Este documento presenta dos ejercicios sobre transformaciones lineales. El primer ejercicio demuestra que la transformación T(a,b)=(a+2b,2a,-b) es lineal, mientras que el segundo ejercicio utiliza un contraejemplo para mostrar que la transformación T(x,y,z)=(x,0,z^2) no es lineal.

1. UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
VICE-RECTORADO ACADEMICO
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Ingeniería
ALGEBRA LINEAL
Actividad N°4 5%
Nombres y Apellidos:____ Victor Jose Santeliz Salcedo_____ CI:_24157864 ___
Seccion:________________________ Fecha:___09/02/2015___________
Facilitador: Prof. José E. Linárez
Reciban un cordial saludo los siguientes ejercicios propuestos deberán resolverlos y
enviarlos al link correspondiente hasta el 09/02/2015 pueden enviarlas utilizando
cualquier argumento, escaneo, Word, entre otros.
1. Sea 𝑇: 𝑅2
→ 𝑀3𝑥1(𝑅) definida por 𝑇(𝑎, 𝑏) = (
𝑎 + 2𝑏
2𝑎
−𝑏
)Determine si t es lineal. 5
puntos.
Sean:
𝑢 = (𝑎1, 𝑏1) ∈ 𝑅2
∧ 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2) ∈ 𝑅2
, 𝛼𝜖𝑅
Entonces: 𝑢 + 𝑣 = (𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2) ∧ α𝑢 = (𝛼𝑎1, 𝛼𝑏1)
i. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑎1 + 𝑎2, 𝑏1 + 𝑏2) = (
(𝑎1 + 𝑎2) + 2(𝑏1 + 𝑏2)
2(𝑎1 + 𝑎2)
−(𝑏1 + 𝑏2)
)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = (
(𝑎1 + 2𝑏1) + (𝑎2 + 2𝑏2)
2𝑎1 + 2𝑎2
−𝑏1 − 𝑏2
)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = (
𝑎1 + 2𝑏1
2𝑎1
−𝑏1
) + (
𝑎2 + 2𝑏2
2𝑎2
−𝑏2
)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑎1, 𝑏1) + 𝑇(𝑎2, 𝑏2)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)
Por tanto se cumple la primera condición.

2. ii. 𝑇(𝛼𝑢) = 𝑇(𝛼𝑎1, 𝛼𝑏1) = (
𝛼𝑎1 + 2𝛼𝑏1
𝛼𝑎1
−𝛼𝑏1
)
𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼 (
𝑎1 + 2𝑏1
2𝑎1
−𝑏1
)
𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑎1, 𝑏1)
𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢)
Por tanto se cumple la segunda condición.
De i y ii T es una transformación lineal.
2. Determinar si 𝑇: 𝑅3
→ 𝑅3
dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 0, 𝑧2
) es una transformación
lineal. 4 puntos
Contra ejemplo:
Sean:
𝑢 = (1, 3, −2) ∈ 𝑅2
∧ 𝑣 = (3, −4, 1) ∈ 𝑅2
, entonces:
𝑢 + 𝑣 = (1 + 3, 3 − 4, −2 + 1) = (4, −1, −1)
𝑇(𝑢) = 𝑇(1, 3, −2) = (1,0, (−2)2
) = (1 ,0, 4)
𝑇(𝑣) = 𝑇(3, −4, 1) = (3, 0, 12
) = (3 ,0, 1)
𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = (1 ,0, 4) + (3 ,0, 1) = (1 + 3 ,0 + 0, 4 + 1)
𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = (4 ,0,5)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(4, −1, −1) = (4, 0, (−1)2
)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = (4, 0, 1) ≠ (4 ,0,5)
𝑇(𝑢 + 𝑣) ≠ 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)
De lo anterior T no es una transformación lineal.
Profesor: José E Linárez