El documento presenta los resultados de una investigación sobre la utilidad del cálculo integral en la ingeniería en computación. La investigación incluyó entrevistas y encuestas a ingenieros y estudiantes que mostraron que el cálculo integral es una herramienta útil en diversas aplicaciones como análisis de circuitos, señales, series de Fourier y modelado 3D. Aunque su uso no es directo, contribuye al desarrollo del pensamiento ingenieril. La mayoría de encuestados reconocen su importancia y lo ven como parte fundamental de su formación.

1. INTRODUCCIÓN
En este documento se presentan los resultados de una investigación realizada por
alumnos de segundo semestre de Ingeniería en computación, con la finalidad de
encontrar la utilidad del cálculo integral en la carrera de ingeniería en computación.
Se partió de la hipótesis de que “el cálculo integral es muy poco utilizado en la
carrera”, siguiendo con una investigación documental sobre las aplicaciones a
diversas áreas de Ingeniería en computación que dio como resultado: Redes de
Markov, teorema de Bayes, análisis de sistemas y señales, eliminación de ruido,
series de Fourier, transformada Z, variable compleja, circuitos eléctricos, robótica,
modelado en tercera dimensión, etc., lo que llevó a un cambio de la hipótesis inicial
por la siguiente: “El cálculo integral es una herramienta muy útil en la carrera de
ingeniería en computación”.
Más tarde se elaboró una entrevista y un par de encuestas con la finalidad de
obtener más información de cuestiones como: la importancia que le dan los
ingenieros en computación al cálculo, las aplicaciones más comunes en la vida
profesional, el nivel de conocimientos actual de un profesionista, así como sus
hábitos de repaso en lo visto durante la carrera, por parte de los alumnos
intentamos conocer cuál es la posición de los estudiantes hacia esta materia, en
diferentes etapas de la carrera, es decir, entrevistamos a alumnos desde reciente
ingreso hasta los alumnos de últimos semestres de la carrera. Que terminó por
hacer prevalecer una perspectiva aplicable a toda la ingeniería y materias de
Ciencias Básicas, donde la importancia de todas la materias básicas se aprecia
mucho más estando en la práctica, son una herramienta tal vez no indispensable,
pero sí muy útil, donde el trabajo del ingeniero es: Pensar.
Al final se sintetizó la información obtenida mediante las herramientas de
investigación. Se elaboraron conclusiones y una modificación a la hipótesis inicial,
1

2. dando como resultado y finalmente se redactó el documento que tiene como lector
en sus manos.
2

3. CUERPO
Marco teórico
El cálculo integral en la ingeniería en computación ha sido de gran importancia en
los distintos ámbitos en los que se desarrolla esta ingeniería, ya sea en lo que se
refiere al software, al hardware, al manejo de datos o de señales. En fin, son
muchas y muy variadas las aplicaciones que tiene el cálculo integral, el cual ha sido
base de distintos procesos y avances tecnológicos actuales tanto en la ingeniería
en computación como en las demás ingenierías.
Un ejemplo claro acerca de la trascendencia del cálculo integral en lo que respecta
al hardware de una computadora, es en el análisis de circuitos, en el cual podemos
ver aplicaciones directas de integrales, como es el caso del cálculo de la energía
disipada a partir de la potencia que tenga el circuito, asimismo, es importante al
observar el comportamiento de un condensador debido a que la tensión de éste, no
solo depende de la corriente que circula por él, sino que también de la suma de las
corrientes que atravesaron con anterioridad, es decir, la carga acumulada, lo cual
es posible calcular mediante integrales y con esto se podría afirmar que dicho
dispositivo tiene memoria de corrientes, como es el caso también de las bobinas;
esto nos lleva al análisis de circuitos RLC debido a que muchos de los elementos
que están presentes en estos casos tienen en sus ecuaciones algunas integrales,
las cuales tienen que ser derivadas y para lograrlo es necesario utilizar el Teorema
Fundamental del Cálculo.
En este sentido, no solamente el cálculo integral es enfocado a las operaciones con
aparatos físicos, sino también está presente en fenómenos como son las señales,
especialmente las sinusoidales. Para estas señales, es posible determinar el valor
medio de una señal genérica en cierto intervalo de tiempo, así como su valor eficaz
e inclusive determinar otra señal sinusoidal de la misma frecuencia, gracias a las
integrales definidas. Es importante señalar que el cálculo integral no solamente
nos permite ver las características de las señales, sino también nos permiten
expandirlas trigonométricamente mediante las series de Fourier, lo cual nos puede
3

4. ser útil si queremos conocer las frecuencias de los componentes que forman la
señal, lo cual podría llevarnos a poder eliminar los ruidos de alta frecuencia, lo cual
es necesario conocer si se está diseñando algún software de edición de música.
Pero no solamente las series de Fourier nos ayudan para el manejo de frecuencias
y señales, sino que también se aplica en la compresión de datos, ya que permite
identificar ciertos términos de la expansión trigonométrica necesarios y poder
conservarlos. Si lo que queremos es trabajar con imágenes es necesario contar
con histograma que represente la relación entre la escala de grises que tenga una
imagen con la cantidad de pixeles que posea dicha imagen; al tratar el histograma
como una función continua en cierto rango, el cual su tratamiento tiene que ver con
el cálculo integral; esto con el fin de modificar la imagen, ya sea para que se vea
más nítida o para comprimirla.
Todas estas aplicaciones de las integrales guardan una estrecha relación con la
ingeniería en computación, de cierta forma esta ingeniería se presta para poder
realizar muchas aplicaciones, inclusive en el desarrollo de cierto tipo de software
que resuelva problemas matemáticos de diversa índole. Pareciera ser que las
aplicaciones del cálculo integral no son directas a la computación, sino que se
trabaja en otras áreas que se relacionan; sin embargo, hay una aplicación directa
de las integrales al funcionamiento de las computadoras, y por lo tanto a la
computación, este es el teorema de Bayes, principalmente en las llamadas redes
bayesianas, las cuales nacen de la necesidad de mejorar la calidad de la
clasificación de los datos y así evitar confusiones sobre los atributos de la
información. También puede ser utilizada para determinar el conocimiento obtenido
de un subconjunto de datos cuando las demás variables son observadas, además
de ser un modelo de probabilidad que relaciona variables aleatoria con gráficos, lo
cual hace que se consigan soluciones a diversos problemas si se tiene cierta
incertidumbre y gracias a ellas se han eliminado algunos problemas probabilísticos.
Modelado en 3ra dimensión
4

5. En general, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos,
infinitamente pequeños.
Para poner un buen ejemplo de la importancia del cálculo en la computación,
veremos el método de exhaución usado por los egipcios para calcular áreas de
círculos, el cual es aplicado para modelar en tres dimensiones. El método de
exhaución consiste en que en un círculo se traza un polígono, el cual tiene las
características de que todos sus lados o esquinas tocan al círculo, y al sacar el
área de ese polígono, sale un área que es aproximada al área real del círculo. Es
obvio que entre más lados tenga el polígono, más precisa será el área que
sacamos, ya que se reduce el espacio ocupado por las áreas despreciables que se
forman entre el polígono y el círculo. Esto podría ser interpretado en cálculo integral
como una suma infinita de las áreas en el polígono de n lados que se forman en
cada n “pedazos” del polígono.
Este mismo principio es usado en las gráficas por computadora, para producir las
gráficas más precisas y reales de acuerdo a las capacidades de sus procesadores.
No importa cuánto avance la computación, nunca se podrá alcanzar a modelar una
figura tridimensional que sea perfectamente redonda.
Esto, aparte de que es
humanamente imposible de hacer para el usuario, también es imposible de
procesar para la computadora. Lo que se hace es “aproximar” una figura que
parezca redonda para nuestros ojos pero en realidad sea un polígono
tridimensional con superficies planas, pero que nosotros no podemos alcanzar a
ver. No se puede conseguir una figura perfectamente redonda debido a que no se
puede sumar infinitamente áreas ó volúmenes para formar una figura, así que se lo
que se hace en la computación gráfica es fijar un límite de cuántas sumas puede
hacer el procesador para obtener la figura deseada, que aunque no sea perfecta,
es más que suficiente para convencer al ojo humano. Esto se hace en base al
concepto de sumas de Riemann.
Para dejar más claro esto, usaré el ejemplo de la consola Nintendo 64.
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6. Esta fue de las primeras consolas en el mercado en usar gráficas tridimensionales,
por lo cual, sus capacidades eran limitadas comparadas con las consolas actuales,
por lo cual, se tenían que hacer modelos tridimensionales con los que la consola
trabajara correctamente (es decir, que no fueran exageradamente detallados) y que
fueran lo suficientemente reales para los jugadores.
Así, se marcaba un modelo en tercera dimensión que presentara el balance entre
estos dos elementos, que fuera procesable para la consola y que se viera real para
el usuario. Y como resultado quedaba un modelo que a pesar que se veía
claramente que era un polígono, la consola podía trabajar perfectamente con él.
Gracias al avance de la computación, actualmente se pueden lograr hacer modelos
tridimensionales cada vez más precisos.
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7. Resultados de la investigación
Entrevista:
A continuación se muestra un resumen que contiene las respuestas de diferentes
profesores ingenieros, acoplados en una sola respuesta.
● M en C. Cintia Quezada Reyes: Ingeniera en Computación
● M. en E. Rosalba Rodríguez Chávez: Ingeniera en Computación
● Sergio Valdez Sanchez: Ingeniero en Computación
● Orlando ZaldivarZamorategui: Ingeniero en Computación
● M.C. Alejandro Velazquez Mena: Ingeniero en Computación
2.
¿Cuáles han sido los trabajos más satisfactorios que ha realizado?
Impartición de cátedra, cursos, dirección de tesis de licenciatura y maestría,
colaboración en diversos proyectos sobre Redes y Seguridad informática, un
proyecto para la Facultad de Medicina, una simulación de los ganglios ante
diferentes factores internos y externos.
7

8. 3.
¿Ha sido el cálculo una parte grata de su formación como Ingeniero? ¿Por qué?
Sí, ya que me ayudó a desarrollar la parte creativa y contribuyó a mi formación
ingenieril para ordenar mi pensamiento y estructurar las resoluciones a problemas
concernientes a mi carrera.
4.
¿Qué tan relevante ha sido el cálculo integral para el desarrollo de su vida laboral?
Muy relevante por ser una de las bases que permitieron estructurar mi forma de
pensar y de esta forma lograron convertirme en una ingeniera integral, el
conocimiento siempre es adecuado en todas las carreras y una ingeniera debe
saber diversos temas para desarrollarse como individuo y profesionista.
5.
¿En alguna situación de su vida profesional se ha presentado la necesidad de
ocupar el cálculo integral?
Al resolver una integral es necesario pensar y estructurar la mejor solución a un
problema para que ésta sea eficiente e inteligente, tomando esto como premisa, la
respuesta sería: SIEMPRE que se ha presentado un problema aplicó la formación
que me brindó el cálculo integral
6.
¿Al presentarse el problema, le fueron suficientes los conocimientos adquiridos en
la facultad?
8

9. Tanto los que me brindó la Facultad como los que tenía de antecedentes y los
adquiridos de manera autodidacta y por la experiencia, el conocimiento es
continuo, no se centra únicamente en un día, una asignatura o un tema.
7.
¿Considera que tener conocimientos sólidos de cálculo le dará la opción de tener
un mejor trabajo a un alumno egresado de la carrera de Ingeniería en
computación? ¿Por qué?
Sí, si combinamos la práctica y la actualización en el campo de especialización de
cada individuo, aunado a la integración de estos conocimientos con el resto de los
que nos brindan a lo largo de los diversos semestres, debe considerarse que cada
tema tratado en las diversas asignaturas es importante y no se encuentran
aislados.
8.
De ser posible, ¿Apoyaría la división de los grupos en el anexo por carrera, con la
finalidad de especializar las clases por área?
No lo creo conveniente, las diversas carreras no se encuentran aisladas y se
entrelazan unas con otras, por ende sería un gran inconveniente no darles esa
unión y hacer divisiones que al tiempo resultan contraproducentes, pues los
alumnos no aprenden a resolver problemas diversos independientemente de su
especialización, recordar que un ingeniero debe ser integral y tener la capacidad de
abordar un problema y brindar una solución aunado a que debe trabajar en equipo
y no siempre los miembros del equipo son de la misma carrera.
9

10. Encuesta:
Se aplicó la encuesta a 25 alumnos.
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11. 11

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13. 13

14. Como se puede observar, los resultados apuntan a que el Cálculo Integral es útil
para las ingenierías encuestadas pero en diferente medida, por una parte destacan
los Ingenieros Civiles quienes contestaron que el cálculo es de gran utilidad para
prácticamente cualquier tema que vean, mientras que por otro lado las Ingenierías
pertenecientes a la DIE nos hicieron notar que existen diversas aplicaciones del
cálculo en la carrera y que les ha servido para poder resolver problemas que se les
han presentado.
Cabe destacar que el 88% de los alumnos encuestados consideran a los
profesores como un factor de motivación para estudiar la asignatura. Otro aspecto
importante que se puede destacar de las encuestas realizadas es el hecho de que
la mayoría de los encuestados conocen alguna aplicación del cálculo integral
directa en su carrera y que ha contribuido a tener una perspectiva diferente en
cuanto a planteamiento y resolución de problemas que se relacionan con sus
carreras. También podemos observar que el interés puesto en la materia fue
grande al momento de que la cursaron, ya que se puede observar que la mayoría
sacó calificaciones entre 9-10, lo cual es indicador de que entre más esfuerzo se
ponga en la materia y se tengan las ganas de aprender, mejor se podrán manejar
14

15. los problemas que se tengan más adelante. Cabe destacar el hecho de que a la
mayor parte de las personas les gusta mucho o cuando menos les agrada el
cálculo integral, salvo algunas excepciones que lo consideran indiferente, pero la
mayoría tiene muy presente que sin esta materia, no tendrían las herramientas
necesarias para poder resolver los problemas de otras asignaturas, e inclusive
problemas que tengan que ver con su desempeño en el campo laboral.
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16. APRENDIZAJES
Durante las entrevistas que hicimos, pudimos notar la semejanza de las respuestas
de los diferentes entrevistados, pues al pedirles una explicación sobre la
importancia del cálculo dentro de la carrera de Ingeniería en Computación, cada
uno mencionó aplicaciones específicas muy variadas, pero al final terminaron por
explicar que la verdadera importancia del cálculo y de todas las materias de
ciencias básicas no radica en las aplicaciones directas, sino en lo que ofrecen:
“...estas materias te dan otra perspectiva de la realidad, te permiten tener un
panorama más amplio, y son una herramienta muy valiosa para la interpretación de
la realidad mediante modelos matemáticos...”. También se nos aclaró lo siguiente:
“...El cálculo integral como tal, no tiene muchas aplicaciones, pero es fundamental
para la interpretación y aplicación de otras materias como ecuaciones diferenciales
y cálculo vectorial...”. Siguiendo estos conceptos, otros más afirman “...El dividir las
aplicaciones por áreas no es lo más adecuado, ya que como ingenieros no
utilizamos ninguna materia por separado, todas están relacionadas entre sí y nos
valemos de todas ellas para poder resolver los problemas que se nos presentan de
la mejor manera posible”.
Todas estas afirmaciones nos llevaron a generar conclusiones que nosotros no
esperábamos tener al principio, pues aprendimos que el cálculo es una herramienta
básica, como el resto de las materias de ciencias básicas para cualquier ingeniería.
Estos métodos y procedimientos son lo que nos identifica como ingenieros. Cuando
avancemos en nuestra carrera, tendremos más claro que como ingenieros en
computación, nosotros nos encargamos de sistematizar y automatizar procesos.
Para ejercer nuestra profesión de manera exitosa tenemos que preguntarnos
¿Cuáles son los datos de entrada que tendremos?, ¿Cuál será la información de
salida que requerimos? Y lo más importante: ¿Cuál es el proceso que nos permitirá
partir de las entradas para obtener las salidas? Aquí es donde nosotros aplicamos
todo lo que sabemos para obtener un modelo matemático que nos permita
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17. programarlo posteriormente, y dar así solución una al problema. Este proceso se
puede representar de la siguiente manera:
Es esta “caja negra” en la que nosotros formularemos una función para así
automatizar el procedimiento que nos están presentando, y por lo tanto, resolver el
problema. Así como podemos aplicar el cálculo para una infinidad de procesos
matemáticos distintos, también los podemos aplicar estos mismos conceptos
matemáticos a la computación para así realizar la automatización de millones de
procesos distintos y así poder extender nuestras capacidades humanas hasta
horizontes que nosotros nunca hubiéramos imaginado.
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18. CONCLUSIONES GENERALES
● El cálculo integral es una herramienta indispensable en todas las
ingenierías.
● El estudio de cálculo permite el desarrollo de una visión más amplia en los
alumnos de ingeniería.
● El cálculo sirve como herramienta para agilizar procesos de pensamiento
abstracto para su posterior aplicación a problemas del mundo real.
● El Ingeniero en Computación debe tener la capacidad de análisis de
problemas y las herramientas necesarias para resolverlos.
● La importancia de Ciencias Básicas son la base para poder interpretar,
entender, modelar problemas reales.
● Tener bases sólidas de matemáticas, física y química entre otras materias
permitirá un mejor desempeño como ingenieros.
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19. ● Las Ciencias Básicas son fundamentales para poder mejorar las cosas ya
existentes e incluso crear nuevas, ya que son los principios fundamentales
en los que se basa todo lo desarrollado en las distintas ingenierías.
● Es imprescindible conocer el cálculo para poder tener bases para resolver
los futuros problemas que se presenten, ya sea dentro de la facultad o en el
área laboral.
● El Ingeniero en Computación necesita conocer todas las bases de las
ciencias debido a que el campo laboral es muy amplio y variado, por lo cual
puede estar desde una empresa hasta un laboratorio de investigación física.
● El cálculo integral es necesario conocerlo para entender el cómo funcionan
algunas partes de la computadora, especialmente el hardware y también
para el desarrollo de algunos tipos de software.
● El ingeniero no debe quedarse simplemente con los conceptos teóricos
aprendidos en clase, sino que también ampliarlos para encontrar
aplicaciones en las cuales les pueda ser útil.
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20. ANEXOS
ENTREVISTA
1
¿Con qué Ingeniería estudió?
2
¿Cuáles han sido los trabajos más satisfactorios que ha realizado?
3
4
¿Ha sido el cálculo una parte grata de su formación como Ingeniero? ¿Por qué?
¿Qué tan relevante ha sido el cálculo integral para el desarrollo de su vida laboral?
5
¿En alguna situación de su vida profesional se ha presentado la necesidad de ocupar el
cálculo integral?
6
¿Al presentarse el problema, le fueron suficientes los conocimientos adquiridos en la
facultad?
7
¿Considera que tener conocimientos sólidos de cálculo le dará la opción de tener un mejor
trabajo a un alumno egresado de la carrera de Ingeniería en computación?¿Por qué?
8
De ser posible, ¿Apoyaría la división de los grupos en el anexo por carrera, con la finalidad
de especializar las clases por área?
Encuesta 1
●
Carrera que estudias:____________________
●
¿Qué semestre cursas?
a) 1 -<3
b) 3-<6
●
c)6-9
Posgrado,posgrado...
Con respecto a tu experiencia, consideras que el cálculo en tu carrera es:
a) Indispensable
b) Importante
d)Útil
c) Necesario
e) Innecesario
por qué_____________________________________________________
●
¿Has usado alguna vez cálculo para resolver algún problema relacionado con tu carrera?
a) Si
b) No
Cuál(es):________________________________
●
¿Conoces alguna aplicación de Cálculo en tu carrera?
a) Si
b) No
Cuál(es):_________________________________
20

21. ●
¿Consideras que haber estudiado cálculo, te permite tener una perspectiva diferente al
resolver problemas?
a) Si
b) No
c) Tal vez
●
¿Consideras que el profesor juega un papel importante en la motivación para interesarte por
el estudio del cálculo?
a) Si
b) No
c) Tal vez
●
Personalmente, qué dirías de cálculo:
a) Me gusta mucho
b) Me agrada
d) No me gusta
e) Lo detesto
●
Tu promedio en cálculo
○ Diferencial:
a) menos de 5
○ Integral
a) menos de 5
○ Vectorial
a) menos de 5
c) Me es indiferente
b) 5 - <7
c) 7 -< 9
d) 9-10
b) 5 - <7
c) 7 - <9
d) 9-10
b) 5 - <7
c) 7 -< 9
d) 9-10
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22. BIBLIOGRAFÍA
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de Circuitos. Recuperado el 5 de Mayo de 2013, de Universidad
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