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1

                           Cap´
                              ıtulo 5

                Valor Absoluto
   M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´
                                            ıguez S.




                 Instituto Tecnol´gico de Costa Rica
                                 o
                        Escuela de Matem´tica
                                          a
                                  ···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
                     a             o
2

Cr´ditos
  e


       Primera edici´n impresa:
                    o                      ´
                                   Rosario Alvarez, 1984.
               Edici´n LaTeX:
                     o             Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Marianela Abarca, Lisseth Angulo.
                                                                                    o
                                   y Walter Mora.
                 Colaboradores:    Cristhian Pa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´
                                               e             o           e                      ıa
    Edici´n y composici´n final:
         o             o           Walter Mora.
                      Gr´ficos:
                         a         Walter Mora, Marieth Villalobos.

     Comentarios y correcciones:   escribir a wmora2@yahoo.com.mx
Contenido

   5.1   Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 3
         5.1.1 Propiedades del valor absoluto . . . . . . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 5
         5.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 11
         5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 25



5.1      Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto
Nuestro objetivo en este cap´
                            ıtulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran
valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x
es una variable real.

Para esto conviene recordar la definici´n de valor absoluto siguiente:
                                      o

Para cada n´mero real x, se define su valor absoluto (y se denota |x| ) de la siguiente manera:
           u


                                        |x|    =      x        si   x        ≥           0

                                                               o

                                        |x|    =     −x        si   x        <           0

Esta definici´n frecuentemente se denota de la siguiente manera:
            o


                                                       x       si    x≥0
                                          |x| =
                                                      −x       si    x<0

Aplicando esta definici´n a expresiones de la forma ax + b se tiene:
                      o


                                                      ax + b        si       ax + b ≥ 0
                                  |ax + b| =
                                                   −(ax + b)        si       ax + b < 0

Usando la definici´n de valor absoluto se tiene:
                 o



    Ejemplo 1
          
              x+5      si   x+5≥0
|x + 5| =
          
            −(x + 5)    si   x+5<0

                                                           3
4       Valor Absoluto


    pero:   x+5≥0        ⇐⇒      x ≥ −5

    y   x +  < 0 ⇐⇒
            5                    x < −5
                 x+5            si x ≥ −5
∴ |x + 5| =
            
               −(x + 5)          si    x < −5

Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta informaci´n en la tabla siguiente:
                                                                    o


                                                      −∞            −5      +∞

                                                |x + 5|    −(x + 5)       x+5


    Ejemplo 2
          
              x−7          si     x−7≥0
|x − 7| =
          
            −(x − 7)        si     x−7<0


    pero:   x−7≥0        ⇐⇒      x≥7

    y       x−7<0        ⇐⇒      x<7
                
                        x−7     si    x≥7
∴ |x − 7| =
                
                    −(x − 7)     si    x<7

y en forma resumida podemos escribir:


                                                      −∞              7     +∞

                                                |x − 7|    −(x − 7)       x−7


     Ejemplo 3
              
                        −2x + 3      si   −2x + 3 ≥ 0
| − 2x + 3| =
              
                    −(−2x + 3)        si   −2x + 3 < 0

                                                                3
    pero:   −2x + 3 ≥ 0     ⇐⇒        −2x ≥ −3,    o sea   x≤
                                                                2
                                                                3
    y   −2x + 3 < 0 ⇐⇒ −2x < −3,                   o sea   x>
                                                               2
                                                 3
                
                    −2x + 3 si x ≥
                                                  2
∴ | − 2x + 3| =
                
                                                 3
                 −(−2x + 3) si x <
                                                  2
y en forma resumida podemos escribir:
J. Rodr´
                                                                                         ıguez S. A. Astorga M.   5

                                                −∞             3/2            +∞

                                      | − 2x + 3|    −2x + 3         −(−2x + 3)



     Ejemplo 4
              
                     −3 − 5x    si   −3 − 5x ≥ 0
| − 3 − 5x| =
              
                  −(−3 − 5x)     si   −3 − 5x < 0

                                                          −3
 pero:   −3 − 5x ≥ 0      ⇐⇒     −5x ≥ 3,   o sea    x≤
                                                          5
                                                          −3
 y      −3 − 5x < 0 ⇐⇒ −5x < 3, o sea                x>
                                                         5
                                   −3
                
                    −3 − 5x si x ≤
                                    5
∴ | − 3 − 5x| =
                
                
                 −(−3 − 5x) si x > −3
                                    5

y en forma resumida podemos escribir:


                                              −∞           −3/5                   +∞

                                      | − 3 − 5x|    −3 − 5x         −(−3 − 5x)




5.1.1    Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuaci´n algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podr´n ser utilizadas para fa-
                             o                                                          a
cilitar el trabajo en la resoluci´n de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
                                 o


Propiedad 1

∀x, x ∈ R : |x| ≥ 0


Demostraci´no
              
                     x   si    x≥0
x ∈ R : |x| =
              
                   −x     si    x<0
Hay dos posibles casos:

Caso 1: x ≥ 0

x ≥ 0 =⇒ |x| = x

 ∴ |x| ≥ 0
6   Valor Absoluto

Caso 2: x < 0

x < 0 =⇒ |x| = −x

 ∴ |x| ≥ 0; pues x < 0 =⇒ −x > 0


Propiedad 2

Si x ∈ R y |x| = 0 entonces x = 0


Demostraci´n: (ejercicio para el estudiante)
          o


Propiedad 3

Si x ∈ R, y ∈ R entonces |x · y| = |x| |y|


Demostraci´n
          o

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:
                       √
∀a, a ∈ R : |a| =      n
                           an , si n es par (ver p´gina 94)
                                                  a

en particular:
        √
|a| =       a2 ; ∀a, a ∈ R

Usando esta definici´n se tiene que:
                   o
                                      √
|xy| =       (xy)2 =       x2 y 2 =       x2 ·   y 2 = |x| · |y|

∴ = |x| · |y|


Propiedad 4

∀x, x ∈ R : | − x| = |x|

Demostraci´n:(ejercicio para el estudiante)
          o


Propiedad 5

                                                 x   |x|
Si x ∈ R, y ∈ R, y = 0 entonces                    =
                                                 y   |y|

Demostraci´n
          o

Aqu´ tambi´n usaremos el hecho que:
   ı      e
                       √
∀a, a ∈ R : |a| =          a2
J. Rodr´
                                                                        ıguez S. A. Astorga M.   7

                                                       x
Si x ∈ R, y ∈ R, y = 0 entonces                          ∈ R
                                                       y

                          2               √
     x                x            x2             x2       |x|
∴      =                      =       =                =
     y                y            y2             y2       |y|

 x   |x|
   =
 y   |y|

Propiedad 6

∀x, x ∈ R : |x|2 = x2


Demostraci´n
          o

∀x, x ∈ R : , se tiene que:
        √
|x| =       x2
          √
⇒ |x|2 = ( x2 )2
                            √          √
⇒ |x|2 = x2 pues ∀a, a ∈ R ( a ∈ R =⇒ ( a)2 = a)

∴ ∀x, x ∈ R : |x|2 = x2

Propiedad 7

Sea x una variable real y k un n´mero real positivo entonces:
                                u

|x| = k ⇐⇒ x = k o x = −k
                 ´

Demostraci´n:
           o
          √
Como |x| = x2 , se tiene:


            |x|                     =         k
            √
 ⇐⇒              x2                 =         k
             √
 ⇐⇒         ( x2 )2                 =         k2

 ⇐⇒         x2                      =         k2

 ⇐⇒         x2 − k 2                =         0

 ⇐⇒         (x − k)(x + k)          =         0

    ⇐⇒ x = k o x = −k

∴    |x| = k          ⇐⇒          x=k     o        x = −k
8    Valor Absoluto

Propiedad 8

Sea x una variable real y k un n´mero real positivo entonces:
                                u

|x| < k ⇐⇒ −k < x < k

Demostraci´n:
           o
          √
Como |x| = x2 , se tiene:


         |x|              <    k
         √
    ⇐⇒       x2           <    k
          √
    ⇐⇒   ( x2 )2          <    k2

    ⇐⇒   x2               <    k2

    ⇐⇒   x2 − k 2         <    0

    ⇐⇒   (x − k)(x + k)   <    0

Resolviendo esta inecuaci´n:
                         o


                                                    −∞ −k           k +∞

                                            x−k          −      −    +

                                            x+k          −      +    +

                                       (x − k)(x + k)    +      −    +

De aqu´ se tiene:
      ı

(x − k)(x + k) < 0 ⇐⇒ x ∈ ] − k, k[

o sea: −k < x < k

    ∴ |x| < k ⇐⇒ −k < x < k


Propiedad 9

Sea x una variable real y k un n´mero real positivo entonces:
                                u

|x| > k ⇐⇒ x > k      o   x < −k

Demostraci´n:
          o

Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostraci´n
                                                                                                       o
como ejercicio para el estudiante.


Propiedad 10
J. Rodr´
                                                                                 ıguez S. A. Astorga M.   9

Sea x una variable real y k un n´mero real positivo entonces:
                                u


  i.) |x| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ x ≤ k

 ii.) |x| ≥ k ⇐⇒ x ≥ k          o    x≤k

Demostraci´n:
          o

El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostraci´n como ejercicio para el estudiante.
                         o


Propiedad 11

∀x, x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x|

Demostraci´n:
          o
                                         
                                             x    si   x≥0
Sabemos que ∀x, x ∈ R : |x| =
                                         
                                             −x    si   x<0
Caso 1: x ≥ 0

x ≥ 0 =⇒ x = |x|

∴ x ≤ |x| (*)

Adem´s como |x| ≥ 0 entonces −|x| ≤ 0 y como x ≥ 0 entonces: −|x| ≤ x (∗∗)
    a

As´ por (∗) y (∗∗) se tiene que:
  ı

−|x| ≤ x y x ≤ |x|

∴ −|x| ≤ x ≤ |x| (I)

Caso 2: x < 0

 x<0        =⇒        |x|   =       −x

            =⇒      −|x|    =        x

            ∴       −|x|    ≤        x   (∗ ∗ ∗)

Adem´s como x < 0 y |x| ≥ 0 entonces
    a

  x ≤ |x|       (∗ ∗ ∗∗)

As´ por (∗ ∗ ∗) y (∗ ∗ ∗∗) se tiene que:
  ı

−|x| ≤ x y x ≤ |x|

∴ −|x| ≤ x ≤ |x| (II)

Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:
10   Valor Absoluto

∀x, x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x|


Propiedad 12 (desigualdad triangular)

Si x ∈ R, y ∈ R entonces |x + y| ≤ |x| + |y|


Demostraci´n:
          o

Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:

Lema:

Sean a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R, d ∈ R

Si a ≤ b y c ≤ d entonces a + c ≤ b + d

Demostraci´n (del lema)
          o

Supongamos que a ≤ b y c ≤ d, hay que demostrar que a + c ≤ b + d


  i.) a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c
 ii.) c ≤ d =⇒ b + c ≤ b + d

por i.) y ii.) se tiene que a + c ≤ b + d

Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades a ≤ b y c ≤ d podemos sumar miembro a
miembro estas desigualdades de la manera siguiente:


                                                 a    ≤   b

                                                  c   ≤   d

                                               a+c    ≤   b+d
Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.

Demostraci´n de la Propiedad 12 (desigualdad triangular).
          o

∀x, x ∈ R, ∀y, y ∈ R, se tiene que:

−|x| ≤ x ≤ |x| y

−|y| ≤ y ≤ |y|

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:

−|x| + −|y| ≤ x + y ≤ |x| + |y|

∴ −(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|

∴ |x + y| ≤ |x| + |y| por la propiedad (10.i)
J. Rodr´
                                                                                   ıguez S. A. Astorga M.    11

5.1.2        Ecuaciones que involucran valor absoluto
A continuaci´n resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre
             o
que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los que no sea posible aplicar alguna
de dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la definici´n de valor absoluto.
                                                                                       o
Adem´s es importante tener en cuenta que toda ecuaci´n que involucre valor absoluto se puede resolver usando
      a                                              o
la definici´n.
          o



Ejercicios 1

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones


 1.) |2x − 3| = 7

 2.) |x| = 5

 3.) |x − 3| = −3

 4.) |x + 8| = 0

 5.) |2x + 3| = −9

 6.) |x + 3| = 5 + x

 7.) |1 − 3x| + x = −3

 8.) 3|x + 4| − 2 = x

 9.)    4
            (2x − 15)4 = 10

10.)        (3 − 2x)2 + x = 3

11.) 2 4 (5 − 4x)4 = x + 2


Soluci´n
      o


 1.) |2x − 3| = 7



       Por la propiedad 7

                 |2x − 3| = 7

        ⇐⇒             2x − 3   =   7       o        2x − 3   =    −7
        ⇐⇒                 2x   =   10      o            2x   =    −4
        ⇐⇒                  x   =   5       o             x   =    −2

       ∴ S = {−2, 5}


       Observaci´n: Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden
                   o
       resolver usando la definici´n. Para ilustrar esto resolveremos la ecuaci´n anterior usando la definici´n de
                                 o                                            o                            o
       valor absoluto.
12   Valor Absoluto

     |2x − 3| = 7

     por definici´n
                o
                  
                       2x − 3       si     2x − 3 ≥ 0
     |2x − 3| =
                  
                      −(2x − 3)      si     2x − 3 < 0


                                                                    3
      pero:    2x − 3 ≥ 0     ⇐⇒          2x ≥ 3;    o sea     x≥
                                                                    2
                                                                    3
      y        2x − 3 < 0     ⇐⇒          2x < 3;    o sea     x<
                                                                    2
                                                    3
                      
                           2x − 3         si   x≥
                                                    2
     ∴ |2x − 3| =
                      
                                                    3
                       −(2x − 3)          si   x<
                                                     2

     Con esta informaci´n construimos la tabla siguiente:
                       o


                                                     −∞                      3/2              +∞


                                  |2x − 3|                −(2x − 3)                     2x − 3

                              |2x − 3| = 7               −(2x − 3) = 7                2x − 3 = 7

                                                         −2x + 3 = 7                   2x = 10

                                                             −2x = 4                    x=5

                                                             x = −2

                                                                         3                    3
                                                    como − 2 ∈ −∞,                 como 5 ∈     , +∞
                                                                         2                    2

                                                         ∴ S1 = {-2}                 ∴ S2 = {5}

     As´ el conjunto soluci´n es S = S1 ∪ S2 o sea S = {-2,5}
       ı                   o



 2.) |x| = 5

     Por la propiedad 7:

     |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5

     ∴ S = {−5, 5}
J. Rodr´
                                                                                           ıguez S. A. Astorga M.   13

3.) |x − 3| = −3

   Por la propiedad 1, |x − 3| ≥ 0, ∀x, x ∈ R, por lo tanto:

   |x − 3| = −3 !Nunca!

   ∴ S=∅


4.) |x + 8| = 0

   Por la propiedad 2,

     |x + 8| = 0      ⇐⇒    x+8      =      0

                      ⇐⇒    x        =    −8
   ∴ S = {−8}


5.) |2x + 3| = −9

   Por la propiedad 1, |2x + 3| ≥ 0, ∀x, x ∈ R

   ∴    |2x + 3| = −9      ¡Nunca!

   ∴    S=∅


6.) |x + 3| = 5 + x



   Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de
   la siguiente manera:



                                                     
                                                           x+3      si    x+3≥0
                                         |x + 3| =
                                                     
                                                          −(x + 3)   si    x+3<0

   o sea:
                                                      
                                                            x+3      si       x ≥ −3
                                          |x + 3| =
                                                      
                                                          −(x + 3)    si       x < −3

   Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                     o



                                  −∞                                      −3                          +∞
14   Valor Absoluto


                          |x + 3|                    −(x + 3)                                     x+3

                      |x + 3| = 5 + x          −(x + 3) = 5 + x                             x+3=5+x

                                          Resolviendo esta ecuaci´n:
                                                                 o                   Resolviendo esta ecuaci´n:
                                                                                                            o

                                                −x − 3 = 5 + x                              x+3=5+x

                                                −x − x = 5 + 3                              x−x=5−3

                                                     −2x = 8                                      0=2

                                                     x = −4

                                             como − 4 ∈ ]−∞, −3[

                                                ∴ S1 = {−4}                                     ∴ S2 = ∅

     As´ el conjunto soluci´n S de |x + 3| = 5 + x es S1 ∪ S2 , o sea S = {−4}
       ı                   o


 7.) |1 − 3x| + x = −3

     En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:

                                                     
                                                            1 − 3x        si        1 − 3x ≥ 0
                                        |1 − 3x| =
                                                     
                                                         −(1 − 3x)         si        1 − 3x < 0




                                                                           1
      pero:    1 − 3x ≥ 0     ⇐⇒        −3x ≥ −1,         o sea     x≤
                                                                           3
                                                                           1
      y        1 − 3x < 0     ⇐⇒        −3x < −1,         o sea     x>
                                                                           3

                                                                                           1
                                                         
                                                                 1 − 3x        si     x≤
                                                                                           3
                                          |1 − 3x| =
                                                         
                                                                                           1
                                                          −(1 − 3x)            si     x>
                                                                                            3

     Con esta informaci´n construiremos la siguiente tabla:
                       o
J. Rodr´
                                                                                          ıguez S. A. Astorga M.   15

                                                                        1
                                         −∞                                                    +∞
                                                                        3

                           |1 − 3x|                     1 − 3x                     −(1 − 3x)

                       |1 − 3x| + x = −3          1 − 3x + x = −3           −(1 − 3x) + x = −3

                                                       −2x = −4              −1 + 3x + x = −3

                                                         x=2                       4x = −2

                                                                   1                     −1
                                              Como 2 ∈       −∞,                    x=
                                                                   3                      2

                                                                                   −1   1
                                                                            como      ∈
                                                                                      /   , +∞
                                                                                    2   3

                                                       ∴ S1 = ∅                    entonces:

                                                                                   ∴ S2 = ∅

   As´ el conjunto soluci´n S de |1 − 3x| + x = −3 es S1 ∪ S2 o sea S = ∅
     ı                   o


8.) 3|x + 4| − 2 = x



   En este caso:

                                                  
                                                        x+4      si    x+4≥0
                                      |x + 4| =
                                                  
                                                       −(x + 4)   si    x+4<0
   o sea:
                                                   
                                                         x+4      si   x ≥ −4
                                       |x + 4| =
                                                   
                                                       −(x + 4)    si   x < −4


   Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                     o
16     Valor Absoluto

                                            −∞                              −4                          +∞

                                  |x + 4|                  −(x + 4)                         x+4

                           3|x + 4| − 2 = x           3[−(x + 4)] − 2 = x           3(x + 4) − 2 = x

                                                      3[−x − 4] − 2 = x              3x + 12 − 2 = x

                                                      −3x − 12 − 2 = x               3x − x + 10 = 0

                                                      −3x − 14 − x = 0                 2x = −10

                                                           −4x = 14                      x = −5

                                                                  −14
                                                           x=                    Como − 5    ∈    [−4, +∞[
                                                                   4
                                                                  −7
                                                           x=                       entonces: S2 = ∅
                                                                  2

                                                 Como −7/2 ∈ ] − ∞, −4]

                                                       entonces: S1 = ∅


       De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n S de 3|x − 4| − 2 = x es vac´ o sea S = ∅
             ı                                o                              ıo


 9.)    4
            (2x − 15)4 = 10


            4
                (2x − 15)4 = 10     ⇐⇒

        |2x − 15| = 10              ⇐⇒      2x − 15 = 10      o    2x − 15 = −10

                                    ⇐⇒      2x = 25           o    2x = 5

                                                 25                     5
                                    ⇐⇒      x=                o    x=
                                                  2                     2
                      25 5
       ∴        S=      ,
                      2 2


10.)        (3 − x)2 = 5

                (3 − x)2 = 5   ⇐⇒

        |3 − x| = 5            ⇐⇒       3−x=5          o   3 − x = −5

                               ⇐⇒       −x = 2         o   −x = −8

                               ⇐⇒       x = −2         o   x=8

       ∴        S = {−2, 8}
J. Rodr´
                                                                                                    ıguez S. A. Astorga M.   17

11.)       (3 − 2x)2 + x = 3


            (3 − 2x)2 + x      =      3     ⇐⇒

        |3 − 2x| + x           =      3


       Pero:


                    
                            3 − 2x       si   3 − 2x ≥ 0
       |3 − 2x| =
                    
                        −(3 − 2x)         si   3 − 2x < 0

                                                                             3
        Como:       3 − 2x ≥ 0        ⇐⇒       −2x ≥ −3,        o sea   x≤
                                                                             2
                                                                             3
        y           3 − 2x < 0        ⇐⇒       −2x < −3,        o sea   x>
                                                                             2

                                                         3
                         
                              3 − 2x          si    x≤
                                                         2
       ∴    |3 − 2x| =
                         
                                                         3
                          −(3 − 2x)           si    x>
                                                          2
       Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                         o



                                                      −∞                         3/2                     +∞


                                          |3 − 2x|                  3 − 2x                   −(3 − 2x)

                                   |3 − 2x| + x = 3            3 − 2x + x = 3          −(3 − 2x) + x = 3

                                                                −x = 3 − 3             −3 + 2x + x = 3

                                                                    −x = 0                    3x = 6

                                                                    x=0                       x=2

                                                                                3                  3
                                                              como 0 ∈ −∞,             como 2 ∈      , +∞
                                                                                2                  2

                                                                ∴    S1 = {0}            ∴     S2 = {2}


       De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n S de
             ı                                o                      (3 − 2x)2 + x = 3 es {0, 2} o sea; S = {0, 2}


12.) 2 4 (5 − 4x)4 = x + 2
18   Valor Absoluto

     2|5 − 4x| = x + 2

                            
                                  5 − 4x        si    5 − 4x ≥ 0
     Pero: |5 − 4x| =
                            
                                −(5 − 4x)        si    5 − 4x < 0

                                                                                     5
       Como:     5 − 4x ≥ 0        ⇐⇒       −4x ≥ −5,               o sea    x≤
                                                                                     4
                                                                                     5
       y         5 − 4x < 0        ⇐⇒       −4x < −5,               o sea    x>
                                                                                     4
                                                          5
                        
                               5 − 4x      si        x≤
                                                          4
     ∴     |5 − 4x| =
                        
                                                          5
                         −(5 − 4x)         si        x>
                                                           4
     Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                       o


                                                       −∞                                5/4                            +∞

                                    |5 − 4x|                          5 − 4x                          −(5 − 4x)

                                2|5 − 4x| = x + 2              2(5 − 4x) = x + 2               2[−(5 − 4x)] = x + 2

                                                               10 − 8x = x + 2                 2[−5 + 4x] = x + 2

                                                               −8x − x = 2 − 10                 −10 + 8x = x + 2

                                                                    −9x = −8                     8x − x = 2 + 10

                                                                             8
                                                                      x=                              7x = 12
                                                                             9
                                                                                                             12
                                                                                                       x=
                                                                                                              7
                                                                      8       5                       12   5
                                                           como         ∈ −∞,                  como      ∈   , +∞
                                                                      9       4                        7   4

                                                                                 8                                12
                                                                ∴     S1 =                       ∴    S2 =
                                                                                 9                                7

                                                                                                          8 12                       8 12
     De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n S de 2 4 (5 − 4x)4 = x + 3 es
           ı                                o                                                              ,           , o sea S =    ,
                                                                                                          9 7                        9 7



Ejercicios 2

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

 1.) |x| = 7
J. Rodr´
                                                                                 ıguez S. A. Astorga M.    19

 2.) |2x + 5| = −8

 3.) | − 2x + 9| = 11
 4.) −3|3 − 2x| = −12

 5.) |3x + 2| = x + 1
 6.) 2|2x − 5| = x − 3
 7.) 3| − 5x − 1| = −2x + 3
 8.) −1 − 2|5 − 3x| = x

 9.)   6
           (2x + 1)6 = 3

10.) −2      (1 − 7x)2 = −6

11.)       (x − 2)2 + 3x = 6

12.) x + 2 4 (x − 6)4 = 5

13.) 2|x| + |x − 1| = 4
14.) |2x − 3| − 2|x| = 3
        x−1
15.)        =2
        x+1

16.) 2|3x − 1| =        (x − 7)2
17.) 2|2 − x| + |2x − 1| = x

18.) |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0

Nota: En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´n, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´n de
                                                      o                                                  o
cada uno de los valores absolutos involucrados.



Soluci´n
      o


 1.) 2|x| + |x − 1| = 4

       En este caso se tiene que:

                    
                        x     si   x≥0
        a.) |x| =
                    
                        −x     si   x<0

                        
                              x−1      si   x≥1
        b.) |x − 1| =
                        
                             −(x − 1)   si   x<1

       Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                         o
20   Valor Absoluto

                                       −∞                          0                       1                    +∞


                            |x|                      −x                        x                     x

                        |x − 1|                    −(x − 1)                −(x − 1)                x−1

              2|x| + |x − 1| = 4             2x + −(x − 1) = 4         2x + −(x − 1) = 4   2(−x) + (x − 1) = 4

                                              −2x − x + 1 = 4           2x − x + 1 = 4         2x + x − 1 = 4

                                                   −3x = 3                    x=3                  3x = 5

                                                                                   5
                                                   x = −1                     x=
                                                                                   3
                                                                                                   5   5
                                             como − 1 ∈] − ∞, 0[        Como 3 ∈ ]0, 1[    como      ∈   , +∞
                                                                                                   3   3

                                                                                                            5
                                               ∴   S1 = {−1}              ∴   S2 = ∅           ∴   S2 =
                                                                                                            3


     De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n de 2|x| + |x − 1| = 4 es S donde S = S1 ∪ S2 ∪ S3
           ı                                o
                        5
     ∴   S=       −1,
                        3


 2.) |2x − 3| − 2|x| = 3

     En este caso se tiene que:

                                                       3
                            
                                  2x − 3     si   x≥
                                                       2
      a.) |2x − 3| =
                            
                                                       3
                             −(2x − 3)       si   x<
                                                        2
                  
                           x     si   x≥0
      b.) |x| =
                  
                      −x          si   x<0

     Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                       o
J. Rodr´
                                                                                             ıguez S. A. Astorga M.     21

                               −∞                                   0                          3/2                 +∞



                    |2x − 3|                   −(2x − 3)                       −(2x − 3)                 2x − 3

                         |x|                      −x                              x                        x

              |2x − 3| − 2|x| = 3      −(2x − 3) − 2(−x) = 3            −(2x − 3) − 2(x) = 3     2x − 3 − 2x = 3

                                          −2x + 3 + 2x = 3               −2x + 3 − 2x = 3                −3 = 3

                                                 3=3                           −4x = 0               ∴    S3 = ∅

                                          ∴    S1 =] − ∞, 0[                    x=0

                                                                                           3
                                                                          como 0 ∈ 0,
                                                                                           2

                                                                           ∴    S2 = {0}


      De aqu´ que el conjunto soluci´n de |2x − 3| − 2|x| = 3 es S = S1 ∪ S2 ∪ S3
            ı                       o

      ∴   S =] − ∞, 0]



       x−1
3.)        =2
       x+1



          x−1                        |x − 1|
              =2     ⇐⇒                            =           2,              por la propiedad 5
          x+1                        |x + 1|

                     ⇐⇒             |x − 1|        =        2|x + 1|           (∗), con x = −1

                     ⇐⇒             |x − 1|2       =       (2|x + 1|)2

                     ⇐⇒             |x − 1|2       =       4|x + 1|2

                     ⇐⇒             (x − 1)2       =       4(x + 1)2 ,          por la propiedad 6

                     ⇐⇒         x2 − 2x + 1        =   4(x2 + 2x + 1)

                     ⇐⇒         x2 − 2x + 1        =    4x2 + 8x + 4

                     ⇐⇒        −3x2 − 10x − 3      =           0

                     ⇐⇒        3x2 + 10x + 3       =           0

      Resolviendo esta ecuaci´n por f´rmula general:
                             o       o
22   Valor Absoluto


           =     100 − 4(3)(3)

           =     100 − 36

           =     64

                   −10 + 8                       −1
      x1   =                     =⇒       x1 =
                     6                           3
                   −10 − 8
      x2   =                     =⇒       x2 = −3
                     6
                                                      x−1
     De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n de
           ı                                o             = 2 es S, donde
                                                      x+1
                 −1
     S=    −3,
                 3

     Nota: A partir de (∗) esta ecuaci´n se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los
                                      o
     ejemplos (1) y (2) anteriores.


 4.) 2|3x − 1| =      (x − 7)2



      ⇐⇒       2|3x − 1|         =    |x − 7|           (∗)(Ver nota anterior)

      ⇐⇒       (2|3x − 1|)2      =    |x − 7|2

      ⇐⇒       4|3x − 1|2        =    |x − 7|2

      ⇐⇒       4(3x − 1)2        =    (x − 7)2

      ⇐⇒       4(9x2 − 6x + 1)   =    x2 − 14x + 49

      ⇐⇒       36x2 − 24x + 4    =    x2 − 14x + 49

      ⇐⇒       35x2 − 10x − 45   =    0

      ⇐⇒       7x2 − 2x − 9      =    0

     Resolviendo esta ecuaci´n por f´rmula general:
                            o       o



           =     4 − 4(7)(−9)

           =     4 + 252

           =     256

                   2 + 16                        9
      x1   =                     =⇒       x1 =
                     14                          7
                   2 − 16
      x2   =                     =⇒       x2 = −1
                     14
J. Rodr´
                                                                                        ıguez S. A. Astorga M.         23

                                                                                                    9
   De aqui se tiene que el conjunto soluci´n de 2|3x − 1| =
                                          o                           (x − 7)2 es S donde: S =        , −1
                                                                                                    7


5.) 2|2 − x| + |2x − 1| = x

   En este caso se tiene que:

                     
                          2−x        si        x≤2
     a.) |2 − x| =
                     
                         −(2 − x)     si        x>2

                                                     1
                      
                           2x − 1         si    x≥
                                                     2
     b.) |2x − 1| =
                      
                                                     1
                       −(2x − 1)          si    x<
                                                      2

   Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                     o



                             −∞                                 1/2                        2                      +∞



             |2 − x|                              2−x                      2−x                         −(2 − x)

            |2x − 1|                            −(2x − 1)                 2x − 1                         2x − 1

     2|2 − x| + |2x − 1| = x        2(2 − x) + −(2x − 1) = x    2(2 − x) + (2x − 1) = x        2[−(2 − x)] + (2x − 1) = x

                                      4 − 2x − 2x + 1 = x         4 − 2x + 2x − 1 = x           2[−2 + x] + 2x − 1 = x

                                     −2x − 2x − x = −4 − 1                 3=x                   −4 + 2x + 2x − 1 = x

                                                                                 −1
                                                −5x = −5              Como 3 ∈      ,2            2x + 2x − x = 4 + 1
                                                                                 2

                                                 x=1                     entonces:                       3x = 5

                                                            1                                                 5
                                      Como 1 ∈        −∞,                 S2 = ∅                         x=
                                                            2                                                 3

                                                                                                         5
                                                entonces:                                         Como     ∈ ]2, +∞[
                                                                                                         3

                                                 S1 = ∅                                                entonces:

                                                                                                         S3 = ∅

   De aqu´ que el conjunto soluci´n de 2|2 − x| + |2x − 1| = x es S, donde S = ∅
         ı                       o
24     Valor Absoluto

 6.) |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0

       En este caso se tiene que:

                                                          3
                         
                              3 − 2x         si    x≤
                                                          2
        a.) |3 − 2x| =
                         
                                                          3
                          −(3 − 2x)          si    x>
                                                           2
                        
                             x+2        si        x ≥ −2
        b.) |x + 2| =
                        
                            −(x + 2)     si        x < −2

       Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                         o

                                  −∞                                −2                               3/2                              +∞


                 |3 − 2x|                                3 − 2x                    3 − 2x                         −(3 − 2x)

                  |x + 2|                             −(x + 2)                      x+2                              x+2

        |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0     3 − 2x − 3[−(x + 2)] − x = 0     3 − 2x − 3(x + 2) − x = 0    −(3 − 2x) − 3(x + 2) − x = 0

                                        3 − 2x − 3[−x − 2] − x = 0       3 − 2x − 3x − 6 − x = 0           −3 + 2x − 3x − 6 − x = 0

                                          3 − 2x + 3x + 6 − x = 0                −6x − 3 = 0                     −2x − 9 = 0

                                                         9=0                      −6x = 3                           −2x = 9

                                                                                         −1                              −9
                                                     ∴    S1 = ∅                  x=                                x=
                                                                                         2                               2

                                                                                   −1       3                       −9   3
                                                                           como       ∈ −2,                 Como:      ∈   , +∞
                                                                                    2       2                       2    2

                                                                                          −1
                                                                             ∴    S2 =                           ∴    S3 = ∅
                                                                                          2


                                                                                                      −1
       De aqu´ que el conjunto soluci´n de |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0 es S, donde S =
             ı                       o
                                                                                                      2



Ejercicios 3

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:


 1.)     (4x − 1)2 = |3 − 8x|
        2x + 1
 2.)           =3
        1−x
 3.) |x + 3| − |x − 2| = x
J. Rodr´
                                                                                   ıguez S. A. Astorga M.    25

 4.)    4
            (x + 1)4 − 3|x − 2| = 6
                    x−1
 5.) |x − 4| −          =4−x
                     5
       |x|
 6.)       + 3x + 4 = |x − 1|
        2

5.1.3        Inecuaciones que involucran valor absoluto
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma ax + b, donde a y b son
constantes con a = 0 y x es una variable real. Para esto utilizaremos la definici´n de valor absoluto, y en los
                                                                                 o
casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar el
procedimiento de resoluci´n.
                         o



Ejercicios 4
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:


 1.) |x − 2| < 1
 2.) |5x − 7| ≤ 3
 3.) |3 − x| < 4
 4.) |5 − 2x| ≤ 7
 5.) |2x − 3| ≤ −5
 6.) |7 − 2x| ≥ −6
 7.) |5x + 2| > 0
 8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0
 9.) |x − 3| ≤ 2x − 5
10.) |x| + 3 ≥ 2x
11.)    6
            (2x + 1)6 > 3
                       2
             2
12.)           x+1         −x<2
             5


Soluci´n
      o


 1.) |x − 2| < 1

       Sabemos que:
                   
                           x−2   si   x≥2
       |x − 2| =
                   
                       −(x − 2)   si   x<2

       Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                         o
26   Valor Absoluto

                                         −∞                            2                       +∞

                             |x − 2|                   −(x − 2)                 x−2

                           |x − 2| < 1            −(x − 2) < 1                 x−2<1

                                                      −x + 2 < 1                x<3

                                                      −x < −1         As´ debe cumplirse que
                                                                        ı

                                                        x>1                x≥2yx<3

                                          As´ debe cumplirse que
                                            ı                              ∴   S2 = [2, 3[

                                                  x<2yx>1

                                                  ∴     S1 = ]1, 2[

     En consecuencia el conjunto soluci´n S, de |x − 2| < 1 es S1 ∪ S2 o sea S = ]1, 3[
                                       o



     Nota: La inecuaci´n |x − 2| < 1 y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valor
                       o
     absoluto y adem´s algunos resultados que se enuncian a continuaci´n y que aceptaremos sin demostrar.
                    a                                                 o



      Resultado 1

     ∀a, a ∈ R, ∀b, b ∈ R, ∀c, c ∈ R, ∀k, k ∈ R


       i.) a < b < c ⇐⇒ a + k < b + k < c + k
      ii.) a ≤ b ≤ c ⇐⇒ a + k ≤ b + k ≤ c + k

      Resultado 2

     ∀a, a ∈ R, ∀b, b ∈ R, ∀c, c ∈ R, ∀k, k ∈ R con k > 0

       i.) a < b < c ⇐⇒ ak < bk < ck
      ii.) a ≤ b ≤ c ⇐⇒ ak ≤ bk ≤ ck

      Resultado 3

     ∀a, a ∈ R, ∀b, b ∈ R, ∀c, c ∈ R, ∀k, k ∈ R con k < 0

       i.) a < b < c ⇐⇒ ak > bk > ck
      ii.) a ≤ b ≤ c ⇐⇒ ak ≥ bk ≥ ck

     Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto, |x − 2| < 1 se resuelve as´
                                                                                                              ı.
J. Rodr´
                                                                  ıguez S. A. Astorga M.   27


     |x − 2| < 1     ⇐⇒     −1 < x − 2 < 1

                     ⇐⇒     −1 + 2 < x − 2 + 2 < 1 + 2

                     ⇐⇒     1 < x < 3


   ∴    S =]1, 3[




2.) |5x − 7| ≤ 3




     |5x − 7| ≤ 3      ⇐⇒   −3 ≤ 5x − 7 ≤ 3

                       ⇐⇒   −3 + 7 ≤ 5x − 7 + 7 ≤ 3 + 7

                       ⇐⇒   4 ≤ 5x ≤ 10

                             1      1        1
                       ⇐⇒      ·4 ≤   · 5x ≤   · 10
                             5      5        5
                             4
                       ⇐⇒      ≤ x ≤ 2
                             5
              4
   ∴    S=      ,2
              5




3.) |3 − x| < 4




     |3 − x| < 4     ⇐⇒     −4 < 3 − x < 4

                     ⇐⇒     −3 − 4 < −3 + 3 − x < −3 + 4

                     ⇐⇒     −7 < −x < 1

                     ⇐⇒     7 > x > −1

                     ⇐⇒     −1 < x < 7


   ∴    S =] − 1, 7[




4.) |5 − 2x| ≤ 7
28   Valor Absoluto

      |5 − 2x| ≤ 7     ⇐⇒    −7 ≤ 5 − 2x ≤ 7

                       ⇐⇒    −7 − 5 ≤ −5 + 5 − 2x ≤ −5 + 7

                       ⇐⇒    −12 ≤ −2x ≤ 2

                              −1           −1           −1
                       ⇐⇒        · (−12) ≥    · (−2x) ≥    ·2
                               2            2            2

                       ⇐⇒    6 ≥ x ≥ −1

                       ⇐⇒    −1 ≤ x ≤ 6
     ∴   S = [−1, 6]

 5.) |2x − 3| < −5

     por propiedad 1:

     |2x − 3| ≥ 0, ∀x, x ∈ R

     ∴   |2x − 3| ≥ −5;     ¡Nunca!

     ∴   S=∅

 6.) |7 − 2x| ≥ −6

     por propiedad 1;

     |7 − 2x| ≥ 0, ∀x, x ∈ R

     en particular

     |7 − 2x| ≥ −6, ∀x, x ∈ R

     ∴   S=R

 7.) |5x + 2| > 0

     por propiedad 1;

     |5x + 2| ≥ 0, ∀x, x ∈ R

     por propiedad 2;

      |5x + 2| = 0     ⇐⇒    5x + 2   =   0

                       ⇐⇒    5x       =   −2

                                          −2
                       ⇐⇒    x        =
                                          5
J. Rodr´
                                                                                ıguez S. A. Astorga M.    29

                                                   −2
   ∴   |5x + 2| > 0; ∀x, x ∈ R, tal que x =
                                                   5

                     −2
   ∴   S =R−
                     5


8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0

     2|3 − x| − 10 ≥ 0    ⇐⇒       2|3 − x| ≥ 10

                          ⇐⇒       |3 − x| ≥ 5

                          ⇐⇒       3−x ≥ 5          o   3 − x ≤ −5

                          ⇐⇒       −x ≥ 2           o   −x ≤ −8

                          ⇐⇒       x ≤ −2           o   x ≥ 8

   ∴   S = ] − ∞, −2] ∪ [8, +∞[


9.) |x − 3| ≤ 2x − 5

   Nota: en este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades de valor absoluto enunciadas en p´ginas
                                                                                                       a
   anteriores, por lo que procedemos de la manera siguiente:

               
                      x−3    si    x≥3
   |x − 3| =
               
                   −(x − 3)   si    x<3

   Con esta informaci´n construimos la tabla siguiente
                     o
30   Valor Absoluto

                                         −∞                                  3                           +∞

                                 |x − 3|               −(x − 3)                          x−3

                            |x − 3| ≤ 2x − 5       −(x − 3) ≤ 2x − 5                 x − 3 ≤ 2x − 5

                                                   −x + 3 ≤ 2x − 5               x − 2x ≤ −5 + 3

                                                   −x − 2x ≤ −5 − 3                    −x ≤ −2

                                                       −3x ≤ −8                        −x ≥ −2

                                                              8
                                                         x≥
                                                              3

                                                As´ debe cumplirse
                                                  ı                           As´ debe cumplirse
                                                                                ı

                                                         8
                                                    x≥     yx<3                      x≥2yx≥3
                                                         3
                                                                  8
                                                   ∴   S1 =         ,3           ∴     S2 = [3, +∞[
                                                                  3

                                                                                                         8
     En consecuencia el conjunto soluci´n S, de |x − 3| ≤ 2x − 5 es S1 ∪ S2 ; o sea S =
                                       o                                                                   , +∞
                                                                                                         3


10.) |x| + 3 ≥ 2x

     Como
           
               x     si   x≥0
     |x| =
           
               −x     si   x<0

     Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                       o

                                         −∞                              0                          +∞

                                   |x|                   −x                              x

                             |x| + 3 ≥ 2x          −x + 3 ≥ 2x                       x + 3 ≥ 2x

                                                   −x − 2x ≥ −3                  x − 2x ≥ −3

                                                    −3x ≥ −3                         −x ≥ −3

                                                       x≤1                             x≤3

                                               As´ debe cumplirse
                                                 ı                           As´ debe cumplirse
                                                                               ı

                                                   x≤1yx<0                       x≤3yx≥0

                                               ∴    S1 = ] − ∞, 0[               ∴    S2 = [0, 3]
J. Rodr´
                                                                                        ıguez S. A. Astorga M.   31

       En consecuencia el conjunto soluci´n S, de |x| + 3 ≥ 2x es S1 ∪ S2 o sea S = ] − ∞, 3]
                                         o


11.)   6
           (2x + 1)6 > 3

           6
               (2x + 1)6 > 3      ⇐⇒   |2x + 1| > 3

                                  ⇐⇒    2x + 1 > 3       o   2x + 1 < −3

                                  ⇐⇒          2x > 2     o   2x < −4

                                  ⇐⇒              x>1    o   x < −2

       S1 = ]1, +∞[ y S2 = ] − ∞, −2[


       El conjunto soluci´n S, de
                         o               6
                                             (2x + 1)6 > 3 es S1 ∪ S2 , o sea S = ]1, +∞[ ∪ ] − ∞, −2[


                        2
               2
12.)             x+1        −x<2
               5

                            2
                2                                 2
                  x+1           −x<2   ⇐⇒           x+1 −x<2
                5                                 5

       Para este caso se tiene que:
                  
                           2                           −5
                  
                             x+1            si    x≥
        2                  5                           2
          x+1 =
        5         
                   − 2x+1
                  
                                            si    x<
                                                        −5
                          5                             2

       Con esta informai´n construimos la tabla siguiente:
                        o
32     Valor Absoluto

                                                                     −5
                                          −∞                                                    +∞
                                                                      2

                                 2                       2                       2
                                   x+1               −     x+1                     x+1
                                 5                       5                       5

                              2                   2                           2
                                x+1 −x < 2      −( x + 1) − x < 2               x+1−x < 2
                              5                   5                           5

                                                 −2                           2
                                                    x−1−x < 2                   x−x < 2−1
                                                  5                           5
                                                 −2                             −3
                                                    x−x < 2+1                      x < 1
                                                  5                             5
                                                     −7                               −5
                                                        x < 3                   x >
                                                      5                                3
                                                          −15
                                                     x >
                                                           7
                                                As´ debe cumplirse
                                                  ı                       As´ debe cumplirse
                                                                            ı

                                                     −15       −5              −5       −5
                                               x >       y x <        x >         y x ≥
                                                      7         2              3        2
                                                                                      −5
                                                     ∴   S1 = ∅           ∴   S2 =       , +∞
                                                                                      3

                                −5
       ∴     S = S1 ∪ S2 =         , +∞
                                3



Ejercicios 5

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:


 1.) |2x − 3| < 7
 2.) |3x + 5| ≤ 12
 3.)        (9x + 8)2 ≤ −3
 4.) |13x − 15| > 0
 5.) |3 + 2x| > 5
 6.) | − 2x + 6| ≥ −4
 7.) |2x − 7| + x ≥ 6
 8.)    8
            (5 − 2x)8 < x − 7
 9.) 2|3 − x| + 3x > 3
10.) −2|7 + x| − 3x ≤ 0
                     2
             x 2
11.)          +          ≥1
             2 3
J. Rodr´
                                                                                      ıguez S. A. Astorga M.       33

12.) 2 (2x + 7)2 ≤ x



Ejercicios 6

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:


 1.) |x − 1| + |x + 1| < 4
 2.) |x − 2| + 3|x| ≤ 6
 3.) |4 − x| + |2x − 5| > 7 − x
 4.) |x| − 2 (6 − x)2 ≥ x


Soluci´n
      o


 1.) |x − 1| + |x + 1| < 4

     En este caso se tiene que:
                 
                      x−1      si    x≥1
     |x − 1| =
                 
                     −(x − 1)   si    x<1

                 
                      x+1      si    x ≥ −1
     |x + 1| =
                 
                     −(x + 1)   si    x < −1


     As´
       ı:




                                     −∞                        −1                          1                  +∞

                     |x − 1|                   −(x − 1)                  −(x − 1)                 x−1

                     |x + 1|                   −(x + 1)                    x+1                    x+1

              |x − 1| + |x + 1| < 4   −(x − 1) + −(x + 1) < 4       −(x − 1) + x + 1 < 4       x−1+x+1<4

                                          −x + 1 − x − 1 < 4        −x + 1 + x + 1 < 4            2x < 4

                                               −2x < 4                     2<4                    x<2

                                               x > −2

                                            S1 = ] − 2, −1[             S2 = [−1, 1[            S3 = [1, 2[


     ∴      Como S = S1 ∪ S2 ∪ S3 , entonces: S = ] − 2, 2[
34   Valor Absoluto

 2.) |x − 2| + 3|x| ≤ 6

     En este caso se tiene que:
                 
                        x−2           si        x≥2
     |x − 2| =
                 
                      −(x − 2)         si        x<2

      y
             
                 x     si     x≥0
     |x| =
             
                 −x     si     x<0

     Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
                       o

                                             −∞                          0                       2                 +∞

                             |x − 2|                        −(x − 2)             −(x − 2)                x−2

                               |x|                            −x                     x                     x

                      |x − 2| + 3|x| ≤ 6          −(x − 2) + 3(−x) ≤ 6       −(x − 2) + 3x ≤ 6       x − 2 + 3x ≤ 6

                                                       −x + 2 − 3x ≤ 6       −x + 2 + 3x ≤ 6          4x ≤ 6 + 2

                                                        −4x ≤ 6 − 2             2x ≤ 6 − 2              4x ≤ 8

                                                            −4x ≤ 4               2x ≤ 4                 x≤2

                                                            x ≥ −1                x≤2

                                                        S1 = [−1, 0[            S2 = [0, 2[            S3 = {2}


     Como S = S1 ∪ S2 ∪ S3 entonces S = [−1, 2]


 3.) |4 − x| + |2x − 5| > 7 − x

     Como:

                 
                        4−x           si        x≤4
     |4 − x| =
                 
                      −(4 − x)         si        x>4

      y
                                                       5
                  
                         2x − 5            si    x≥
                                                       2
     |2x − 5| =
                  
                                                       5
                   −(2x − 5)               si    x<
                                                        2
J. Rodr´
                                                                                    ıguez S. A. Astorga M.        35

   As´
     ı:


                                  −∞                         5/2                            4                          +∞




                |4 − x|                         4−x                         4−x                         −(4 − x)

                |2x − 5|                      −(2x − 5)                    2x − 5                        2x − 5

    |4 − x| + |2x − 5| > 7 − x        4 − x + −(2x − 5) > 7 − x    4 − x + 2x − 5 > 7 − x       −(4 − x) + 2x − 5 > 7 − x

                                       4 − x − 2x + 5 > 7 − x      −x + 2x + x > 7 + 5 − 4      −4 + x + 2x − 5 > 7 − x

                                       −x − 2x + x > 7 − 5 − 4             2x > 8                x + 2x + x > 7 + 5 + 4

                                                                                8
                                              −2x > −2                     x>                           4x > 16
                                                                                2

                                                x<1                        x>4                           x>4

                                            S1 = ] − ∞, 1[                S2 = ∅                      S3 = ]4, +∞[




   Como S = S1 ∪ S2 ∪ S3 entonces S = ] − ∞, 1[ ∪ ]4, +∞[



4.) |x| − 2 (6 − x)2 ≥ x


    |x| − 2 (6 − x)2         ≥    x   ⇐⇒

           |x| − 2|6 − x|    ≥    x


   Adem´s:
       a

           
                x     si   x≥0
   |x| =
           
               −x      si   x<0

    y

               
                      6−x       si   x≤6
   |6 − x| =
               
                     −(6 − x)    si   x>6

   As´
     ı:
36     Valor Absoluto

                                       −∞                  0                      6                       +∞

                           |x|                   −x                    x                       x

                         |6 − x|                6−x                  6−x                   −(6 − x)

                  |x| − 2|6 − x| ≥ x   −x − 2(6 − x) ≥ x       x − 2(6 − x) ≥ x       x − 2(−(6 − x)) ≥ x

                                       −x − 12 + 2x ≥ x        x − 12 + 2x ≥ x         x + 2(6 − x) ≥ x

                                       −x + 2x − x ≥ 12        x + 2x − x ≥ 12         x + 12 − 2x ≥ x

                                                0 ≥ 12              2x ≥ 12            x − 2x − x ≥ −12

                                                                     x≥6                  −2x ≥ −12

                                                                                              x≤6

                                            ∴    S1 = ∅         ∴    S2 = {6}             ∴   S3 = ∅

       De aqu´ se tiene que: S = {6}
             ı




Ejercicios 7

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:


 1.) |x − 6| + |x| < 4
 2.) 4|x − 2| + 3|x| ≥ 6
 3.) 3|x − 4| − |2x| ≤ x − 6
 4.)     (x − 3)2 + |4 − 5x| > 7

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Valor absolutov1

  • 1. 1 Cap´ ıtulo 5 Valor Absoluto M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ ıguez S. Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a ··· Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o
  • 2. 2 Cr´ditos e Primera edici´n impresa: o ´ Rosario Alvarez, 1984. Edici´n LaTeX: o Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Marianela Abarca, Lisseth Angulo. o y Walter Mora. Colaboradores: Cristhian Pa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´ e o e ıa Edici´n y composici´n final: o o Walter Mora. Gr´ficos: a Walter Mora, Marieth Villalobos. Comentarios y correcciones: escribir a wmora2@yahoo.com.mx
  • 3. Contenido 5.1 Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5.1.1 Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.1 Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto Nuestro objetivo en este cap´ ıtulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x es una variable real. Para esto conviene recordar la definici´n de valor absoluto siguiente: o Para cada n´mero real x, se define su valor absoluto (y se denota |x| ) de la siguiente manera: u |x| = x si x ≥ 0 o |x| = −x si x < 0 Esta definici´n frecuentemente se denota de la siguiente manera: o x si x≥0 |x| = −x si x<0 Aplicando esta definici´n a expresiones de la forma ax + b se tiene: o ax + b si ax + b ≥ 0 |ax + b| = −(ax + b) si ax + b < 0 Usando la definici´n de valor absoluto se tiene: o Ejemplo 1   x+5 si x+5≥0 |x + 5| =  −(x + 5) si x+5<0 3
  • 4. 4 Valor Absoluto pero: x+5≥0 ⇐⇒ x ≥ −5 y x +  < 0 ⇐⇒ 5 x < −5  x+5 si x ≥ −5 ∴ |x + 5| =  −(x + 5) si x < −5 Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta informaci´n en la tabla siguiente: o −∞ −5 +∞ |x + 5| −(x + 5) x+5 Ejemplo 2   x−7 si x−7≥0 |x − 7| =  −(x − 7) si x−7<0 pero: x−7≥0 ⇐⇒ x≥7 y x−7<0 ⇐⇒ x<7   x−7 si x≥7 ∴ |x − 7| =  −(x − 7) si x<7 y en forma resumida podemos escribir: −∞ 7 +∞ |x − 7| −(x − 7) x−7 Ejemplo 3   −2x + 3 si −2x + 3 ≥ 0 | − 2x + 3| =  −(−2x + 3) si −2x + 3 < 0 3 pero: −2x + 3 ≥ 0 ⇐⇒ −2x ≥ −3, o sea x≤ 2 3 y −2x + 3 < 0 ⇐⇒ −2x < −3, o sea x>  2  3   −2x + 3 si x ≥ 2 ∴ | − 2x + 3| =   3  −(−2x + 3) si x < 2 y en forma resumida podemos escribir:
  • 5. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 5 −∞ 3/2 +∞ | − 2x + 3| −2x + 3 −(−2x + 3) Ejemplo 4   −3 − 5x si −3 − 5x ≥ 0 | − 3 − 5x| =  −(−3 − 5x) si −3 − 5x < 0 −3 pero: −3 − 5x ≥ 0 ⇐⇒ −5x ≥ 3, o sea x≤ 5 −3 y −3 − 5x < 0 ⇐⇒ −5x < 3, o sea x>  5  −3   −3 − 5x si x ≤ 5 ∴ | − 3 − 5x| =    −(−3 − 5x) si x > −3 5 y en forma resumida podemos escribir: −∞ −3/5 +∞ | − 3 − 5x| −3 − 5x −(−3 − 5x) 5.1.1 Propiedades del valor absoluto Enunciaremos a continuaci´n algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podr´n ser utilizadas para fa- o a cilitar el trabajo en la resoluci´n de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto. o Propiedad 1 ∀x, x ∈ R : |x| ≥ 0 Demostraci´no   x si x≥0 x ∈ R : |x| =  −x si x<0 Hay dos posibles casos: Caso 1: x ≥ 0 x ≥ 0 =⇒ |x| = x ∴ |x| ≥ 0
  • 6. 6 Valor Absoluto Caso 2: x < 0 x < 0 =⇒ |x| = −x ∴ |x| ≥ 0; pues x < 0 =⇒ −x > 0 Propiedad 2 Si x ∈ R y |x| = 0 entonces x = 0 Demostraci´n: (ejercicio para el estudiante) o Propiedad 3 Si x ∈ R, y ∈ R entonces |x · y| = |x| |y| Demostraci´n o Para demostrar esta propiedad conviene recordar que: √ ∀a, a ∈ R : |a| = n an , si n es par (ver p´gina 94) a en particular: √ |a| = a2 ; ∀a, a ∈ R Usando esta definici´n se tiene que: o √ |xy| = (xy)2 = x2 y 2 = x2 · y 2 = |x| · |y| ∴ = |x| · |y| Propiedad 4 ∀x, x ∈ R : | − x| = |x| Demostraci´n:(ejercicio para el estudiante) o Propiedad 5 x |x| Si x ∈ R, y ∈ R, y = 0 entonces = y |y| Demostraci´n o Aqu´ tambi´n usaremos el hecho que: ı e √ ∀a, a ∈ R : |a| = a2
  • 7. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 7 x Si x ∈ R, y ∈ R, y = 0 entonces ∈ R y 2 √ x x x2 x2 |x| ∴ = = = = y y y2 y2 |y| x |x| = y |y| Propiedad 6 ∀x, x ∈ R : |x|2 = x2 Demostraci´n o ∀x, x ∈ R : , se tiene que: √ |x| = x2 √ ⇒ |x|2 = ( x2 )2 √ √ ⇒ |x|2 = x2 pues ∀a, a ∈ R ( a ∈ R =⇒ ( a)2 = a) ∴ ∀x, x ∈ R : |x|2 = x2 Propiedad 7 Sea x una variable real y k un n´mero real positivo entonces: u |x| = k ⇐⇒ x = k o x = −k ´ Demostraci´n: o √ Como |x| = x2 , se tiene: |x| = k √ ⇐⇒ x2 = k √ ⇐⇒ ( x2 )2 = k2 ⇐⇒ x2 = k2 ⇐⇒ x2 − k 2 = 0 ⇐⇒ (x − k)(x + k) = 0 ⇐⇒ x = k o x = −k ∴ |x| = k ⇐⇒ x=k o x = −k
  • 8. 8 Valor Absoluto Propiedad 8 Sea x una variable real y k un n´mero real positivo entonces: u |x| < k ⇐⇒ −k < x < k Demostraci´n: o √ Como |x| = x2 , se tiene: |x| < k √ ⇐⇒ x2 < k √ ⇐⇒ ( x2 )2 < k2 ⇐⇒ x2 < k2 ⇐⇒ x2 − k 2 < 0 ⇐⇒ (x − k)(x + k) < 0 Resolviendo esta inecuaci´n: o −∞ −k k +∞ x−k − − + x+k − + + (x − k)(x + k) + − + De aqu´ se tiene: ı (x − k)(x + k) < 0 ⇐⇒ x ∈ ] − k, k[ o sea: −k < x < k ∴ |x| < k ⇐⇒ −k < x < k Propiedad 9 Sea x una variable real y k un n´mero real positivo entonces: u |x| > k ⇐⇒ x > k o x < −k Demostraci´n: o Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostraci´n o como ejercicio para el estudiante. Propiedad 10
  • 9. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 9 Sea x una variable real y k un n´mero real positivo entonces: u i.) |x| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ x ≤ k ii.) |x| ≥ k ⇐⇒ x ≥ k o x≤k Demostraci´n: o El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostraci´n como ejercicio para el estudiante. o Propiedad 11 ∀x, x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x| Demostraci´n: o   x si x≥0 Sabemos que ∀x, x ∈ R : |x| =  −x si x<0 Caso 1: x ≥ 0 x ≥ 0 =⇒ x = |x| ∴ x ≤ |x| (*) Adem´s como |x| ≥ 0 entonces −|x| ≤ 0 y como x ≥ 0 entonces: −|x| ≤ x (∗∗) a As´ por (∗) y (∗∗) se tiene que: ı −|x| ≤ x y x ≤ |x| ∴ −|x| ≤ x ≤ |x| (I) Caso 2: x < 0 x<0 =⇒ |x| = −x =⇒ −|x| = x ∴ −|x| ≤ x (∗ ∗ ∗) Adem´s como x < 0 y |x| ≥ 0 entonces a x ≤ |x| (∗ ∗ ∗∗) As´ por (∗ ∗ ∗) y (∗ ∗ ∗∗) se tiene que: ı −|x| ≤ x y x ≤ |x| ∴ −|x| ≤ x ≤ |x| (II) Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:
  • 10. 10 Valor Absoluto ∀x, x ∈ R : −|x| ≤ x ≤ |x| Propiedad 12 (desigualdad triangular) Si x ∈ R, y ∈ R entonces |x + y| ≤ |x| + |y| Demostraci´n: o Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema: Lema: Sean a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R, d ∈ R Si a ≤ b y c ≤ d entonces a + c ≤ b + d Demostraci´n (del lema) o Supongamos que a ≤ b y c ≤ d, hay que demostrar que a + c ≤ b + d i.) a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c ii.) c ≤ d =⇒ b + c ≤ b + d por i.) y ii.) se tiene que a + c ≤ b + d Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades a ≤ b y c ≤ d podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente: a ≤ b c ≤ d a+c ≤ b+d Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular. Demostraci´n de la Propiedad 12 (desigualdad triangular). o ∀x, x ∈ R, ∀y, y ∈ R, se tiene que: −|x| ≤ x ≤ |x| y −|y| ≤ y ≤ |y| Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene: −|x| + −|y| ≤ x + y ≤ |x| + |y| ∴ −(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| ∴ |x + y| ≤ |x| + |y| por la propiedad (10.i)
  • 11. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 11 5.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto A continuaci´n resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre o que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los que no sea posible aplicar alguna de dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la definici´n de valor absoluto. o Adem´s es importante tener en cuenta que toda ecuaci´n que involucre valor absoluto se puede resolver usando a o la definici´n. o Ejercicios 1 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones 1.) |2x − 3| = 7 2.) |x| = 5 3.) |x − 3| = −3 4.) |x + 8| = 0 5.) |2x + 3| = −9 6.) |x + 3| = 5 + x 7.) |1 − 3x| + x = −3 8.) 3|x + 4| − 2 = x 9.) 4 (2x − 15)4 = 10 10.) (3 − 2x)2 + x = 3 11.) 2 4 (5 − 4x)4 = x + 2 Soluci´n o 1.) |2x − 3| = 7 Por la propiedad 7 |2x − 3| = 7 ⇐⇒ 2x − 3 = 7 o 2x − 3 = −7 ⇐⇒ 2x = 10 o 2x = −4 ⇐⇒ x = 5 o x = −2 ∴ S = {−2, 5} Observaci´n: Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden o resolver usando la definici´n. Para ilustrar esto resolveremos la ecuaci´n anterior usando la definici´n de o o o valor absoluto.
  • 12. 12 Valor Absoluto |2x − 3| = 7 por definici´n o   2x − 3 si 2x − 3 ≥ 0 |2x − 3| =  −(2x − 3) si 2x − 3 < 0 3 pero: 2x − 3 ≥ 0 ⇐⇒ 2x ≥ 3; o sea x≥ 2 3 y 2x − 3 < 0 ⇐⇒ 2x < 3; o sea x< 2  3   2x − 3 si x≥  2 ∴ |2x − 3| =   3  −(2x − 3) si x< 2 Con esta informaci´n construimos la tabla siguiente: o −∞ 3/2 +∞ |2x − 3| −(2x − 3) 2x − 3 |2x − 3| = 7 −(2x − 3) = 7 2x − 3 = 7 −2x + 3 = 7 2x = 10 −2x = 4 x=5 x = −2 3 3 como − 2 ∈ −∞, como 5 ∈ , +∞ 2 2 ∴ S1 = {-2} ∴ S2 = {5} As´ el conjunto soluci´n es S = S1 ∪ S2 o sea S = {-2,5} ı o 2.) |x| = 5 Por la propiedad 7: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5 ∴ S = {−5, 5}
  • 13. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 13 3.) |x − 3| = −3 Por la propiedad 1, |x − 3| ≥ 0, ∀x, x ∈ R, por lo tanto: |x − 3| = −3 !Nunca! ∴ S=∅ 4.) |x + 8| = 0 Por la propiedad 2, |x + 8| = 0 ⇐⇒ x+8 = 0 ⇐⇒ x = −8 ∴ S = {−8} 5.) |2x + 3| = −9 Por la propiedad 1, |2x + 3| ≥ 0, ∀x, x ∈ R ∴ |2x + 3| = −9 ¡Nunca! ∴ S=∅ 6.) |x + 3| = 5 + x Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de la siguiente manera:   x+3 si x+3≥0 |x + 3| =  −(x + 3) si x+3<0 o sea:   x+3 si x ≥ −3 |x + 3| =  −(x + 3) si x < −3 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o −∞ −3 +∞
  • 14. 14 Valor Absoluto |x + 3| −(x + 3) x+3 |x + 3| = 5 + x −(x + 3) = 5 + x x+3=5+x Resolviendo esta ecuaci´n: o Resolviendo esta ecuaci´n: o −x − 3 = 5 + x x+3=5+x −x − x = 5 + 3 x−x=5−3 −2x = 8 0=2 x = −4 como − 4 ∈ ]−∞, −3[ ∴ S1 = {−4} ∴ S2 = ∅ As´ el conjunto soluci´n S de |x + 3| = 5 + x es S1 ∪ S2 , o sea S = {−4} ı o 7.) |1 − 3x| + x = −3 En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:   1 − 3x si 1 − 3x ≥ 0 |1 − 3x| =  −(1 − 3x) si 1 − 3x < 0 1 pero: 1 − 3x ≥ 0 ⇐⇒ −3x ≥ −1, o sea x≤ 3 1 y 1 − 3x < 0 ⇐⇒ −3x < −1, o sea x> 3  1   1 − 3x si x≤  3 |1 − 3x| =   1  −(1 − 3x) si x> 3 Con esta informaci´n construiremos la siguiente tabla: o
  • 15. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 15 1 −∞ +∞ 3 |1 − 3x| 1 − 3x −(1 − 3x) |1 − 3x| + x = −3 1 − 3x + x = −3 −(1 − 3x) + x = −3 −2x = −4 −1 + 3x + x = −3 x=2 4x = −2 1 −1 Como 2 ∈ −∞, x= 3 2 −1 1 como ∈ / , +∞ 2 3 ∴ S1 = ∅ entonces: ∴ S2 = ∅ As´ el conjunto soluci´n S de |1 − 3x| + x = −3 es S1 ∪ S2 o sea S = ∅ ı o 8.) 3|x + 4| − 2 = x En este caso:   x+4 si x+4≥0 |x + 4| =  −(x + 4) si x+4<0 o sea:   x+4 si x ≥ −4 |x + 4| =  −(x + 4) si x < −4 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o
  • 16. 16 Valor Absoluto −∞ −4 +∞ |x + 4| −(x + 4) x+4 3|x + 4| − 2 = x 3[−(x + 4)] − 2 = x 3(x + 4) − 2 = x 3[−x − 4] − 2 = x 3x + 12 − 2 = x −3x − 12 − 2 = x 3x − x + 10 = 0 −3x − 14 − x = 0 2x = −10 −4x = 14 x = −5 −14 x= Como − 5 ∈ [−4, +∞[ 4 −7 x= entonces: S2 = ∅ 2 Como −7/2 ∈ ] − ∞, −4] entonces: S1 = ∅ De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n S de 3|x − 4| − 2 = x es vac´ o sea S = ∅ ı o ıo 9.) 4 (2x − 15)4 = 10 4 (2x − 15)4 = 10 ⇐⇒ |2x − 15| = 10 ⇐⇒ 2x − 15 = 10 o 2x − 15 = −10 ⇐⇒ 2x = 25 o 2x = 5 25 5 ⇐⇒ x= o x= 2 2 25 5 ∴ S= , 2 2 10.) (3 − x)2 = 5 (3 − x)2 = 5 ⇐⇒ |3 − x| = 5 ⇐⇒ 3−x=5 o 3 − x = −5 ⇐⇒ −x = 2 o −x = −8 ⇐⇒ x = −2 o x=8 ∴ S = {−2, 8}
  • 17. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 17 11.) (3 − 2x)2 + x = 3 (3 − 2x)2 + x = 3 ⇐⇒ |3 − 2x| + x = 3 Pero:   3 − 2x si 3 − 2x ≥ 0 |3 − 2x| =  −(3 − 2x) si 3 − 2x < 0 3 Como: 3 − 2x ≥ 0 ⇐⇒ −2x ≥ −3, o sea x≤ 2 3 y 3 − 2x < 0 ⇐⇒ −2x < −3, o sea x> 2  3   3 − 2x si x≤  2 ∴ |3 − 2x| =   3  −(3 − 2x) si x> 2 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o −∞ 3/2 +∞ |3 − 2x| 3 − 2x −(3 − 2x) |3 − 2x| + x = 3 3 − 2x + x = 3 −(3 − 2x) + x = 3 −x = 3 − 3 −3 + 2x + x = 3 −x = 0 3x = 6 x=0 x=2 3 3 como 0 ∈ −∞, como 2 ∈ , +∞ 2 2 ∴ S1 = {0} ∴ S2 = {2} De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n S de ı o (3 − 2x)2 + x = 3 es {0, 2} o sea; S = {0, 2} 12.) 2 4 (5 − 4x)4 = x + 2
  • 18. 18 Valor Absoluto 2|5 − 4x| = x + 2   5 − 4x si 5 − 4x ≥ 0 Pero: |5 − 4x| =  −(5 − 4x) si 5 − 4x < 0 5 Como: 5 − 4x ≥ 0 ⇐⇒ −4x ≥ −5, o sea x≤ 4 5 y 5 − 4x < 0 ⇐⇒ −4x < −5, o sea x> 4  5   5 − 4x si x≤  4 ∴ |5 − 4x| =   5  −(5 − 4x) si x> 4 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o −∞ 5/4 +∞ |5 − 4x| 5 − 4x −(5 − 4x) 2|5 − 4x| = x + 2 2(5 − 4x) = x + 2 2[−(5 − 4x)] = x + 2 10 − 8x = x + 2 2[−5 + 4x] = x + 2 −8x − x = 2 − 10 −10 + 8x = x + 2 −9x = −8 8x − x = 2 + 10 8 x= 7x = 12 9 12 x= 7 8 5 12 5 como ∈ −∞, como ∈ , +∞ 9 4 7 4 8 12 ∴ S1 = ∴ S2 = 9 7 8 12 8 12 De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n S de 2 4 (5 − 4x)4 = x + 3 es ı o , , o sea S = , 9 7 9 7 Ejercicios 2 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: 1.) |x| = 7
  • 19. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 19 2.) |2x + 5| = −8 3.) | − 2x + 9| = 11 4.) −3|3 − 2x| = −12 5.) |3x + 2| = x + 1 6.) 2|2x − 5| = x − 3 7.) 3| − 5x − 1| = −2x + 3 8.) −1 − 2|5 − 3x| = x 9.) 6 (2x + 1)6 = 3 10.) −2 (1 − 7x)2 = −6 11.) (x − 2)2 + 3x = 6 12.) x + 2 4 (x − 6)4 = 5 13.) 2|x| + |x − 1| = 4 14.) |2x − 3| − 2|x| = 3 x−1 15.) =2 x+1 16.) 2|3x − 1| = (x − 7)2 17.) 2|2 − x| + |2x − 1| = x 18.) |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0 Nota: En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´n, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´n de o o cada uno de los valores absolutos involucrados. Soluci´n o 1.) 2|x| + |x − 1| = 4 En este caso se tiene que:   x si x≥0 a.) |x| =  −x si x<0   x−1 si x≥1 b.) |x − 1| =  −(x − 1) si x<1 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o
  • 20. 20 Valor Absoluto −∞ 0 1 +∞ |x| −x x x |x − 1| −(x − 1) −(x − 1) x−1 2|x| + |x − 1| = 4 2x + −(x − 1) = 4 2x + −(x − 1) = 4 2(−x) + (x − 1) = 4 −2x − x + 1 = 4 2x − x + 1 = 4 2x + x − 1 = 4 −3x = 3 x=3 3x = 5 5 x = −1 x= 3 5 5 como − 1 ∈] − ∞, 0[ Como 3 ∈ ]0, 1[ como ∈ , +∞ 3 3 5 ∴ S1 = {−1} ∴ S2 = ∅ ∴ S2 = 3 De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n de 2|x| + |x − 1| = 4 es S donde S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ı o 5 ∴ S= −1, 3 2.) |2x − 3| − 2|x| = 3 En este caso se tiene que:  3   2x − 3 si x≥  2 a.) |2x − 3| =   3  −(2x − 3) si x< 2   x si x≥0 b.) |x| =  −x si x<0 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o
  • 21. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 21 −∞ 0 3/2 +∞ |2x − 3| −(2x − 3) −(2x − 3) 2x − 3 |x| −x x x |2x − 3| − 2|x| = 3 −(2x − 3) − 2(−x) = 3 −(2x − 3) − 2(x) = 3 2x − 3 − 2x = 3 −2x + 3 + 2x = 3 −2x + 3 − 2x = 3 −3 = 3 3=3 −4x = 0 ∴ S3 = ∅ ∴ S1 =] − ∞, 0[ x=0 3 como 0 ∈ 0, 2 ∴ S2 = {0} De aqu´ que el conjunto soluci´n de |2x − 3| − 2|x| = 3 es S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ı o ∴ S =] − ∞, 0] x−1 3.) =2 x+1 x−1 |x − 1| =2 ⇐⇒ = 2, por la propiedad 5 x+1 |x + 1| ⇐⇒ |x − 1| = 2|x + 1| (∗), con x = −1 ⇐⇒ |x − 1|2 = (2|x + 1|)2 ⇐⇒ |x − 1|2 = 4|x + 1|2 ⇐⇒ (x − 1)2 = 4(x + 1)2 , por la propiedad 6 ⇐⇒ x2 − 2x + 1 = 4(x2 + 2x + 1) ⇐⇒ x2 − 2x + 1 = 4x2 + 8x + 4 ⇐⇒ −3x2 − 10x − 3 = 0 ⇐⇒ 3x2 + 10x + 3 = 0 Resolviendo esta ecuaci´n por f´rmula general: o o
  • 22. 22 Valor Absoluto = 100 − 4(3)(3) = 100 − 36 = 64 −10 + 8 −1 x1 = =⇒ x1 = 6 3 −10 − 8 x2 = =⇒ x2 = −3 6 x−1 De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n de ı o = 2 es S, donde x+1 −1 S= −3, 3 Nota: A partir de (∗) esta ecuaci´n se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los o ejemplos (1) y (2) anteriores. 4.) 2|3x − 1| = (x − 7)2 ⇐⇒ 2|3x − 1| = |x − 7| (∗)(Ver nota anterior) ⇐⇒ (2|3x − 1|)2 = |x − 7|2 ⇐⇒ 4|3x − 1|2 = |x − 7|2 ⇐⇒ 4(3x − 1)2 = (x − 7)2 ⇐⇒ 4(9x2 − 6x + 1) = x2 − 14x + 49 ⇐⇒ 36x2 − 24x + 4 = x2 − 14x + 49 ⇐⇒ 35x2 − 10x − 45 = 0 ⇐⇒ 7x2 − 2x − 9 = 0 Resolviendo esta ecuaci´n por f´rmula general: o o = 4 − 4(7)(−9) = 4 + 252 = 256 2 + 16 9 x1 = =⇒ x1 = 14 7 2 − 16 x2 = =⇒ x2 = −1 14
  • 23. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 23 9 De aqui se tiene que el conjunto soluci´n de 2|3x − 1| = o (x − 7)2 es S donde: S = , −1 7 5.) 2|2 − x| + |2x − 1| = x En este caso se tiene que:   2−x si x≤2 a.) |2 − x| =  −(2 − x) si x>2  1   2x − 1 si x≥  2 b.) |2x − 1| =   1  −(2x − 1) si x< 2 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o −∞ 1/2 2 +∞ |2 − x| 2−x 2−x −(2 − x) |2x − 1| −(2x − 1) 2x − 1 2x − 1 2|2 − x| + |2x − 1| = x 2(2 − x) + −(2x − 1) = x 2(2 − x) + (2x − 1) = x 2[−(2 − x)] + (2x − 1) = x 4 − 2x − 2x + 1 = x 4 − 2x + 2x − 1 = x 2[−2 + x] + 2x − 1 = x −2x − 2x − x = −4 − 1 3=x −4 + 2x + 2x − 1 = x −1 −5x = −5 Como 3 ∈ ,2 2x + 2x − x = 4 + 1 2 x=1 entonces: 3x = 5 1 5 Como 1 ∈ −∞, S2 = ∅ x= 2 3 5 entonces: Como ∈ ]2, +∞[ 3 S1 = ∅ entonces: S3 = ∅ De aqu´ que el conjunto soluci´n de 2|2 − x| + |2x − 1| = x es S, donde S = ∅ ı o
  • 24. 24 Valor Absoluto 6.) |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0 En este caso se tiene que:  3   3 − 2x si x≤  2 a.) |3 − 2x| =   3  −(3 − 2x) si x> 2   x+2 si x ≥ −2 b.) |x + 2| =  −(x + 2) si x < −2 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o −∞ −2 3/2 +∞ |3 − 2x| 3 − 2x 3 − 2x −(3 − 2x) |x + 2| −(x + 2) x+2 x+2 |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0 3 − 2x − 3[−(x + 2)] − x = 0 3 − 2x − 3(x + 2) − x = 0 −(3 − 2x) − 3(x + 2) − x = 0 3 − 2x − 3[−x − 2] − x = 0 3 − 2x − 3x − 6 − x = 0 −3 + 2x − 3x − 6 − x = 0 3 − 2x + 3x + 6 − x = 0 −6x − 3 = 0 −2x − 9 = 0 9=0 −6x = 3 −2x = 9 −1 −9 ∴ S1 = ∅ x= x= 2 2 −1 3 −9 3 como ∈ −2, Como: ∈ , +∞ 2 2 2 2 −1 ∴ S2 = ∴ S3 = ∅ 2 −1 De aqu´ que el conjunto soluci´n de |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0 es S, donde S = ı o 2 Ejercicios 3 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: 1.) (4x − 1)2 = |3 − 8x| 2x + 1 2.) =3 1−x 3.) |x + 3| − |x − 2| = x
  • 25. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 25 4.) 4 (x + 1)4 − 3|x − 2| = 6 x−1 5.) |x − 4| − =4−x 5 |x| 6.) + 3x + 4 = |x − 1| 2 5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma ax + b, donde a y b son constantes con a = 0 y x es una variable real. Para esto utilizaremos la definici´n de valor absoluto, y en los o casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar el procedimiento de resoluci´n. o Ejercicios 4 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 1.) |x − 2| < 1 2.) |5x − 7| ≤ 3 3.) |3 − x| < 4 4.) |5 − 2x| ≤ 7 5.) |2x − 3| ≤ −5 6.) |7 − 2x| ≥ −6 7.) |5x + 2| > 0 8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0 9.) |x − 3| ≤ 2x − 5 10.) |x| + 3 ≥ 2x 11.) 6 (2x + 1)6 > 3 2 2 12.) x+1 −x<2 5 Soluci´n o 1.) |x − 2| < 1 Sabemos que:   x−2 si x≥2 |x − 2| =  −(x − 2) si x<2 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o
  • 26. 26 Valor Absoluto −∞ 2 +∞ |x − 2| −(x − 2) x−2 |x − 2| < 1 −(x − 2) < 1 x−2<1 −x + 2 < 1 x<3 −x < −1 As´ debe cumplirse que ı x>1 x≥2yx<3 As´ debe cumplirse que ı ∴ S2 = [2, 3[ x<2yx>1 ∴ S1 = ]1, 2[ En consecuencia el conjunto soluci´n S, de |x − 2| < 1 es S1 ∪ S2 o sea S = ]1, 3[ o Nota: La inecuaci´n |x − 2| < 1 y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valor o absoluto y adem´s algunos resultados que se enuncian a continuaci´n y que aceptaremos sin demostrar. a o Resultado 1 ∀a, a ∈ R, ∀b, b ∈ R, ∀c, c ∈ R, ∀k, k ∈ R i.) a < b < c ⇐⇒ a + k < b + k < c + k ii.) a ≤ b ≤ c ⇐⇒ a + k ≤ b + k ≤ c + k Resultado 2 ∀a, a ∈ R, ∀b, b ∈ R, ∀c, c ∈ R, ∀k, k ∈ R con k > 0 i.) a < b < c ⇐⇒ ak < bk < ck ii.) a ≤ b ≤ c ⇐⇒ ak ≤ bk ≤ ck Resultado 3 ∀a, a ∈ R, ∀b, b ∈ R, ∀c, c ∈ R, ∀k, k ∈ R con k < 0 i.) a < b < c ⇐⇒ ak > bk > ck ii.) a ≤ b ≤ c ⇐⇒ ak ≥ bk ≥ ck Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto, |x − 2| < 1 se resuelve as´ ı.
  • 27. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 27 |x − 2| < 1 ⇐⇒ −1 < x − 2 < 1 ⇐⇒ −1 + 2 < x − 2 + 2 < 1 + 2 ⇐⇒ 1 < x < 3 ∴ S =]1, 3[ 2.) |5x − 7| ≤ 3 |5x − 7| ≤ 3 ⇐⇒ −3 ≤ 5x − 7 ≤ 3 ⇐⇒ −3 + 7 ≤ 5x − 7 + 7 ≤ 3 + 7 ⇐⇒ 4 ≤ 5x ≤ 10 1 1 1 ⇐⇒ ·4 ≤ · 5x ≤ · 10 5 5 5 4 ⇐⇒ ≤ x ≤ 2 5 4 ∴ S= ,2 5 3.) |3 − x| < 4 |3 − x| < 4 ⇐⇒ −4 < 3 − x < 4 ⇐⇒ −3 − 4 < −3 + 3 − x < −3 + 4 ⇐⇒ −7 < −x < 1 ⇐⇒ 7 > x > −1 ⇐⇒ −1 < x < 7 ∴ S =] − 1, 7[ 4.) |5 − 2x| ≤ 7
  • 28. 28 Valor Absoluto |5 − 2x| ≤ 7 ⇐⇒ −7 ≤ 5 − 2x ≤ 7 ⇐⇒ −7 − 5 ≤ −5 + 5 − 2x ≤ −5 + 7 ⇐⇒ −12 ≤ −2x ≤ 2 −1 −1 −1 ⇐⇒ · (−12) ≥ · (−2x) ≥ ·2 2 2 2 ⇐⇒ 6 ≥ x ≥ −1 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 6 ∴ S = [−1, 6] 5.) |2x − 3| < −5 por propiedad 1: |2x − 3| ≥ 0, ∀x, x ∈ R ∴ |2x − 3| ≥ −5; ¡Nunca! ∴ S=∅ 6.) |7 − 2x| ≥ −6 por propiedad 1; |7 − 2x| ≥ 0, ∀x, x ∈ R en particular |7 − 2x| ≥ −6, ∀x, x ∈ R ∴ S=R 7.) |5x + 2| > 0 por propiedad 1; |5x + 2| ≥ 0, ∀x, x ∈ R por propiedad 2; |5x + 2| = 0 ⇐⇒ 5x + 2 = 0 ⇐⇒ 5x = −2 −2 ⇐⇒ x = 5
  • 29. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 29 −2 ∴ |5x + 2| > 0; ∀x, x ∈ R, tal que x = 5 −2 ∴ S =R− 5 8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0 2|3 − x| − 10 ≥ 0 ⇐⇒ 2|3 − x| ≥ 10 ⇐⇒ |3 − x| ≥ 5 ⇐⇒ 3−x ≥ 5 o 3 − x ≤ −5 ⇐⇒ −x ≥ 2 o −x ≤ −8 ⇐⇒ x ≤ −2 o x ≥ 8 ∴ S = ] − ∞, −2] ∪ [8, +∞[ 9.) |x − 3| ≤ 2x − 5 Nota: en este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades de valor absoluto enunciadas en p´ginas a anteriores, por lo que procedemos de la manera siguiente:   x−3 si x≥3 |x − 3| =  −(x − 3) si x<3 Con esta informaci´n construimos la tabla siguiente o
  • 30. 30 Valor Absoluto −∞ 3 +∞ |x − 3| −(x − 3) x−3 |x − 3| ≤ 2x − 5 −(x − 3) ≤ 2x − 5 x − 3 ≤ 2x − 5 −x + 3 ≤ 2x − 5 x − 2x ≤ −5 + 3 −x − 2x ≤ −5 − 3 −x ≤ −2 −3x ≤ −8 −x ≥ −2 8 x≥ 3 As´ debe cumplirse ı As´ debe cumplirse ı 8 x≥ yx<3 x≥2yx≥3 3 8 ∴ S1 = ,3 ∴ S2 = [3, +∞[ 3 8 En consecuencia el conjunto soluci´n S, de |x − 3| ≤ 2x − 5 es S1 ∪ S2 ; o sea S = o , +∞ 3 10.) |x| + 3 ≥ 2x Como   x si x≥0 |x| =  −x si x<0 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o −∞ 0 +∞ |x| −x x |x| + 3 ≥ 2x −x + 3 ≥ 2x x + 3 ≥ 2x −x − 2x ≥ −3 x − 2x ≥ −3 −3x ≥ −3 −x ≥ −3 x≤1 x≤3 As´ debe cumplirse ı As´ debe cumplirse ı x≤1yx<0 x≤3yx≥0 ∴ S1 = ] − ∞, 0[ ∴ S2 = [0, 3]
  • 31. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 31 En consecuencia el conjunto soluci´n S, de |x| + 3 ≥ 2x es S1 ∪ S2 o sea S = ] − ∞, 3] o 11.) 6 (2x + 1)6 > 3 6 (2x + 1)6 > 3 ⇐⇒ |2x + 1| > 3 ⇐⇒ 2x + 1 > 3 o 2x + 1 < −3 ⇐⇒ 2x > 2 o 2x < −4 ⇐⇒ x>1 o x < −2 S1 = ]1, +∞[ y S2 = ] − ∞, −2[ El conjunto soluci´n S, de o 6 (2x + 1)6 > 3 es S1 ∪ S2 , o sea S = ]1, +∞[ ∪ ] − ∞, −2[ 2 2 12.) x+1 −x<2 5 2 2 2 x+1 −x<2 ⇐⇒ x+1 −x<2 5 5 Para este caso se tiene que:   2 −5   x+1 si x≥ 2  5 2 x+1 = 5   − 2x+1   si x< −5 5 2 Con esta informai´n construimos la tabla siguiente: o
  • 32. 32 Valor Absoluto −5 −∞ +∞ 2 2 2 2 x+1 − x+1 x+1 5 5 5 2 2 2 x+1 −x < 2 −( x + 1) − x < 2 x+1−x < 2 5 5 5 −2 2 x−1−x < 2 x−x < 2−1 5 5 −2 −3 x−x < 2+1 x < 1 5 5 −7 −5 x < 3 x > 5 3 −15 x > 7 As´ debe cumplirse ı As´ debe cumplirse ı −15 −5 −5 −5 x > y x < x > y x ≥ 7 2 3 2 −5 ∴ S1 = ∅ ∴ S2 = , +∞ 3 −5 ∴ S = S1 ∪ S2 = , +∞ 3 Ejercicios 5 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 1.) |2x − 3| < 7 2.) |3x + 5| ≤ 12 3.) (9x + 8)2 ≤ −3 4.) |13x − 15| > 0 5.) |3 + 2x| > 5 6.) | − 2x + 6| ≥ −4 7.) |2x − 7| + x ≥ 6 8.) 8 (5 − 2x)8 < x − 7 9.) 2|3 − x| + 3x > 3 10.) −2|7 + x| − 3x ≤ 0 2 x 2 11.) + ≥1 2 3
  • 33. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 33 12.) 2 (2x + 7)2 ≤ x Ejercicios 6 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 1.) |x − 1| + |x + 1| < 4 2.) |x − 2| + 3|x| ≤ 6 3.) |4 − x| + |2x − 5| > 7 − x 4.) |x| − 2 (6 − x)2 ≥ x Soluci´n o 1.) |x − 1| + |x + 1| < 4 En este caso se tiene que:   x−1 si x≥1 |x − 1| =  −(x − 1) si x<1   x+1 si x ≥ −1 |x + 1| =  −(x + 1) si x < −1 As´ ı: −∞ −1 1 +∞ |x − 1| −(x − 1) −(x − 1) x−1 |x + 1| −(x + 1) x+1 x+1 |x − 1| + |x + 1| < 4 −(x − 1) + −(x + 1) < 4 −(x − 1) + x + 1 < 4 x−1+x+1<4 −x + 1 − x − 1 < 4 −x + 1 + x + 1 < 4 2x < 4 −2x < 4 2<4 x<2 x > −2 S1 = ] − 2, −1[ S2 = [−1, 1[ S3 = [1, 2[ ∴ Como S = S1 ∪ S2 ∪ S3 , entonces: S = ] − 2, 2[
  • 34. 34 Valor Absoluto 2.) |x − 2| + 3|x| ≤ 6 En este caso se tiene que:   x−2 si x≥2 |x − 2| =  −(x − 2) si x<2 y   x si x≥0 |x| =  −x si x<0 Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla: o −∞ 0 2 +∞ |x − 2| −(x − 2) −(x − 2) x−2 |x| −x x x |x − 2| + 3|x| ≤ 6 −(x − 2) + 3(−x) ≤ 6 −(x − 2) + 3x ≤ 6 x − 2 + 3x ≤ 6 −x + 2 − 3x ≤ 6 −x + 2 + 3x ≤ 6 4x ≤ 6 + 2 −4x ≤ 6 − 2 2x ≤ 6 − 2 4x ≤ 8 −4x ≤ 4 2x ≤ 4 x≤2 x ≥ −1 x≤2 S1 = [−1, 0[ S2 = [0, 2[ S3 = {2} Como S = S1 ∪ S2 ∪ S3 entonces S = [−1, 2] 3.) |4 − x| + |2x − 5| > 7 − x Como:   4−x si x≤4 |4 − x| =  −(4 − x) si x>4 y  5   2x − 5 si x≥  2 |2x − 5| =   5  −(2x − 5) si x< 2
  • 35. J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M. 35 As´ ı: −∞ 5/2 4 +∞ |4 − x| 4−x 4−x −(4 − x) |2x − 5| −(2x − 5) 2x − 5 2x − 5 |4 − x| + |2x − 5| > 7 − x 4 − x + −(2x − 5) > 7 − x 4 − x + 2x − 5 > 7 − x −(4 − x) + 2x − 5 > 7 − x 4 − x − 2x + 5 > 7 − x −x + 2x + x > 7 + 5 − 4 −4 + x + 2x − 5 > 7 − x −x − 2x + x > 7 − 5 − 4 2x > 8 x + 2x + x > 7 + 5 + 4 8 −2x > −2 x> 4x > 16 2 x<1 x>4 x>4 S1 = ] − ∞, 1[ S2 = ∅ S3 = ]4, +∞[ Como S = S1 ∪ S2 ∪ S3 entonces S = ] − ∞, 1[ ∪ ]4, +∞[ 4.) |x| − 2 (6 − x)2 ≥ x |x| − 2 (6 − x)2 ≥ x ⇐⇒ |x| − 2|6 − x| ≥ x Adem´s: a   x si x≥0 |x| =  −x si x<0 y   6−x si x≤6 |6 − x| =  −(6 − x) si x>6 As´ ı:
  • 36. 36 Valor Absoluto −∞ 0 6 +∞ |x| −x x x |6 − x| 6−x 6−x −(6 − x) |x| − 2|6 − x| ≥ x −x − 2(6 − x) ≥ x x − 2(6 − x) ≥ x x − 2(−(6 − x)) ≥ x −x − 12 + 2x ≥ x x − 12 + 2x ≥ x x + 2(6 − x) ≥ x −x + 2x − x ≥ 12 x + 2x − x ≥ 12 x + 12 − 2x ≥ x 0 ≥ 12 2x ≥ 12 x − 2x − x ≥ −12 x≥6 −2x ≥ −12 x≤6 ∴ S1 = ∅ ∴ S2 = {6} ∴ S3 = ∅ De aqu´ se tiene que: S = {6} ı Ejercicios 7 Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: 1.) |x − 6| + |x| < 4 2.) 4|x − 2| + 3|x| ≥ 6 3.) 3|x − 4| − |2x| ≤ x − 6 4.) (x − 3)2 + |4 − 5x| > 7