APUNTES DE LDFR

1. Capítulo 8
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cálculo de desplazamientos
Dr. Fernando Flores
8.1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas.
En general se recurre al denominado método de equilibrio o método de los desplazamientos, que
consiste en expresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos.
Inicialmente se estudia el comportamiento frente a cargas axiales, luego se estudia el problema
de flexión y finalmente el de torsión. Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con sus
correspondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros
de un elemento de viga aislado. Se muestran algunos ejemplos simples de como realizar dicha
integración.
8.2. VIGAS SOMETIDAS A ESFUERZOS AXIALES
8.2.1. Ecuación diferencial
Recordemos la hipótesis de Bernoullí: “durante la deformación de una pieza recta sometida a
esfuerzo axil las secciones transversales permanecen planas y paralelas a si misma”, lo cual conduce
a que todos los puntos de la sección sometida a un esfuerzo axial en su baricéntro mecánico
se deforman una misma magnitud "x. Esta deformación "x puede escribirse en función de los
desplazamiento axiales u como
"x =
du
dx
(8.1)
Una expresión diferencial que relaciona una medida de deformación ("x) con componentes de des-plazamiento
(u) se denomina una relación (o ecuación) cinemática. La expresión de la deformación
específica "x (x) (8.1) resulta de comparar
(ver Figura 8.2.1) la longitud del elemento diferencial
antes (ds = dx) y después que se desplace
ds = dx +
du
dx
dx
(x) =
ds ds
ds
=
du (x)
dx
(8.2)
1

2. x x+dx
ds ds*
x+u
u
du
dx
u+du
x+dx+u+ dx
Figura 8.1: Deformación de un elemento diferencial de barra
La tensión en cada punto de la sección se obtiene a partir de la ley de Hooke
x = E x (8.3)
Una expresión que relaciona una medida de tensión (x) con una medida de deformación (x) se
denomina una relación constitutiva (define el comportamiento mecánico del material constitutivo).
Si la sección es homogénea será la misma tensión para todos los puntos de la sección. Recordemos
que el esfuerzo axial N se define como la integral de las tensiones axiales sobre la sección:
N =
A
x dA (8.4)
=
A
Ex dA (8.5)
si la sección es homogénea
N = x A = EA x (8.6)
si la sección no es homogénea se define el valor
EA =
A
E dA (8.7)
N = EA x (8.8)
Consideremos una barra de sección transversal A (constante o de variación suave, ver Figura
8.2.1) sometida a una carga distribuida p (x) en la dirección del eje de la barra. Se ha supuesto
que la variación de la sección es suficientemente suave de tal forma que es aceptable la hipótesis de
Bernoulli de que la deformación x es uniforme en cada sección. El elemento diferencial de barra
(una rebanada) se define como el limitado por dos secciones separadas un diferencial dx.
El equilibrio de este elemento diferencial resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas externas
actuando sobre el mismo
dN (x)
dx
+ p (x) = 0 (8.9)
Reemplazando (8.6) y (8.2) en (8.9) resulta
d
EA(x)
du
dx
dx
+ p (x) = 0 (8.10)
Si el área de la sección es constante la ecuación anterior se simplifica a:
EA
d2u
dx2 + p (x) = 0 (8.11)
Que es una ecuación diferencial:
2

3. ordinaria: es función de una única coordenada x,
de segundo orden: el máximo orden de derivación que aparece es 2,
lineal: no hay productos entre las variables o entre las variables y sus derivadas
a coeficientes constantes: los coeficientes que multiplican a la incógnita y sus derivadas no
dependen de la coordenada x.
Para resolver esta ecuación debe conocerse, además de la carga externa p (x), cuales son las
condiciones de contorno o borde. La cantidad de condiciones de contorno que pueden y deben
fijarse es 2 (el orden de la ecuación) y en general una en cada extremo de la barra. Estas pueden
ser de desplazamiento (fijar el valor de u) o de fuerza (fijar el valor de N o equivalentemente el de
).
8.2.2. Problemas isostáticos
Cuando el problema es isostático, esto es cuando es suficiente con las condiciones de equilibrio
para determinar los esfuerzos, puede resultar más sencillo primero obtener los esfuerzos N (x), con
estos las deformaciones (x) usando la ley de Hooke y luego los desplazamientos u integrando la
ecuación cinemática. Es decir:
1. a partir de la ecuación de equilibrio 8.9 donde una de las dos condiciones de contorno debe
ser de fuerza (supongamos en el extremo Final x = L), se obtiene N (x) como:
N (x) = N (L) +
L
x
p (x) dx
2. Con los esfuerzos se obtienen las deformaciones usando la ley de Hooke 8.6
(x) =
N (x)
EA
3. Integramos la ecuación cinemática 8.2 utilizando la segunda condición de contorno (en el
extremo opuesto a la de fuerzas) que debe ser de desplazamientos (en este caso supuesto en
el extremo en x = 0)
u (x) = u(0) +
x
0
(x) dx
N
dN
dx
N + dx
p(x) X
dx
Figura 8.2: Equilibrio de un elemento diferencial de barra
3

4. 8.2.3. Combinación de soluciones
En buena parte de los problemas de ingeniería resulta aceptable la hipótesis de linealidad uti-lizada
en esta parte del curso. En tal caso es posible sumar las soluciones de una misma estructura
con distintas cargas y/o diferentes condiciones de contorno para obtener una nueva solución. Es
decir que si dada una barra definida por su geometría (longitud y sección) y material, se conocen
dos soluciones u1 (x) y u2 (x) para estados de carga p1 (x) y p2 (x) y condiciones de contorno cc1
y cc2 respectivamente
EA
d2u
dx2 + p1 (x) = 0 + cc1 =) u1 (x)
EA
d2u
dx2 + p2 (x) = 0 + cc2 =) u2 (x)
entonces
u (x) = u1 (x) +

5. u2 (x)
es solución de
EA
d2u
dx2 + [ p1 (x) +

6. p2 (x)] = 0 + [ cc1 +

7. cc2]
donde y

8. son coeficientes arbitrarios.
Es importante notar que
1. La estructura aislada debe ser la misma (misma geometría y material)
2. La “suma” de las condiciones de contorno implica sumar todas las variables de interés en
dichos puntos. Si las condiciones de contorno en cada extremo son del mismo tipo la suma es
directa. Sin embargo muchas veces las condiciones de contorno de las soluciones combinadas
son de distinto tipo, por lo que la condición resultante en el contono es la suma de las
soluciones en el contorno. Por ejemplo si en el extremo x = L la solución 1 tiene una
condición de fuerza N1 (L) = P y la solución 2 tiene una condición de desplazamiento
u (L) = u, la condición resultante debe interpretarse como u (L) = u1 (L) +

9. u2 (L) o
N (L) = N1 (L) +

10. N2 (L).
8.2.4. Ejemplos
8.2.4.1. Barra fija en ambos extremos y sometida a peso propio
Veamos un primer ejemplo de la solución de la ecuación (8.11). Dada una columna cilíndrica
impedida de desplazarse en ambos extremos y bajo la acción del peso propio (ver Figura 8.2.4.1),
interesa determinar la distribución de tensiones en la altura.
El eje x ha sido orientado de abajo a arriba y su origen está en el extremo inferior, la carga por
unidad de longitud es p (x) =
A donde
= g es el peso específico del material constitutivo.
Notar que en este problema A es constante luego la ecuación diferencial resulta
EA
d2u
dx2 = A
4

11. gA +
x u
e
s
N
−
­Figura
8.3: Columna bajo la acción de peso propio
y la integración de la misma resulta sencillamente1
d2u
dx2 =
E
du (x)
dx
=
x
0
E
dx =
E
x

14. x
0
+ C =
E
x + C = (x)
u (x) =
2E
x2 + Cx + D (8.12)
La determinación de las constantes de integración (C y D ) se logra imponiendo las condiciones
de contorno, en nuestro caso si los extremos de la columna no pueden desplazarse resulta
u(x=0) = D = 0
u(x=L) =
2E
L2 + CL + D = 0
de la primera D = 0 , llevando a la segunda C =
2E
L y estos valores a (8.12) se tiene
u (x) =
2E
x (x L)
x (x) =
du
dx
=
E
x
L
2
N (x) = EAx (x) =
A
x
L
2
1La integral se plantea entre el primer extremo y un valor genérico de x
x
0
d2u
dx2 dx =
x
0
d
dx
du
dx
dx =
du
dx

18. x
0
=
du
dx
(x)
du
dx
(0) =
x
0
qx (x)
EA
dx
que se re-escribre
du
dx
(x) =
x
0
qx (x)
EA
dx +
du
dx
(0)
de la misma forma
x
0
du
dx
(x) dx = u (x) u (0) =
x
0
qx (x)
EA
dx +
du
dx
(0) x
u (x) =
x
0
x
0
qx (x)
EA
dxdx +
du
dx
(0) x + u (0)
dx (0) y u (0) por constantes C y D
y habitualmente se reemplaza el valor de du
5

19. Notar entonces, que el desplazamiento u (x) varía en forma cuadrática, vale 0 en los extremos y
es máximo a la mitad de la columna (siempre negativo). La deformación (x) varía linealmente (y
por lo tanto la tensión y el esfuerzo interno N), es nulo a la mitad de la columna, máximo positivo
(tracción) en el extremo superior y mínimo negativo (compresión) en la base. Las reacciones en los
extremos se obtienen directamente como el valor de N en tales puntos, notando que en el primer
extremo x = 0 hay que cambiarle el signo porque la reacción es el esfuerzo sobre la cara negativa
de la sección (es decir que la normal saliente a la sección va en la dirección negativa del eje x)
RL = N(x=L) =
A
L
2
R0 = N(x=0) =
A
L
2
El peso de la columna es entonces soportado por mitades en cada extremo.
8.2.4.2. Barra fija en un extremo, libre en el otro y sometida a peso propio
Consideremos ahora el caso de que la misma columna del ejemplo anterior sólo este apoyada
en la base. La ecuación diferencial no cambia, sí cambian las condiciones de contorno. En este caso
la condición de contorno del borde superior es la que se modifica, ahora corresponde a un borde
libre, y debe fijarse el esfuerzo (N = 0 en este caso) o en forma equivalente la deformación (x = 0
en este caso).
La solución general de la ecuación diferencial no se modifica (ec. 8.12), lo que hay que recalcular
es el valor de las constantes de integración C y D de acuerdo a las nuevas condiciones de borde.
Ahora tenemos
u(x=0) = D = 0
du
=
dx(x=L)
E
L + C = 0
de donde resulta D = 0, y C =
E
L, con lo cual:
u (x) =
E
x
x
2
L
x (x) =
du
dx
=
E
(x L)
N (x) = EA (x) =
A(x L)
Notar que el desplazamiento u (x) vale 0 en la base y crece en forma cuadrática hasta el extremo
superior. El esfuerzo interno N varía linealmente desde un valor máximo negativo (compresión)
en la base (de valor igual al peso de la columna), hasta un valor nulo en el extremo superior.
Naturalmente todo el peso de la columna está ahora soportado por el apoyo.
8.2.4.3. Columna cónica bajo peso propio
Supongamos una columna cónica apoyada en su base y libre en la punta, bajo la acción del
peso propio. En este caso la ecuación diferencial no es a coeficientes constantes y en general
en estos casos puede demandar herramientas matemáticas más complejas. La ecuación diferencial
a utilizar ahora es la versión (8.10). El área de la sección es (donde ro es el radio en la base)
A(x) = [r (x)]2 = r2
o
1
x
L
2
6

20. x u
e
s
N
gA
−
­Figura
8.4: Columna bajo la acción de peso propio
La ecuación a resolver es
d
dx
Er2
o
1
x
L
2 du
dx
r2
o
1
x
L
2
= 0
reordenando
d
dx
Er2
o
1
x
L
2 du
dx
=
r2
o
1
x
L
2
integrando una vez
Er2
o
1
x
L
2 du
dx
=
r2
o
L
3
1
x
L
3
+ C
En el extremo libre debe cumplirse que el primer miembro se anule (N = 0), de donde C = 0.
Despejando la derivada
du
dx
=
L
3E
1
x
L
e integrando
u (x) =
L2
3E
x
L
1
2
x
L
2
+ D
valuando en el borde inferior (ux=0 = 0) resulta D = 0, finalmente
u =
L2
3E
x
L
1
2
x
L
2
Sin embargo en este caso el problema es isostático y la solución puede obtenerse en forma
sencilla evaluando a) primero los esfuerzos, b) luego las tensiones, c) con ellas las deformaciones
usando la ecuación constitutiva y d) finalmente integrando los desplazamientos a partir de las
deformaciones. Veamos a continuación los detalles.
La condición de equilibrio global exige que en cada punto x el esfuerzo N (x) equilibre el peso
de la parte superior. Como la columna es cónica dicho peso vale (esto es equivalente a integrar
p (x) entre x y el extremo libre x = L)
N (x) =
L
x
A(x) dx =
V (x) =
1
3
A(x) h (x)
7

21. donde h (x) = L x es la altura del cono por encima de la sección. La tensión y la deformación
valen respectivamente
(x) =
N (x)
A(x)
=
1
3
(L x)
(x) =
(x)
E
=
3E
(L x)
luego la ecuación cinemática 8.2 permite escribir:
du
dx
=
3E
(L x)
u =
3E
Lx
x2
2
+ C =
3E
Lx
1
1
2
x
L
+ C
la constante de integración C se obtiene usando la condición u(x=0) = 0, que conduce a C = 0 con
lo cual se completa la solución del problema. El desplazamiento de la punta u(x=L) resulta:
u (L) =
3E
L2
1
1
2
=
L2
6E
8.2.4.4. Columna tronco-cónica bajo peso propio
El presente ejemplo muestra como combinar dos soluciones. Supongamos una columna similar
a la anterior pero truncada a una altura H.
gA
x
gA
= +
F
H
Figura 8.5: Columna tronco-cónica bajo peso propio
Dado que la ecuación diferencial es lineal, podemos obtener la solución del problema como la
suma de la solución del ejemplo anterior mas la solución del tronco de cono sometido a la fuerza
F igual al peso del cono por encima de la altura H
F =
A(H) (L H) =
3
(L H) r2
o
1
H
L
2
Llamando u a esta segunda solución, esta surge de resolver
N (x) = F = EA
du
dx
= Er2
o
1
x
L
2 du
dx
despejando
du
dx
=
F
Er2
o
1
1 x
L
2
8

22. integrando
u (x) =
FL
Er2
o
1
1 x
L
+ C
la constante C se obtiene con la condición u(x=0) = 0 con lo cual
C =
FL
Er2
o
u (x) =
FL
Er2
o
1
1 x
L
#
1
reemplazando F por su valor, sumando la solución del ejemplo anterior y reordenando
u (x) =
L2
3E
(
x
L
1
2
x
L
2
+
1
H
L
3
1
1
1 x
L
#)
Notar que esta solución vale para el tronco de cono (x 2 [0 : H])
Por otro lado si se quisiera obtener la solución de la columna tronco-cónica bajo peso propio
pero restringida en ambos extremos, puede obtenerse de la siguiente forma, apelando nuevamente
a que la ecuación diferencial es lineal y que pueden combinarse linealmente soluciones:
1. de la solución bajo peso propio con borde libre determinamos el desplazamiento del extremo
superior
u(x=H) =
L2
3E
(
H
L
1
2
H
L
2
#
+
1
H
L
3
1
1
1 H
L
#)
2. de la solución con borde bajo la acción de una carga F = 1 obtenemos el desplazamiento
del borde superior
u(x=H) =
L
Er2
o
1
1
1 H
L
#
3. la restricción de que el borde superior no se desplace implica una reacción R (una fuerza
puntual aplicada en x = H) tal que:
u(x=H) + Ru(x=H) = 0
de donde puede obtenerse la reacción correspondiente
R =
u(x=H)
u(x=H)
y la solución completa es la suma de la solución con el borde libre más la solución debida a
la reacción R:
u (x) =
L2
3E
(
x
L
1
2
x
L
2
+
1
H
L
3
1
1
1 x
L
#)
+
RL
Er2
o
1
1
1 x
L
#
=
L2
3E
x
L
1
2
x
L
2
+
L
E
R
r2
o
L
3
1
H
L
3
#
1
1
1 x
L
#
9

23. x u
e
s
N
P
a
−
+
+
Pa/L
P(1­a/
L)
Figura 8.6: Columna con carga puntual
8.2.4.5. Columna fija en ambos extremos con una carga puntual.
Veamos ahora como considerar el caso de un carga puntual aplicada a una altura a. La columna
está restringida de desplazarse en ambos extremos y su sección es constante.
La ecuación diferencial no tiene término independiente en todo el dominio
EA
d2u
dx2 = 0
Debido a que la carga puntual P implica una discontinuidad en N en x = a; para integrar la
ecuación diferencial resulta necesario dividir el dominio en dos partes [0 : L] = [0 : a] + [a : L],
integrando en [0 : a]
N = EA
du
dx
= C1 0 x a
en a está la carga puntual que modifica el valor de N. La carga puntual puede interpretarse como
si en un entorno de x = a hay una carga distribuida p = P
de tal forma que la integral en dicho
entorno es:
N(x=a+
2 ) = EA
du
dx
= C1 +
a+
2
a
2
P
dx = C1 P
de tal forma que en el segundo tramo
N = EA
du
dx
= C1 P a x L
integrando nuevamente en cada tramo por separado
EAu = C1x + C2 0 x a
EAu = C1x P (x a) + C2 a x L
La determinación de las constantes es muy sencilla, valuando la primera e x = 0
EAu(x=0) = C2 = 0
llevando a la segunda y valuando en x = L
EAu(x=L) = C1L P (L a)
C1 = P
1
a
L
10

24. La solución es entonces
u (x) =
P
1 a
L
EA
x 0 x a
u (x) =
P
1 a
L
EA
x
P
EA
(x a)
=
Pa
EA
h
1
x
L
i
a x L
La variación de los desplazamientos es bi-lineal. Los esfuerzos en los extremos valen
en x = 0 N0 = C1 = P
1
a
L
en x = L NL = C1 P = P
a
L
Notar que la convención positiva para P es la dirección positiva del eje x, así para una carga
P positiva el esfuerzo en el primer tramo es de tracción y el tramo superior de compresión. Las
reacciones son inversamente proporcionales a su distancia al punto de aplicación de la carga (ver
Figura).
8.2.4.6. Columna con movimientos de extremo
Finalmente consideremos el caso de una columna de longitud L, que no tiene carga aplicada
(p (x) = 0) pero de la cual se conocen los desplazamientos u0 y uL de sus extremos. La ecuación
diferencial es (suponiendo que la columna es de sección constante)
EA
du
dx
= 0
cuya integral es sencillamente
du
dx
= = C
u (x) = Cx + D
Lo primero que debe notarse, lo cual es sencillo e intuitivo, es que al no haber fuerzas distri-buidas
el esfuerzo normal N es constante. Luego al haber supuesto AE constante, la deformación
es también constante en toda la pieza. Las constantes de integración se calculan a partir de las
condiciones
u(x=0) = D = u0
u(x=L) = CL + D = uL
de donde
D = u0 y C =
uL u0
L
=
u (x) =
uL u0
L
x + u0 = u0
1
x
L
+ uL
x
L
donde puede verse que el desplazamiento varía linealmente con x
L entre u0 y uL.
Finalmente el esfuerzo normal es
N = EA =
EA
L
(uL u0) (8.13)
11

25. La diferencia entre los desplazamientos de los extremos (uL u0) es la elongación e de la barra y
al cociente EA
L se lo denomina la rigidez axial K de la barra, con dicha notación
N = Ke
que asimila el comportamiento de una barra al de un resorte de rigidez K.
Recordar que debido a la hipótesis de linealidad es posible superponer las acciones y respuestas.
De esta forma es posible evaluar la respuesta de una columna bajo peso propio de la cual se conocen
los desplazamientos de sus extremos como la suma de las soluciones del primer ejemplo y de este
último.
8.3. VIGAS EN FLEXIÓN
8.3.1. Teoría clásica de vigas en flexión pura
Resumiendo lo visto en los capítulos 4-6, las hipótesis más importantes del comportamiento
de vigas en flexión son (además de las de linealidad):
El eje de la viga es recto
La sección no cambia en todo el tramo.
La dirección normal al plano de la viga es una de las direcciones principales de inercia de la
sección
Supondremos (sin ninguna perdida de generalidad) que el plano de movimiento (o plano de carga)
de la viga es el plano (xy) y que el eje x coincide con el eje de la viga. Denominaremos con v a
los desplazamientos en la dirección y.
1. Las fuerzas externas actúan en la dirección y (no hay fuerzas externas en la dirección axial
x, si las hubiera la solución de tal problema es lo tratado en la sección anterior).
2. Las tensiones normales en la dirección transversal a la viga (y) son despreciables, esto
incluye las tensiones de contacto debidas a las cargas aplicadas, luego es indistinto que las
cargas se apliquen sobre la partes superior, inferior o sobre el eje de la viga.
3. Las secciones se mantienen planas al deformarse la viga
4. Las deformaciones debidas al corte transversal son despreciables
= 0 . Es decir que las
secciones se mantienen normales al eje deformado.
Las últimas dos (3 y 4) conforman la hipótesis de Bernoulli-Navier, la (3) expresa que los
desplazamientos u en la dirección x (debidos a la flexión) dependerán del giro de la sección y
variarán linealmente en la altura de la viga con valor nulo en el eje
u (x; y) = (x) y =
dv (x)
dx
y (8.14)
donde la segunda igualdad resulta de (4).
En base a lo anterior las únicas deformaciones relevantes son las deformaciones de flexión en la
dirección x, que denominaremos simplemente con . Estas deformaciones varían linealmente en el
espesor en función de la distancia al baricentro de la sección y son proporcionales a la curvatura
del eje.
(x; y) =
du
dx
=
d
dx
dv (x)
dx
y
= y (8.15)
12

26. X
Y
y
f
dv
dx
v
u=­
fy
1
1
Figura 8.7: Desplazamientos en vigas. Plano x-y
donde la curvatura del eje originalmente recto queda entonces definida por
(x) =
d (x)
dx
=
d2v
dx2 (8.16)
Luego las tensiones en la dirección axial valen
(x; y) = E (x; y) = E (x) y (8.17)
El esfuerzo normal por hipótesis vale 0, lo que se verifica ya que
N (x) =
A
(x; y) dA =
A
E (x) ydA = E (x)
A
y dA (8.18)
donde la última integral indicada es 0 porque el eje pasa por el baricentro de la sección.
El momento flector resulta de integrar el momento de estas tensiones en el área de la sección
M (x) =
A
(x; y) y dA = E (x)
A
y2dA = E (x) I (8.19)
Esta última ecuación nos provee la relación constitutiva entre el esfuerzo generalizado (M) y
la deformación generalizada ().
La ecuación de equilibrio a la traslación (vertical) resulta
dT (x)
dx
+ q (x) = 0 (8.20)
En tanto que la ecuación de equilibrio de momentos alrededor del eje normal (z) al plano de
movimiento (x y) es
T (x) +
dM (x)
dx
= 0 (8.21)
T (x) =
dM (x)
dx
(8.22)
Llevando esta última a la expresión (8.20) de equilibrio a la traslación
d2M (x)
dx2 + q (x) = 0 (8.23)
13

27. y
x
q(x)
T T+ dx dT
dx
M+dMdx
dx
M
dx
Figura 8.8: Equilibrio en vigas
a su vez reemplazando la expresión del momento en función de la curvatura (8.19)
d2EI (x)
dx2 + q (x) = 0 (8.24)
y en base a la hipótesis de que la sección es constante en toda la pieza
EI
d2 (x)
dx2 + q (x) = 0 (8.25)
finalmente reemplazando aquí la curvatura en función de los desplazamientos (8.16)
EI
d4v (x)
dx4 + q (x) = 0 (8.26)
tenemos la ecuación diferencial de equilibrio de la viga a flexión en función de los desplazamientos.
Esta ecuación diferencial ordinaria, lineal, de 4 orden requiere de 4 condiciones de borde, en general
2 por extremo. Estas condiciones pueden ser de dos tipos:
de Dirichlet, esenciales, cinemáticas o geométricas. Físicamente podemos imponer
los desplazamientos en un extremo. Estos desplazamientos pueden ser en la dirección y, (es
decir podemos imponer v), o en la dirección x, en este último caso como u depende del giro
(8.14) lo que podemos imponer es dv
dx .
de Neumann, naturales o de fuerzas. Físicamente podemos imponer las fuerzas en un
extremo. Estas fuerzas pueden ser el esfuerzo de corte T o el momento flector M energéti-camente
asociados respectivamente al desplazamiento vertical v y al giro .
Naturalmente en un mismo extremo pueden tenerse simultáneamente una condición de cada una
pero no las conjugadas, es decir puedo simultáneamente imponer el desplazamiento y el momento
flector (borde simplemente apoyado) o imponer el giro y el corte (condición de simetría), pero
no simultáneamente el desplazamiento y el corte, o el giro y el momento. Las combinaciones de
condiciones de contorno más comunes son
14

28. Empotramiento v = 0 =
dv
dx
= 0
Articulación v = 0
M
EI
= =
d2v
dx2 = 0
Extremo libre T
EI
=
1
EI
dM
dx
=
d3v
dx3 = 0
M
EI
= =
d2v
dx2 = 0
Simetría T
EI
=
1
EI
dM
dx
=
d3v
dx3 = 0 =
dv
dx
= 0
En las expresiones anteriores se indican condiciones de contorno nulas, pero debe entenderse
que una condición de contorno no nula es igualmente tratable.
Resulta importante destacar la convención de signos utilizada para giros (), curvaturas () y
momentos (M). Las variables giro , y momento flector M son, desde el punto de vista espacial,
las componentes sobre la normal al plano de flexión (eje z), de los vectores y M . La convención
utilizada corresponde entonces a que dichos vectores tengan una componente positiva sobre el eje
z . De esta forma resulta que un giro positivo (sentido anti-horario) conduce a desplazamientos
u positivos en la parte donde y es negativo (ecuación 8.14). Esta opción se hace extensiva al
momento flector, de forma que el momento flector es positivo si tracciona las fibras donde y es
negativo (las inferiores en este caso) de donde resulta el signo en la definición usual del momento
(ecuación 8.19) y en la expresión de las tensiones en función del momento flector
x (x; y) =
M (x)
I
y (8.27)
Finalmente la elección de la convención positiva para la curvatura coincide con la del momento.
Desde el punto de vista de un problema exclusivamente bi-dimensional a menudo se utiliza una
convención contraria a la indicada, esto no acarrea ningún problema en tal caso, pero al estudiar
problemas tridimensionales resulta conveniente que estas variables, que son componentes de un
vector, tengan signo positivo si su sentido coincide con la dirección positiva del eje correspondiente.
De esta forma naturalmente a las variables que hemos definido como , y M les agregaremos
un subíndice z para distinguirlas de las restantes componentes. Además será necesario distinguir
los diferentes momentos de inercia, luego a I le agregaremos un subíndice indicando alrededor de
que eje estamos tomando momento
Iz =
A
y2dA (8.28)
Finalmente a las fuerzas externas y a los esfuerzos internos se les agregará un subíndice indicando
la dirección en la cual actúan, es decir
q(x) = qy (x)
T (x) = Ty (x)
Recordar además que la distribución de tensiones de corte transversales al eje de la viga se
calcula a partir de la expresión de Jourasky (teoría de Collignon). Aquí se incluye la hipótesis de
que no hay fuerzas tangenciales aplicadas sobre las caras de la viga, luego por reciprocidad de
tensiones tangenciales el valor de las tensiones de corte es cero en las caras superior e inferior.
Además notar que al haber despreciado las deformaciones transversales de corte (
= 0) no hay
una relación constitutiva que pueda ligar T con
, por lo cual el corte T se obtiene de la condición
de equilibrio de momentos (ecuación 8.22)
15

29. 8.3.2. Problemas isostáticos
Para que un problema sea isostático es necesario que dos de las condiciones de contorno sean
de fuerza (naturales) y dos de desplazamientos (esenciales). Entonces es posible:
1. Determinar reacciones y diagramas de esfuerzos en particular el momento flector como fun-ción
de x (M (x)) usando las dos condiciones de contorno de fuerzas:
2. Utilizar la relación constitutiva generalizada para obtener la curvatura
(x) =
M (x)
EI
3. Integrar la ecuación cinemática para obtener giros y desplazamientos
d2v
dx2 = (x) =
M (x)
EI
dv
dx
= (x) =
x
0
M (x)
EI
dx + C1
v (x) =
x
0
x
0
M (x)
EI
dx2 + C1x + C2
4. Usar las condiciones de contorno de desplazamientos para determinar las constantes C1 y
C2.
8.3.3. Ejemplos.
8.3.3.1. Viga bi-empotrada
Como un primer ejemplo sencillo observemos como obtener la solución de una viga bi-empotrada
con carga uniforme.
d4v (x)
dx4 =
q
EI
L
x
q
Figura 8.9: Viga empotrada bajo carga uniforme
cuyas condiciones de contorno son
v(x=0) = 0 v(x=L) = 0
dv
dv
= 0
= 0
dx(x=0)
dx(x=L)
16

30. Integrando esta ecuación diferencial se obtiene
una vez d3v
dx3 = 1
EI
x
q (x) dx + A = T(x)
0 EI
dos veces d2v
dx2 = 1
EI
x
q (x) dxdx + Ax + B = M(x)
0 EI
tres veces dv
dx
= 1
EI
x
0 q (x) dxdxdx +
Ax2
2
+ Bx + C =
cuatro veces v = 1
EI
x
0 q (x) dxdxdxdx +
Ax3
6
+
Bx2
2
+ Cx + D
(8.29)
Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer allí las condiciones de biempotramiento tendremos
2
664
0 0 0 1
0 0 1 0
L3
L2
L 1
6
2 L2
2 L 1 0
3
775
2
664
A
B
C
D
3
775
=
2
664
0
0
vq
q
3
775
Donde hemos denominado con
vq =
q
EI
L
x=0
dx4 =
qx4
24EI

34. L
0
=
qL4
24EI
q =
q
EI
L
x=0
dx3 =
qx3
6EI

38. L
0
=
qL3
6EI
En el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas resultante, las dos primeras ecuaciones son de
resolución inmediata,
C
D
=
0
0
lo que puede llevarse a las dos restantes, resultando entonces
L3
6
L2
2
L2
2 L
A
B
=
vq
q
=
qL3
6EI
L=4
1
de donde
A =
qL
2EI
B =
qL2
12EI
En consecuencia el momento flector vale
M(x) = q
x
0
dxdx + EI Ax + EI B = q
x2
2
qL
2
x +
qL2
12
=
qL2
12
6
x
L
2
6
x
L
+ 1
que valuado en los extremos y el centro vale
M(x=0) =
qL2
12
M(x=L
2 ) =
qL2
24
M(x=L) = +
qL2
12
Para ver el valor de los momentos sobre los empotramientos debe recordarse que hay que
cambiar el signo al que actúa en el extremo izquierdo (cara negativa). El corte puede obtenerse
derivando el momento o
T (x) =
x
0
q (x) dx EI A = qx +
qL
2
17

39. nuevamente, las reacciones verticales de apoyo resultan de evaluar el corte en los extremos
Ry(x=0) = T(x=0) =
qL
2
Ry(x=L) = T(x=L) =
qL
2
En tanto que los desplazamientos son
v (x) =
qL4
24EI
x
L
4
qL4
12EI
x
L
3
+
qL4
24EI
x
L
2
=
qL4
24EI
x
L
4
2
x
L
3
+
x
L
2
El máximo desplazamiento es en el centro y vale
2 ) = vmax =
v(x=L
qL4
384EI
8.3.3.2. Viga simplemente apoyada bajo carga uniforme
La solución general es idéntica al caso anterior (8.29), cambian las condiciones de borde. Ahora
en vez de anular el giro en los extremos hay que anular las curvaturas
(x) =
q
EI
x
0
x
0
dxdx + Ax + B
(x=0) = B
(x=L) =
qL2
2EI
+ AL + B
Las cuatro ecuaciones para obtener las constantes resultan ahora
2
664
0 0 0 1
0 1 0 0
L3
L2
L 1
6
2 L 1 0 0
3
775
2
664
A
B
C
D
3
775
=
qL2
24EI
2
664
0
0
L2
12
3
775
de las dos primeras
B = D = 0
de la cuarta puede despejarse A
A =
qL
2EI
y de la tercera C
C =
1
L
qL4
24EI
+
L3
6
qL
2EI
=
qL3
24EI
finalmente el desplazamiento y el momento resultan
v (x) =
qx4
24EI
qL
12EI
x3 +
qL3
24EI
x =
qL4
24EI
x
L
4
2
x
L
3
+
x
L
M (x) =
qx2
2
qL
2
x =
qL2
2
x
L
2
x
L
18

40. En este caso, que es posible evaluar los esfuerzos a partir exclusivamente de las condiciones de
equilibrio (estructura isostática), se puede hacer:
R0 =
qL
2
T (x) = R0
x
0
q dx =
qL
2
qx
M (x) =
x
0
T (x) dx = q
x
0
L
2
x
dx = q
Lx
2
x2
2
y obtener los desplazamientos integrando la deformación generalizada:
d2v
dx2 =
M (x)
EI
=
qL2
2EI
x
L
2
x
L
dv
dx
=
qL2
2EI
x
0
x
L
2
x
L
dx =
qL3
2EI
1
3
x
L
3
1
2
x
L
2
+
C1
L
v =
qL3
2EI
x
0
1
3
x
L
3
1
2
x
L
2
+ C1
dx =
qL4
2EI
1
12
x
L
4
1
6
x
L
3
+ C1
x
L
+ C2
El cálculo de las constantes C1 y C2 se hace valuando las condiciones de contorno de desplaza-mientos
en ambos extremos (v(x=0) = 0, v(x=L) = 0), lo cual conduce a
C2 = 0 C1 =
1
12
luego
v (x) =
qL4
24EI
x
L
4
2
x
L
3
+
x
L
El máximo desplazamiento es en el centro y vale
v(x=L
2 ) = vmax =
5qL4
384EI
que es 5 veces el desplazamiento máximo del caso biempotrado.
Simp. Apoy.
Empotr.
Figura 8.10: Elástica de la viga bajo carga uniforme
8.3.3.3. Viga simplemente apoyada bajo carga puntual
La viga es de longitud L y la carga puntual está aplicada a una distancia aL del apoyo izquierdo
Dado que la estructura es isostática, podemos directamente escribir
d3v
dx3 =
T (x)
EI
=
P
EI (1 a) 0 x
L a
P
EI a a x
L 1
19

41. aL
P
L
P(1­a)
Pa
x
T(x)
M(x)
Figura 8.11: Viga simplemente apoyada bajo carga puntual
(x) =
M (x)
EI
=
PL
(1 a) x
0 x a
EI
L
PL
a
1 x
EI L
a x 1
para evaluar el giro integramos una vez, en el primer tramo [0; aL] es
1 (x) =
PL
EI
x
0
(1 a)
x
L
dx + C1 =
1
2
PL2
EI
(1 a)
x2
L2 + C1
para el segundo tramo hay que partir de esta solución evaluada en xa = aL e integrar la curvatura
en esta segunda parte [aL; L]
2 (x) =
1
2
PL2
EI
(1 a) a2 + C1 +
PL
EI
x
aL
a
1
x
L
dx
=
1
2
PL2
EI
(1 a) a2 + C1 +
1
2
PL2
EI
a
2
x
L
x2
L2

45. x
aL
operando y ordenando
(x) =
(
PL2
EI (1 a) x2
L2 + C1 0 x
L a
1
2
1
2
PL2
EI a
a + 2 x
L x2
L2
+ C1 a x
L 1
)
integrando una segunda vez en forma similar
v (x) =
(
PL3
EI (1 a) x3
L3 + C1Lx
L + C2 0 x
L a
1
6
1
6
PL3
EI a
a2 3a x
L + 3 x2
L2 x3
L3
+ C1Lx
L + C2 a x
L 1
)
Las constantes C1 y C2 resultan de aplicar las condiciones de contorno. La primera condición de
contorno ocurre en x = 0, que corresponde al primer tramo, valuando entonces la primera en x = 0
resulta C2 = 0. La segunda condición de contorno ocurre en x = L, que corresponde al segundo
tramo, valuando entonces la segunda en x = L
v(x=L) =
1
6
PL3
EI
a
a2 3a + 3 1
+ C1L = 0
C1 =
1
6
PL2
EI
a
a2 3a + 2
de donde
v (x) =
8
:
PL3
6EI (1 a)
h
x3
L3 a (2 a) x
L
i
0 x
L a
PL3
6EI a
h
a2 (a2 + 2) x
L + 3 x2
L2 x3
L3
i
a x
L 1
9=
;
20

46. para x
L = a puede comprobarse que las expresiones de desplazamiento, giro y curvatura coinciden.
Otra forma de expresar lo anterior es:
v (x) =
PL3
6EI
(1 a)
x3
L3
a (2 a)
x
L
+
x
L
3
a
donde el término entre hi sólo se considera en la segunda part ([a : 1])
En este caso en que la carga no está centrada, el máximo desplazamiento no se produce bajo la
carga, para determinarlo hay que encontrar el punto donde se anula el giro, por ejemplo si a = 0;4
(se aplica en la primera mitad) el desplazamiento máximo ocurre en el segundo tramo, trabajando
entoces con la segunda expresión:
2 (x) =
1
6
PL
EI
a
a2 + 2
+ 6
x
L
3
x2
L2
= 0
x
L
max
= 1
p
1 (a2 + 2) =3 = 0;471
vmax = (0;01975)
PL3
EI
(para a = 0;4)
2 (carga en el centro de la viga), el desplazamiento del centro
Para el caso particular de a = 1
es máximo y vale
vmax =
1
48
PL3
EI
NOTA: La integración de las ecuaciones diferenciales a los fines de calcular los desplazamientos
puede resultar muy engorrosa, en particular si las acciones externas no pueden definirse por una
única curva suave sobre todo el dominio, por ejemplo cargas lineales por tramos o cargas puntuales.
El método planteado aquí está orientado a mostrar que es posible realizar tales cálculos y no
con el objetivo de establecerlo como un método práctico de aplicación habitual. Para el caso de
estructuras isostáticas o cuando de alguna forma se conocen los esfuerzos existen formas más
sencillas para evaluar desplazamientos. Así en algunas estructuras isostáticas particulares puede
utilizarse el Método de la Viga Conjugada o con mayor generalidad una técnica denominada el
Método de la Carga Unitaria basada en el Principio de Fuerzas Virtuales que permite evaluar
desplazamientos y giros en puntos seleccionados.
8.3.3.4. Viga bi-empotrada bajo carga puntual
Supongamos ahora el mismo ejemplo anterior pero con ambos extremos empotrados. La dife-rencia
con el caso simplemente apoyado es que los extremos están impedidos de girar. La principal
ventaja de la hipótesis de linealidad es que permite combinar soluciones. En este caso vamos
a combinar dos soluciones, la anterior (que indicaremos con el subíndice SA) con la definida a
continuación:
Supongamos una viga sin carga en el interior q = 0
d4v (x)
dx4 = 0
cuyas condiciones de borde son desplazamientos nulos en los extremos y giros no nulos conoci-dos
iguales y opuestos a los que se obtienen con la solución simplemente apoyada:
v(x=0) = 0
dv
dx(x=0)
= 1 = SA(x=0) =
1
6
PL2
EI
a3 3a2 + 2a
v(x=L) = 0
dv
dx(x=L)
= 2 = SA(x=L) =
1
6
PL2
EI
a
a2 1
21

47. Como ya vimos antes, integrando esta ecuación diferencial se obtiene (idéntica a (8.29) pero
sin q)
una vez d3v
= A = T(x)
dx3 EI
dos veces d2v
= Ax + B = M(x)
dx2 EI
tres veces dv
dx
=
Ax2
2
+ Bx + C =
cuatro veces v =
Ax3
6
+
Bx2
2
+ Cx + D
Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer allí las condiciones de contorno tendremos
2
664
0 0 0 1
0 0 1 0
L3
L2
L 1
6
2 L2
2 L 1 0
3
775
2
664
A
B
C
D
3
775
=
2
664
0
1
0
2
3
775
con lo cual de las dos primeras se tiene
C = 1
D = 0
llevando a las dos últimas L3
6
L2
2
L2
2 L
A
B
=
1L
2 1
resolviendo
A =
6
L2 (1 + 2)
B =
2
L
(21 + 2)
y con ello
v (x) = L (1 + 2)
x
L
3
L (21 + 2)
x
L
2
+ L1
x
L
(x) = 3 (1 + 2)
x
L
2
2 (21 + 2)
x
L
+ 1
M (x) =
EI
L
n
6 (1 + 2)
x
L
2 (21 + 2)
o
=
EI
L
n
1
h
6
x
L
i
+ 2
4
h
6
x
L
io
2
T (x) = 6
EI
L2
f1 + 2g
Si ahora sumamos ambas soluciones reemplazando 1 y 2 por los valores definidos antes, se
obtiene la solución de una viga con una carga puntual cuyos extremos no se desplazan y no giran.
El perfil de desplazamiento transversal para el caso particular a = 0;4 se muestra en la Figura.
Puede notarse la fuerte disminución de los desplazamientos al cambiar las condiciones de contorno.
22

48. a=0.4L P
f1−f2
Empotr. Simp. Apoy.
Figura 8.12: Elástica de la viga bajo carga puntual.
X
Z
z
−f
dw
dx
w
u=f z
1
1
y
y
Figura 8.13: Deformaciones en vigas. Plano x-z
8.3.4. Flexión en el plano x z
Cuando la flexión no se restringe a un plano principal de inercia, es necesario analizar separa-damente
lo que ocurre en cada uno de dichos planos. Para ello hay que utilizar un segundo grupo
de ecuaciones, que no difieren sustancialmente de las anteriores, sólo cambian las denominaciones
y el hecho de que el eje normal al plano (y) es entrante al plano en este caso
u (x; z) = y (x) z =
dw (x)
dx
z (8.30)
(x; z) =
du
dx
=
d
dx
dw (x)
dx
z
= yz (8.31)
y (x) =
dy
dx
=
d2w
dx2 (8.32)
(x; z) = E (x; z) = Eyz (8.33)
My (x) =
A
(x; z) z dA = Ey (x)
A
z2dA = Ey (x) Iy (8.34)
dTz (x)
dx
+ qz (x) = 0 (8.35)
Tz (x) =
dMy (x)
dx
(8.36)
23

49. d2My (x)
dx2 + qz (x) = 0 (8.37)
EI
d2y (x)
dx2 + qz (x) = 0 (8.38)
EI
d4w (x)
dx4 + qz (x) = 0 (8.39)
Notar que en este caso la definición de giros y momentos en el plano x z conduce a despla-zamientos
y tensiones longitudinales positivos en la parte donde la coordenada z es positiva.
8.4. VIGAS SOMETIDAS A TORSIÓN
Respecto a la torsión, usando el mismo criterio anterior, consideraremos como positivos los
momentos torsores que vectorialmente coincidan con la dirección positiva del eje x; lo mismo
diremos del giro correspondiente. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan la torsión de Saint
Venant (sin restricción de alabeo) se dividen en: a) una ecuación diferencial ordinaria que, conocida
la rigidez a torsión, gobierna el comportamiento global de la pieza en función de esfuerzos y
deformaciones generalizadas; y b)una ecuación diferencial en derivadas parciales cuya solución
permite conocer la distribución de tensiones de corte sobre la sección transversal y evaluar la
rigidez a torsión.
8.4.1. Comportamiento a lo largo del eje de la viga
Conduce a una ecuación diferencial similar (formalmente idéntica) a la de la barra con esfuerzos
axiales. Observando la Figura 8.4.1, el equilibrio entre los momentos actuando en dos secciones
transversales separadas dx y un momento torsor distribuido es
dMx
dx
+ mx (x) = 0 (8.40)
donde Mx (x) es el momento torsor (esfuerzo interno)
Mx (x) =
A
(xy z + xz y) dA (8.41)
y mx (x) es el momento torsor distribuido aplicado a lo largo del eje.
La ecuación constitutiva asociada es
Mx = GJ = GIt (8.42)
donde J es el momento polar de inercia, es un factor que depende de la forma de la sección (que
sólo es 1 para secciones circulares o anulares cerradas) y de otras condiciones geométricas asociadas
a la restricción de alabeo y la longitud de la pieza, G es el módulo de elasticidad transversal y
es el ángulo específico de giro (deformación generalizada asociada)
=
dx
dx
(8.43)
El reemplazo de estas últimas dos ecuaciones en la primera conduce a (para secciones uniformes)
GIt
d2x
dx2 + mx (x) = 0 (8.44)
24

50. Mx
Mx + dx dMx
dx
mx
dx
Figura 8.14: Equilibrio de un elemento de barra sometida a momentos torsores
La determinación de la rigidez a la torsión GIt no puede hacerse en general en forma exacta
(salvo para secciones circulares). En algunos casos pueden utilizarse fórmulas aproximadas o debe
recurrirse a una técnica numérica como se verá más adelante.
Las condiciones de contorno que pueden imponerse aquí son (normalmente una en cada extre-mo)
el giro x , o
el momento torsor Mx
8.4.1.1. Ejemplo de torsión con flexión
Supongamos un eje circular bajo una carga distribuida qz excéntrica que (además de flexión
en el plano x z) produce un momento torsor distribuido mx = qz e (ver Figura 8.4.1.1). Es
importante recordar que los distintos esfuerzos están desacoplados, por lo cual la solución de este
problema consiste en resolver en forma independiente: a) la flexión en el plano x z debida a
la carga distribuida y las condiciones de contorno a flexión que tenga (no están indicadas en la
figura) b) la torsión debida a la aplicación excéntrica de la carga que es lo que interesa en este
punto.
Respecto a las condiciones de borde supongamos que los giros en los extremos están impuestos
de valor 1 y 2
f1
f2
e
q
Figura 8.15: torsión de un eje
25

51. La ecuación diferencial a resolver es (con = 1 e It = J)
d2x
dx2 =
qze
GJ
dx (x)
dx
=
qze
GJ
x + C = (x)
x (x) =
qze
GJ
x2
2
+ Cx + D
Las constantes de integración se determinan en función de las condiciones de contorno
x (x = 0) = D = 1
x (x = L) =
qze
GJ
L2
2
+ CL + D = 2
de donde
D = 1
C =
qze
GJ
L
2
+
(2 1)
L
con lo cual (reordenando)
x (x) =
qze
GJ
x
2
(x L) + 1 +
x
L
(2 1)
(x) =
qze
GJ
x
L
2
+
(2 1)
L
Mt (x) = qze
x
L
2
+ GJ
(2 1)
L
Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, al mismo resultado se llega si se analizan por
separado la influencia de la carga y de las condiciones de contorno de giros impuestos. La solución
encontrada puede verse como la combinación (suma) de las siguientes soluciones
debido al momento torsor distribuido con condiciones de contorno de giros nulos en los
extremos. Esto se conoce como solución de la ecuación diferencial no-homogénea (con término
independiente no nulo) y condiciones de contorno homogéneas (giros nulos), y se la denomina
“solución particular” porque depende de la distribución de carga. En este caso vale
Px
(x) =
qze
GJ
x
2
(x L)
MP
t (x) = qze
x
L
2
debido a cada una de las condiciones de contorno (en forma separada) y sin carga de tramo.
Esto se conoce como “solución general de la ecuación diferencial homogénea” (termino inde-pendiente
nulo) y condiciones de contorno no-homogéneas (giros no nulos en general). Que
vale
Hx
(x) = 1 +
x
L
(2 1)
MH
t (x) = GJ
(2 1)
L
La última expresión es similar a (8.13) y define la rigidéz torsional de la viga GJ
L , como la relación
entre el momento torsor aplicado y la diferencia entre los giros de sus extremos
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52. 8.5. Combinación de acciones
En las secciones anteriores se ha mostrado como determinar los desplazamientos en una viga
sometida a las distintas acciones en forma separada. Cuando las acciones actúan en forma simultá-nea
sólo resta aplicar el principio de linealidad (superposición de acciones y efectos). Recordemos
que los desplazamientos que aparecen para cada acción son:
Esfuerzo axial N: desplazamientos axiales u(x) constantes en el plano de la sección
Flexión en el plano x y (Mz): desplazamientos v (x) del eje de la viga y desplazamientos
u (x:y) = dv(x)
dx y
Flexión en el plano x z (My): desplazamientos w (x) del eje de la viga y desplazamientos
u (x:z) = dw(x)
dx z
Torsión Mx:
rotación x de las secciones alrededor del eje de torsión con desplazamientos
v
w
=
x
z
y
alabeo de la sección (torsión uniforme de Saint Venant) u (y; z)
La suma de los distintos efectos permite escribir los desplazamientos de un punto cualquiera de la
pieza como
u (x) =
2
4
u
v
w
3
5(x; y; z) =
2
4
u (x)
0
0
3
5
N
+
2
4
dv(x)
dx y
v (x)
0
3
5
Mz
+
2
4
dw(x)
dx z
0
w (x)
3
5
My
+
2
4
u (y; z)
xz
xy
3
5
Mx
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