Estadística: Unidad III 
Ing. Luis Fernando Aguas, Mtr.
Índices o subíndices 
• El símbolo, Xj se lee X subíndice de j 
• Representa cualquiera de los N valores X1, X2, X3, …, Xn...
Sumatoria 
• El Símbolo å 
N X se emplea para denotar la suma de 
todas las Xdesde j=1 j=j 
1 hasta j=N; por definición: 
...
Promedios o medidas de tendencia 
central 
• Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto 
de datos. 
• ...
La media aritmética 
X - 
• La media aritmética o brevemente la media, de un 
conjunto de N números X1, X2, X3, …, XN, se ...
La media aritmética - ejemplo 
• La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es 
X = 8+ 3+ 5+12 +10 
5 
= 38 
5 
=...
La media aritmética – Frecuencias 
• Si los números X1, X2, …, XK se presentan f1, f2, …, fK veces, 
respectivamente (es d...
La media aritmética – Frecuencias – 
Ejemplo 
• Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1, 
respectivamente,...
Media aritmética ponderada 
• Algunas veces, a los números X1, X2, …, XK se les asignan 
ciertos factores de ponderación (...
Media aritmética ponderada – 
ejemplo 
• Si en una clase, al examen final se le da el triple de valor 
que a los exámenes ...
Propiedades de la media aritmética 
• 1. En un conjunto de números, la suma algebraica de las 
desviaciones de estos númer...
Propiedades de la media aritmética 
2. En un conjunto de números Xj, la suma de los cuadrados 
de sus desviaciones respect...
Propiedades de la media aritmética 
3. Si la media de f1 números es m1, la media de f2 números es 
m2, …, la media de fk n...
Propiedades de la media aritmética 
4. Si se cree o se supone que un número A(que puede ser 
cualquier número) es la media...
Media aritmética para datos agrupados 
• Cuando se presentan los datos en una distribución de 
frecuencias, se considera q...
Media aritmética para datos agrupados 
• A los cálculos empleando las fórmulas (2) y (6) se les suele 
conocer como método...
Media aritmética para datos agrupados 
• Lo que es equivalente a la ecuación X = A + cu 
a esta 
ecuación se le conoce com...
La mediana 
• La mediana de un conjunto de números acomodados en 
orden de magnitud, es el valor central o la media de los...
• La mLedaia nma see odbtiieanne pao r –in teerpno ladciaónt, ocosm oa sge erxuprpesaa pdoro las 
fórmula 
Mediana = L1 + ...
La moda 
• La moda de un conjunto de números es el valor que se presenta con 
más frecuencia; es decir, es el valor más fr...
La moda – datos agrupados 
• En el caso de datos agrupados, para los que se ha construido una curva de frecuencia que 
se ...
Relación empírica entre la media, la 
mediana y la moda 
• En las curvas de frecuencias unimodales que son 
ligeramente se...
La media geométrica G 
G = X1X2X3...XN 
N (11) 
• La media geométrica G de N números positivos X1, X2, X3, 
…, Xn, es la r...
La media geométrica G - ejemplo 
G = 3 (2)(4)(8) = 3 64 = 4 
• La media geométrica de los números 2, 4 y 8 es
La media armónica H 
• La media armónica H de un conjunto de N números X1, X2, 
X3, …, Xn es el recíproco de la media arit...
La media armónica H - ejemplo 
H = 3 
1 
2 
+ 1 
4 
+ 1 
8 
= 3 
7 
8 
= 3.43 
• La media armónica de los números 2, 4 y 8...
Relación entre las medias 
aritmética, geométrica y armónica 
H £ G £ X 
La igualdad es válida solo cuando todos los númer...
CUARTILES, DECILES Y 
PERCENTILES 
• A los valores que dividen al conjunto de datos en 4 partes 
iguales se los llaman cua...
Cuartiles 
Cuartil 1 Cuartil 2 Cuartil 3 Cuartil 4 
P=1 
Si n es impar se suma 1 a cada n
Percentiles 
Percentil 1 Fórmula General 
Si n es impar se suma 1 a cada n
Deciles 
Decil 9 Fórmula General 
Si n es impar se suma 1 a cada n
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  • Ver problema 3.18
  • dj=c*uj
  • Revisar problemas 3.15, 3.20, 3.22 y 3.23
  • Nota, no hacer los ejercicios con logaritmos
  • REVISAR PROBLEMAS DEL 3.44 AL 3.46
  • REVISAR PROBLEMAS DEL 3.44 AL 3.46
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  • Estadística: Unidad 3

    1. 1. Estadística: Unidad III Ing. Luis Fernando Aguas, Mtr.
    2. 2. Índices o subíndices • El símbolo, Xj se lee X subíndice de j • Representa cualquiera de los N valores X1, X2, X3, …, Xn que puede tomar la variable X • A la letra j se la llama suníndice o índice
    3. 3. Sumatoria • El Símbolo å N X se emplea para denotar la suma de todas las Xdesde j=1 j=j 1 hasta j=N; por definición: j Xj = X1 + X2 + X3 +...+ XN Nå j=1
    4. 4. Promedios o medidas de tendencia central • Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. • Estos valores tienden a encontrarse en el centro de los datos • A los promedios se los conoce también como medidas de tendencia central. • Se pueden definir varios tipos de promedios, los más usados: MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA, MODA, MADIA GEOMÉTRICA Y MEDIA ARMÓNICA.
    5. 5. La media aritmética X - • La media aritmética o brevemente la media, de un conjunto de N números X1, X2, X3, …, XN, se denota asÍ: , que se lee X barra. X = X1 + X2 + X3 +... + XN N = Xj Nå j=1 N = åX N (1)
    6. 6. La media aritmética - ejemplo • La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es X = 8+ 3+ 5+12 +10 5 = 38 5 = 7.6
    7. 7. La media aritmética – Frecuencias • Si los números X1, X2, …, XK se presentan f1, f2, …, fK veces, respectivamente (es decir, se presentan con frecuencias), su media aritmética es: X = f1X1 + f2X2 +... + fKXK f1 + f2 +...+ fK = fjXj Kå j=1 fj Kå j=1 = åfX åf = åfX N (2) Donde n = å f es la suma de las frecuencias (es decir, la cantidad total de casos)
    8. 8. La media aritmética – Frecuencias – Ejemplo • Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1, respectivamente, se media aritmética es: X = (3)(5)+ (2)(8)+ (4)(6)+ (1)(2) 3+ 2 + 4 +1 = 15+16 + 24 + 2 10 = 5.7
    9. 9. Media aritmética ponderada • Algunas veces, a los números X1, X2, …, XK se les asignan ciertos factores de ponderación (o pesos) w1, w2, …, wK, que dependen del significado o importancia que se les asigne a estos números, en este caso a: X = w1X1 + w2X2 +... + wKXK w1 + w2 +...+ wK = åwX åw (3)
    10. 10. Media aritmética ponderada – ejemplo • Si en una clase, al examen final se le da el triple de valor que a los exámenes parciales y un estudiante obtiene 85 en el examen final, 70 y 90 en los dos exámenes parciales, su puntuación media es: X = (1)(70)+ (1)(90)+ (3)(85) 1+1+ 3 = 415 5 = 83
    11. 11. Propiedades de la media aritmética • 1. En un conjunto de números, la suma algebraica de las desviaciones de estos números respecto a su media aritmética es cero, Ejemplo: las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 de su media aritmética, 7.6 son 8- 7.6, 3-7.6, 5-7.6, 12-7.6 y 10-7.6 o bien 0.4, -4.6, -2.6, 4.4 y 2.4, cuya suma algebraica es 0.4-4.6-2.6+4.4+2.4=0
    12. 12. Propiedades de la media aritmética 2. En un conjunto de números Xj, la suma de los cuadrados de sus desviaciones respecto a un número a es un mínimo si y sólo si a= . X -
    13. 13. Propiedades de la media aritmética 3. Si la media de f1 números es m1, la media de f2 números es m2, …, la media de fk números es mk, entonces la media de todos estos números es X = f1m1 + f2m2 +...+ fKmK f1 + f2 +... + fK (4) Es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias
    14. 14. Propiedades de la media aritmética 4. Si se cree o se supone que un número A(que puede ser cualquier número) es la media aritmética y si dj=Xj-A son las desviaciones de Xj de A, entonces las ecuaciones (1) y (2) se convierten respectivamente en X = A + dj Nå j=1 N = A+ åd N (5) X = A + fjdj Kå j=1 fj Kå j=1 = A + åfd N (6)
    15. 15. Media aritmética para datos agrupados • Cuando se presentan los datos en una distribución de frecuencias, se considera que todos los datos que caen en un intervalo de clase dado coinciden con la marca o punto medio del intervalo. • Para datos agrupados interpretando a las Xj como las marcas de la clase, a las fj como las correspondientes frecuencias de la clase, a A como cualquier marca de clase supuesta y dj=Xj-A como la desviación de Xj respecto de A, las fórmulas (2) y (6) son válidas.
    16. 16. Media aritmética para datos agrupados • A los cálculos empleando las fórmulas (2) y (6) se les suele conocer como método largo y método abreviado, respectivamente. • Si todos los intervalos de clase son de una misma amplitud c, las desviaciones dj=Xj-A se puede expresar como cuj donde uj puede tener valores enteros positivos o negativos o cero (conocemos que dj=c*uj), con lo que la fórmula (6) se convierte en X = A+ fjuj Kå j=1 N æ ççççç è ö ¸¸¸¸¸ ø = A+ åfu N æ è çç ö ø ¸¸ c(7)
    17. 17. Media aritmética para datos agrupados • Lo que es equivalente a la ecuación X = A + cu a esta ecuación se le conoce como método codificado, para calcular la media. Es un método muy breve recomendado para datos agrupados cuando los intervalos de clase tienen todos la misma amplitud. Obsérvese que en el método codificado los valores de la variable X se transforman en valores de la variable u de acuerdo con X=A+cu
    18. 18. La mediana • La mediana de un conjunto de números acomodados en orden de magnitud, es el valor central o la media de los dos valores centrales. • Ejemplo: la mediana del conjunto de números 3,4,5,6,8,8,8 y 10 es 6 • Ejemplo: la mediana del conjunto de números 5,5,7,9,11,12,15 y 18 es (9+11)/2 = 10
    19. 19. • La mLedaia nma see odbtiieanne pao r –in teerpno ladciaónt, ocosm oa sge erxuprpesaa pdoro las fórmula Mediana = L1 + N 2 - (åf )1 fmediana æ ççç è ö ¸¸¸ ø c(8) • L= Frontera inferior de la clase mediana (es decir, de la clase que 1 contiene la mediana) • N= • (ånúmero )de datos (es decir, la frecuencia total) f = 1 suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la clase mediana • F= frecuencia de la clase mediana mediana • c = amplitud del intervalo de la clase mediana
    20. 20. La moda • La moda de un conjunto de números es el valor que se presenta con más frecuencia; es decir, es el valor más frecuente. Puede no haber moda y cuando la hay, pude no ser única. • Ejemplo: la moda del conjunto 2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12 y 18 es 9 • Ejemplo: El conjunto 3,5,8,10,12,15 y 16 no tiene moda • Ejemplo: el conjunto 2,3,4,4,4,5,5,7,7,7 y 9 tiene dos modas, 4 y 7, por lo que se llama BIMODAL • A una distribución que tiene una sola moda se llama unimodal.
    21. 21. La moda – datos agrupados • En el caso de datos agrupados, para los que se ha construido una curva de frecuencia que se ajuste a los datos, la moda es el valor o los valores de X que corresponden al punto o puntos máximos de la curva. A este valor de X se le suele denotar ^X æ Moda = L1 + D1 D1 + D2 è ç ö ø ¸c(9) • Donde: • L1=frontera inferior de la clase modal (es decir, la clase que contiene la moda) • Δ1=exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase inferior inmediata • Δ2=exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase superior inmediata • c=amplitud del intervalo de la clase modal
    22. 22. Relación empírica entre la media, la mediana y la moda • En las curvas de frecuencias unimodales que son ligeramente sesgadas, se tiene la relación empírica siguiente: • Media – moda = 3(media - mediana)(10)
    23. 23. La media geométrica G G = X1X2X3...XN N (11) • La media geométrica G de N números positivos X1, X2, X3, …, Xn, es la raíz n-ésima del producto de los números.
    24. 24. La media geométrica G - ejemplo G = 3 (2)(4)(8) = 3 64 = 4 • La media geométrica de los números 2, 4 y 8 es
    25. 25. La media armónica H • La media armónica H de un conjunto de N números X1, X2, X3, …, Xn es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los números. H = 1 1 N 1 Nå j=1 Xj = N 1 X å (12)
    26. 26. La media armónica H - ejemplo H = 3 1 2 + 1 4 + 1 8 = 3 7 8 = 3.43 • La media armónica de los números 2, 4 y 8 es
    27. 27. Relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica H £ G £ X La igualdad es válida solo cuando todos los números X1, X2, X3,…, XN son idénticos Ejemplo: la media aritmética de los números 2, 4 y 8 es 4.67, su media geométrica es 4 y su media armónica es 3.43
    28. 28. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES • A los valores que dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales se los llaman cuartiles y se denotan como Q1, Q2 y Q3, el valor de Q2 coincide con la mediana. • De igual manera a los valores que dividen al conjunto en 10 partes iguales son los deciles y se denotan D1, D2, …D9, y • Los valores que dividen al conjunto en 100 partes iguales son los percentiles y se les denota P1, P2,…, P99 • El quinto decil y el percentil 50 coinciden con la mediana • A los cuartiles, deciles, percentiles se les llama en conjunto cuantiles
    29. 29. Cuartiles Cuartil 1 Cuartil 2 Cuartil 3 Cuartil 4 P=1 Si n es impar se suma 1 a cada n
    30. 30. Percentiles Percentil 1 Fórmula General Si n es impar se suma 1 a cada n
    31. 31. Deciles Decil 9 Fórmula General Si n es impar se suma 1 a cada n

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