Este documento presenta cómo resolver ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace. Explica que primero se aplica la transformada de Laplace a la ecuación diferencial y las condiciones iniciales para convertirla en una ecuación algebraica. Luego se resuelve esta ecuación algebraica para obtener la transformada de Laplace de la solución, y finalmente se aplica la transformada inversa de Laplace para encontrar la solución en el dominio del tiempo original. Incluye un ejemplo detallado de cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden con la transformada de Laplace.

1. Ecuaciones
Diferenciales resueltas
con Transformada de
Laplace
Matemáticas Avanzadas II
Yazmin Barrientos Galván
Elena Lizeth Guerrero Ibarra
8°”A” Ing. Tecnologías de la
Producción
Prof.: Lic. G. Edgar Mata Ortiz

2.  En la siguiente presentación se muestra como se
resuelven Ecuaciones Diferenciales con el método
de Transformada de Laplace. Con ejemplos
obtenidos del libro de Ecuaciones Diferenciales
del autor Denis G. Zill.

3. ¿Como resolver?
Encuentre la
incógnita 𝑦 𝑡
que satisfaga una
ED y las condiciones
iniciales
Aplique la Transformada
de Laplace
La ED transformada
se convierte en una
ecuación
algebraica en 𝑦 𝑆 .
Resuelva la ecuación
transformada de 𝑌(𝑠)
Aplique la
transformada
inversa
Resuelva 𝑦 𝑡 del
PVI original

4. Tal como fue señalado en la introducción a este capítulo,
nuestra meta inmediata es usar la transformada de Laplace
para resolver ecuaciones diferenciales.
Aquí hemos asumido que e–st f (t) → 0 cuando t → . De manera
similar, con ayuda de (6),

5. Ecuación Diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3y = 13sen 2t, y 0 = 6
Solución:
Primero tomamos la transformada de cada
miembro de la ecuación diferencial :
𝐿
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3𝐿 𝑦 = 13𝐿 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

6. Pero de (6), L
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 = 𝑠𝑌 𝑠 − 6
Y de la parte d) del teorema 4.1
L 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 =
2
𝑠2+4
𝑦 12 𝑒𝑠 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶
𝑠𝑌 𝑠 − 6 + 3𝑌 𝑠 =
26
𝑠2 + 4
𝑜 𝑠 + 3 𝑌 𝑠 = 6 +
26
𝑠2 + 4

7.  Fracciones Parciales :
Las fracciones parciales cumplen una función
importante cuando se trata de encontrar las
transformadas inversas de Laplace.

8.  Al resolver la ultima ecuación para
Y(s),obtenemos
Y(s)=
6
𝑠+3
+
26
(𝑠+3)(𝑠2+4)
=
6𝑠2+50
(𝑠+3)(𝑠2+4)
En base a que el polinomio cuadrático s2 +4
no se factoriza con números reales,
asumido en la descomposición de la
fracción parcial es un polinomio lineal en s:
 =
𝐴
𝑠+3
+
𝐵𝑠 + 𝐶
𝑆2 + 4
FACCIONES
PARCIALES:
POLINOMIALES
CUADRATICAS SIN
FACTORES REALES

9. Al poner el lado derecho de la igualdad sobre un
denominador común e igualar los numeradores se
tiene:
6s2+ 50 = A (s2+ 4) + (Bs + C)(s + 3).
Al establecer s= –3, de inmediato se produce A = 8.
Como el denominador no tiene más ceros reales,
igualamos los coeficientes de:
s2y s: 6 =A + B y 0= 3B + C.
Aplicando el valor de A en la primera ecuación se
tiene B=–2, y al usar después este último valor en la
segunda ecuación resulta C=6. Por lo tanto.
Y(s)=
6𝑠2+50
(𝑠+3)(𝑠2+4)
=
8
𝑠+3
+
−2𝑠+6
𝑠+3

10. Aún no hemos terminado porque la última expresión
racional todavía tiene que escribirse como dos
fracciones. Pero esto se hizo en el ejemplo 2
mediante la división término a término. Con base en
(2) de ese ejemplo.
Y(t) = 8𝐿−1 1
𝑆+3
− 2𝐿−1 𝑆
𝑆2+4
+ 3𝐿−1 2
𝑆2+4
Se deduce en los incisos c), d) y e) del teorema 4.3 que la solución
del problema de valor
Inicial es
y(t) = 8e-3t - 2cos 2t + 3 sen 2t.

11. Bibliografía