Tema 01 relaciones en ir

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria
TEMA 02TEMA 02
RELACIONES EN LOSRELACIONES EN LOS
NÚMEROS REALESNÚMEROS REALES
OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:
 Dados dos conjuntos A y B, determinar el
producto cartesiano A x B
 Definir y ejemplificar una relación binaria.
 Identificar si una relación es reflexiva,
simétrica y/o transitiva.
 Dada una relación determinar si es de
equivalencia.
 Determinar dominio y rango e identificar su
relación inversa.
COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:
1. Par ordenado de números reales
Dos números reales x e y, donde “x” es
identificado como primer componente e “y”
como segundo componente, se llamará par
ordenado de números reales y se simbolizará
por (x; y).
Observaciones:
 (x ; y) ≠ (y ; x)
 (x ; y) = (z ; w) ↔ x = z ∧ y = w
2. Producto Cartesiano
Sea R el conjunto de números reales, el
producto cartesiano que se denota por R2
se
define como sigue:
( ){ }RyRx/y;xR 2
∈∧∈=
y
x
Y
X
eje de
abcisas
Eje de ordenadas
P(x;y)
Plano
Cartesiano
Ejercicios Explicativos
1. Graficar los siguientes pares de puntos:
a)
( ){ }Ny,xsiendo,0yx/P y;x ∈=−
b)
( ){ }Zy,xsiendo,yx/P 22
y;x ∈=
c)
( ) ( ) ( ){ }1;21y;1x2x/P 2
y;x =+−−
2. Sean:
A = { }8x1/Rx ≤≤∈
B = { }5x3/Rx ≤≤∈
C = { }7x2/Rx ≤≤∈
D = { }6x2/Rx ≤≤∈
Graficar los siguientes productos cartesianos
a) A x B b) C x D
c) (A - B) x C d) (A - C) x (A - D)
3. Sean:
E = {1; 2; 3} , A = {1; 2} , B = {2; 3}
F = )BxA(CExE , G =
)BCxAC EE
Hallar: F ∩ G
CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:
RELACIONES EN LOS NÚMEROS REALES
1. DEFINICIÓN:
Dados los conjuntos A y B; si a cada
elemento “x” de A, le corresponden uno o
más elementos “y” de B, diremos que existe
una relación entre los elementos x e y.
1.1. NOTACIÓN
La relación se denota por R; y la afirmación:
“El elemento x está en relación R con
elemento “y”, los denotaremos por: x R y.
OBSERVACIONES:
 Si x ∈ A ∧ y ∈ B, decimos que la
relación R es una correspondencia entre
los elementos del conjunto A y los
elementos del conjunto B, el cual también
podemos denotarlo por:
R : A → B ; es decir :
A B
R
x
x
1
2
y
y
y
1
2
3
En este caso la relación R está formada
por los siguientes pares ordenados:
( ) ( ) ( ){ }3222 y;x,y;x,y;xR =
 Si x R y entonces (x; y) ∈ R y
recíprocamente
1.2. DEFINICIÓN EQUIVALENTE
Dados dos conjuntos A y B; decimos que R es
una relación entre los elementos de los
conjuntos A y B, y sólo si, R es un
subconjunto de A x B : BxAR ⊂
Es decir: Todo subconjunto del producto
cartesiano A x B; es una relación entre A y
B.
OBSERVACIONES
1) φ ⊂ A x B; entonces φ es una relación
entre A y B, llamada relación Nula o
vacía.
2) A x B ⊂ A x B; entonces A x B es una
relación entre A y B, llamada relación
total.
3) Si R es una relación entre A y B; entonces
el conjunto A, se le llama conjunto de
partida y el conjunto B, se le llama
conjunto de llegada.
4) Decimos que R es una relación en A si y
sólo si R ⊂ A x A
5) Recuerde que A x A = 2A , entonces:
R es una relación ↔ R ⊂ 2A
Una relación definida así se denomina
RELACIÓN BINARIA o simplemente
relación.
6) Si el conjunto A tiene n elementos, el
producto cartesiano A x A tendrá 2n
elementos y el número total de relaciones
distintas que se pueden definir A, es decir
el número de subconjunto de
A x A, es :
2
n
2
S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV BIMESTREIV BIMESTREIV BIMESTREIV BIMESTRE

EJERCICIOS APLICATIVOS:
01.Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
B = {2; 4; 6; 8}
a) ( ){ }xy/BxAy;xR 2
1 <∈=
, la cual tabulando sería:
{=1R
b)
( ){ }8y43x/BxAy;xR2 ≤≤∧=∈=
Tabulando es:
{=2R
c)
( ){ }6yx/BxAy;xR3 <+∈=
, tabulando es:
{=3R
d)
( ){ }xyx/BxAy;xR 2
4 <+∈=
, Luego:
{=4R
2. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Sea R una relación entre A y B; es decir:
R = ( ){ }yRx/BxAy;x ∈
2.1. DEFINICIÓN
El dominio de una relación R denotado por
D(R); está formado por todos los posibles
valores x ∈ A, para los cuales existen valores
y ∈ B, de manera que (x; y) ∈ R.
Simbólicamente se escribe:
( ) ( ){ }Ry;x;By/AxD R ∈∈∃∈=
2.2. DEFINICIÓN
El rango de una relación R, denotado por R(R);
está formado por todos los posibles valores y
∈ B, para los cuales existen valores x ∈ A, de
manera que (x; y) ∈ R. Simbólicamente:
( ) ( ){ }Ry;x;Ax/ByR R ∈∈∃∈=
OBSERVACIONES: Si R es una relación
entre A y B.
(1) D(R) ⊂ A ; R(R) ⊂ B
A B
R
D(R) R(R)
(2)
a) Se dice que R es una relación de A en B
↔ D(R) = A
b) Se dice que R es una relación de A sobre
B ↔ D(R) = A y R (R ) = B
3. RELACION BINARIA EN R2
En matemática, las relaciones de mayor
importancia son aquellas que se definen en el
conjunto de los números reales (IR); es decir,
aquellas relaciones de la forma:
R: IR → IR ó R ⊂ IR x IR
R = {(x; y) ∈ 2
R / x R y}
4. REPRESENTACION GRÁFICA DE UNA
RELACIÓN
Una representación gráfica adecuada para una
relación permite visualizar algunas de sus
propiedades o características e incluso, para
ciertas relaciones, se puede determinar a
partir de dicha gráfica el dominio y el rango.
Ejemplo:
En el conjunto A = {2; 3; 4; 5; 6} se define
la relación:
R = {(x; y) ∈ 2
A / x y < 10}
Resolución
Mediante el DIAGRAMA SAGITAL,
relacionaremos un elemento del conjunto de
partida con otro elemento del conjunto de
llegada de tal modo que su producto sea
menor que 10, así:
2.
3.
4.
5.
6.
2.
3.
4.
5.
6.
Dom(R) Ran(R)
Luego:
R = {(2;2), (2;3), (2;4), (3;2), (3;3), (4,2)}
Además: Dom (R) = {2; 3; 4}
Ran (R) = {2; 3; 4}
Ejercicios explicativos
1. Hallar el dominio y rango de las siguientes
relaciones:
a) R ={(1; 3), (-2; 4), (3; 4), (7; -8), (6; 3)}
b) R = {(x; y) ∈ RxR / 2x – 2xy + 2y – 6x
–6y + 3 = 0}
2. Dado el conjunto universal:
U = {x ∈ N / x ≤ 20}.Sean los conjuntos:
A = {x + 1 / x x ∈ U}
B = {x + 2 / xx 3 + ∈ U}
Tabular, hallar el dominio y rango de las
siguientes relaciones:
i) R = {(x; y) ∈ A x B / x < y}
ii) R = {(x; y) ∈ A x B / 2x +y < 20}
3. Sean los conjuntos:
A = {x ∈ R / -5 ≤ x ≤ 5}
B = {x ∈ R / -5 ≤ x ≤ 5}
Graficar las siguientes relaciones:
i) R = {(x; y) ∈ A x B / 4 2x + 9 2y ≤ 36}
ii) R = {(x; y) ∈ AxB / 2x + 2y ≥ 1 ∧ 2x
+ 2y ≤9}
5. TIPOS DE RELACIONES
Considerando una relación R en A, es
decir R: A → A, donde A es un conjunto no
vacío se tiene:
5.1. RELACION REFLEXIVA
R es Reflexiva ↔ {∀ a ∈ A : (a; a) ∈ R}
5.2. RELACION SIMETRICA
R es Simétrica ↔ {∀ (a; b) ∈ R: (b; a) ∈ R}
5.3. RELACION TRANSITIVA
R es Transitiva ↔ {∀ (a; b) ∧ (b; c) ∈ R: (a; c) ∈ R}
5.4. RELACION DE EQUIVALENCIA
La relación R es de equivalencia, si y sólo
si R es reflexiva, simétrica y transitiva a
la vez.
Ejercicios Explicativos

1. Averiguar el tipo de relación:
a) Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} en el cual
se define la relación:
R = {(1;1), (1;2), (2;2), (2;3), (3;3), (3;4),
(4;4), (4;1)}
b) La relación:
R={(x; y) ∈ 2N / x es un divisor de y}
c) La relación:
S = {(x; y) ∈ 2Z / 3x + y = x + 3y
}
d) Siendo A = {1; 2; 3; 4; 5} se define la
relación:
R = {(1;3), (2; 4), (3; 5), (4; 4), (5; 3),
(4; 2), (3; 1)}
e) La relación:
R = {(x ; y) ∈ 2R / 22 yx + = 1}
f) En A = {1; 2; 3; 4} se define la relación:
R= {1;2), (2;3), (3; 4), (1; 3), (1; 4), (2; 4)}
g) R = {(x; y) ∈ 2N / x es un divisor de
y}
h) Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} en el cual
se define la relación:
R = {(1; 1),(1; 2),(2; 1),(2; 2),(3; 3), (4;
4)}
i) S = {(x; y) ∈ 2Z / x + y es un número
par}
6. RELACION INVERSA
Definición:
Dada una relación R entre A y B, es decir:
R = {(x; y) ∈ A x B / (x; y) ∈ R}; la relación
inversa de R se denota por 1R− o también
por R* y se define como:
1R− = {(y; x) ∈ B x A / (x ; y) ∈ R}
Observaciones:
(1) (y; x) ∈ 1R− ↔ (x; y) ∈ R
(2) Dom (R) = Ran ( 1R− )
Ran(R) = Dom ( 1R− )
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01. Los pares ordenados:
(3x + 2y; 8 + 2y) y (9 -3y; 7x - 8y) son
iguales, entonces el doble de “x + y” es:
a) 17 b)
5
13
c)
5
26
d) 13 e) N.a.
02. Si R es una relación en A = {2 ; 3 ; 9] tal
que R = {(x, y) ∈ A x A / y + 1 ≤ 2
x }
entonces R tiene:
a) 2elementos d) 9 elementos
b) 4 elementos e) 3 elementos
c) 7 elementos
03. Sean las relaciones definidas en N
R1 = { (x, y) / 2
x + 2
y = 5 }
R2 = { (x, y) / x + y = 3 }
El número de elementos de R1 ∩ R2 es:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) N.A.
04. Dado A y la relación R en A.
R = {(x, y) / x = y ∨ x + y = 3}
¿Cuáles son verdaderas?
I) ∀ a ∈ A; (a; a) ∈ R
II) (a; b) ∈ R → (b; a) ∈ R
III) (a; b) ∈ A ∧ (b; c) ∈ R → (a; c) ∈ R
a) Sólo I b) II y III c) I y III
d) Todas e) Ninguna
05. Dado el conjunto:
A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} , R ⊂ A x A
; (a ; b) ∈ R ⇔ a es divisor de b.
Hallar n(R).
a) 10 b) 20 c) 15
d) 25 e) 30
06. Dado el Universo U = {1; 2; 3; 4}; y las
relaciones:
R1 = {(x; y) / x = y }
R2 = {(x; y) / y = 3 }
R3 = {(x; y) / x = y }
El número de elementos de:
R3 - (R1 ∪ R2) es:
a) 5 b) 6 c) 8
d) 4 e) N.A.
07. Sean los conjuntos:
P = { x ∈ Z / (x3
- x) (x2
- 4) = 0 }
Q = { x ∈ Z / |x - 1| = 2 }
R = { x ∈ Z / |2x - 1| < 2 }
El número de pares ordenados de;
(P∩Q) x (Q∪R) es:
a) 4 b) 2 c) 5
d) 6 e) 1
08. Sea A = {1, 2, 3} y sean R, S, T relaciones
en A, reflexiva, simétrica y transitiva
respectivamente si:
R = { (1, 1) ; (2, 3) ; (a, 2) ; (3, b) }
S = { (1, 3) ; (c, d) }
T = { (3, e) ; (2, 3) }
El valor de: b - a + c - d + e es :
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
09. Dados los conjuntos:
B = { 1 ; 3 ; 5} y C = { 2 ; 4 ; 6 }
Se define las relaciones:
R1 = { (x, y) ∈ B x C / x + y = 7 }
R2 = { (x, y) ∈ B x C / y = 6 }
Hallar la suma(s) de todos los elementos de:
Dom (R1 - R2) ∪ Ran (R1 - R2)
a) 10 b) 12 c) 14
d) 8 e) 18
10. Si: A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} se define la
relación:
R = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (5, 1) ;(5, 4); (5,
2); (4, 3); (3, 5)}
Si: M = { x ∈ A / (x ; 2) ∈ R }
N = {y ∈ A / (3; 4) ∈ R }
P = {x ∈ A / (x; 5) ∈ R }
Hallar: (M ∪ N) - P
a) { (1 , 2) ; (3 , 3) ; (3 , 5) ; (3 , 4) }
b) { (2 , 2) ; (3 , 5) ; (3 , 4) ; (5 , 2) }
c) { (2 , 1) ; (3 , 2) ; (4 , 3) ; (5 , 4) }
d) { (2 , 2) ; (3 , 3) ; (3 , 5) ; (5 , 2) }
e) N.A.
11. Hallar la intersección de las relaciones en
R:
R1 = { (x; y) / x2
+ y2
= 5 }
R2 = { (x; y) / x + y = 3 }
a) { (1 , 1) ; (2 , 2) }
b) { (1 , 2) ; (2 , 1) ; (1 , 1) }
c) { (1 , 2) ; (1 , 3) ; (2 , 2) }
d) { (1 , 2) ; (2 , 1) ; (1 , 1) }
e) { (1 , 2) ; (2 , 3) }
12. Si R = { (x, y) ∈ R2
/ x2
+y2
- 2x = 0} es una
relación.
Determinar D( R ) ∩ R( R )
a) [-1 ; 0] b) [-1 ; 1] c) [0 ; 1]
d) [0 ; 2] e) [-1 ; 2]
13. Sean R1 y R2 dos relaciones en R definidas
por:
R1 = {(x, y) ∈ R2
/ x2
+ y2
- 2x - 4y ≤ 0}
R2 ={(x, y) ∈ R2
/x2
+y2
- 2x- 4y+3 ≥ 0}
¿Cuál es el área de R1 ∩ R2?
a) 2 π µ2
b) 3 π µ2
c) π µ2
d) 2,5 π µ2
e) 1,5 π µ2

14. ¿Cuál es el área de la región plana
determinada por la relación:
R={(x ; y)∈ R2
/ x2
+ y2
≤ 9 ∧ x - y + 3 ≤ 0 }
a)
4
9
(π - 2)µ2
d)
2
9
(π + 2)µ2
b)
4
9
(π + 2)µ2
e)
7
9
(π + 3)µ2
c)
2
9
(π - 2)µ2
15.El dominio de la relación:
R ={(x; y)∈R2
/x2
- 6x - y + 5 = 0, y > 0}
Es:
a) R - [-1; 7] b) R - [-1; 5] c) R - [-5; 1]
d) R - [2; 5] e) N.A.
16.El rango de la relación:
R = { (x; y) ∈ R2
/ x2
- 4x - 3y – 14 = 0 }
Es:
a) <-6 ; +∞> b) [ -6 ; +∞> c) <-∞ ; 6]
d) <-∞ ; -6> e) N.A.
17.En el sistema de coordenadas rectangulares el
punto que representa el par (-7 ; 3a + 2b) está
sobre la bisectriz del segundo cuadrante y el
del par (2a - 3b ; -17) está sobre la
bisectriz del tercer cuadrante. Según esto
a
b es igual a:
a) 0 , 2 b) 0 , 4 c) 0 , 6
d) 0 , 8 e) 1 , 2
18.Dados los conjuntos:
A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
B = {3 ; 4 ; 6 ; 7; 8}
y R = { (x, y) ∈ A x B / y - x - 2 = 0 }
Entonces: n ( R ) es:
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 3
19.Siendo A = {2x / x ∈ N ∧ 3 < x < 7}, en la
cual se define la relación R reflexiva y
simétrica:
R = {(10,10) ; (12,12) ; (a,a) ; (b,b) ; (a,b); (c,
d) }
Hallar: “a + b + c + d” e indicar si R es
transitiva.
a) 28 ; SI b) 24 ; SI c) 24 ; NO
d) 28 ; NO e) 14 ; SI
20.En el gráfico adjunto, la curva que se muestra
es una parábola con vértice en A. El valor de
“a” es:
0 2 8
a
5A
1
x
y
a) 1,25 b) 1,5 c) 1,75
d) 2 e) 2,25
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
01. Sea R la relación de: A = {2; 4; 6; 8}
En B = {3; 5; 7} ; definida por : (a; b) ∈ R si
y sólo si a < b. Indicar el número de
elementos de R.
a) 12 b) 7 c) 6
d) 4 e) 8
02. Dado el conjunto: A = {1; 2; 5/2; 3}
Encontrar por extensión la siguiente relación
en A:
R1 = {(x, y) / x2
+ y2
< 8 }
a) R1 = {(1,1), (2,2), (1,2), (2,1)}
b) R1 = {(1,1), (1,2), (1, 5/2), (5/2, 1), (2,1)}
c) R1 = {(1,2), (1,3), (3,3)}
d) R1 = {((1,1), (2,2), (5/2, 5/2), (3,3)}
e) R1 = {(1,3), (3,1), (2,2)}
03. Sea el par ordenado (x0; y0)
Si: (x0 – y0; x0 y0) = (0,1)
Indicar la suma de los valores x0 + y0
a) 2 b) –2 c) 0
d) 1 e) –1
04. Dado el conjunto:
A = {1, 2, 3, 4} y las relaciones en A:
R1 = {(x, y) / x = y}
R2 = {(x, y) / y = 3}
R3 = {(x, y) / x ≤ y}
Hallar: R – R3 – {R1 U R2}
Dar como respuesta la suma de los elementos
del dominio.
a) 3 b) 6 c) 7
d) 10 e) 12
05. Calcular la suma de los valores de x0y0; si (x0;
y0) se obtiene a partir de:
( ) ( )2;yyx;x 000
2
0 =+
a) 10 b) –4 c) 2
d) –7 e) 4
A = {x ∈ N / x2
– 4 = 0}
B = {x ∈ R / | x – 4 | = 3}
Hallar el número total de relaciones de A en
B que se obtienen.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Sea:
R = {( | x – 1 | + 1; x2
+ 2) / 0 ≤ x < 1}
Decir el valor de verdad de:
I) Si:(a; b) ∈ R y (a; c)∈R entonces b ≠ c.
II) Existe al menos un (a; a) ∈ R
III) Si (a; b)∈R y (c; b)∈R entonces a = c
a) FVV b) VFF c) VVF
d) FFV e) FFF
08. Dadas las relaciones en R:
S = {(x; y) / x ≤ 2} y T = {(x; y) / x ≤ y}
Hallar el rango de S ∩ T.
a) < –∞; –2] b) <0, 2] c) [0; 2]
d) < –∞; 2] e) R
09. Si R = {(x; y) ∈ R2
/ x2
≤ y ≤ x }
Hallar el rango de R.
a) <0; 1> b) {0; 1} c) [0; 1]
d) <–1; 1> e) [ –1; 1]
10. Si:
R1 = {(x; y) ∈ N2
/ y ≥ x2
– x – 6}
R2 = {(x; y) ∈ N2
/ y ≤ 3x+2}
Indicar el número de elementos del dominio
de R1 ∩ R2
a) 9 b) 8 c) 7
d) 6 e) 5
11. Sea la relación:

R1 = {(x; y) ∈ R2
/
( ) ( )
1
4
2y
9
3x 22
=
+
+
−
}
Indicar su rango.
a) [ –4; 0] b) [0; 6] c) [ –1; 2]
d) [–4; 4] e) φ
12. Si:
R = {(x; y) ∈ R2
/
( )( )4yxyx16 2222
−+−− ∈ R}
Indicar el dominio de R:
a) [–2; 2] b) [–4; –2] ∪ [2; 4]
b) [–4; 4] d) [2; 4]
e) [–4; –2]
CLAVES
01 c 02 b 03 c
04 c 05 d 06 d
07 c 08 d 09 c
10 d 11 a 12 b
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01. Graficar la región acotada por la relación
sobre R:
R ={(x; y) ∈ R2
/ y ≥ x2
; y≤ x}
y
x
y
x
a) b)
y
x
y
x
c) d)
y
x
e)
02. Hallar el área de la región que genera la
siguiente relación:
R1 = {(x; y) ∈ R2
/ x + y ≤ 3}
a) 48 u2
b) 16 u2
c) 18 u2
d) 9 u2
e) 24 u2
03. Si R es la relación en N definida por:
R = {(x; y) / x ≥ y }
Hallar su relación inversa:
a) R-1
= {(x; y) / x > y}
b) R-1
= {(x; y) / x < y}
c) R-1
= {(x; y) / x ≥ y}
d) R-1
= {(x; y) / y ≥ x}
e) R-1
= {(x; y) / y = x}
04. Hallar el área de la región que genera la
siguiente relación:
R1 ={(x;y) ∈ R2
/8 ≤ x2
+y2
≤ 16 ∧ x+y≤ 4}
a) 8(4+π) u2
d) 8(4 – π) u2
b) 6(4 – π) u2
e) 8(2 – π) u2
c) 2(4 – π) u2
05. Esbozar la gráfica de la siguiente relación:
R ={(x; y) ∈ R2
/ (x – 2 ) y = 8 }
y
x
a) b) y
x
y
x
c) d) y
x
e) y
x
06. Si R es la relación en N definida por:
R = {(a, b) / a =
o
b
y b =
o
3
}
Hallar su relación inversa.
a) R–1
= {(a, b) / b =
o
a
y a =
o
3
}
b) R–1
= {(b, a) / b =
o
a
y a =
o
3
}
c) R–1
= {(a, b) /
o
a
= b y b–1
=
o
3
}
d) R–1
= {(a, b) /
b
1
a
o
= y a =
o
3
}
e) N.a.
07. Bosquejar la gráfica de la relación:
R1 = {(x;y) / x2
– xy – 2y2
= 0 }
y
x
y
x
a) b)
y
x
y
x
c) d)
1
1
-1
-1
y
x
e)
A = {(x, y) ∈ R2
/
2
y
≤ x ≤ 2y}
B = {(x, y) ∈ R2
/ y+1 ≤ x2
}
La región sombreada.
y
x
Es:
a) A – B b) B – A c) A ∪ B
d) A ∩ B e) (A ∩ B)C

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