El documento explica el concepto y cálculo de antiderivadas. Define la antiderivada como la función cuya derivada es igual a la función dada. Presenta fórmulas para calcular antiderivadas inmediatas de funciones elementales como ex, senx, cosx, etc. También cubre propiedades de antiderivadas como linealidad y suma, y el Teorema Fundamental del Cálculo que relaciona la derivada de una función con su integral definida. Finalmente, resuelve ejemplos de cálculo de antiderivadas.

1. Prof., Enrique Mateus Nieves
PhD in Advanced Mathematics.
Antiderivadas
En el proceso de derivación, dada una función  xFy  , el operador
dx
dy
me indica que se va a
calcular una función  xf que es la derivada de la función  xF . Siendo así F conocida, la
función  xf es equivalente a    xfxF
dx
dy
dx
dF
 .
Ahora supongamos que conocemos  xf que es la derivada de alguna función  xFy  que no
conocemos. Determinar esa función  xF es conocido como buscar una primitiva de la función
 xf . En términos generales: Antiderivar es buscar una función  xF tal que    xfxF  ,
para ello usamos el símbolo que va a juagar el papel de operador y que reemplaza la frase “vamos
a buscar una antiderivada de….” De la siguiente manera:   dxxf que leeremos. “la integral
indefinida de la función efe de equis de equis”
Si    ,xfxF  al ser C una constante, como         CxFdxxfxfCxF  )( va a
ser la antiderivada más general.
De la misma forma   dxxf ,   dt,tf   duuf darán funciones  ,xF  ,tF  uF
respectivamente, de ahí que  f se pueda escribir conociendo respecto de qué variable se va a
antiderivar. Existen unas antiderivadas que son de carácter inmediato, son ellas:
-1CconC
a
x
dxx
1a
a




 ,
1
.1 Cxdxxdx
x
 

ln
1
.2
1
Cxdxxsen  cos.3 Cxsendxx  cos.4
Cxdxx
2
 tansec.5 CxCodxx
2
 tancsc.6
Cxdxxtanx  secsec.7 Cxcscdxxcotanx  csc.8
Cxsendx
x-1
1 1-
2
.9
Cxdx
x




1
2
1
1
tan.10
Cxdx
xx




1
1
2
1
sec.11 Cdxa a
x
ax
 ln
.12

2. Prof., Enrique Mateus Nieves
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Tabla 1. Antiderivadas inmediatas
Propiedades:
      

xfkxfk     dxxfkdxxfk   y
          

 xgxfxgxf          dxxgdxxfdxxgxf  
Ejemplos
1.   Cxxx
3
2
dxx2x
2

23
2
1
1
2. Cxsenex
3
1
dxxe
3x
1 xx
 2
4
1
lncos2
4
1
Usando como ejemplo la Tabla 1 (antiderivadas inmediatas), hay algunas funciones compuestas
cuya integral se vuelve inmediata observando que la derivada interna es constante. Un ejemplo
es:
1.     C2xsen
2
1
dx2xcos  veamos ¿por qué? La derivada interna de  2xsen es 2 y este
número estaría afectando la función cuando, por la definición de antiderivada, me devuelvo
derivando  2xsen para comprobar que esta derivada sea el integrando. De ahí que,
     2x2x2xsen
2
1
coscos2
2
1








2.  

C1xlndx
x 1
1
3.  

C13xln
3
1
dx
x 13
1
4.   Ce
4
1
dxe
4x4x
5.
 
   

Cxsendx
x3-1
1
dx
x
1-
3
3
1
31
1
22
6.    Cx
3
2
dx74x 3
2
74
4
1
Luego aprenderemos un método de integración que permite hacer estas integrales, vale la pena
identificar que son formas inmediatas dividendo por la derivada interna.

3. Prof., Enrique Mateus Nieves
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Teorema fundamental del cálculo. (TFC)
Parte I.
Sea  xf una función real, continua en un intervalo cerrado  ba , definiendo
        
x
a
xfxGtfxG . Se ilustra a continuación cuando f es una función continua en
 ba , el significado de  xA y de  hxA  con 0h
     
   
 




hx
x
hx
x
dttf
hh
xAhxA
dttfxAhxA
1
  cfh
h
1
 Teorema del valor medio
   
   hxx,ccf
h
xAhxA


,
         xfcfhxfcfxf
h


 0
lim
De donde el
   
   xfxA
h
xAhxA
h



 0
lim , como se acaba de establecer que  xA es una
antiderivada de  xf
La demostración seria la misma utilizando     dttfxG
x
a
 sin asociar la función  xG con el área
entre a y x que fue lo que denominamos como  xA . También sería igual si se toma 0h , caso en el
que el cociente seria
       
h
xAhxA
h
hxA-xA 


y la desigualdad queda
     xfcfhxf  y se toma    xfcf
h


 0
lim
Ejemplos:
1.
3
1
3
11 xdtt
dx
d
x
 2. 







 t
edxe
dx
d t
t
2
x-
2
1
2

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Como consecuencia del teorema fundamental y de la derivación de funciones compuestas (en cadena),
ahora para la segunda parte del TFC tenemos que, si  xF es también una antiderivada de  xf
    KxFxG  (Dos antiderivadas que difieren en una constante)
    KbFbG  y      KaFaG
        0 aFaGbFbG (Restando las dos ecuaciones)
       aFbFaGbG  De ahí que:
       aFbFdxxfdxxf
a
a
b
a
  (Como   
a
a
0dxxf ) entonces,
     aFbFdxxf
b
a

Teorema Fundamental del cálculo (parte II)
Sea f continua en el intervalo cerrado  ba , y F una antiderivada de f en  ba , , la
     aFbFdxxf
b
a

Ejemplos resueltos
¿Qué se derivó para que la derivada sea   4 xf ?
Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la función que se derivó puede ser:
  xxF 41  . Pero también las funciones
  342  xxF o también   243  xxF , o   844  xxF hay tantas opciones como
números reales existen. Podemos generalizar esto escribiendo   CxxF  4
Es decir que la función cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos
miembros todos tienen pendiente 4m pero diferentes intersecciones con el eje y como
vemos en la gráfica 1 para los diferentes valores de la constante C. C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15
C=8

5. Prof., Enrique Mateus Nieves
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Calcular las siguientes antiderivadas
 dxx
5
.1  dxx
-7
.2  dxx 2
3
.3  

dxx 3
7
.4  dxx.5
 dx
x
1
9
.6  dx
x
1
17
2
.7  dx7x-
5
.8  dxx
8
5 12-
.9  dx2x
5
6
.10
Respuestas:
Cx
6
1

6
.1 Cx
6
1
- 
 6
.2 Cx
5
2
2
5
.3 Cx
4
3
- 

3
4
.4 Cx
15
17
- 

17
15
.7 Cx
11
10
5
11
.10
Bibliografía.
 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Indefinite integral» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics,
Springer, ISBN 978-1556080104
 Weisstein, Eric W. «Indefinite Integral». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.