El documento describe cómo calcular la moda de una tabla de frecuencias. Explica que la moda es el valor que tiene mayor frecuencia en la tabla, en este caso el número 2, ya que es el número de días que más estudiantes faltaron a clase en un mes. Luego presenta ejemplos de cómo calcular la mediana y la media de conjuntos de datos.

1. Observa que 2 es el valor al que
corresponde mayor frecuencia, es decir,
no asistir a clase 2 días al mes es el
caso que se presenta con más
frecuencia. Decimos que 2 es la moda
de esta tabla de frecuencias.
Institución Educativa Arequipa Febrero del 2021
PROGRAMACIÓN DE EXTENSION EDUCATIVA IV SEMANA
ACTIVIDADES DE HABILIDADES MATEMÁTICAS
“Honorio Delgado Espinoza”
Apellidos y Nombres: _______________________________________________________________________ N°:____ Grupo: ___
Profesores: Rosa Patricia Beltrán Molina; Edilma Coaguila Cornejo; Henry Tapia Pino
ESTADISTICA
En los periódicos y en la televisión habrás visto, si eres
observador, que se ofrece información acerca de hechos
fenómenos o actividades mediante cuadros o tablas y
gráficos parecidos al siguiente cuadro mostrado. Este
cuadro o tabla se llama estadística.
MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL
MODA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS. - Es el valor al que corresponde mayor
frecuencia.
Ejemplo: El director de un colegio ha realizado una estadística sobre el número de
inasistencias a clase durante un mes por parte de los estudiantes y ha obtenido la
siguiente tabla de frecuencias:
N° inasistencia N° de alumnos
1
2
3
4
5
6 o más de 6
23
54
28
12
4
1
MEDIANA. - Si ordenamos los datos de menor a mayor y escogemos el central
habremos hallado la mediana.
Ejemplo: Hallar la mediana de la siguiente serie: 128;110;112;132;120: Ordenando:
Razona:
¿Qué ocurre si el número de datos es par? _____________________________
RETO EN CLASE: Hallar la mediana en la siguiente serie de datos:
3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9 => Me:_____________
- Si se nos plantea una TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA, hallamos la
mediana por medio de las frecuencias acumuladas (FA)
Ejemplo:
RETO PARA LA CASA: Crea una tabla de distribución de frecuencia en tu cuaderno,
con la preferencia de laguna bebida gaseosa.
MEDIA O VALOR MEDIO DE VARIOS NÚMEROS
Ejemplo: Una familia ha tenido los siguientes gastos diarios durante una semana:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
S/. 500 S/. 350 S/.500 S/. 340 S/. 530 S/. 370 S/. 210
Durante los 7 días de la semana han tenido un gasto total de:
500 + 350 + 500 + 340 + 530 + 370 + 210 = S/. 2800
Si este gasto total lo reparten por igual entre los 7 días de la semana obtienen:
7
210
370
530
340
500
350
500 +
+
+
+
+
+ =
7
2800 = 400 soles
Decimos que 400 soles es el gasto medio o media de gastos diarios de dicha familia
durante dicha semana.
MEDIA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS
Ejemplo: Se han observado en una fábrica los defectos de cada
una de 100 piezas iguales y se ha obtenido la
siguiente tabla de frecuencias; por lo tanto, Se llama
media o valor medio de esta tabla de frecuencias al número
que representamos por x obtenido de la siguiente forma:
x =
9
20
42
20
9
9
.
4
20
.
3
42
.
2
20
.
1
9
.
0
+
+
+
+
+
+
+
+ =
100
36
60
84
20 +
+
+ =
100
200 = 2
Es decir, x es la suma de los productos de los valores por sus frecuencias respectivas
dividida por la suma de las frecuencias.
RETO PARA LA CASA: En tu cuaderno realiza, la media aritmética de tus notas
obtenidas en el programa de extensión.
EL TALLER
Mario es dueño de un taller de reparación de motos. En su taller
trabajan nueve personas: 4 mecánicos, 3 técnicos calificados, 1
supervisor y 1 ingeniero (el dueño). Sus sueldos mensuales, sin
contar el de Mario, son los siguientes:
Halla la media, la mediana y la moda. Explica cuál de estas tres medidas podrías
utilizar, en los siguientes casos:
a) El dueño quiere demostrar que se paga bien en su taller.
b) Los trabajadores quieren organizar un sindicato para demandar el aumento de
sus salarios al dueño.
I ANTES DE HACER VAMOS A ENTENDER
1) ¿Cómo se dividen las nueve personas que trabajan en el taller?
______________________________________________________________
2) ¿Qué diferencia hay entre un mecánico y un técnico calificado?
_______________________________________________________________
3) ¿El sueldo depende de la calificación? Explica.
_______________________________________________________________
4) ¿Por qué se pide calcular la media, la mediana y la moda?
_______________________________________________________________
II ELABORA UN PLAN DE ACCIÓN
1) La media, la mediana y la moda son medidas que no dan la misma información
sobre el grupo. Explica por qué. _____________________________________
_______________________________________________________________
2) ¿Qué medida conviene usar en cada caso?
_______________________________________________________________
III DESARROLLA TU PLAN
1) Calcula la media, la mediana y la moda. ______________________________
______________________________________________________________
2) Ordénalas de menor a mayor. ______________________________
______________________________________________________________
3) ¿Qué quiere demostrar el dueño? ______________________________
______________________________________________________________
4) ¿Cuál de las medidas debe utilizar? ______________________________
______________________________________________________________
5) ¿Qué quieren demostrar los trabajadores? ____________________________
______________________________________________________________
6) ¿Cuál medida deben utilizar? ______________________________
______________________________________________________________
7) ¿Qué opinas tú? ¿Cuál de las tres medidas representa mejor a la población del
taller?_________________________________________________________
______________________________________________________________
IV SACALE EL JUGO A TU EXPERIENCIA
1) Si el dueño introduce su sueldo de S/.8000, ¿cómo se alteran las medidas?
______________________________________________________________
2) Estas medidas, ¿reflejan ahora a la población? ¿Por qué?
______________________________________________________________
3) ¿Qué población consideras que es más homogénea?
Población 1: Los mecánicos, técnicos y supervisores.
Población 2: Los mecánicos, técnicos, supervisores y el dueño.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
RETO PARA LA CASA: En tu cuaderno crea una situación similar, pero con 6
persona en total.
EL DILEMA DE LA MAESTRA
La maestra de Matemática del primero “Único” dice: “Este año
mis alumnas han tenido una mediana menor que la del año
pasado y mis alumnos no tuvieron un mejor desempeño
respecto al año pasado. pero tal vez, no sea necesario
preocuparme, por que la mediana de la clase entera es más elevada que la del año
anterior” ¿Es verdad lo que dice? ¿Cuál es la explicación? ¿Debería ella preocuparse?
Las calificaciones sobre cien puntos fueron:
I ANTES DE HACER VAMOS A ENTENDER
1. ¿Qué entiendes por mediana? ___________________________________________
2. ¿Qué está comparando la maestra? ______________________________________
3.Según la maestra, ¿Cómo han salido las mujeres? ___________________________
4. Según la maestra, ¿cómo han salido los varones? ___________________________
___________________________________________________________________
5. ¿Qué deseamos conocer? ______________________________________________
___________________________________________________________________
II ELABORA UN PLAN DE ACCIÓN
1 en lo expuesto por la maestra, intervienen conceptos matemáticos como la mediana.
Debemos: ___________________________________________________ y luego
_________________________________________________________________
III DESARROLLA TU PLAN
1. Calculamos las medianas en las cuatro poblaciones, organízalas en la tabla
N° de hijos x1 N° de Familias f1 Frec. Acuml. FA1
3 3 3
5 5 3+5 = 8
7 2 8+2 = 10
8 6 10+6=16
9 4 16+4=20
Total 20
N° de
defectos
N° de
piezas
0
1
2
3
4
9
20
42
20
9
Cargo Mecánico Técns.calif. Supervisor
Sueldo S/. 900 1020 1200
2019 2020
Mujeres 95,90,85,80,80,70,70,65 100,90,85,85,80,65
Varones 85,80,70,65,55 85,80,75,75,75,70,70,60
1
Mediana

2. Mediana 2019 Mediana 2020
Mujeres
Varones
2. ¿Cuál fue la mediana de toda la clase en el 2019? ____________________________
3. ¿Cuál fue la mediana de toda la clase en el 2020? ____________________________
4. A continuación, se ha dividido la frase de la maestra en partes ahora analiza su
veracidad:
V F
“Este año mis alumnas han tenido una mediana menor que la del año
Pasado (..)
(..) mis alumnos no tuvieron un mejor desempeño respecto al año pasado.
(..) la mediana de la clase entera es más elevada que la del año anterior”
5. ¿se debe preocupar la maestra? explica. ___________________________________
____________________________________________________________________
IV SACALE EL JUGO A TU EXPERIENCIA
1. ¿Qué te confundió al inicio del problema? __________________________________
2. ¿Cómo saliste de es bloqueo? ___________________________________________
3. ¿la mediana es una buena representante de la población? _____________________
4. Cuando cumple con esta función? ________________________________________
RETOS EN CLASE Y PARA LA CASA
1. La entrenadora de natación debe seleccionar a sus dos mejores deportistas, quienes
representarán a la institución educativa en los juegos deportivos escolares 2016,
categoría damas. Para ello, registra el tiempo que realiza cada una de las cuatro
deportistas que tiene a su cargo en las 8 pruebas de 50 metros libres.
Responde las siguientes preguntas en tu cuaderno:
a) ¿De qué manera crees que la entrenadora de natación seleccionará a las dos
mejores deportistas? ____________________________________________
b ¿Cuál es el tiempo promedio de cada una de las nadadoras? _____________
c ¿Qué medidas de tendencia central reconoces? ____ ¿Sabes calcularlas? __
d ¿Qué diferencias y similitudes existen entre la media, la moda y la mediana de
las cuatro deportistas? ___________________________________________
e Determina la media, mediana y moda de los tiempos de cada deportista.
Sandra Gabriela Sofía Sheyla
Media
Mediana
Moda
f Si tú fueras el (la) entrenador(a), ¿a quiénes seleccionarías y por qué razón?
Explica el proceso que seguirías para seleccionar a las deportistas.
2) Se realizó una encuesta a 20 estudiantes de primer grado
sobre el número de horas que dedican a las redes sociales
(Facebook, Instagram, Twitter, entre otras) y se obtuvieron los
datos que aparecen en el siguiente cuadro.
a) Determinar la media, la mediana y la moda del número de
horas que pasan los 20 estudiantes en las redes sociales con
su respectiva interpretación.
b) ¿Cuál de las medidas de tendencia central es la más representativa para determinar
el número de horas que pasan los 20 estudiantes en las redes sociales? ¿Por qué?
3) Carlos olvidó una de sus ocho notas de Matemática del bimestre anterior. Sin
embargo, recuerda las otras siete (07, 12, 15, 16, 14, 10 y 15). Además, recuerda
recuerda que su promedio fue 13. Carlos necesita recordar la nota que le falta,
porque le aseguró a su amigo Miguel que había tenido más notas aprobatorias que él.
Si sabemos que Miguel obtuvo un total de 5 notas aprobatorias, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) Carlos empleó la media y la nota olvidada es 10, por lo tanto, no le ganó a su
amigo Miguel.
b) Carlos empleó la mediana y la nota olvidada es 10, por lo tanto, ninguno ganó,
empataron.
c) Carlos empleó la media y la nota olvidada es 15, por lo tanto, le ganó a su
amigo Miguel.
Utilizamos la estrategia heurística (planteo de ecuaciones) para resolver el problema de
Carlos.
Sea x la nota olvidada, entonces:
 
4) Los puntajes obtenidos por 10 estudiantes en un examen de 100 puntos como
máximo fueron 57, 38, 55, 60, 57, 56, 100, 88, 60 y 58. Si antes del examen se
acordó que solo aprobarían aquellos estudiantes cuyos puntajes fueran al menos un
punto mayor que la mediana o la media aritmética del total de notas, ¿cuántos
aprobaron el examen?
5) Un docente de Matemática de primer grado debe calcular el promedio de notas de un
estudiantes que se va a trasladar de colegio. Sus notas están dispersas: 12,15,16,19,
12,12,16,19,19. ¿calcula el promedio fina de dicho estudiante?
5) Un docente de primer grado
desea averiguar la edad
representativa de sus estudiantes
Para ello cuenta con un gráfico de
barras. Explica el proceso a
seguir para determinar la media
de las edades de los estudiantes.
LOS PROMEDIOS
LLEGAR TEMPRANO
Gonzalo va todas las mañanas a su colegio en un medio de transporte que pasa cerca
de su casa, por lo que llega rápidamente al paradero. Este medio lo lleva al colegio en
un tiempo de 25 a 40 minutos, dependiendo del tráfico. Gonzalo desea saber a qué hora
debe salir de su casa para llegar temprano a su escuela. Para ello, ha tomado nota,
durante dos semanas, del tiempo que demora en llegar al colegio dicho medio. Las
clases comienzan a las 9:00 a. m.
Semana Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
1ra. 30 min 35 min 29 min 30 min 40 min
2da. 29 min 28 min 28 min 25 min 30 min
¿A qué hora debe salir Gonzalo de su casa para llegar temprano?
I ANTES DE HACER VAMOS A ENTENDER
1) ¿Qué quiere lograr Gonzalo?______________________________________
2) ¿Por qué crees que Gonzalo tomó los tiempos por más de un día?
______________________________________________________________
3) El primer viernes demoró 40 minutos. ¿Crees que debe salir 40 minutos antes?
¿Por qué?______________________________________________________
4) El segundo jueves demoró 25 minutos. ¿Crees que debe salir 25 minutos antes?
¿Por qué?________________________________________________________
II ELABORA UN PLAN DE ACCIÓN
1) Para que Gonzalo sepa a qué hora debe salir para llegar temprano a la escuela,
¿qué información necesita? __________________________________________
2) ¿Qué indicador matemático conoces que pueda representar a un conjunto de datos?
___________________________________________________________________
III DESARROLLA TU PLAN
1) ¿Cuánto tiempo emplea Gonzalo en transportarse en esas dos semanas?
______________________________________________________________
2) ¿Cuánto tiempo emplea por día? ______________________________________
3) ¿Cómo debe interpretar Gonzalo este resultado?
______________________________________________________________
4) ¿A qué hora debe salir Gonzalo de su casa para llegar temprano?
______________________________________________________________
IV SACALE EL JUGO A TU EXPERIENCIA
1) ¿Qué tiempo se repite más en las dos semanas? ¿Consideras que este número
puede ser un buen indicador? _______________________________________
________________________________________________________________
2) Si ordenas los tiempos del mayor al menor y tomas el promedio de los centrales,
¿qué significado tiene este resultado? _________________________________
______________________________________________________________
3) Imagina que Gonzalo demora en llegar al paradero 4 minutos y que el transporte llega
con un retraso de 4 a 7 minutos. ¿Cómo afectan estas condiciones a la respuesta del
problema? __________________________________________________________
______________________________________________________________
RETO PARA LA CASA: Realiza la misma tabla que Gonzalo, pero con datos personales
que llegas al colegio.
DENSIDAD POBLACIONAL
Felipe y su grupo están haciendo una investigación acerca de la población, en varios
distritos de la ciudad de Arequipa. Ellos han obtenido del INEI una tabla con el número
de habitantes y el área de algunos distritos medida en km2. Su tarea es identificar el
distrito que tiene una densidad poblacional de cerca de 30 personas por km2. ¿Cómo se
ayudaran para identificarlo?
Nota:estimen la información redondeando a la segunda cifra decimal:
D I S T R I T O EXTENSIÓN
( K M 2 )
Red. POBLACIÓN
(HABITANTES)
R edon.
Arequipa 12,80 58 788
Alto Selva Alegre 6,98 78 425
Cayma 246,31 83 820
Cerro Colorado 174,90 130 876
Jacobo Hunter 20,37 47 898
José L. Bustamante y R 10,83 77 759
Mariano Melgar 29,93 53 225
Miraflores 28,68 50 514
Paucarpata 31,07 124 384
Sachaca 26,63 187 83
Yanahuara 2,20 24 474
Tiabaya 31,62 14 955
Yura 1942,90 20 298
Uchumayo 227,14 11 668
Characato 86,00 7 979
2

3. I ANTES DE HACER VAMOS A ENTENDER
a) ¿Qué significa la frase densidad poblacional de cerca de 30 personas por km2?
______________________________________________________________
b) ¿Qué necesita saber el equipo de Felipe?
___________________________________________________________
___________________________________________________________
II ELABORA UN PLAN DE ACCIÓN
a) La densidad poblacional deun distrito esel número promediode personaspor
kilómetro cuadrado¿Cómo creesque se puede calcularla densidadpoblacional?
________________________________________________________________
b) ¿Creesqueesposibleresolveresteproblemasinhacerloscálculosconexactitud?¿Porqué?
_____________________________________________________________
III DESARROLLA TU PLAN
a) ¿Cuál es la densidad poblacional Paucarpata? (Redondea al entero más cercano).
________________________________________________________________
b) ¿Cuál es la densidad poblacional de Cerro Colorado? (Redondea al entero más
cercano).__________________________________________________
c) ¿Qué distrito de los mencionados, tiene la mayor densidad poblacional?
_________________¿Qué distrito tiene la menor densidad poblacional?
___________________Comprueba tus resultados haciendo las operaciones
necesarias. _________________________________________________
d) ¿Qué distrito tiene una densidad poblacional de alrededor de 30 personas por km2?
_________________________________________________________________
IV SACALE EL JUGO A TU EXPERIENCIA
a) ¿Qué estrategia fue la que más te sirvió para resolver este problema?
______________________________________________________________
_____________________________________________________________
b) Comprueba tus resultados haciendo el cálculo con exactitud.
_______________________________________________________________
c) Haz una estimación para ubicar los distritos que tienen una densidad poblacional de
alrededor de 1700 habitantes por km2. ¿Cuáles son? ________________________
___________________________________________________________________
d) Estima cual es el segundo distrito más poblado de Arequipa y cuáles son los menos
poblados __________________________________________________________
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD: Una magnitud es todo aquello que se puede medir y sufrir una variación,
ya sea de aumento o de disminución. Por ejemplo: el peso, la estatura, la
edad, el tiempo, la longitud o la velocidad.
RAZÓN: La razón es el resultado de comparar dos cantidades mediante la división.
Por ejemplo: Carmen tiene 12 años y su IMC es de 16; mientras que su madre tiene 36
años y su IMC es de 32. ¿La razón de sus edades y la razón de sus índices de masa
corporal son iguales?
La razón de sus edades es de 1 a 3
La razón de sus IMC es de 1 a 2
Se puede observar que las razones son diferentes. La edad de la madre es el triple de
la de su hija y su IMC, el doble.
PROPORCIÓN: Una proporción es la igualdad de dos o más razones de una misma
clase, donde el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos
medios.
En el ejemplo anterior, las dos razones 1 /3 = 1/2 no constituyen una proporción, porque
son diferentes.
Para corroborar esto, aplicamos la definición de proporcionalidad:
(1)(2) = (1)(3)
2 = 3  Rpta. F
¿Qué entendemos por magnitudes directamente proporcionales?
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando ambas aumentan o
disminuyen en la misma proporción. Es decir, al multiplicar o dividir una de ellas, la otra
queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Si dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, su relación se denota A (DP)
B.
Por ejemplo:
y Si la longitud de los lados de un terreno cuadrangular de 20 m de lado se duplica, ¿el
perímetro también se duplica?
Si el terreno cuadrangular mide 20 metros por lado, su perímetro es de 80 metros. Pero
si la longitud se duplica, su lado medirá 40 metros y su perímetro, 160 metros.
Se observa que la longitud del lado y la del perímetro de un cuadrado se han duplicado.
Entonces, podemos afirmar que son magnitudes proporcionales porque han aumentado
en la misma cantidad.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La gráfica de las magnitudes directamente proporcionales es una línea recta que pasa
por el origen de las coordenadas.
Por ejemplo: La tabla siguiente representa una cantidad de boletos de rifa
vendidos (x ) y el dinero recaudado en la venta (y ).
Estas dos magnitudes son directamente proporcionales,
porque al dividir y /x el cociente es un mismo valor:
Al graficar en el plano cartesiano, los puntos pertenecen
a una misma recta.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA:
Las relaciones de proporcionalidad directa pueden expresarse en una regla de tres. Es
decir, como la igualdad entre dos fracciones, de modo que las cantidades que se
refieren a la misma magnitud ocupan el mismo lugar.
Por ejemplo: si 8 boletos de rifa cuestan 40 soles, ¿cuánto cuestan 12 boletos?
RESOLUCIÓN
RESPUESTA: 12 boletos de rifa cuestan 60 soles.
PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD: si entonces se cumple que:
CONOCEMOS NUESTRO ÍNDICE DE MASA CORPORAL
En los últimos años, la salud de niños y jóvenes se ha
visto perjudicada por el consumo de comidas chatarra.
La desnutrición, la obesidad y el exceso de grasa
corporal han aumentado considerablemente entre
ellos. Para saber si se tiene un peso saludable, el nivel de grasa corporal se debe
evaluar en forma periódica. Para ello, los médicos utilizan el índice de masa corporal
(IMC), que relaciona el peso (en kg) y el cuadrado de la estatura (en m2). En niños y
adolescentes, se usan percentiles específicos del IMC con respecto a la edad y al sexo.
Esto se debe a dos razones: la cantidad de grasa corporal cambia con la edad, y varía
entre las niñas y los niños.
Un percentil es el indicador que se utiliza con más frecuencia para evaluar el tamaño y
los patrones de crecimiento de cada niño.
Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo se calcula el IMC de las personas? ______________________________
b) ¿El IMC tiene el mismo rango para varones y mujeres? ¿Por qué?
_________________________________________________________________
c) ¿Para qué debemos conocer nuestro IMC?
______________________________________________________________
SITUACIÓN DE CONTEXTO:
a) José y Luis tienen 13 años y miden 1,55 m cada uno. Asimismo, ambos pesan
52kg y 64 kg, respectivamente. ¿Quién tiene mayor valor de IMC?
____________________________________________________________
b) Según la tabla:
- ¿Quién de ellos tiene un
un peso saludable?
___________________
- ¿En qué categoría se
ubica el peso de Luis?
___________________
- Si dos varones de 10 y
15 años tienen sus IMC
iguales
___________________
- ¿sus pesos serán
iguales? ___________
- ¿De qué depende este
valor?
__________________
c) ¿Cómo varía el IMC con
respecto al peso?
___________________
__________________
__________________
d) Según el valor de tu IMC y de tu edad, ¿en qué categoría se ubica tu peso?
______________________________________________________________
Con respecto a la situación planteada anteriormente, al calcular el valor del IMC en
ambos, podemos observar que José, que pesa menos, tiene un menor IMC y que Luis,
cuyo peso es mayor que el de su amigo, posee un mayor IMC. Por lo tanto, podemos
afirmar que el IMC varía directamente en relación con el peso.
Por otro lado, si José tiene actualmente 13 años y pesa 52 kg, ¿cuándo tenga 26 años
pesará 104 kg? Si al cabo de un tiempo la edad de una persona se duplica, no se puede
determinar si su peso será el doble. Como la edad y el peso no varían de forma
proporcional, entonces se puede afirmar que ambas no son magnitudes proporcionales.
RETO EN CLASE Y PARA LA CASA
3

4. 1) En un aula de primero de Secundaria, hay 21 varones y 14 mujeres. ¿Cuál es l
a razón entre mujeres y varones? ¿Es la misma que entre varones y mujeres?
2) En una reunión, hay 40 invitados entre varones y mujeres. Si la razón entre la
cantidad de mujeres y varones es de 5 a 3, ¿cuántos varones asistieron a
dicha reunión?
3) Mario tiene pintura de color azul y blanco. Para pintar la fachada de su casa,
utiliza una combinación que consiguió en una tienda de matizados. Si en total
necesita 15 litros de pintura, ¿cuántos litros de pintura de cada color utilizará
en total?
PROBABILIDAD
¿A qué llamamos experimentos aleatorios?
Denominamos experimentos aleatorios a aquellos experimentos en los que no se puede
predecir con exactitud el resultado.
Por ejemplo, al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda o tirar un dado, nos
enfrentamos a situaciones donde no podemos conocer el resultado que se va a obtener
de antemano.
¿Qué es el espacio muestral?
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio.
El espacio muestral se puede denotar con E, S, U o Ω. En esta sección, para presentar
los espacios muestrales, vamos a utilizar Ω.
Por ejemplo, el lanzamiento de un dado genera un espacio muestral definido por Ω = {1,
2, 3, 4, 5, 6}.
De la misma manera, el espacio muestral del lanzamiento de una moneda es
Ω = {cara, sello}.
¿Cómo podemos saber cuáles son todos los resultados posibles en un experimento
aleatorio?
Si lanzamos un dado dos veces o extraemos tres esferas de una urna, ¿cuáles son los
espacios muestrales producidos? En situaciones similares, el diagrama de árbol es un
tipo de gráfico muy útil para determinar el espacio muestral y los sucesos elementales.
Asimismo, no debemos olvidar que un experimento cuyo resultado no es predecible
tiene varias posibilidades. En una situación semejante, debemos recurrir al diagrama de
árbol. En resumen, este diagrama es una herramienta gráfica que nos permite
representar los resultados posibles de un experimento aleatorio.
En el ejemplo siguiente, debemos calcular los sucesos elementales que resultan de
lanzar tres veces una moneda.
El espacio muestral es:
Ω = {(C, C, C); (C, C, S); (C, S, C); (C, S, S); (S, C, C); (S, C, S); (S, S, C); (S, S, S)}
¿A qué denominamos suceso elemental?
Un suceso elemental es un subconjunto del espacio muestral (Ω) de un experimento
aleatorio. Se denotan con letras mayúsculas. Los sucesos elementales pueden ser de
dos tipos:
Suceso elemental simple: tiene un solo punto muestral.
Suceso elemental compuesto: tiene dos o más puntos muestrales.
¿Qué es un punto muestral?
Un punto muestral es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Se representa al número de puntos muéstrales con” #”; “Ω”.
Por ejemplo: Experimento aleatorio. - Lanzar una moneda tres veces
Espacio muestral. -
Ω = {(C, C, C); (C, C, S); (C, S, C); (C, S, S); (S, C, C); (S, C, S); (S, S, C); (S, S, S)}
#Ω = 8; Donde es el suceso seguro Ω
Eventos posibles. - A : posibilidad que salgan tres sellos A={ S,S,S} => # A = 1
Eventos compuestos. - B: posibilidad de que al menos salgan dos sellos
B = {(C, S, S); (S, C, S); (S, S, C); (S, S, S)} => # B = 4
¿Cuál es la probabilidad de la ocurrencia de un suceso elemental?
Al realizar un experimento en repetidas oportunidades, decimos que un suceso A es
más probable que otro B cuando el primero ocurre significativamente más veces que el
segundo.
La noción de probabilidad sirve para intentar cuantificar los posibles resultados de un
experimento en el que están presentes la incertidumbre o la aleatoriedad. Se usa en
estadística, física, matemática y otras ciencias en general.
Asimismo, la probabilidad se mide entre 0 % (probabilidad de suceso imposible) y 1 o
100 % (probabilidad de suceso seguro).
¿En qué consiste la regla de Laplace?
Para calcular la probabilidad de un suceso posible A, basta obtener el cociente de la
división entre el número de sucesos favorables de A y el de sucesos que conforman el
espacio muestral del experimento.
P(A) = Probabilidad de un suceso A
Este resultado se conoce como regla de Laplace. Recuerda que para aplicarla es
necesario que todos los casos posibles sean igualmente probables. Dicho de otra forma,
todos los sucesos deben ser equiprobables. .
Por ejemplo, al lanzar un dado hay seis probabilidades de resultado:
1, 2, 3, 4, 5 y 6.
En consecuencia, cada resultado tiene 1/ 6 de probabilidad.
LA TÓMBOLA
En las ferias siempre hay juegos novedosos e interesantes. Sin
embargo, debes tener cuidado y ver si el juego que te ofrecen es
justo o no. Uno de ellos consiste en lanzar dardos a un disco
como el que se muestra, el cual da vueltas a gran velocidad. El
boleto cuesta S/.1 y te da derecho a tirar dos dardos, uno después
del otro. Las reglas del juego son las siguientes:
• Si en alguno de los dos tiros o en los dos el dardo cae en el color azul, pierdes.
• Si en los tiros consecutivos el dardo cae en el color amarillo, ganas S/.2.
• Si el dardo no se clava o cae sobre la línea, el tiro se repite.
¿Te conviene jugar?
1° ANTES DE HACER VAMOS A ENTENDER: Responde en tu cuaderno
1) Explica, con tus propias palabras, cómo se juega.
2) ¿Cuánto cuesta jugar? _______________________________________________
3) ¿Qué haces para jugar? ______________________________________________
4) ¿Cuándo pierdes? ¿Cuánto pierdes?_____________________________________
5) ¿Cuándo ganas? ¿Cuándo ganas? ______________________________________
6) ¿Qué es lo que se debe decidir? ________________________________________
2° ELABORA UN PLAN DE ACCIÓN
1) ¿Puedes saber, de antemano, en qué sector va a caer tu dardo? ______________
2) ¿Se trata de un experimento aleatorio? __________________________________
3) A partir de las superficies pintadas, ¿puedes decir qué probabilidad hay de que el
dardo caiga sobre el color amarillo? ¿Y sobre el azul? _______________________
4) ¿Qué resultados son posibles en un tiro que cae en el disco? _________________
5) ¿Y en los dos tiros? __________________________________________________
6) ¿Cómo enumeras todos los casos de este juego? __________________________
3° DESARROLLA TU PLAN
Completa el cuadro siguiente (mapa muestral):
1) ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de esos resultados? ____________________
2) ¿Con qué resultados ganas? ___________________________________________
3) ¿Con qué resultados pierdes? __________________________________________
4) ¿Cuál es la probabilidad de que ganes? ____________________________________
5) ¿Es justo el juego? ____________________________________________________
4° SACALE EL JUGO A TU EXPERIENCIA
1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema.
___________________________________________________________________
2) Si el disco hubiese estado dividido mediante un diámetro en dos sectores: uno
amarillo y otro azul, ¿se modificarían tus respuestas?
___________________________________________________________________
3) ¿Cómo redactarías las reglas para que el juego sea justo?
___________________________________________________________________
RETO EN CLASE Y PARA LA CASA
1. Construye el diagrama de árbol correspondiente y escribe el espacio muestral para
las siguientes experiencias:
a) Lanzar una moneda al aire cuatro veces.
b) Extraer dos fichas de una bolsa que contiene tres fichas: una roja una blanca
y una azul. Volviendo a introducir la ficha una vez determinado su color.
2. Se lanza una moneda y después un dado. Dibuja el diagrama de árbol que
representa el espacio muestral de este experimento y calcula:
a) P(cara1)
b) P(cara, número mayor que tres)
3. Cuatro amigos: Abel, Bruno, Carlos y David, quieren saber las distintas formas
de emparejarse entre ellos para participar en un concurso. ¿Cuántas y cuáles
serán? ¿En cuántas se puede participar David?
4. El profesor distribuye a los alumnos, en carpetas de 3 asientos. En una se van
a sentar Alex, Juan y María ¿Cuáles es la probabilidad de que Juan y María se
sienten junto?
5. Se extrae una carta de una baraja de 52 cartas.
a) calcula la probabilidad de que salga de color rojo.
b) calcula la probabilidad de que sea menor que 8.
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