Volumen de un sólido de revolución es el volumen que está contenido dentro de una figura geométrica creada al girar una línea recta alrededor de un eje.

2. Francisco Gurrola Ramos
2022

3. V= 𝑎
𝑏
2𝜋𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥

4. Calcular el volumen que se obtiene al rotar las curvas
𝒚 = 𝟑
𝒙 𝒚 𝒚 =
𝒙
𝟒
alrededor del eje “y”
1.- Encontramos los limites de integración
𝟑
𝒙 =
𝒙
𝟒 elevando al cubo queda ∶ 𝒙 =
𝒙𝟑
𝟔𝟒
Esto se puede simplificar como 𝟔𝟒 =
𝒙𝟑
𝒙
= 𝒙𝟐
Así la intercepción de 𝟑
𝒙 =
𝒙
𝟒
están en x = 0 y x = 8

5. Calcular el volumen que se obtiene al rotar las curvas
𝑦 = 3
𝑥 𝑦 𝑦 =
𝑥
4
alrededor del eje “y”
𝑺𝒊𝒛𝒒 =
𝒌=𝟎
𝒏−𝟏
𝟐𝝅 𝒙𝒌(𝒇 𝒙𝒌 − 𝒈 𝒙𝒌 )∆𝒙
V= 0
8
2𝜋𝑥(𝑥
1
3 −
𝑥
4
)𝑑𝑥

6. Volumen utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo
V= 0
8
2𝜋𝑥(𝑥
1
3 −
𝑥
4
)𝑑𝑥 = 2𝜋 0
8
(𝑥
4
3 −
𝑥2
4
)𝑑𝑥
V= 2𝜋
𝑥
7
3
7
3
−
𝑥3
4(3)
0
8
= 2𝜋
8
7
3
7
3
−
83
4(3)
−
0
7
3
7
3
−
03
4(3)
V= 2𝜋 12.19 = 76.59 𝑢2

7. 𝑺𝒊𝒛𝒒 =
𝒌=𝟎
𝟏𝟓
𝟐𝝅 𝒙𝒌(𝟑
𝒙𝒌 −
𝒙𝒌
𝟒
)∆𝒙
∆𝒙 =
𝟖 − 𝟎
𝟏𝟔
= 𝟎. 𝟓

8. 𝑺𝒅𝒆𝒓 =
𝒌=𝟏
𝟏𝟔
𝟐𝝅 𝒙𝒌(𝟑
𝒙𝒌 −
𝒙𝒌
𝟒
)∆𝒙
∆𝒙 =
𝟖 − 𝟎
𝟏𝟔
= 𝟎. 𝟓

10. Método de discos
= π[(
𝟏𝟔𝒙𝟐𝟑
𝟑
−
𝟒𝟕
𝟕
) − (
16.03
3
−
07
7
)] = π
512
21
=24.3809 π
𝐴𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑠: 76.595
0
2
𝜋[ 4𝑦 2
− (𝑦3
)2
]𝑑𝑥 =
0
2
𝜋[16𝑦2
−𝑦6
]𝑑𝑥 = 𝜋
16 ∙ 𝑦3
3
−
𝑦7
7
|0
2
=