1. Escuela de Educación Continua
Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)
MATEMÁTICAS
Álgebra
Sistema de Coordenadas Cartesianas
Preparado por
Dra. Casilda Canino, Enero 1994
Prof. Norma Rivera, Enero 1994
Revisado por
Prof. Rene Rivera, Diciembre 2012

2. Este manual es propiedad del Campus Virtual de la Escuela de
Educación Continua de la Universidad Metropolitana. El mismo
no puede ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización
expresa del Decano Asociado del Campus Virtual de la Escuela
de Educación Continua de la Universidad Metropolitana.
®Escuela de Educación Continua de UMET, enero de 2012

3. Álgebra
XV. Sistema de coordenadas cartesianas
y
Para construir un sistema de coordenadas cartesianas trazamos dos rectas numéricas en un
plano, una vertical y una horizontal, de tal forma que se intersequen de forma perpendicular en
el origen cero (0). El punto de intersección de ambas rectas se llama el origen. Se consideran
.
positivas las direcciones hacia arriba y hacia la derecha. La recta horizontal representa el eje de
x, y la recta vertical representa al eje de y (ambos) los ejes de coordenadas. Los ejes de
coordenadas dividen el plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Los cuadrantes están
enumerados en dirección contraria a las manecillas del reloj del I al IV. Cada cuadrante tienen
una infinidad de coordenadas llamadas puntos, los cuales están representados por pares
ordenados de la forma (x,y).
. II I
(-, +) (+, +)
(Abcisa) X
origen
III IV
(-, -) (+, -)
Y (Ordenada)

4. Ejemplos
Grafica los siguientes puntos en un plano de coordenadas.
A (2, 4), B (-4, -1), C (6,-1), D (0, 3), E (-1, 2).
Respuestas:
A
D
E
B C
A. Pendiente de una recta
La pendiente se define como la inclinación que tiene una recta. La pendiente (m) de
una recta es la razón del cambio en el movimiento vertical (cambio en y) sobre el
movimiento horizontal (cambio en x). Esta puede ser positiva, negativa, cero o no
definida.

5. Cambio.en. y.(cambio.vertical ) Elevación y2  y1
Pendiente   
Cambio.en.x.(cambiohorizontal)
. Avance x2  x1
y2  y1
1. Fórmula de la pendiente m
x2  x
Ejemplos
a. En consecuencia, la pendiente de la recta que pasa por (2,-3) y por (4,5) es:
y2  y1 5   3 8
m   4
x2  x 42 2
Nota: no importa qué punto escojamos como p1 ó p2 , siempre y cuando nos sujetemos
a la elección que hayamos hecho. Si invertimos los puntos del caso anterior,
obtenemos el mismo valor para la pendiente, y ya que el signo cambia tanto en el
numerador como en el denominador:
y2  y1  3  5  8
m   4
x2  x 24 2
2. La ecuación de forma pendiente- (intercepto) ordenada al origen = Y= mx + b ,
donde m= pendiente, b = y ordenada al origen ó el intercepto con el eje de y.
y=mx +b

ascenso
y ordenada al origen b
 recorrido
(Abcisa) X
asenso
m  pendiente
recorrido
Y ( Ordenada)

6. Ejemplos
a) Encuentre la pendiente y la ordenada al origen (intercepto con el eje de y) de
la recta cuya ecuación
1 1
es y   x  2.  es la pendiente y 2 es y ordenada al origen ó
3 3
intercepto con el eje de y)
b) Encuentre la ecuación cuya pendiente es –2, y la ordenada al origen es 3:
Como m  2 y b  3 , sustituimos en y  mx  b y obtenemos la
ecuación : y = -2x + 3
3. Forma Punto Pendiente de una ecuación lineal
La ecuación de una recta que pasa por el punto x1 , y1  , con pendiente m, está dada
por:
y  y1  mx  x1 
y le damos el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. Por
medio de esta ecuación, podemos encontrar también la ecuación de una recta,
conociendo la pendiente y las coordenadas de dos puntos por los cuales pasa la recta.
Ejemplo
a) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente igual a -2 y que pasa por
el punto (6,-3). Escriba dicha ecuación en la forma y  mx  b .
y  y1  mx  x1 
y   3  2x  6
y  3  2x  6
y  3  2 x  12
y  2 x  12  3
y  2 x  9

7. 4. La forma estándar de una ecuación lineal
La forma estándar de una ecuación lineal es Ax + By = C con A, B, y C enteros,
A  0 y donde A y B no son simultáneamente 0.
Ejemplo
Escribe y  5  
5
x  2 en forma estándar.
4
y  5   x  2
5
4
 5
4 y  5  4    x  2 multiplica 4 a cada lado para eliminar la fracción
 4
4 y  20  5x  10 propiedad distributiva
4 y  5x  10 resta 20 a cada lado
5x  4 y  10 suma 5x a cada lado
La forma estándar de la ecuación es 5x  4 y  10
5. Distancia entre dos puntos:
La distancia d entre cualquier par de puntos x1 , y1  y x2 , y2  viene dado por la
siguiente fórmula. d x2  x1 2   y2  y1 2
Ejemplo
Calcula la distancia entre los puntos (3,5) y (6,4).
d x2  x1 2   y2  y1 2
 6  32  4  52  32  12  9  1  10  3.16 aproximadamente

8. 6. Punto medio
Punto medio de un segmento de recta en un plano de coordenadas son las
coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos están en
 x1  x2 y1  y2 
x1 , y1  y x2 , y2  viene dado por  ,  .
 2 2 
Ejemplos:
Si los vértices del paralelogramo WXYZ son W(3,0), X(9,3), Y(7,10) y Z(1,7), demuestra
que las diagonales se bisecan. Es decir, demuetra que se intersecan en sus puntos
medios. Encuentra los puntos medios de W Y y. XZ
W x1 , y1  = W(3,0) X x1 , y1  = X(9,3) W X
Y x2 , y2  = Y(7,10) Z x2 , y2  = Z(1,7)
Z Y
 3  7 0  10   9 1 3  7 
Punto medio de W Y   ,  Punto medio de XZ   , 
 2 2   2 2 
 10 10   10 10 
 ,   , 
2 2 2 2
 5,5  5,5
Como el punto medio de W Y tienen las mismas coordenadas que el punto medio de
XZ , las diagonales se bisecan.
Práctica: Coordenadas Cartesianas
1) Localice (asocie cada par ordenado de números con un punto en el sistema
de coordenadas Cartesianas): A(2,5), B(5,2), C(-6.4), D(4,-6).
2) Halla la pendiente de la recta que pasa entre (3, 2) y (5, 6), toma (3, 2)
como (x1, y1) y (5,6) como (x2, y2). Entonces la pendiente es:
3) Calcule la pendiente de la recta que pasa por (-2,7) y (3,-3).
x
4) Encuentre la pendiente y ordenada al origen de la recta: y  7.
2

9. 1
5) Encuentre la ecuación de una recta cuya pendiente es  y la ordenada al
3
origen es 6.
6) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por los puntos (-2,-6) y (2,2).
1
7) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente que pasa por
2
(-4,3).
8) Calcula la distancia entre los puntos (5,-1) y (1, 5).
9) Calcula el valor de a si la distancia entre los puntos (-3,-2) y (a, -5) es de 5
unidades.
10) Escribe y  3  
3
x  1 en forma estándar.
4
Respuestas:
1. A
C
B
D
1 1
2) m = 2 3) m = –2 4) m  , b  7 5) y  x6
2 3
x
6) y  2 x  2 7) y   5 8) 52  7.21 9) a  7, a  1
2
10) 3x  4 y  9