Geometría 2010 Clase  Geometría de Proporción I PPTCANMTGEA04014V1 Propiedad Intelectual Cpech
APRENDIZAJES ESPERADOS <ul><ul><li>Identificar triángulos congruentes y semejantes. </li></ul></ul><ul><ul><li>Resolver ej...
<ul><li>Figuras congruentes </li></ul>Contenidos 1.1  Definición 1.2   Triángulos Congruentes 3.1  Definición 3.2  Triángu...
4.1   División Interior 4.2   División Exterior 4.3  División Armónica 4. División de un segmento 4.4  Sección áurea o Div...
1. Figuras congruentes (  ) Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es ...
Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1°  Lado, lado, lado...
2°  Lado, ángulo, lado ( L.A.L .) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángu...
3°  Ángulo, lado, ángulo ( A.L.A ) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el l...
2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado  2√    , es “equivalente” al ...
3. Figuras semejantes (~) Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: Se llaman “l...
6 5 4 3 12 10 8 6 4 2 Además, están en razón 1:2. A E D C B      G F J I H      Por ejemplo, los lados AB y GH s...
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemp...
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales. Ejemplo: 3 4 5 6 8 10 = = =  k ...
h C h R Además,  = = = k h C = P R 6 8 10 Q A B C 3 4 5 h C h R 2,4 4,8 1 2 Propiedad Intelectual Cpech Recuerda:  Teorema...
<ul><li>La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes,  es igual a la razón entre sus elementos homólogos. </...
<ul><li>La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es  igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homól...
1°  Postulado AA. <ul><li>Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos  </li></ul><ul><li>respectivamente congruent...
2°  Postulado LLL. <ul><li>Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados  </li></ul><ul><li>respectivamente propo...
3°  Postulado LAL. <ul><li>Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados  </li></ul><ul><li>respectivamente proporcion...
Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: Solución : = 60 = 4 ∙ QR 15 = QR Es decir:   Con k razón de ...
4. División de un segmento Si el punto  C  divide “interiormente” al segmento  AB  en razón  m:n , entonces: Ejemplo: 4.1 ...
Solución : AQ = 27    27 Q A B 45 AQ QB = 3 5 AQ 45 = 3 5 AQ = 3 ∙ 45   5   Por lo tanto, AB mide 72 Propiedad Intelect...
Si el punto  D  divide “exteriormente” al segmento  AB  en razón  m:n , entonces: Ejemplo: 20 4.2 División exterior B A D ...
BD = 8    8 12 20 Solución : AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 BD = 20 ∙ 2   5   B A D Propiedad Intelectual Cpech
Dividir el segmento  AB  “armónicamente” en razón  m:n , implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. Eje...
Solución : x y = 3x = 2(12 - x)   3x = 24 - 2x  5x = 24   =  24 + 2y = 3y   24 12 - x 12+y  y AC CB 3 2 = 3 2 12- ...
El punto  X  divide el trazo  AB  en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo co...
Solución : (AP) 2  = (AP + 5) ∙5  (AP) 2  = 5 ∙ AP + 2 5  (AP) 2  - 5 ∙ AP - 2 5   = 0  5 P A B (AP) 2  = AB ∙ PB Propi...
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Ppt clase de geometría de proporción i

  1. 1. Geometría 2010 Clase Geometría de Proporción I PPTCANMTGEA04014V1 Propiedad Intelectual Cpech
  2. 2. APRENDIZAJES ESPERADOS <ul><ul><li>Identificar triángulos congruentes y semejantes. </li></ul></ul><ul><ul><li>Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea. </li></ul></ul><ul><ul><li>Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos. </li></ul></ul><ul><ul><li>Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras. </li></ul></ul>Propiedad Intelectual Cpech
  3. 3. <ul><li>Figuras congruentes </li></ul>Contenidos 1.1 Definición 1.2 Triángulos Congruentes 3.1 Definición 3.2 Triángulos Semejantes 2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes 3.3 Elementos homólogos 3.4 Razón entre áreas y perímetros 3.5 Postulados de semejanza Propiedad Intelectual Cpech
  4. 4. 4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica 4. División de un segmento 4.4 Sección áurea o Divina Propiedad Intelectual Cpech
  5. 5. 1. Figuras congruentes ( ) Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos: 1.1 Definición Propiedad Intelectual Cpech
  6. 6. Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Lado, lado, lado ( L.L.L .) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: 8 8 10 10 6 6 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A C B D F E 1.2 Triángulos congruentes Propiedad Intelectual Cpech
  7. 7. 2° Lado, ángulo, lado ( L.A.L .) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.   5 3 5 3 Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A B C E F D Propiedad Intelectual Cpech
  8. 8. 3° Ángulo, lado, ángulo ( A.L.A ) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.   12 12 Ejemplo:   Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A B C E F D Propiedad Intelectual Cpech
  9. 9. 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√  , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4  Área = 4  Propiedad Intelectual Cpech
  10. 10. 3. Figuras semejantes (~) Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes. 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. 3.1 Definición G F J I H      A E D C B      Propiedad Intelectual Cpech
  11. 11. 6 5 4 3 12 10 8 6 4 2 Además, están en razón 1:2. A E D C B      G F J I H      Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG. Propiedad Intelectual Cpech
  12. 12. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemplo: Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k 5 3 15 9 4 12 3.2 Triángulos Semejantes A B C    E F D    Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF AB DE BC EF AC DF 1 3 = = = = k Propiedad Intelectual Cpech
  13. 13. Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales. Ejemplo: 3 4 5 6 8 10 = = = k = = =  Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales. = k P Q R A B C 3.3 Elementos Homólogos AB PQ BC QR CA RP 5 10 3 6 4 8 1 2 Propiedad Intelectual Cpech
  14. 14. h C h R Además, = = = k h C = P R 6 8 10 Q A B C 3 4 5 h C h R 2,4 4,8 1 2 Propiedad Intelectual Cpech Recuerda: Teorema de Euclides a · b c
  15. 15. <ul><li>La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos. </li></ul>Ejemplo: = = = k 3.4 Razón entre Áreas y Perímetros Q 6 10 h R P R 8 A B 3 4 5 C h C P ABC P PQR 12 24 1 2 Propiedad Intelectual Cpech
  16. 16. <ul><li>La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. </li></ul>Ejemplo: Q 6 10 h R P R 8 A B 3 4 5 C h C AB PQ = = k 5 10 = 1 2 A ABC A PQR = 6 24 = 1 4 = k 2 Propiedad Intelectual Cpech
  17. 17. 1° Postulado AA. <ul><li>Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos </li></ul><ul><li>respectivamente congruentes. </li></ul>Δ ABC ~ Δ DFE por AA 3.5 Postulados de semejanza Ejemplo: A B C     E F D     AB DF BC FE AC DE = = = k Además Propiedad Intelectual Cpech
  18. 18. 2° Postulado LLL. <ul><li>Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados </li></ul><ul><li>respectivamente proporcionales. </li></ul>Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FDE por LLL Además  BAC=  DFE,  CBA=  EDF y  ACB=  FED A B C  E F D      AB FD BC DE AC FE 1 2 = = = = k Propiedad Intelectual Cpech
  19. 19. 3° Postulado LAL. <ul><li>Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados </li></ul><ul><li>respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido </li></ul><ul><li>entre ellos congruente. </li></ul>Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FED por LAL Además  BAC=  DFE y  CBA=  FED A B C  E F D      BC ED 4 12 5 15 1 3 = = = k AC FD =  Propiedad Intelectual Cpech
  20. 20. Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: Solución : = 60 = 4 ∙ QR 15 = QR Es decir:   Con k razón de semejanza A B C    4 10 Q R P    6 10 QR 4 6 AB PR 10 QR 4 6 = =  Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB PR CB QR AC PQ = = = k Propiedad Intelectual Cpech
  21. 21. 4. División de un segmento Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n , entonces: Ejemplo: 4.1 División interior C A B Q A B AC CB = m n Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5 , y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB? Propiedad Intelectual Cpech
  22. 22. Solución : AQ = 27    27 Q A B 45 AQ QB = 3 5 AQ 45 = 3 5 AQ = 3 ∙ 45 5 Por lo tanto, AB mide 72 Propiedad Intelectual Cpech
  23. 23. Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n , entonces: Ejemplo: 20 4.2 División exterior B A D B A D AD BD = m n Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2 , y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD? Propiedad Intelectual Cpech
  24. 24. BD = 8    8 12 20 Solución : AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 BD = 20 ∙ 2 5 B A D Propiedad Intelectual Cpech
  25. 25. Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n , implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. Ejemplo: Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: 4.3 División armónica m AC CB = = n AD BD Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2 , ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12? A C B D A C B D 12 Propiedad Intelectual Cpech
  26. 26. Solución : x y = 3x = 2(12 - x)   3x = 24 - 2x  5x = 24   =  24 + 2y = 3y   24 12 - x 12+y y AC CB 3 2 = 3 2 12- x x AD BD = 3 2 3 2 36 5 x = 24 5 24 = y 24 5 A C B D 12 Propiedad Intelectual Cpech
  27. 27. El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor. Si AX > BX, entonces: Ejemplo: 4.4 Sección Áurea o Divina X A B P A B AB AX = AX BX ó (AX) 2 = AB ∙ BX En la figura, P divide al segmento AB en “ sección áurea” , con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5? 5 Propiedad Intelectual Cpech
  28. 28. Solución : (AP) 2 = (AP + 5) ∙5  (AP) 2 = 5 ∙ AP + 2 5  (AP) 2 - 5 ∙ AP - 2 5 = 0  5 P A B (AP) 2 = AB ∙ PB Propiedad Intelectual Cpech
  29. 29. Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, en las páginas 273, 274 y 276 . Propiedad Intelectual Cpech

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