Estadística: Unidad 3

1. Estadística: Unidad III
Ing. Luis Fernando Aguas, Mtr.

2. Índices o subíndices
• El símbolo, Xj se lee X subíndice de j
• Representa cualquiera de los N valores X1, X2, X3, …, Xn que
puede tomar la variable X
• A la letra j se la llama suníndice o índice

3. Sumatoria
• El Símbolo å
N X se emplea para denotar la suma de
todas las Xdesde j=1 j=j
1 hasta j=N; por definición:
j Xj = X1 + X2 + X3 +...+ XN
Nå
j=1

4. Promedios o medidas de tendencia
central
• Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto
de datos.
• Estos valores tienden a encontrarse en el centro de los datos
• A los promedios se los conoce también como medidas de
tendencia central.
• Se pueden definir varios tipos de promedios, los más usados:
MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA, MODA, MADIA
GEOMÉTRICA Y MEDIA ARMÓNICA.

5. La media aritmética
X -
• La media aritmética o brevemente la media, de un
conjunto de N números X1, X2, X3, …, XN, se denota asÍ: ,
que se lee X barra.
X = X1 + X2 + X3 +... + XN
N
=
Xj
Nå
j=1
N
=
åX
N
(1)

6. La media aritmética - ejemplo
• La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es
X = 8+ 3+ 5+12 +10
5
= 38
5
= 7.6

7. La media aritmética – Frecuencias
• Si los números X1, X2, …, XK se presentan f1, f2, …, fK veces,
respectivamente (es decir, se presentan con frecuencias),
su media aritmética es:
X = f1X1 + f2X2 +... + fKXK
f1 + f2 +...+ fK
=
fjXj
Kå
j=1
fj
Kå
j=1
=
åfX
åf =
åfX
N
(2)
Donde n = å f es la suma de las frecuencias (es decir, la cantidad total de casos)

8. La media aritmética – Frecuencias –
Ejemplo
• Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1,
respectivamente, se media aritmética es:
X = (3)(5)+ (2)(8)+ (4)(6)+ (1)(2)
3+ 2 + 4 +1
= 15+16 + 24 + 2
10
= 5.7

9. Media aritmética ponderada
• Algunas veces, a los números X1, X2, …, XK se les asignan
ciertos factores de ponderación (o pesos) w1, w2, …, wK, que
dependen del significado o importancia que se les asigne
a estos números, en este caso a:
X = w1X1 + w2X2 +... + wKXK
w1 + w2 +...+ wK
=
åwX
åw (3)

10. Media aritmética ponderada –
ejemplo
• Si en una clase, al examen final se le da el triple de valor
que a los exámenes parciales y un estudiante obtiene 85
en el examen final, 70 y 90 en los dos exámenes parciales,
su puntuación media es:
X = (1)(70)+ (1)(90)+ (3)(85)
1+1+ 3
= 415
5
= 83

11. Propiedades de la media aritmética
• 1. En un conjunto de números, la suma algebraica de las
desviaciones de estos números respecto a su media
aritmética es cero, Ejemplo: las desviaciones de los
números 8, 3, 5, 12 y 10 de su media aritmética, 7.6 son 8-
7.6, 3-7.6, 5-7.6, 12-7.6 y 10-7.6 o bien 0.4, -4.6, -2.6, 4.4 y
2.4, cuya suma algebraica es 0.4-4.6-2.6+4.4+2.4=0

12. Propiedades de la media aritmética
2. En un conjunto de números Xj, la suma de los cuadrados
de sus desviaciones respecto a un número a es un mínimo si
y sólo si a= .
X -

13. Propiedades de la media aritmética
3. Si la media de f1 números es m1, la media de f2 números es
m2, …, la media de fk números es mk, entonces la media de
todos estos números es
X = f1m1 + f2m2 +...+ fKmK
f1 + f2 +... + fK
(4)
Es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias

14. Propiedades de la media aritmética
4. Si se cree o se supone que un número A(que puede ser
cualquier número) es la media aritmética y si dj=Xj-A son las
desviaciones de Xj de A, entonces las ecuaciones (1) y (2) se
convierten respectivamente en
X = A +
dj
Nå
j=1
N
= A+
åd
N
(5)
X = A +
fjdj
Kå
j=1
fj
Kå
j=1
= A +
åfd
N
(6)

15. Media aritmética para datos agrupados
• Cuando se presentan los datos en una distribución de
frecuencias, se considera que todos los datos que caen en
un intervalo de clase dado coinciden con la marca o punto
medio del intervalo.
• Para datos agrupados interpretando a las Xj como las
marcas de la clase, a las fj como las correspondientes
frecuencias de la clase, a A como cualquier marca de clase
supuesta y dj=Xj-A como la desviación de Xj respecto de
A, las fórmulas (2) y (6) son válidas.

16. Media aritmética para datos agrupados
• A los cálculos empleando las fórmulas (2) y (6) se les suele
conocer como método largo y método abreviado,
respectivamente.
• Si todos los intervalos de clase son de una misma
amplitud c, las desviaciones dj=Xj-A se puede expresar
como cuj donde uj puede tener valores enteros positivos o
negativos o cero (conocemos que dj=c*uj), con lo que la
fórmula (6) se convierte en
X = A+
fjuj
Kå
j=1
N
æ
ççççç
è
ö
¸¸¸¸¸
ø
= A+
åfu
N
æ
è
çç
ö
ø
¸¸
c(7)

17. Media aritmética para datos agrupados
• Lo que es equivalente a la ecuación X = A + cu
a esta
ecuación se le conoce como método codificado, para
calcular la media. Es un método muy breve recomendado
para datos agrupados cuando los intervalos de clase
tienen todos la misma amplitud. Obsérvese que en el
método codificado los valores de la variable X se
transforman en valores de la variable u de acuerdo con
X=A+cu

19. La mediana
• La mediana de un conjunto de números acomodados en
orden de magnitud, es el valor central o la media de los
dos valores centrales.
• Ejemplo: la mediana del conjunto de números
3,4,5,6,8,8,8 y 10 es 6
• Ejemplo: la mediana del conjunto de números
5,5,7,9,11,12,15 y 18 es (9+11)/2 = 10

21. • La mLedaia nma see odbtiieanne pao r –in teerpno ladciaónt, ocosm oa sge erxuprpesaa pdoro las
fórmula
Mediana = L1 +
N
2
- (åf )1
fmediana
æ
ççç
è
ö
¸¸¸
ø
c(8)
• L= Frontera inferior de la clase mediana (es decir, de la clase que
1 contiene la mediana)
• N= • (ånúmero )de datos (es decir, la frecuencia total)
f =
1
suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la
clase mediana
• F= frecuencia de la clase mediana
mediana • c = amplitud del intervalo de la clase mediana

25. La moda
• La moda de un conjunto de números es el valor que se presenta con
más frecuencia; es decir, es el valor más frecuente. Puede no haber
moda y cuando la hay, pude no ser única.
• Ejemplo: la moda del conjunto 2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12 y 18 es 9
• Ejemplo: El conjunto 3,5,8,10,12,15 y 16 no tiene moda
• Ejemplo: el conjunto 2,3,4,4,4,5,5,7,7,7 y 9 tiene dos modas, 4 y 7, por
lo que se llama BIMODAL
• A una distribución que tiene una sola moda se llama unimodal.

27. La moda – datos agrupados
• En el caso de datos agrupados, para los que se ha construido una curva de frecuencia que
se ajuste a los datos, la moda es el valor o los valores de X que corresponden al punto o
puntos máximos de la curva. A este valor de X se le suele denotar
^X
æ
Moda = L1 + D1
D1 + D2
è ç
ö
ø
¸c(9)
• Donde:
• L1=frontera inferior de la clase modal (es decir, la clase que contiene la moda)
• Δ1=exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase inferior inmediata
• Δ2=exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase superior inmediata
• c=amplitud del intervalo de la clase modal

29. Relación empírica entre la media, la
mediana y la moda
• En las curvas de frecuencias unimodales que son
ligeramente sesgadas, se tiene la relación empírica
siguiente:
• Media – moda = 3(media - mediana)(10)

32. La media geométrica G
G = X1X2X3...XN
N (11)
• La media geométrica G de N números positivos X1, X2, X3,
…, Xn, es la raíz n-ésima del producto de los números.

33. La media geométrica G - ejemplo
G = 3 (2)(4)(8) = 3 64 = 4
• La media geométrica de los números 2, 4 y 8 es

34. La media armónica H
• La media armónica H de un conjunto de N números X1, X2,
X3, …, Xn es el recíproco de la media aritmética de los
recíprocos de los números.
H = 1
1
N
1
Nå
j=1 Xj
= N
1
X å
(12)

35. La media armónica H - ejemplo
H = 3
1
2
+ 1
4
+ 1
8
= 3
7
8
= 3.43
• La media armónica de los números 2, 4 y 8 es

36. Relación entre las medias
aritmética, geométrica y armónica
H £ G £ X
La igualdad es válida solo cuando todos los números X1, X2, X3,…, XN son idénticos
Ejemplo: la media aritmética de los números 2, 4 y 8 es 4.67, su media geométrica
es 4 y su media armónica es 3.43

37. CUARTILES, DECILES Y
PERCENTILES
• A los valores que dividen al conjunto de datos en 4 partes
iguales se los llaman cuartiles y se denotan como Q1, Q2 y Q3, el
valor de Q2 coincide con la mediana.
• De igual manera a los valores que dividen al conjunto en 10
partes iguales son los deciles y se denotan D1, D2, …D9, y
• Los valores que dividen al conjunto en 100 partes iguales son
los percentiles y se les denota P1, P2,…, P99
• El quinto decil y el percentil 50 coinciden con la mediana
• A los cuartiles, deciles, percentiles se les llama en conjunto
cuantiles

38. Cuartiles
Cuartil 1 Cuartil 2 Cuartil 3 Cuartil 4
P=1
Si n es impar se suma 1 a cada n

39. Percentiles
Percentil 1 Fórmula General
Si n es impar se suma 1 a cada n

40. Deciles
Decil 9 Fórmula General
Si n es impar se suma 1 a cada n