Report about FORTRAN90 calculation based in the speed of fall of a parachute. Mathematical resolution and implementantion of several methods. Numerical Methods subject at Universidad de Córdoba (Spain) in 2004.
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la carretera y los posibles impactos ambientales. También incluye un cronograma tentativo de la construcción y el presupuesto estimado para completar el proyecto.
Este documento introduce los conceptos de interpolación de datos y describe dos métodos principales: interpolación polinómica y por splines. Explica cómo construir polinomios de Newton y Lagrange para interpolar datos, así como funciones splines cúbicas que unen segmentos polinómicos. También presenta las funciones interp1, spline y polyfit en Matlab para realizar interpolación numérica.
Este documento introduce las ecuaciones integrodiferenciales, que son ecuaciones que involucran tanto derivadas como integrales de la variable dependiente. Explica que una ecuación integrodiferencial contiene al menos una derivada y un integrando de la variable dependiente. Presenta como ejemplo la ecuación de Volterra y describe cómo resolver numéricamente una ecuación integrodiferencial mediante la transformada de Laplace.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas mediante diferencias finitas. Explica cómo usar la serie de Taylor para derivar fórmulas de diferenciación numérica hacia adelante, hacia atrás y centrales de primer orden y orden superior. También cubre el método de la secante utilizando diferencias finitas y proporciona ejemplos y gráficas para ilustrar los conceptos.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento presenta un resumen de problemas resueltos de ecuaciones diferenciales correspondientes al segundo parcial. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares utilizando el método de Frobenius, la transformada de Laplace, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. También contiene anexos con problemas propuestos y tablas de transformadas.
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la carretera y los posibles impactos ambientales. También incluye un cronograma tentativo de la construcción y el presupuesto estimado para completar el proyecto.
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Este documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas mediante diferencias finitas. Explica cómo usar la serie de Taylor para derivar fórmulas de diferenciación numérica hacia adelante, hacia atrás y centrales de primer orden y orden superior. También cubre el método de la secante utilizando diferencias finitas y proporciona ejemplos y gráficas para ilustrar los conceptos.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento presenta un resumen de problemas resueltos de ecuaciones diferenciales correspondientes al segundo parcial. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares utilizando el método de Frobenius, la transformada de Laplace, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. También contiene anexos con problemas propuestos y tablas de transformadas.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Soluciones Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Recursocareto12
Este documento describe varios métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, incluyendo el método de la serie de Taylor, los métodos de Euler y Runge-Kutta, y los métodos de pasos múltiples como Milne, Adams-Moulton y predictor-corrector. Explica que estos métodos numéricos son útiles para aproximar soluciones cuando no es posible obtener una solución analítica exacta y describen su aplicación para resolver problemas que involucran ecuaciones diferenciales.
APLICACIONES DE LA SERIE DE FOURIER EN EL AREA DE LA INGENIERIAwendybejarano02
Una serie de Fourier es una herramienta matemática que descompone funciones periódicas en una suma infinita de funciones sinusoidales más simples. Fue desarrollada por Jean-Baptiste Joseph Fourier y se usa en muchas áreas de ingeniería como análisis vibratorio, acústica, procesamiento de señales y telecomunicaciones.
El documento presenta información sobre el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias y la transformada de Laplace en MATLAB. Explica conceptos básicos como la transformada de Laplace, sus propiedades y cómo resolver ejemplos utilizando MATLAB. Finalmente incluye una bibliografía.
METODOS NUMERICOS para ingenieria -ChapraAdriana Oleas
Este documento presenta un libro sobre métodos numéricos para ingenieros con aplicaciones en computadoras personales. El libro contiene seis partes que cubren temas como raíces de ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales, ajuste de curvas, integración numérica y ecuaciones diferenciales ordinarias, con ejemplos de aplicación en diversas áreas de la ingeniería. El prefacio explica que el libro fue desarrollado para enseñar métodos numéricos de manera temprana en la carrera, aprove
Este documento presenta un modelo matemático para predecir la evolución del número de estudiantes en la Escuela de Ciencias de la Computación usando el modelo de crecimiento poblacional de Malthus. Se recolectan datos de matrículas pasadas y se aplica el modelo para calcular el número de estudiantes en los próximos dos períodos, mostrando un decrecimiento.
El documento describe los métodos numéricos y su importancia para resolver problemas de ingeniería. Explica que los métodos numéricos permiten formular problemas matemáticos de forma que se puedan resolver mediante cálculos aritméticos. Además, señala que el desarrollo de computadoras ha aumentado considerablemente el uso de métodos numéricos, permitiendo resolver una amplia gama de problemas que antes no tenían solución.
Este documento describe cómo calcular integrales dobles en coordenadas polares. Explica que existen tres tipos de regiones para integrales dobles polares: regiones rectangulares polares, regiones tipo 1 donde se integra primero r, y regiones tipo 2 donde se integra primero θ. Proporciona ejemplos numéricos de cómo calcular el área, volumen y otras integrales dobles y triples utilizando coordenadas polares.
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
Ejercicios de parametrizacion de curvas calculo vectorial.ualvarezhernandez
Este documento presenta la parametrización de tres curvas: una parábola definida por la ecuación y=x^2-1, una circunferencia definida por x^2+y^2=2, y una elipse definida por 3x^2+2y^2=6. Se muestra el procedimiento para parametrizar cada curva utilizando funciones trigonométricas de t. El autor concluye que los ejercicios de calculo vectorial propuestos por el profesor son útiles para aprender la materia.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
Este documento describe y compara dos métodos para encontrar las raíces de una ecuación: el método del punto fijo y el método de la regla falsa. Explica cómo funciona cada método a través de fórmulas matemáticas y ejemplos numéricos. Señala que el método del punto fijo converge cuando la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de la regla falsa puede converger más rápido al localizar la raíz en un intervalo más pequeño entre iteraciones.
El documento describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Doolittle. El método de Doolittle descompone la matriz del sistema en matrices triangulares inferior y superior. El documento también explica cómo implementar el método de Doolittle en software como Matlab para resolver sistemas numéricamente.
Este documento presenta un solucionario para el libro "Ecuaciones Diferenciales Dennis G. Zill" que cubre los capítulos 2 al 7, incluyendo secciones específicas de cada capítulo sobre temas como ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, series de potencias, ecuaciones lineales de segundo orden, y ecuaciones en derivadas parciales. El documento proporciona una dirección web para acceder al solucionario.
Este documento describe los métodos numéricos de Gauss-Seidel y Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método de Gauss-Seidel converge más rápido que el método de Jacobi porque utiliza los valores parciales calculados en cada iteración, mientras que Jacobi usa valores de la iteración anterior. Ambos métodos son iterativos y se usan cuando no es posible obtener una solución exacta.
El wronskiano es un determinante utilizado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. Se construye colocando las funciones y sus derivadas sucesivas en las filas de una matriz. Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo, mientras que si es cero uniformemente, podrían ser dependientes o no. El wronskiano es útil para verificar la independencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la ingenieriaLuis Arita
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería. Explica conceptos clave como derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, así como las etapas para resolver problemas científicos usando ecuaciones diferenciales: formulación matemática del problema, solución de las ecuaciones y interpretación de la solución. También describe aplicaciones comunes de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior en mecánica, circuitos eléctricos, flujo de calor y
Este documento presenta un manual de programas aplicados a métodos numéricos desarrollado como trabajo práctico educativo por dos estudiantes para acreditar su experiencia educativa. El manual contiene introducción, justificación, tipo y naturaleza del trabajo, características y funciones esenciales, y procesos del trabajo divididos en cuatro capítulos que describen métodos numéricos para resolver ecuaciones lineales, no lineales, diferenciales y de integración acompañados de ejemplos, diagramas de flujo, pseudocódigo y program
Este documento presenta una introducción a la cinemática. Explica que la cinemática describe el movimiento sin determinar sus causas, y que puede describir fenómenos físicos de una manera sencilla. Describe los diferentes tipos de movimiento (rectilíneo uniforme, uniformemente acelerado y acelerado) y cómo representarlos gráficamente. También explica cómo calcular la velocidad, aceleración y posición para cada tipo de movimiento.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Soluciones Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Recursocareto12
Este documento describe varios métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, incluyendo el método de la serie de Taylor, los métodos de Euler y Runge-Kutta, y los métodos de pasos múltiples como Milne, Adams-Moulton y predictor-corrector. Explica que estos métodos numéricos son útiles para aproximar soluciones cuando no es posible obtener una solución analítica exacta y describen su aplicación para resolver problemas que involucran ecuaciones diferenciales.
APLICACIONES DE LA SERIE DE FOURIER EN EL AREA DE LA INGENIERIAwendybejarano02
Una serie de Fourier es una herramienta matemática que descompone funciones periódicas en una suma infinita de funciones sinusoidales más simples. Fue desarrollada por Jean-Baptiste Joseph Fourier y se usa en muchas áreas de ingeniería como análisis vibratorio, acústica, procesamiento de señales y telecomunicaciones.
El documento presenta información sobre el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias y la transformada de Laplace en MATLAB. Explica conceptos básicos como la transformada de Laplace, sus propiedades y cómo resolver ejemplos utilizando MATLAB. Finalmente incluye una bibliografía.
METODOS NUMERICOS para ingenieria -ChapraAdriana Oleas
Este documento presenta un libro sobre métodos numéricos para ingenieros con aplicaciones en computadoras personales. El libro contiene seis partes que cubren temas como raíces de ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales, ajuste de curvas, integración numérica y ecuaciones diferenciales ordinarias, con ejemplos de aplicación en diversas áreas de la ingeniería. El prefacio explica que el libro fue desarrollado para enseñar métodos numéricos de manera temprana en la carrera, aprove
Este documento presenta un modelo matemático para predecir la evolución del número de estudiantes en la Escuela de Ciencias de la Computación usando el modelo de crecimiento poblacional de Malthus. Se recolectan datos de matrículas pasadas y se aplica el modelo para calcular el número de estudiantes en los próximos dos períodos, mostrando un decrecimiento.
El documento describe los métodos numéricos y su importancia para resolver problemas de ingeniería. Explica que los métodos numéricos permiten formular problemas matemáticos de forma que se puedan resolver mediante cálculos aritméticos. Además, señala que el desarrollo de computadoras ha aumentado considerablemente el uso de métodos numéricos, permitiendo resolver una amplia gama de problemas que antes no tenían solución.
Este documento describe cómo calcular integrales dobles en coordenadas polares. Explica que existen tres tipos de regiones para integrales dobles polares: regiones rectangulares polares, regiones tipo 1 donde se integra primero r, y regiones tipo 2 donde se integra primero θ. Proporciona ejemplos numéricos de cómo calcular el área, volumen y otras integrales dobles y triples utilizando coordenadas polares.
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
Ejercicios de parametrizacion de curvas calculo vectorial.ualvarezhernandez
Este documento presenta la parametrización de tres curvas: una parábola definida por la ecuación y=x^2-1, una circunferencia definida por x^2+y^2=2, y una elipse definida por 3x^2+2y^2=6. Se muestra el procedimiento para parametrizar cada curva utilizando funciones trigonométricas de t. El autor concluye que los ejercicios de calculo vectorial propuestos por el profesor son útiles para aprender la materia.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
Este documento describe y compara dos métodos para encontrar las raíces de una ecuación: el método del punto fijo y el método de la regla falsa. Explica cómo funciona cada método a través de fórmulas matemáticas y ejemplos numéricos. Señala que el método del punto fijo converge cuando la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de la regla falsa puede converger más rápido al localizar la raíz en un intervalo más pequeño entre iteraciones.
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Este documento describe los métodos numéricos de Gauss-Seidel y Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método de Gauss-Seidel converge más rápido que el método de Jacobi porque utiliza los valores parciales calculados en cada iteración, mientras que Jacobi usa valores de la iteración anterior. Ambos métodos son iterativos y se usan cuando no es posible obtener una solución exacta.
El wronskiano es un determinante utilizado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. Se construye colocando las funciones y sus derivadas sucesivas en las filas de una matriz. Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo, mientras que si es cero uniformemente, podrían ser dependientes o no. El wronskiano es útil para verificar la independencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la ingenieriaLuis Arita
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería. Explica conceptos clave como derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, así como las etapas para resolver problemas científicos usando ecuaciones diferenciales: formulación matemática del problema, solución de las ecuaciones y interpretación de la solución. También describe aplicaciones comunes de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior en mecánica, circuitos eléctricos, flujo de calor y
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Este documento presenta una introducción a la cinemática. Explica que la cinemática describe el movimiento sin determinar sus causas, y que puede describir fenómenos físicos de una manera sencilla. Describe los diferentes tipos de movimiento (rectilíneo uniforme, uniformemente acelerado y acelerado) y cómo representarlos gráficamente. También explica cómo calcular la velocidad, aceleración y posición para cada tipo de movimiento.
307998285 graficas-posicion-tiempo-docxMiguel Leon
Este documento presenta información sobre gráficas de posición vs. tiempo. Explica que la variable independiente es el tiempo y la dependiente es la posición. Proporciona una tabla de datos como ejemplo y da instrucciones para trazar la gráfica correspondiente, calcular distancia total, desplazamiento total, velocidades en diferentes periodos de tiempo y resolver otros ejercicios similares. También incluye enlaces a recursos adicionales sobre el tema.
Este documento introduce el concepto de integral y su relación con el cálculo del espacio recorrido por un objeto en movimiento cuando se conoce su velocidad en función del tiempo. Explica cómo dividir el intervalo de tiempo en subintervalos y sumar las áreas de los rectángulos definidos por las velocidades y tiempos para obtener estimaciones cada vez más precisas del espacio recorrido. Finalmente, define la integral como el límite de esta suma cuando el número de subintervalos tiende a infinito, lo que proporciona el valor exacto del espacio recorrid
Aplicación de ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de la...daisy_hernandez
Este documento presenta conceptos fundamentales de cinemática, incluyendo posición, velocidad, aceleración y ecuaciones vectoriales. Explica cómo se define la posición, velocidad media y velocidad instantánea de una partícula en movimiento rectilíneo. También describe cómo usar ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas para representar rectas y planos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de la mecánica. Explica que la cinemática describe el movimiento de los cuerpos, mientras que la dinámica explica las causas del movimiento. Se describen varios tipos de movimiento como el movimiento uniformemente acelerado, el movimiento circular y el armónico. También se introducen conceptos como la velocidad, aceleración, cantidad de movimiento e ímpetu. Finalmente, se presentan las tres leyes de Newton de la dinámica.
Este documento presenta una introducción a la teoría de errores y métodos numéricos. Explica conceptos como modelos matemáticos, soluciones analíticas y numéricas, y tipos de errores. También describe la importancia de los métodos numéricos en ingeniería y áreas donde se aplican. Finalmente, introduce conceptos básicos sobre errores y software de cálculo numérico.
Este informe de laboratorio describe un experimento para determinar la relación entre la velocidad media y la velocidad instantánea de un carro que se mueve a lo largo de un riel. Se utilizaron dos fotoceldas a distintas distancias para medir el tiempo que tardaba el carro en pasar, calculando así su velocidad media. Al acercar progresivamente las fotoceldas, el tiempo medido se hizo más pequeño, aproximándose a la velocidad instantánea en el punto medio. La velocidad media más cercana a
Este documento describe la interpretación cinemática de la derivada. Explica que la derivada representa la rapidez instantánea de variación de una función y puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la tangente. También analiza conceptos como velocidad, aceleración y su relación con la derivada para describir el movimiento rectilíneo.
L0 preinforme VELOCIDAD INSTANTÁNEA Y VELOCIDAD MEDIAKaren Serrano
Este documento explica la diferencia entre la velocidad instantánea y la velocidad media de un objeto. Define la velocidad media como la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado, mientras que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. También describe cómo calcular experimentalmente cada una y cómo la dirección de la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria del objeto en un punto, a diferencia de la velocidad media.
Este documento presenta los fundamentos de los métodos numéricos. Explica la diferencia entre exactitud y precisión, define los tipos de errores y cómo calcularlos, y provee un ejemplo de cómo construir y resolver numéricamente un modelo matemático para la velocidad de caída de un paracaidista.
Este documento describe los conceptos básicos de las incertidumbres en mediciones. Explica que debido a limitaciones de los instrumentos, las mediciones siempre tienen un rango de valores posibles en lugar de un valor exacto. Define los tipos de instrumentos y formas de expresar las incertidumbres. También cubre cómo calcular las incertidumbres en mediciones indirectas usando la propagación de incertidumbres.
Este documento presenta las ecuaciones básicas de la cinemática para el movimiento rectilíneo, incluyendo desplazamiento, velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media, aceleración instantánea y movimiento con aceleración constante. Resuelve ejemplos numéricos y explica el movimiento en caída libre.
El documento trata sobre la teoría de errores en mediciones físicas. Explica que cuando se realiza una medición, el valor obtenido se ve afectado por errores. Describe dos tipos de errores, sistemáticos y accidentales. También explica cómo estimar el error cometido en una medición individual y cómo propagar los errores a cantidades derivadas de mediciones múltiples, usando cálculo diferencial.
Este documento describe experimentos para probar la segunda ley de Newton. Se midió la aceleración de un carrito usando un cronómetro y un fotointerruptor. También se estudió la relación entre la fuerza y aceleración aplicando las leyes de Newton a un sistema con masas colgadas de una polea. Los resultados apoyan la segunda ley de Newton de que la fuerza sobre un objeto es directamente proporcional a su aceleración.
Este documento describe la teoría y un experimento sobre el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV). Explica cómo obtener las ecuaciones del movimiento mediante el cálculo del área bajo las curvas de velocidad y aceleración en función del tiempo. Luego detalla un experimento realizado para verificar si el movimiento de un carrito sigue las leyes de la dinámica para un MRUV. Finalmente, usa MatLab para graficar los datos experimentales y ajustarlos a una parábola.
Este documento describe un experimento para verificar las leyes de la dinámica en un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV). Se midieron los valores de velocidad y tiempo para diferentes posiciones de un sensor colocado en un carrito al que se le agregó una masa de 100g. Los datos se graficaron en MatLab y se ajustó una curva parabólica que modela el movimiento MRUV.
Este documento define la aceleración como la rapidez del cambio del vector velocidad con respecto al tiempo, es decir, la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo. Explica que la aceleración también es un vector y presenta fórmulas para calcular la velocidad, velocidad media y distancia recorrida en función de la aceleración y el tiempo para problemas de una dimensión con aceleración constante.
Este documento trata sobre el movimiento rectilíneo uniforme. Define el movimiento rectilíneo uniforme como aquel en el que la velocidad es constante. Presenta las fórmulas fundamentales para calcular distancia, velocidad y tiempo en este tipo de movimiento. También describe las gráficas de posición vs tiempo y velocidad vs tiempo para el movimiento rectilíneo uniforme y resuelve algunos problemas de aplicación.
Cálculo del tipo de interés de la ecuación de la cuota periódica del préstamo...José Manuel Gómez Vega
Se calacula el tipo de interés en la eucación de la cuota periódica de la amortización de un préstamo según el sistema francés tomando 2 métodos numéricos y comparando las soluciones y los procesos de cálculo
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Unveiling the structure, chemistry, and formation mechanism of an in-situ pho...Javier García Molleja
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El rol de la tomografía en la industria: aplicaciones aeronáuticas y en el se...Javier García Molleja
Este documento resume cuatro casos de aplicación de la tomografía de rayos X en diferentes industrias. Brevemente describe cómo la tomografía se ha utilizado para estudiar el comportamiento de materiales compuestos en la industria aeronáutica, la influencia del proceso de fabricación en aleaciones metálicas para la industria automotriz, y el desarrollo de materiales estructurales para aplicaciones biomédicas.
How to make a manual binary segmentation for an XCT reconstructed volume with...Javier García Molleja
Guide for segmentation of volumes after X-Ray Computed Tomography reconstruction. This is one of multiple ways to make a segmentation for a volume at IMDEA Materials Institute (Getafe, Spain, 2019). ImageJ software is used.
Este documento describe las fuerzas a distancia como la gravedad y el electromagnetismo. Explica que la gravedad sigue la ley de la gravitación universal de Newton y depende de las masas y la distancia entre los objetos. Las trayectorias de los objetos bajo fuerzas centrales son elípticas, como se evidencia en el sistema solar. Las leyes de Kepler describen los movimientos planetarios en torno al sol.
Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Leonardo Reyes.
How to manually equalize the histograms of two (or more) subvolumes, measured...Javier García Molleja
This document provides instructions for manually equalizing the histograms of two X-ray computed tomography (XCT) subvolumes measured under similar conditions using ImageJ software. The key steps are:
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Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Leonardo Reyes for the figures and the sketch of the document.
Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Graciela Salum for the figures and the sketch of the document.
How to concatenate two (or more) subvolumes, measured with XCT, using ImageJJavier García Molleja
Guide for volume concatenation after X-Ray Computed Tomography reconstruction. This is one of multiple ways to make a concatenation for a volume at IMDEA Materials Institute (Getafe, Spain, 2018). ImageJ software is used.
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José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...
Velocidad de descenso de un paracaídas
1. Javier García Molleja Métodos Numéricos
1
VELOCIDAD DE DESCENSO DE UN PARACAÍDAS
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
Cuando un objeto se mueve a través de un fluido, tal como el aire o el agua, el fluido
ejerce una fuerza de resistencia o fuerza de arrastre que tiende a reducir la velocidad del
objeto. Esta fuerza depende de la forma del objeto, de las propiedades del fluido y de la
velocidad del objeto respecto al fluido. A diferencia de la fuerza de rozamiento, la fuerza de
arrastre crece con la velocidad del objeto, Para pequeñas velocidades es aproximadamente
proporcional a la velocidad del objeto; para velocidades superiores es casi proporcional al
cuadrado de la velocidad.
Consideremos un objeto que cae libremente desde el reposo bajo la influencia de la
gravedad supuesta constante. Ahora agreguemos una fuerza de arrastre de magnitud cvn
, en
donde c es una constante que depende de la forma del objeto y de las propiedades del aire y el
exponente n es aproximadamente igual a 1 a bajas velocidades y aproximadamente 2 para
altas velocidades. Así tenemos una fuerza hacia abajo constante, mg, y una fuerza hacia arriba
cvn
. Si tomamos positiva la dirección hacia abajo, resulta según la segunda ley de Newton
Σ Fy = mg – cvn
= may
mg – cv
n
= m(dvy/dt)
g – cv
n
/m = dvy/dt
dt = dvy/(g – cvn
/m)
∫dt =∫dvy(g – cv
n
/m)
t = -m/c Ln (1 – vn
c/gm)
vn
= gm/c (1 – e-ct/m
)
Para t = 0, cuando se deja caer el objeto, la velocidad es nula, de modo que la fuerza
de arrastre es cero y la aceleración g es hacia abajo. Cuando la velocidad del objeto crece, la
fuerza de arrastre se incrementa y la aceleración es menor que g. Eventualmente, la velocidad
se hace suficientemente grande para que la fuerza de arrastre cvn
sea igual a la fuerza de
gravedad mg, de modo que la aceleración se hace cero. El objeto continúa entonces
moviéndose a la velocidad constante vl, llamada velocidad límite. Haciendo a = 0 resulta de la
ecuación dinámica
cvl
n
= mg
Y por tanto, resulta para la velocidad límite
vl = (mg/c)
1/n
Cuanto mayor sea la constante c, menor es la velocidad límite.
MÉTODO DE RESOLUCIÓN
Si una partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza constante, su aceleración es
constante y podemos determinar su velocidad y posición a partir de las fórmulas
correspondientes a la cinemática. Sin embargo, consideremos una partícula que se mueva a
través del espacio en donde la fuerza que actúa sobre ella, y por tanto, su aceleración,
depende de su posición y velocidad. La velocidad y la aceleración de la partícula en un instante
determinan su posición y velocidad en el instante siguiente y estas magnitudes determinan su
aceleración en ese instante. La posición, velocidad y aceleración de un objeto cambian
continuamente con el tiempo. Podemos hacer una aproximación reemplazando las variaciones
continuas del tiempo por pequeños intervalos de tiempo de duración ∆t. La aproximación más
simple es suponer constante la aceleración durante cada intervalo. Esta aproximación se
denomina método de Euler. Si el intervalo de tiempo es suficientemente pequeño, el cambio de
aceleración durante el intervalo será pequeño y podrá despreciarse.
Sean x0, v0, a0 los valores conocidos de la posición, velocidad y aceleración de una
partícula en un tiempo inicial t0. Si suponemos que la aceleración es constante durante ∆t, la
velocidad en el instante t1 = t0 + ∆t viene dada por
v1 = v0 + a∆t
De modo semejante, si despreciamos el cambio de velocidad durante el intervalo de
tiempo, la nueva posición viene dada por
x1 = x0 + v0∆t
2. Javier García Molleja Métodos Numéricos
2
Existen otros métodos de integraciones numéricas más exactas, pero de uso más
complejo. Por ejemplo, la exactitud aumenta si a y v se reemplazan por los valores en el punto
medio del intervalo, en lugar de usar los correspondientes al comienzo del intervalo.
Los nuevos valores v1, y x1 se utilizan ahora para calcular la nueva aceleración a1 a
partir de la segunda ley de Newton y después utilizar a1 para el siguiente intervalo y calcular así
v2 y x2:
v2 = v1 + a1∆t
x2 = x1 + v1∆t
En general, la conexión entre la posición y la velocidad en el tiempo tn y en el tiempo
t n+1 = tn + ∆t viene dada por
V n+1 = vn + an∆t
X n+1 = xn + vn∆t
Para determinar la velocidad y posición en cierto momento t, dividiremos el intervalo de
tiempo t – t0 en un gran número de intervalos más pequeños ∆t y aplicaremos las ecuaciones
de recurrencia comenzando por el tiempo inicial t0. Esto supone un gran número de cálculos
simples y repetitivos que se realizan fácilmente mediante un ordenador. La técnica de dividir en
intervalo de tiempo en pequeñas etapas y calcular la aceleración, la velocidad y la posición en
cada etapa utilizando los datos de la anterior, se denomina integración numérica.
Para ilustrar el uso de los métodos numéricos, consideremos un problema en el cual un
paracaidista de apertura manual se lanza desde el reposo a cierta altura bajo la influencia de la
gravedad y una fuerza de arrastre que es proporcional al cuadrado de la velocidad v y a la
distancia x recorrida en función del tiempo.
La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo de masa m que se deja caer
desde el reposo es la segunda ley de Newton con n = 1
Σ Fy = mg – cv1
= may
La aceleración es, por tanto,
a = g – (c/m) v
Es conveniente escribir la constante b/m en función de la velocidad límite vl. Haciendo
a = 0 en esta última ecuación obtenemos
0 = g – (b/m) vl
b/m = g/vl
Sustituyendo b/m por g/vl en la ecuación de aceleración resulta
a = g (1 – v/vl)
En el caso de que realicemos la integración para conocer la expresión de la velocidad
sin conocer la aceleración, tendremos el siguiente resultado:
v = gm/c (1 – e-ct/m
)
Para resolverla numéricamente, necesitamos valores numéricos para g y vl, m, t. En
nuestro caso queremos determinar el coeficiente de arrastre, por lo iniciaremos por fijar un
valor de c0 y variarlo en cada iteración. Para que el tratamiento sea análogo a los métodos
numéricos estudiados será necesario dar origen a un programa que calcule un intervalo de diez
unidades en el que podría estar la solución. Para ello, calcularemos los valores
correspondientes a los extremos del intervalo y veremos si cambian de signo, de ser así es el
momento de aplicar el siguiente programa: el método de la bisección, por el que encontraremos
un valor bastante aproximado a la solución verdadera. Si no es el intervalo adecuado el
programa deberá pasar inmediatamente al siguiente y así de manera sucesiva, dando valores
contiguos a la variable que representa el coeficiente de arrastre.
Una vez obtenida la solución aproximada es obligado aplicar el método de Newton,
encontrando una solución aún más próxima debido a su rápida convergencia. Los criterios de
parada que se utilizarán serán los habituales (en el caso de número de iteraciones) o los
indicados por la sesión (en el caso de la tolerancia).
Es de suponer que el problema está bien condicionado, ya que la función de la que
partimos es una ley física bastante contrastada. También podemos admitir la existencia y
unicidad de la solución, puesto que ha sido encontrada por el primer programa diseñado.
También sería muy importante estar prevenidos por los posibles errores de redondeo (ya que
los de truncamiento son inherentes a la ley y además son bastante despreciables): el
3. Javier García Molleja Métodos Numéricos
3
argumento de la exponencial, al ser tan elevado, podría desbordarse por abajo y no dar la
solución correcta. Si estos errores son encontrados deberíamos encontrar otros procesos que
los eliminasen (como utilizar la doble precisión para manejar números reales).
En esta ecuación hemos omitido las unidades, así que supondremos que estamos
utilizando el Sistema Internacional. Entonces, la unidad de v es el metro por segundo, la de g el
metro por segundo al cuadrado, la de m el kilogramo, la de t el segundo y la de c el kilogramo
por segundo. Si elegimos los datos de la sesión, lo que en realidad haremos será dividir el
intervalo principal en una gran cantidad de intervalos más pequeños. Utilizando los programas
de cálculo en el ordenador podremos tener una idea intuitiva de la solución, tan exacta como
nos permita la tolerancia.
La exactitud de estos cálculos puede variar según la tolerancia permitida, si ésta es
muy alta se alejará del valor teórico exacto en un porcentaje, que será inaceptable si se supera
el 10%. Estas son nuestras estimaciones sobre la exactitud de los cálculos originales.
Como la diferencia de la c calculada con la verdadera disminuye conforme baja la
tolerancia, parece lógico que sería mejor utilizar intervalos muy pequeños. Sin embargo, hay
dos razones para no usar tolerancias muy pequeñas. En primer lugar, cuanta más pequeña es
la tolerancia, mayor es el número de cálculos requeridos y mayor el tiempo empleado por el
ordenador. En segundo lugar, el ordenador mantiene sólo un número de dígitos en cada etapa
del programa, de tal modo que en cada etapa hay un error de redondeo. Estos errores de
redondeo se suman y por tanto, crecen con el número de cálculos. Al principio, cuando
disminuíamos la tolerancia, la exactitud se mejoraba porque c se aproximaba cada vez más al
valor c verdadero del intervalo. Sin embargo, si seguimos disminuyendo la tolerancia, los
errores de redondeo se acumulan y la exactitud del cálculo disminuye. Una buena regla
práctica es no utilizar más de unos 10
4
ó 10
5
decimales en la integración numérica típica.
SEUDOCÓDIGOS
INTERVALO DE SOLUCIÓN
PROGRAMA Intervalo
SIN CRITERIO IMPLÍCITO
REAL*8::w, c
c = 1
w = f(c)*f(c+10)
HACER MIENTRAS (w>0)
c = c +1
w = f(c)*f(c+10)
FIN HACER
IMPRIMIR*,”La solución está entre”, c,”y”, c+10
CONTIENE
FUNCIÓN f(c) RESULTADO (res)
REAL*8::c, res, m, g, t, v
m = 50.0
g = 9.81
t = 300.0
v = 30.0
res = (g*m/c)*(1-(1/EXP(c*t/m)))-v
FIN FUNCIÓN f
FIN PROGRAMA Intervalo
4. Javier García Molleja Métodos Numéricos
4
BISECCIÓN DE BOLZANO
PROGRAMA Bolzano
SIN CRITERIO IMPLÍCITO
REAL*8:: a, b, c, delta, epsilon, u, v, w, e
ENTERO:: m, k
LLAMAR Datos
u = f(a)
v = f(b)
e = b-a
IMPRIMIR*,”Los extremos son”, a,”y”, b, &
“de valores”, u,”y”, v,”respectivamente.”
SI ((u*v) <0) ENTONCES
PARA k = 1, m
e = e/2
c = a+e
w = f(c)
SI ((ABS (w) <epsilon).O. (e < delta)) ENTONCES
IMPRIMIR*,”La raíz es”, c,”encontrada en la”, &
“iteración”, k,”en el intervalo”, e,”con valor”, w
PARAR
SI NO
SI ((w*u) <0) ENTONCES
b = c
v = w
SI NO
a = c
u = w
FIN SI
FIN SI
FIN PARA
IMPRIMIR*,”El método falló en la iteración”, m
FIN SI
CONTIENE
SUBRUTINA Datos
IMPRIMIR*,”Puntos extremos”
LEER*, a, b
IMPRIMIR*,”Tolerancia de amplitud de intervalo.”
LEER*, delta
IMPRIMIR*,”Tolerancia para valor de función.”
LEER*, epsilon
IMPRIMIR*,”Número de iteraciones.”
LEER*, m
FIN SUBRUTINA Datos
FUNCIÓN f(c) RESULTADO (res)
REAL*8::c, res, m, g, t, v
m = 50.0
g = 9.81
5. Javier García Molleja Métodos Numéricos
5
t = 300.0
v = 30.0
res = (g*m/c)*(1-(1/EXP(c*t/m)))-v
FIN FUNCIÓN f
FIN PROGRAMA Bolzano
NEWTON-RAPHSON
PROGRAMA Newton_Raphson
SIN CRITERIO IMPLÍCITO
REAL*8::x0, x1, epsilon, num, den, error
ENTERO::k, m
LLAMAR Datos
PARA k =1, m
num = f(x0)
den = df(x0)
x1 = x0 – (num/den)
error = ABS ((x1-x0)/x0)
SI (error < epsilon) ENTONCES
IMPRIMIR*,”La solución es”, x1,”situada en el intervalo”, error, &
“encontrada en la iteración”, k
PARAR
SI NO
x0 = x1
FIN SI
FIN PARA
IMPRIMIR*,”El método falló después de”, m,”iteraciones.”
CONTIENE
SUBRUTINA Datos
IMPRIMIR*,”Aproximación inicial”
LEER*, x0
IMPRIMIR*,”Tolerancia.”
LEER*, epsilon
IMPRIMIR*,”Número máximo de iteraciones”
LEER*, m
FIN SUBRUTINA Datos
FUNCIÓN f(c) RESULTADO (res)
REAL*8::c, res, m, g, t, v
m = 50.0
g = 9.81
t = 300.0
v = 30.0
res = (g*m/c)*(1-(1/EXP(c*t/m)))-v
FIN FUNCIÓN f
6. Javier García Molleja Métodos Numéricos
6
FUNCIÓN df(c) RESULTADO (res2)
REAL*8::c, res, m, g, t
m = 50.0
g = 9.81
t = 300.0
res2 = (g/c)*(-(m/c) + ((m/c) + t)*(1/EXP(c*t/m)))
FIN FUNCIÓN df
FIN PROGRAMA Newton_Raphson
PROGRAMACIÓN
Los programas utilizados para la consecución de la sesión se adjuntarán al final en una
copia en soporte magnético para compilarlos con el lenguaje FORTRAN90 para verificar los
resultados obtenidos.
JUEGO DE DATOS
Los datos que se utilizan en esta práctica son los propuestos y con ellos se calculará
de manera detallada el valor del coeficiente de arrastre:
⊗ Velocidad: v = 30 m/s
⊗ Aceleración de la gravedad: g = 9.81 m/s2
⊗ Masa: m = 50 kg
⊗ Tiempo: t = 300 s
⊗ Tolerancias: 0.01
⊗ Número de iteraciones máximo: 100
⊗ Valores extremales: los calculados con el primer programa.
⊗ Valor arbitrario: el obtenido con el método de la bisección.
RESULTADOS
Al ejecutar el programa que determinaba el intervalo en donde se encuentra la solución
se ha recibido el siguiente mensaje: La solución estará entre 7 y 17.
En el momento de utilizar el programa de la dicotomía e introducir los valores pedidos
llegamos a leer el mensaje del programa ejecutable: Los valores extremales son 7 y 17, que
dan un valor de 40.0714315686907, -1.14705758936265, respectivamente, con una tolerancia
de 10-2
. La raíz es 16.345703125 conseguida en la iteración 10, situada en el intervalo
9.765625 10-3
con un valor 7.887530432249434 10-3
.
Para refinar la solución obtenida por el anterior método utilizamos el método de
Newton-Raphson, en el que al ejecutar el programa podemos ver: La raíz el
16.3500006993611 con error 6.908937245445475 10-8
, encontrado en la iteración 2.
A continuación discutiremos de manera experimental si las ecuaciones estaban bien
condicionadas, para ello daremos una lista de datos y tolerancias para ver si las soluciones
obtenidas son parecidas entre sí.
Intervalo de solución
Extremo inicial Extremo final
7 17
Bisección de Bolzano
Coef. De arrastre Tolerancia Iteración Error
16.3499755859375 1E-4 14 6.103515625E-4
16.3500006943941 1E-8 27 7.450580596293828E-8
7. Javier García Molleja Métodos Numéricos
7
Método de Newton-Raphson
Valor inicial Coef. De arrastre Tolerancia Iteración Error
16.3499755859375 16.3500006993226 1E-4 1 1.5359891493641E-6
16.3500006993612 1E-8 2 2.359132156632576E-12
16.3500006943941 16.3500006993612 1E-4 1 3.037959017878663E-3
16.3500006993612 1E-8 1 3.037959017878663E-10
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
La sesión en la que hemos trabajado ha resultado ser grata en el sentido del uso de
métodos numéricos sencillos y fáciles de manejar, pero con unos criterios de convergencia y
órdenes muy exigentes, por lo que la posibilidad de error es mínima. Además, el manejo de la
ecuación de caída libre nos ha permitido tener un conocimiento más exacto sobre el uso de la
precisión a la hora de declarar variables, que en los cálculos en los que entraran, tendrían la
posibilidad de desborde hacia abajo. Todo esto nos ayuda en el caso de una comprensión más
eficaz sobre el método en el que estemos trabajando. También se nos da la posibilidad de
diseñar nuestro propio programa para encontrar el intervalo donde se encuentra la solución,
cosa útil para poner en práctica la capacidad de síntesis del programador.
El tema utilizado es de gran relevancia, ya que el uso de paracaídas es bastante
utilizado en la industria aeronáutica, ya como dispositivo de salvamento, ya como parte de un
proyecto espacial, por lo que la relevancia y el rigor de la Física es requerido.
A la hora de trabajar con el primer programa es necesario tener en cuenta que el
extremo del intervalo más alejado del origen llega a un orden de -43, por lo que se requiere un
manejo bastante importante de la precisión. Sin embargo, este valor es tan pequeño que
apenas afecta a la solución.
En el segundo programa tenemos el inconveniente de su lenta convergencia y la
posible acumulación de errores de redondeo. Este aspecto queda anulado si lo consideramos
como una primera aproximación en nuestros cálculos. También la magnitud del intervalo no es
muy acertada, ya que por lógica la solución estará entre el extremo más alejado y el
inmediatamente anterior (ya calculado).
Para utilizar el último método se utiliza la solución del anterior. Aquí se ha utilizado una
tolerancia de 0.000001, ya que se consiguen mejores resultados sin muchas iteraciones con
este valor. Si la tolerancia es el doble de baja se obtiene una solución muy parecida, que sólo
difiere de ésta en la última cifra decimal y el intervalo de error es casi la mitad de éste. Por
tanto, parece más conveniente utilizar esta tolerancia que la definida en la sesión.
BIBLIOGRAFÍA
P. A. Tipler: “Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1”; editorial Reverté (Barcelona, 6ª
edición).
Cruz Soto J. L. y Ventura Soto S.: “Programación científica”; licenciatura en Física (Universidad
de Córdoba, 2003).