Este documento presenta los métodos para obtener la transformada inversa de Laplace, incluyendo el uso de la integral de inversión compleja, tablas de transformadas y la expansión en fracciones parciales. Explica cómo aplicar la expansión en fracciones parciales cuando la función tiene polos reales, complejos o repetidos. También resume cómo usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales, aplicando la transformada a cada término, resolviendo la ecuación transformada y luego aplicando la antitransformada.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja Transformada inversa de Laplace Integrantes: Jefferson Gómez Cristian Chamba Pedro Arboleda

2. Transformada inversa de Laplace Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), es decir, L{f(t)}=F(s), entonces f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s), y se denota como

3. Métodos para obtener la transformada inversa de Laplace: Usando la integral de inversión compleja Por tablas de transformadas. Por expansión en fracciones parciales. Los métodos 2 y 3 pueden aplicarse, debido a la unicidad de la transformada de Laplace.

4. Expansión en fracciones parciales Considere que F(s) está en la forma donde las raíces de n(s) son los ceros de F(s), y las raíces de d(s) son los polos de F(s). a) F(s) tiene solamente polos reales y distintos. En este caso podemos escribir F(s) como

5. donde el coeficiente constante es conocido como el residuo del polo en y se obtiene mediante Como entonces f(t) estará dada en este caso por

6. b) F(s) tiene polos distintos, incluyendo valores complejos. Sean polos complejos conjugados de F(s). La expansión en fracciones parciales de F(s) estará dada por Para obtener se multiplica la ecuación anterior por y se evalua en de donde tenemos que

7. De la ecuación anterior, se igualan las partes real e imaginaria de ambos miembros y se despejan los valores de c) F(s) tiene polos repetidos. Considere que F(s) tiene un polo múltiple en de multiplicidad r. La expansión en fracciones parciales de F(s) estará dada por

8. donde los coeficientes están dados por

9. Transformadas de derivadas. El objetivo es usar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales . Transformada de una variable. Teorema

10. El procedimiento se resume en el siguiente diagrama. Encuentre la y(t) desconocida que satisface la ED y las condiciones iniciales Resuelva la ecuación transformada para Y(s) Solución de y(t) del PVI original. La ED transformada se convierte en una ecuación algebraica de Y(s). Aplique la transformada a la inversa L Aplique la transformada a la inversa L

11. EDO con condiciones iniciales Aplicar transformada de Laplace a cada término. Resolver para Y(s) Aplicar expansión en fracciones simples Aplicar antitrasformada de Laplace a cada término. Ejemplo de una resolución de ED

12. Transformadas más usadas

13. Transformadas más usadas