Vectores en el plano

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     http://damasorojas.jimdo.com               Dr. DÁMASO ROJAS
UNIVERSIDAD POLITÉCTICA
TERRITORIAL
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
INGENIERÍA
VECTORES EN EL PLANO

Muchas magnitudes geométricas o físicas, como área, volumen, temperatura, masa y
tiempo, se pueden caracterizar mediante números reales en una escala adecuada de
medida, a ellas se les denomina magnitudes escalares, y el número real asociado con cada
una de ellas se llama un escalar.
Otras magnitudes, como fuerza, velocidad y aceleración, involucran un valor numérico y
una dirección, de modo que no se pueden representar completamente por un número
real.
Para representar tales magnitudes se utiliza un segmento (recto) dirigido. La longitud del
segmento dirigido PQ, con punto inicial P y punto final Q se denota por PQ


Los segmentos de igual longitud y dirección, se dice que son equivalentes
El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento dirigido dado
PQ es un vector en el plano y se denota por V PQ=
En algunos libros suelen utilizarse letras en negrita, u, v, w,...(o mayúsculas)  para denotar
los vectores, mientras que en otros suelen denotarse colocando sobre las letras una
flecha.
Nota: El segmento dirigido con punto inicial en el origen puede caracterizarse dando sólo
las coordenadas de su punto final.
La representación particular de un vector con su punto inicial en el origen se denomina
representación de posición del vector. (Posición canónica)
DEFINICIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL PLANO
Un vectorV en el plano con punto inicial en el origen y punto final en ( , )x y se denota por
un par ordenado de números reales ,V x y= que representan las componentes del
vector, se emplea ,x y en lugar de ( , )x y para evitar la confusión entre vector y punto.

EJEMPLO. Sea el vector A el par ordenado de números reales 1 2,a a Si A es el punto
1 2( , )a a , entonces el vector A puede representarse geométricamente por el segmento
dirigido OAeste segmento dirigido es una representación del vector A .
El vector 0,0 , se denomina vector cero y se denota por 0 ; esto es, 0 0,0= cualquier
punto es una representación del vector cero.

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INGENIERÍA
Para pasar de segmentos dirigidos a componentes, o viceversa, deben seguirse estos
procedimientos:
1) Sí 1 2 1 2( , ) ( , )P p p yQ q q son los puntos inicial y final de un segmento dirigido, la
expresión en componentes del vector V , representado por PQes
1 2 1 1 2 2, ( , )v v q p q p= − − Además, la longitud de V es 2 2
1 2V v v= +
2) Si 1 2,V v v= , V puede ser representado por el segmento dirigido, en posición
canónica, que va de 1 2(0,0) ( , )P a Q v v
La longitud de V se llama también norma deV .

IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores son iguales si y sólo si son componentes son
iguales. (Tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido).
MÓDULO DE UN VECTOR. Si A es el vector 1 2,a a , el módulo denotado por A , es la
longitud de cualquiera de sus representaciones, entonces 2 2
1 2A a a= +
SENTIDO DE UN VECTOR: Lo determina el recorrido del punto inicial al punto final del
vector. (Cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).
DIRECCIÓN DE UN VECTOR. Queda definido por el ángulo director del vector y la recta
que lo contiene (o paralela).
ÁNGULO DIRECTOR de cualquier vector diferente del vector cero, es el ángulo θ medido
desde el semieje positivo del eje de las abscisas, en el sentido contrario al giro de las
manecillas del reloj hasta la representación de posición del vector.
Si θ se mide en radianes, entonces 0 2θ π≤ < . Si 2
1 2 1
1
, tan ; 0
a
A a a si a
a
θ= ⇒ = ≠

Observe según la gráfica que:
1 2 1 2, cos ;si A a a y es el ángulo director a A a A senθ θ θ= ⇒ = =
Nota. tanθ Es periódica con periodo π, entonces si a ≠ O siempre existen dos números en
[0,2 )π , tales que 2
1
tan
a
a
θ = . Por ejemplo,
5
tan tan 1
4 4
π π
= =
Para determinar θ de manera única es necesario determinar el cuadrante del vector V
como se apreciará en los siguientes ejemplos.

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1) V se encuentra en el primer cuadrante:

0
2
π
θ< <
Como:
2
tan 1
2 4
π
θ θ= = ⇒ =

2 3
tan 3
2 3
π
θ θ= = ⇒ = (Ya que V está en el primer cuadrante).

2) V está en el segundo cuadrante:
2
π
θ π< <
2 1 5
tan ( )
6 6 62 3 3
ver figura
π π π
α α θ π α θ π= = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − =

3) V está en el tercer cuadrante:
3
2
π
π θ< <

Como
3 5
tan 1 ( )
3 4 4 4
ver figura
π π π
α α θ π α θ π
−
= = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + =
−


4) V está en el cuarto cuadrante:

3
2
2
π
θ π< <
6 7
tan 1 2 2 ( )
6 4 4 4
ver figura
π π π
α α θ π α θ π
−
= = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − =

[



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5) No se puede usar la ecuación
3 3
tan ( )
0 2
ver figura
π
α θ
−
= → ∞ ⇒ =

En general, si b > O
Dirección de 2(0, )
2
a
π
θ⇒ = y la  dirección de 2
3
(0, )
2
a
π
θ− ⇒ =

OPERACIONES CON VECTORES

DEFINICIÓN DE LA SUMA DE VECTORES
La suma de los vectores 1 2 1 2, ,A a a y B b b= = es el vector A B+ definido por:

1 1 2 2,A B a b a b+ = + +

REGLA DEL POLÍGONO
Consiste en dibujar a una escala adecuada los vectores que se desean adicionar
conservando su módulo, dirección y sentido. Uniendo el origen del primero con el
extremo del último, obtendrá el vector suma.

REGLA DEL TRIÁNGULO
En realidad es un caso particular de la Regla del Polígono, y se aplica a la suma de dos
vectores

REGLA DEL PARALELOGRAMO
Este método se usa cuando los vectores tienen el mismo punto de aplicación (o sea
idéntico origen). Se traza una línea punteada paralela a cada vector, el punto de
intercepción de dichas líneas se une con el origen y se tendrá el vector resultante.

No se debe olvidar conservar la escala a efecto de cuantificar el módulo del vector
resultante, la dirección y sentido se determinan directamente sobre el gráfico. Detalle
como el origen de ambos vectores es el mismo.

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DEFINICIÓN DEL NEGATIVO DE UN VECTOR:
Si 1 2,A a a= , entonces el negativo de A , denotado por A− , es el
vector 1 2,A a a− = − − .
DEFINICIÓN DE LA DIFERENCIA DE VECTORES
La diferencia de los vectores A y B , denotada por A B− , es el vector que se obtiene al
sumar A al negativo de B ; es decir: 1 1 2 2( ) ,A B A B a b a b+ − = − = − −

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO (RESTA DE VECTORES)
Es análogo a la adición, solo que este caso el sustraendo es un vector opuesto

Se observan dos vectores A y B , si se desea obtener la diferencia entre A y B , se dibuja el
vector A y seguido el vector opuesto de B ; la intersección de las paralelas a ambos
vectores con el origen común representa el vector diferencia.
MÉTODO DEL TRIÁNGULO (RESTA DE VECTORES)
Es análogo a la adición, no obstante el vector resultante se traza desde la punta del vector
sustraendo al vector minuendo.

Dos vectores A y B , la diferencia de ambos se obtiene dibujando el vector A y el vector
B con un origen común, posteriormente se traza el vector resultante desde la punta del
vector sustraendo a la punta del vector minuendo.

SUMA Y RESTA DE VECTORES EN FORMA ANALÍTICA
TEOREMA DEL COSENO
"En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que
forman".

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Este teorema es aplicado cuando interactúan dos vectores en el plano y tienen como
característica el hecho de presentar un origen común; se requiere conocer los módulos de
los vectores, y el ángulo que forman entre sí.

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente
opuestos a estos ángulos entonces:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 cos ; 2 cos ; 2 cosc a b ab b a c ac a c b cbγ β α= + − = + − = + −
TEOREMA DEL SENO
Es muy útil al momento de determinar dirección y sentido de un vector, y suele emplearse
en conjunción con el teorema del coseno.
El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados
de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β, γ son
respectivamente a, b, c, entonces

DEFINICIÓN DEL PRODUCTO DE UN VECTOR Y UN ESCALAR.
Si 0c ≠ es un escalar y A es el vector 1 2,A a a= , entonces el producto de c y A ,
denotado por c A , es el vector definido por: 1 2 1 2, ,cA c a a cA ca ca= ⇒ =
Tiene la misma dirección  y el mismo sentido  del vector A , si 0c > y sentido contrario al
vector A , si   0c <
La Magnitud de cAse obtiene al multiplicar la longitud del vector por el valor absoluto de
ese escalar (un escalar diferente de cero).

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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES  CON VECTORES
Si ,A B yC son tres vectores cualesquiera, y c y d son dos escalares cualesquiera, entonces
la adición vectorial y la multiplicación por un escalar satisfacen las siguientes propiedades:
1) A B B A+ = + (ley conmutativa)
2) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (ley asociativa)
3) Existe un vector 0 en V2 para el cual 0A A+ = (existencia del idéntico aditivo)
4) Existe un vector A− en V2 tal que ( ) 0A A+ − = (existencia del inverso aditivo o
negativo)
5) ( ) ( )cd A c dA= (ley asociativa)
6) ( ) )c A B cA cB+ = + (ley distributiva)
7) ( )c d A cA dA+ = + (ley distributiva)
8) 1A A= (existencia del idéntico multiplicativo escalar)

NOTA: Algunas de las demostraciones de estas propiedades serán resueltas en los
ejercicios adicionales.

DEFINICIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL REAL.
Cualquier conjunto de vectores, junto con el conjunto de números reales, denominados
escalares, que satisfaga las propiedades enunciadas anteriormente constituye un espacio
vectorial. Esas ocho propiedades son los axiomas de la estructura del espacio vectorial.

VECTOR UNITARIO
Un vector unitario es un vector con longitud 1.
Si el vector A es diferente del vector cero, entonces el vector unitario ˆu que tiene la misma
dirección y el mismo sentido de A está definido por
1
ˆ
A
u A
A A
= =
El proceso de multiplica A por 1
A
para obtener un vector unitario se llama normalización
de A

NOTA: La longitud de una suma de vectores no es igual a la suma de sus longitudes, la
igualdad ocurre cuando los vectores tienen la misma dirección. Este resultado se conoce
como la DESIGUALDAD TRIANGULAR PARA VECTORES

A B A B+ ≤ +

VECTORES UNITARIOS CANÓNICOS
Los vectores unitarios 1,0 0,1y se llaman vectores unitarios canónicos del plano y se
denotan por: ˆ ˆ1,0 0,1i y j= =
En términos de estos vectores, se puede expresar cualquier vector del plano como sigue:

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Si
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , ,0 0, , 1,0 0,1A a a a a a a a a a a A a i a j= ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +
El vector 1 2A a i a j= + se llama una combinación lineal de i y j Los escalares 1 2,a a se
llaman, respectivamente, componente horizontal y componente vertical de A .
Los vectores: ;i j tienen dos propiedades:
1) Ninguno de ellos es múltiplo del otro. (son linealmente independientes, es decir,
sus representaciones de posición no son colineales)
2) Establece que cualquier vector de V2, puede escribirse como una combinación
lineal de i y j .
Bajo estas dos condiciones se dice que ;i j forman una base en V2.
El número de elementos de una base de un espacio vectorial se denomina dimensión del
espacio vectorial. Por tanto V2 es un espacio vectorial bidimensional o de dos
dimensiones.
NOTA: Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se
puede poner como combinación lineal de los restantes.
Cuando no es así, se dice que son linealmente independientes.
EJEMPLOS:
Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD).
Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI).
Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD).
Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI).
APLICACIONES DE LOS VECTORES A LA INGENIERÍA.
EJEMPLO: Si 30θ = ° y 6T kN= , determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa
en el perno de argolla y su dirección medida en el sentido de las agujas del reloj del eje x .

La ley del paralelogramo de suma y la regla triangular se muestra en las figuras a y b,
respectivamente. Aplicando la ley de los cosenos a la figura b.
( )( )2 2
6 8 2 6 8 cos75 8.669 8.67RF kN kN= + − ° = ≈
Aplicando la ley de seno a la figura b y usando este resultado, los rendimientos son
75
63.05
8 8.669
sen senα
α
°
= ⇒ = °

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Así, el ángulo de la dirección que φ de RF medido en el sentido de las agujas del reloj del
eje x es: 60 63.05 60 3.05φ α= − ° = ° − ° = °

Ejemplo. Un avión puede volar a 300 mi/h. Si el viento sopla hacia el este a 50 mi/h, ¿cuál
debe ser la dirección del avión para que el curso sea de 30°? ¿Cuál será la velocidad a
tierra del avión si vuela en este curso?

El vector A representa la velocidad a tierra del avión sobre un curso de 30°. El ángulo
director de A es 60°. El vector B representa la velocidad del viento. Como B tiene una
intensidad de 50 mi/h y un ángulo director de O°, entonces 50,0B = . El vector A B−
representa la velocidad del avión al aire; así:

300A B− = Sea θ el ángulo director de
A B− . De la figura anterior se obtiene el triángulo mostrado en la figura siguiente:

Al aplicar la ley de los senos a este triángulo, se tiene:
60 50 60
0.1433 8.3
50 300 300
sen sen sen
sen sen
φ
φ φ φ
° °
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = °
60 8.3 68.3θ = ° + ° = °

Se aplica nuevamente la ley de los senos al triángulo anterior:
300 300 (111.7 )
322
(180 ) 60 60
A sen
A A
sen sen senθ
°
= ⇒ = ⇒ =
°− ° °
La dirección del avión debe ser 90° ‐ θ, el cual es 21.7°, y  si el avión vuela en este curso, su
velocidad a tierra será de 322 mi/h.

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EJERCICIOS PROPUESTOS.
Dibuje la representación de posición del vector A y también la representación
particular Q que pasa por el punto P. (b) Calcule el módulo de A .
( ) ( ) ( ) ( )
1
1) 3,4 ; 2,1 2) 2,5 ; 3,4 3) , ; 2, 4) 4,0 ; 2,6
2
A P A P A e P e A P
⎛ ⎞
= = − − = − − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Obtenga el vector que tiene al segmento dirigido PQ como una representación.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5) 3,7 ; 5,4 6) 5,4 ; 3,7 7) 5, 3 ; 0,3 8) 2,0 ; 0,0P Q P Q P Q P Q− − −


Determine el punto S de modo que PQ y RS sean representaciones del mismo vector.
:Sabemos que q p s r s q p r− = − ⇒ = − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9) 2,5 ; 1,6 ; 3,2 10) 2,0 ; 3, 4 ; 4,2
11) 0,3 ; 5, 2 ; 7,0 12) 1,4 ; 2, 3 ; 5, 2
P Q R P Q R
P Q R P Q R
− − − − =
− − − − −
Calcule la suma del par de vectores.
( ) ( )13) 2,4 3,5 3,0 4, 5a b+ − − + −

Calcule la suma del par de vectores e ilústrela geométricamente.
( ) ( )14) 0,3 ; 2,3 ; 2,3 ; 2, 1a b− − −

Reste el segundo vector del primero.

( ) ( )15) 3, 4 ; 6,0 1, ; 3,2a b e e− − −
( ) ( )16) 0,5 ; 2,8 3,7 ; 3,7a b
Determine el vector o el escalar si 2,4 , 4, 3 , 3,2A B y C= = − = −
( ) ( ) ( )17) 7a A B b C B C A B+ − −
( ) ( ) ( )18) ; ; 2 3a A B b C c A B− +
Obtenga el vector o el escalar si   2 3 ; 4A i j B i j= + = −
( ) ( )19) 5 6a A b B−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20) 2 3a A b B c A B d A B e A B f A B− + + − −

( ) ( ) ( ) ( )21) 5 6 5 6 5 6a A B b A B c A B d A B+ − − −
( ) ( ) ( ) ( )22) ; 3 2 ; 3 2 ; 3 2a A B b B A c B A d B A− − − −

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En los ejercicios 23 y 24.  Sí 4 2 ; 3 ; 5A i j B i j C i j= − + = − + = −

( ) ( )23) 5 2 2 5 2 2a A B C b A B C− − − −
( ) ( )24) 3 2 3 2a B A C b B A C− − − −

En los ejercicios  25 y 26. Sí ˆ ˆ ˆ ˆ8 5 ; 3A i j B i j= + = −
25) Determine un vector unitario que tenga la misma dirección que A B+ .

26) Obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección que A B− .

Exprese el vector dado en la forma (cos )r i sen jθ θ+ , donde r es el módulo, θ es el
ángulo director.  También obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección.

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ27) 3 4 2 2a i j b i j− +

( ) ˆ ˆ28) 8 6a i j+

( ) ( )ˆ ˆ29) 4 4 3 16a i j b i− + −

( ) ( )30) 3 3 ; 2a i j b j−
31) La figura  es un paralelogramo. Exprese w en términos de u y de v .

32) En el triángulo grande de la figura, m es una mediana (biseca el lado en el que está
dibujado). Exprese m y n en términos de u y de v .

33) Si 2 ; 3 2 ; 5 4A i j B i j C i j=− + = − = − , determine los escalares h y k tales que
C hA kB= + .
34)  Si   5 2 ; 4 3 ; 6 8A i j B i j C i j= − =− + =− + ,  determine los escalares h  y  k  tales que
B hC kA= −

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35)  Si   2 ; 2 4 ; 7 5A i j B i j C i j= − = − + = − , determine los escalares h  y  k  tales que
C hA kB= +

36)  En la figura, ( )w u v= − + y 1u v= − . Determine w .

37) Resuelva el problema anterior, si el ángulo superior es de 90º y los ángulos laterales
mide 135º.

En los problemas del 38 al 41 para los vectores bidimensionales u y v , determine la
suma u v+ , la diferencia u v− y las magnitudes u y v .
38) 1,0 ; 3,4u v= − =

39) 0,0 ; 3,4u v= = −

40) 12,12 ; 2,2u v= = −

41)   0.2,0.8 ; 2.1,1.3u v= − = −

42) En la figura, cada una de las fuerzas u y v tienen magnitud de 50 libras. Determine
la magnitud y dirección de la fuerza w, necesaria para contrarrestar u y v .

43) Se empuja un poste en la dirección S 30º E (30º al este del sur) con una fuerza de 60
libras. Dan empuja el mismo poste en la dirección S 60º O con una fuerza de 80 libras.
¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante?

44) Un peso de 300 Newton descansa en un plano inclinado liso (con fricción
insignificante) que forma un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Qué fuerza paralela al
plano mantendrá al peso sin que se deslice hacia abajo? Sugerencia: considere la fuerza
de 300 Newton hacia abajo como la suma de dos fuerzas, una paralela al plano y una
perpendicular a él.

45) Un objeto con peso de 258.5 libras se mantiene en equilibrio mediante dos sogas
que forman ángulos de 27.34º y 39.22º, respectivamente, con la vertical. Determine la
magnitud de la fuerza ejercida por cada soga sobre el objeto.

46) Un viento con velocidad de 45 millas por hora sopla en dirección N 20º O. Un
aeroplano que vuela a 425 millas por hora con aire en calma, se supone que avanza

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INGENIERÍA
directamente hacia el norte. ¿Cuál debe ser la dirección del aeroplano y qué tan rápido
vuela respecto al suelo?

47) Un barco está navegando con rumbo al sur a 20 millas por hora. Un hombre camina
hacia el oeste (es decir, en ángulo recto al lado de la nave) cruza la cubierta a 3 millas
por hora. ¿Cuál es la magnitud y dirección de su velocidad relativa a la superficie del
agua?

48) Un hombre vuela en medio de un viento que sopla a 40 millas por hora en dirección
sur; entonces, descubre que, cuando dirige su aeroplano en la dirección N 60º E, tiene
rumbo este. Determine la velocidad relativa (velocidad con aire en calma) del
aeroplano.
49) ¿Cuál debe ser la dirección y velocidad relativa necesarias para que un aeroplano
vuele a 837 millas por hora con rumbo norte, si está soplando un viento de 63 millas por
hora en la dirección S 11.5º E?
50) Demuestre los siguientes teoremas para el caso de vectores bidimensionales.

51) Dos fuerzas de 340  lb y  475  lb  forman entre si un ángulo de 34.6º  y se aplican a un
objeto en el mismo punto. Calcule (a) el modulo o intensidad de la fuerza resultante.

52) Dos fuerzas de 60 lb y 80 lb forman entre sí un ángulo de 30° y se aplican a un objeto
en el mismo punto. Obtenga (a) el módulo o intensidad de la fuerza resultante, y (b) el
ángulo que forma la resultante con la fuerza de 60 lb con aproximación de grados.
Se elige el eje positivo de las x, para representar la posición de la fuerza de 60lb,  el
vector A representa dicha fuerza y el vector B, representa la de 80 lb.

53) Una fuerza de 22 lb y otra de 34 lb se aplican a un objeto en el mismo punto y
forman un ángulo θ entre sí. Si la fuerza resultante es de 46 lb, determine θ con
aproximación de grados.

54) Una fuerza de 112 lb y otra de 84 lb se aplican a un objeto en el mismo punto, y la
fuerza resultante es de 162 lb. Determine el ángulo formado por la resultante y la fuerza
de 112 lb con aproximación de décimos de grado.

55) Un avión tiene una velocidad al aire de 350 mi/h. Para que el curso real del avión sea
el norte, su enfilamiento debe ser 340°. Si el viento sopla del oeste, (a) ¿cuál es la
rapidez del viento? (b) ¿Cuál es la velocidad a tierra del avión?

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INGENIERÍA
56) En un avión que tiene una velocidad al aire de 250 ( )mi
hr , el piloto desea volar hacia el
norte. Si el viento sopla hacia el este a 60 ( )mi
hr , (a) ¿cuál debe ser el enfilamiento del
avión? (b) ¿Cuál será la velocidad a tierra si el avión volase en este curso?

57) Una lancha puede desplazarse a 15 nudos con respecto al agua. En un río, cuya
corriente es de 3 nudos hacia el oeste, la lancha tiene un enfilamiento hacia el sur. ¿Cuál
es la velocidad de la lancha con respecto a tierra y cuál es su curso?

58) Un nadador con una velocidad de nado de 1.5 ( )mi
hr con respecto al agua, parte de la
ribera sur de un no y se dirige al norte directamente a través del río. Si la corriente del
rio fluye hacia el este a 0.8 ( )mi
hr . (a) ¿En qué dirección va el nadador? (b) ¿Cuál es la
velocidad del nadador con respecto a tierra? (c) Si la distancia a través del río es de 1
milla. ¿Qué tan lejos, río abajo, el nadador alcanza la otra orilla?

59) Suponga que el nadador del ejercicio 58 desea llegar al punto ubicado directamente
al norte a través del río. (a) ¿En qué dirección debe dirigirse el nadador? (b) ¿Cuál será la
velocidad respecto a tierra del nadador si elige esta dirección?

60)  Demuestre que si A es cualquier vector y c es cualquier escalar, entonces 00 0A = y
(0) 0C =
61)  Demuestre la ley asociativa para dos vectores dados.
62) Demuestre la existencia del idéntico aditivo y la existencia del idéntico
multiplicativo escalar.
63)  Demuestre el teorema existencia del inverso aditivo.
64)  Demuestre la ley asociativa para un vector y dos escalares.
65) Sean 2, 5 ; 3,1 ; 4,2A B C= − = = − (a) Calcule ) ( ); )( )a A B C b A B C+ + + +
66) Se dice que dos vectores son independientes si y sólo si sus representaciones de
posición no son colineales. Además, se dice que dos vectores A y B forman una base
para el espacio vectorial V2 si y sólo si cualquier vector de V2 puede expresarse como
una combinación lineal de A y B . Se puede demostrar un teorema que establece que
dos vectores forman una base para el espacio vectorial V2 si son independientes.
Muestre que este teorema se cumple para los dos vectores 2,5 3, 1y − haciendo lo
siguiente:
(a) Verifique que los vectores son independientes mostrando que sus representaciones
de posición no son colineales; y (b) Verifique que los vectores forman una base al
mostrar que cualquier vector 1 2a i a j+ puede expresarse como (2 5 ) (3 )c i j d i j+ + − ,
donde c y d son escalares. Sugerencia: exprese c y d en términos de 1 2a y a+ .

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67) Sean PQ una representación del vector A , QR una representación del vector B . y
RS una representación del vector C . Demuestre que si ,PQ QR yRS son los lados de
un triángulo, entonces 0A B C+ + = .

68) Demuestre analíticamente la desigualdad del triángulo para vectores:

A B A B+ ≤ +
69) Demuestre, por medio de métodos vectoriales, que el segmento de recta que une
los puntos medios de dos lados de u triángulo es paralelo al tercer lado.

70) Demuestre que los puntos medios de los cuatro lados de un cuadrilátero arbitrario
son los vértices de un paralelogramo.

71) Suponga que n puntos están igualmente espaciados en una circunferencia, y sean
1 2, ,..., nv v v los vectores desde el centro del círculo a estos n puntos. Demuestre que
1 2 ... 0nv v v+ + + = .
Considere la siguiente figura del círculo.

72) Considere una mesa triangular horizontal con ángulos en cada vértice menores de
120º. En los vértices hay poleas sin fricción sobre las cuales se pasan cuerdas atadas en
P , cada una con un peso W sujeto, como se muestra en la figura. Demuestre que, en
equilibrio, los tres ángulos en P son iguales; esto es, demuestre que
120ºα β α γ β γ+ = + = + = .

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73) Demuestre que el punto P del triángulo del problema 72 que minimiza
AP BP CP+ + es el punto en donde los tres ángulos en P son iguales. Sugerencia:
sean ,A B′ ′ y C′ los puntos en donde están sujetos los pesos. Entonces el centro de
gravedad está localizado ( )1
3
AA BB CC′ ′ ′+ + unidades debajo del plano del triángulo.
El sistema está en equilibrio cuando el centro de gravedad de los tres pesos es el más
bajo.

74) Suponga que los pesos en ,A B y C del problema 72 son 3 ,4w w y 5w,
respectivamente. Cuando hay equilibrio, determine los tres ángulos en P . ¿Ahora qué
cantidad geométrica (como en el problema 73) se minimiza?

75) Una araña (candelabro) de 100 libras está sostenida por cuatro alambres sujetos al
techo, en las cuatro esquinas de un cuadrado. Cada alambre forma un ángulo de 45º con
la horizontal. Determine la magnitud de la tensión en cada alambre.

76) Repita el problema 75 para el caso en donde son tres alambres fijos en el techo, en
las tres esquinas de un triángulo equilátero.

77) ¿Qué rumbo y qué velocidad (con aire en calma) se requieren para que un aeroplano
vuele a 450 millas por hora en dirección norte, si sopla un viento de 100 millas por hora
en la dirección N 60º E?

78) Sí 60θ = ° y 5T kN= , determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el
perno de argolla  y su dirección mida en el sentido de las agujas del reloj del eje x .

79) Si la magnitud de la fuerza resultante es de 9kN dirigido a lo largo del eje x ,
determine la magnitud de fuerza T que actúa en el perno de argolla y su ángulo θ .

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80) Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el anaquel y su dirección
medido en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto al eje u .

81) Resolver 1F en las componentes a lo largo de u y v cortar, y determina las
magnitudes de estas componentes.

82) Resolver 2F en las componentes a lo largo de u y v cortar, y determinar la
magnitudes de estas componentes.

83) Si 2F kN= y actúa la fuerza resultante a lo largo del eje u , determine la magnitud
de la fuerza resultante y ángulo θ .

84) Sí la fuerza resultante se requiere actuar a lo largo del eje u y tiene una magnitud de
5kN , determine la magnitud requerida de BF y su dirección θ .

85) El plato está sujeta a las dos fuerzas ,A BF F , como muestra la figura. Sí 60θ = °
Determine la magnitud de la resultante de estas dos fuerzas y su dirección medida en el
sentido de las agujas del reloj con respecto a la horizontal

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86) Determine el ángulo de θ para el miembro que une A al plato para que se dirija la
fuerza resultante de AF y BF horizontalmente a la derecha. ¿También, lo que es la
magnitud de la fuerza resultante?

87) Sí la tensión en el cable es BF , determine la magnitud y dirección de la fuerza
resultante que actúa en la polea. Este ángulo es el mismo ángulo BF de línea BF en el
bloque de la compuerta.

88) Un dispositivo se usa para el reemplazo quirúrgico de la juntura de la rodilla. Si la
fuerza que actúa a lo largo de la pierna es 360 N , determine sus componentes a lo largo
del corte x y y′.

89) Un dispositivo se usa para el reemplazo quirúrgico de la juntura de la rodilla. Si la
fuerza que actúa a lo largo de la pierna es 360 N , determine sus componentes a lo largo
del corte x′ y y .

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90) Determine el ángulo ( )0º 90ºθ θ≤ ≤ para el empaque AB para que la fuerza
horizontal 400lb tenga un componente de 500lb dirigido de A hacía C . ¿Cuál es la
componente de la fuerza que actúa a lo largo de AB ? Tome 40ºφ = .

91) Determine el ángulo   ( )0º 90ºφ φ≤ ≤ entre los empaques AB y AC para que la
fuerza horizontal de 400lb tenga una componente de 600lb que actúa, en la misma
dirección  de B hacía A. Tome 30ºθ = .

92) Resolver 1F en los componentes a lo largo de u y v y determina las magnitudes de
estas componentes.

93) Resolver 2F en los componentes a lo largo de u y v y determina las magnitudes de
estas componentes.

94) El camión usa dos sogas para ser remolcado. Determine las magnitudes de fuerzas
que AF y BF que actúan en cada soga para desarrollar una fuerza del resultante de
950 N dirigida a lo largo del eje x . Ponga 50ºθ = .

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95) El camión usa dos sogas para ser remolcado. Si la fuerza resultante es 950 N ,
dirigida a lo largo del eje x positivo. Determine las magnitudes de fuerzas AF y BF que
actúan en cada soga y el ángulo θ de BF para que la magnitud de BF sea  mínimo. AF
actúa a las 20º del eje x como lo muestra  la figura.

96) Si 145º, 5F kNφ = = , y la fuerza resultante es 6kN dirigida a lo largo del eje y ,
determine la magnitud requerida de 2F y su dirección θ .

97) Si 30ºφ = y la fuerza resultante es 6kN dirigida a lo largo del eje y , determine las
magnitudes de 1F y 2F y el ángulo θ para que 2F sea  mínimo.

98) Si 130º, 5F kNφ = = , y la fuerza resultante está dirigida a lo largo del eje y ,
determina la magnitud de la fuerza resultante si 2F sea  mínimo. ¿También lo es 2F y el
ángulo θ ?

99) Si 30ºθ = y 2 6F kN= , determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el
plato y su dirección medido en el sentido de las agujas del reloj del eje x .

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100) Si la fuerza resultante RF se dirige a lo largo de una línea medida 75º en el sentido
de las agujas del reloj del eje x y la magnitud de 2F es de ser mínimo, determine las
magnitudes de RF y 2F y el ángulo 90ºθ ≤ .

101) Dos fuerzas 1F y 2F actúe en el ojo del tornillo. Si sus líneas de acción están en un
ángulo θ aparte y la magnitud de cada fuerza es 1 2F F F= = , determine la magnitud de
la fuerza resultante RF y el ángulo entre RF y 1F .

102) El tronco está remolcándose por dos tractores A y B . Determine la magnitud de
dos fuerzas de remolque AF y BF si se requiere que la fuerza resultante tiene una
magnitud 10RF kN= y se dirija a lo largo del eje x . El juego 15ºθ = .

103) El resultante RF de las dos fuerzas que actúan en el tronco será dirigido a lo largo
del eje x y tendrá una magnitud de 10kN , determine el ángulo θ del cable, atado a B
tal que la magnitud de fuerza BF en éste cable sea mínimo. ¿Cuál es la magnitud de la
fuerza en cada cable para esta situación?

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104) La viga que usa dos cadenas será izada. Determine las magnitudes de las fuerzas AF
y BF que actúan en cada cadena para desarrollar una fuerza del resultante de 600 N
dirigidas a lo largo del eje y . Tome 45ºθ = .

105) La viga que usa dos cadenas será izada. Si la fuerza resultante es ser 600 N dirigidos
a lo largo del eje y , determine las magnitudes de fuerza AF y BF   actuando en cada
cadena y el ángulo θ de BF para que la magnitud de BF sea un mínimo. AF Actúa a las
30º del eje y , como muestra la figura.

106) Tres cadenas actúan en el anaquel, tal que ellos crean una fuerza resultante que
tiene una magnitud de 500lb . Si se sujetan dos de las cadenas a las fuerzas conocidas,
como muestra la figura, determine el ángulo θ de la tercera cadena medido en el
sentido de las agujas del reloj del eje x , para que la magnitud de fuerza F en esta
cadena sea mínima. Todas las fuerzas quedan en el plano ,x y . ¿Cuál es la magnitud de
F ?Sugerencia: Primero encuentre la fuerza resultante de las dos fuerzas conocidas. La
fuerza F actúa en esta dirección.

107) Tres cables tiran en la cañería tal que ellos crean una fuerza resultante que tiene
una magnitud de 900lb . Si se sujetan dos de los cables a las fuerzas conocidas,
mostrado en la figura, determine el ángulo θ el tercer cable para que la magnitud de
fuerza F en este cable sea un mínimo. Todo las fuerzas quedan en el plano del ,x y .

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¿Cuál es la magnitud de F ?sugerencia: Primero encuentre la fuerza resultante de las
dos fuerzas conocidas.

108) Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el alfiler y su dirección
midió en el sentido de las agujas del reloj del eje x .

109) Si 1 600F N= y 30ºφ = , determine la magnitud de la fuerza del resultante que
actúa en el perno de argolla  y su dirección medida en el sentido de las agujas del reloj
del eje x .

110) Si la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el perno de argolla es 600 N y
su dirección medidas en el sentido de las agujas del reloj del eje x es 30θ = ° ,
determine la magnitud de 1F y el ángulo φ .

111) El punto del contacto entre el fémur y la tibia deshuesa de la pierna está en A . Si
una fuerza vertical de 175lb es aplicada a estas alturas, determine los componentes a lo
largo de x y y corta. La nota que el componente y representa la fuerza normal en la
región carga‐productiva de los huesos. Los componentes x y y de esta fuerza causan
fluido ser apretado fuera del espacio productivo.

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112) Si 30φ = ° y 2 3F kN= , determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en
el plato y su dirección θ medida en el sentido de las agujas del reloj del eje x .

113) Si la magnitud para la fuerza resultante que actúa en el plato es 6kN y su dirección
medida en el sentido de las agujas del reloj del eje x es 30θ = ° , determine la magnitud
de 2F y su dirección φ .

114) Sí 30φ = ° y la fuerza resultante que actúa en el plato del escudete está dirigida a lo
largo del eje x , determine la magnitud de 2F y fuerza resultante.

115) Determine la magnitud de 1F y su dirección θ para que la fuerza resultante se
dirija verticalmente ascendente y tenga una magnitud de 800 N .

116) Determine la magnitud y dirección medido en sentido contrario a las agujas del
reloj del eje x de la fuerza resultante de la tercera fuerza actuante en el anillo. Toma
1 500F N= y 20θ = °.

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117) Determine la magnitud y dirección θ de BF para que la fuerza resultante es
dirigido a lo largo del eje y y tiene una magnitud de 1500 N .

118) Determine la magnitud y ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj
en el eje y de la fuerza resultante actuando en el anaquel si 600BF N= y 20ºθ = .

119) SÍ 30ºφ = y 1 250F lb= , determine la magnitud de la fuerza resultante actuando en
el tanque y su dirección medido en sentido contrario a las agujas del reloj en el eje x .

120) SÍ la magnitud de la fuerza resultante actuando en el anaquel es 400lb dirigido a lo
largo del eje x , determine la magnitud de 1F y su dirección φ .

121) SÍ la fuerza resultante que actúa en el anaquel está dirigiéndose a lo largo del eje x
y la magnitud de 1F requerida es mínima, determine la magnitud de la fuerza resultante
1F .

122) Las tres fuerzas coexistentes que actúan en el producto de ojo de tornillo una
fuerza resultante 0RF = . Si 2
2 13F F= y 1F es ser 90º de 2F ver figura, determine la
magnitud requerida de 3F expresada por lo que se refiere a 1F y el ángulo θ .

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123) Determine la magnitud de AF y su dirección θ para que la fuerza resultante este
dirigida a lo largo del eje x y tiene una magnitud de 1250 N .

124) Determine la magnitud y dirección medido en sentido contrario a la aguja del reloj
en el eje x de la fuerza resultante actuando en el anillo O si 750AF N= y 45ºθ = .

125) Determine la magnitud de la fuerza resultante y dirección medido en sentido
contrario a las agujas del reloj en el eje x .

126) Las tres fuerzas se aplican al anaquel. Determine el rango de valores para la
magnitud de fuerza P para que la resultante de las tres fuerzas no exceda 2400 N .

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127) SÍ 1 150F N= y 30ºφ = , determine la magnitud de la fuerza resultante actuando en
el anaquel y su dirección medido en sentido contrario a las agujas del reloj en el eje x .

128) Sí la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el anaquel será 450 N dirigido a
lo largo del eje u , determine la magnitud de 1F y su dirección φ .

129) Sí la fuerza resultante que actúa en el anaquel es mínima, determine la magnitud
de 1F y la fuerza resultantes. Tomar 30ºφ =

130) Tres fuerzas actúan en el anaquel. Determine la magnitud y dirección θ de 2F para
que la fuerza resultante es dirigido a lo largo del eje u y tiene una magnitud de 50lb .

131) Sí 2 150F lb= y 55ºθ = , determine la magnitud y dirección medido en sentido
contrario a las agujas del reloj en el eje x de la fuerza resultante de las tres fuerzas que
actúan en el anaquel.

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132) Las tres fuerzas coexistentes que actúan en el poste produce una fuerza resultante
0RF = . Sí 1
2 12F F= y 1F es 90º de 2F mostrado, determine la magnitud requerida de
3F expresada por lo que se refiere a 1F y el ángulo θ .

133) Determine la magnitud de la fuerza F para que la fuerza resultante de las tres
fuerzas sea tan pequeña como posible. ¿Cuál es la magnitud de esta fuerza resultante
más pequeña?

134) Exprese cada una de las fuerzas que actúan en el anaquel en la forma del vector
Cartesiano con respecto a los ejes x y y . Determine la magnitud y dirección θ de 1F
para que la fuerza resultante se dirija a lo largo del eje x y tiene una magnitud de
600RF N= .

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