineados con el centro de homología, incluso si uno
de ellos es impropio (cuando está en el infinito).
 Dos rectas homólogas se cortan en una recta llamada eje de homología, que es el único lugar de la
homología donde se encuentran puntos dobles exceptuando el centro de homología.
1. RECTAS LÍMITES
Son el lugar geométrico de los puntos homólogos de los del infinito del plano determinado por la figura. Son
dos rectas paralelas al eje. La distancia de una de ellas al eje es la misma que la de la otra al centro. Pueden
estar las dos entre el centro y el eje, o las dos por fuera de ellos. Si dos rectas límites coinciden, la razón de
homología es -1, lo que se denomina involución.
Para resolver una homología necesitamos una serie de datos, que se pueden combinar de muchas
maneras:
1.1. DADOS EL CENTRO, EL EJE Y UN PAR DE PUNTOS HOMÓLOGOS. importante
http://trazoide.com/homologia_999.htm
http://trazoide.com/homologia_990.htm
1.2. DADOS DOS PARES DE PUNTOS HOMÓLOGOS Y LA DIRECCIÓN DEL EJE DE HOMOLOGÍA. Ver
fotocopias.
1.3. TRES PARES DE PUNTOS HOMÓLOGOS importante
http://www.youtube.com/watch?v=X3xrT6-6Xj0&feature=related
1.4. El CENTRO, DOS PUNTOS HOMÓLOGOS Y OTRO DATO importante
http://trazoide.com/homologia_992.htm
1.5. EL CENTRO, EL EJE Y UNA RECTA LÍMITE.
http://www.youtube.com/watch?v=PEEiCRioNOk
http://trazoide.com/homologia_988.htm
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=348&p=1063#p1063
http://trazoide.com/homologia_987.htm
http://trazoide.com/homologia_995.htm

3. 2. HOMOLOGÍAS ESPECIALES
2.1. Cuando el eje y el centro de homología son impropios, la transformación que aplicamos es
una traslación, vista en la primera parte de este tema (apuntes 3.a)
2.2. Si sólo el eje de homología es impropio, la transformación que aplicamos es una homotecia,
vista en la segunda parte de este tema (apuntes 3.b)
2.3. Si sólo el centro de homología es impropio, la transformación que aplicamos es una
afinidad, que veremos a continuación.
HOMOLOGÍA AFÍN o AFINIDAD
Es una transformación geométrica en la que el centro de homología es impropio; por lo tanto todas las
rectas que unen pares de puntos homólogos son paralelas entre ellas y a una dirección llamada dirección de
afinidad, que sustituye al centro de homología.
Tal dirección puede se oblicua, perpendicular o paralela al eje.
En la afinidad no existen rectas límites.
El coeficiente de afinidad k es la relación que une dos puntos homólogos con el eje. K= MA/MA´= NB/NB´
3.1. AFINIDAD DADO UN PUNTO Y SU AFÍN Y EL EJE DE AFINIDAD. Importante
http://www.youtube.com/watch?v=5ydyH372R_c&feature=related
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=1734&start=0
3.2. FIGURA AFÍN A OTRA DADA. Importante
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=4435#p4435
http://trazoide.com/afinidad_995.htm
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=2855&start=0
http://trazoide.com/afinidad_980.htm
3.3. AFINIDAD DADO UN PUNTO, LA DIRECCIÓN Y LA RAZÓN DE AFINIDAD. En el ejercicio sólo se realiza
la afinidad del centro de la circunferencia, como si ésta no existiera.
http://www.youtube.com/watch?v=jlV7jkN6Mb8&feature=related
http://trazoide.com/afinidad_987.htm
3.4. RECTAS PERPENDICULARES POR PUNTO AFÍN.
http://trazoide.com/afinidad_986.htm
3.5. ELIPSE AFÍN A CIRCUNFERENCIA
http://trazoide.com/afinidad_997.htm