Guía de derivadas

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Guia de derivadas básicas

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Guía de derivadas

  1. 1. Ing. En ejecución en Prevención de Riesgos Curso de Cálculo I Prof. Alexi Ramírez Escobar IP. Santo Tomas Concepción Guía Unidad III Cálculo I OBJETIVO: CALCULAR DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, UTILIZANDO LAS DISTINTAS REGLAS DE DERIVACIÓN. DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de la función )(xf se define mediante el límite: h xfhxf xf h )()( lim)(' 0 −+ = → 1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función: 2 5)( xxf = DERIVADAS ELEMENTALES 1. Si n xxf =)( ; 1 )(' − ⋅= n xnxf 2. Si Cxf =)( , con C una constante ; 0)(' =xf 3. Si x bxf =)( ; )ln()(' bbxf x ⋅= 4. Si x exf =)( ; x exf =)(' 5. Si )(log)( xxf b= ; )ln( 1 )(' bx xf ⋅ = 6. Si )ln()( xxf = ; x xf 1 )(' = OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA Si )(xfy = , la deriva de )(xf se puede anotar de las siguientes formas: )()(' )1( xf dx dy xf ==
  2. 2. ALGEBRA DE LAS DERIVADAS 1. Derivada de una suma ( diferencia ) [ ] )(')('')()( xgxfxgxf ±=± 2. Derivada de un producto [ ] )(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf ⋅+⋅=⋅ 3. Derivada de una división ( )2 )( )(')()()(' ' )( )( xg xgxfxgxf xg xf ⋅−⋅ =      DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Sea y = f(x) una función entonces: )()('' xf dx d xfy == es la primera derivada o derivada de primer orden )()( 2 2 '''' xf dx d xfy == es la segunda derivada o derivada de segundo orden )()( 3 3 '''''' xf dx d xfy == es la tercera derivada o derivada tercer orden . . . . )()()()( xf dx d xfy n n nn == es la enésima derivada o derivada de orden n EJEMPLO 1. Halle todas las derivadas de orden superior para 223 234 −++= xxxy 0..........................................................00 721272'''21236''2612' 223 === =+=++=++= nviv iv yyy yxyxxyxxxy 2. Halle la tercera derivada de x y 1 = 432 6'''2''' −−− −==−= xyxyxy REGLA DE LA CADENA Si f(u) es derivable en )(xgu = y g(x) derivable en x, entonces la compuesta ))(()( )( xgfgf x = es derivable en x. Además: )(')).((')'( )( xgxgfgf x = Usando la notación de Leibniz, si )(,)( xguufy == entonces: dx du du dy dx dy ==
  3. 3. REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS Si )(xu es una función derivable entonces: dx du nuu dx d nn 1− = EJEMPLOS Sea 42 )13( +−= xxy halle su derivada )13()13(4' 32 −+−= xxxy Sea xxy += 3 calcule dx dy xx x xxx dx dy xxxxy + + =++=+=+= − 3 2 22 1 32 1 33 2 13 )13()( 2 1 )( DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Derivada de seno de x [ ] )cos()1)(cos()0)(( )( lim)cos( 1)cos( lim)( )cos()( lim 1))(cos(( lim )cos()()1))(cos(( lim )()cos()()cos()( lim )()( lim)( 00 000 00 xxxsen h hsen x h h xsen h xhsen h hxsen h xhsenhxsen h xsenxhsenhxsen h xsenhxsen xsen dx d hh hhh hh =+=+ − =+ − = +− = −+ = −+ = →→ →→→ →→ Derivada de coseno de x [ ] )()1)(()0)(cos( )( lim)( 1)cos( lim)cos( )()( lim 1))(cos(cos( lim )()()1))(cos(cos( lim )cos()()()cos()cos( lim )cos()cos( lim)cos( 00 000 00 xsenxsenx h hsen xsen h h x h xsenhsen h hx h xsenhsenhx h xxsenhsenhx h xhx x dx d hh hhh hh −=−=− − =− − = −− = −− = −+ = →→ →→→ →→ Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que involucran a seno y a coseno. Derivada de tangente de x )(sec )(cos 1 ))(cos( )()(cos ))(cos( )())(()cos()cos( )cos( )( )tan( 2 2 2 22 2 x x x xsenx x xsenxsenxx x xsen dx d x dx d = = + = −− =      = Derivadas de las cofunciones trigonométricas )cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2 xxx dx d xxx dx d xx dx d −==−=
  4. 4. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPUESTAS dx du uuu dx d dx du uuu dx d dx du uu dx d dx du uu dx d dx du usenu dx d dx du uusen dx d )cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( )(sec)tan()()cos()cos()( 2 2 −==−= =−== EJEMPLOS 1. Derive )( 2 xseny = )cos(22)cos(' 22 xxxxy == 2. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) 2 )( xxf = b) 5 )( xxf = c) 2)( =xf d) xxf =)( e) 3 )( xxf = f) x exf =)( g) x xf 2)( = h) )ln()( xxf = i) )log()( xxf = 3. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) 53)( 2 +−= xxxf b) 656)( 2 −+= xxxf c) 133)( 23 +++= xxxxf d) xxxf −= 3 4)( e) )ln()( xxxf += f) 2)( −−= xexf x 4. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) x exxf ⋅=)( b) )ln()( 2 xxxf ⋅= c) x e x xf 4 )( = d) )ln( )( x e xf x = e) x x xf )ln( )( = f) x xxf 2)( 2 ⋅= 5. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f (t) = t2 + 1( ) × t3 + t2 + 1( ) b) f (z) = 1 2z − 1 3z2 c) f (t) = t −1 t2 + 2t +1 d) f (x) = 3x x3 + 7x − 5 e) f (x) = 5 − 4x2 + x5 x3 f) f (x) = 4 x5 + 2 x 6. En cada caso, determine dx dy : a) 632 23 ++= xxy b) cbxaxy −+= 2 c) ( )xxy ln⋅= d) x e x y 2 = e) x xy 23 ⋅= f) ( )x y x log 6 = 7. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = x2 + x( ) 6 b) f (x) = 2x3 + 1( ) −5 c) ( )2 3 32)( += xxf d) f (x) = x3 +1 e) f (t) = t2 +1 t2 −1 f) f (u) = 1 u +1( )2
  5. 5. 8. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) 62 )( + = x exf b) t etf ⋅− = 53 )( c) 2 2 )( x exxf − ⋅= d) u e uf u2 )( = e) 82 5)( + = x xf f) w wwf 6 22)( ⋅= 9. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) )43ln()( −= xxf b)       − + = u u uf 1 1 ln)( c) ( ) ( )12ln1)( 2 +⋅+= tttf d) ( )2 1ln)( wwf += e) ( )2log)( 3 += xxf f) ( )xxxf −= 4 2log)( 10. Determine la derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = x3 + ln x2 + 1( ) b) f (t) = et × t5 + 2 c) 3 )ln()( xexf x += d) f (u) = ln( u + 2u ) 11. En cada caso, determine 2 2 dx yd y 3 3 dx yd : a) 12 25 −+= xxy b) ( ) 2ln6 ++= xxy c) xxey x −−= d) xey x ⋅= 12. La posición de un móvil en función del tiempo viene dada por la expresión 232)( 2 ++= ttte (espacio en m., tiempo en seg.). Calcular la velocidad instantánea (v) en el instante t = 3 seg. 13. Hallar la derivada de la función f(x)=x2 +x+1 en x0= 1. Determinar la ecuación de la tangente a la función dada en en punto P(1, f(1)). 14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de cada una de las funciones y en los puntos que se indican: a) 123 34 +−+= xxxy ; en x = 1 b) 2−= xy ; en x = 6 c) )cos()( xxseny += ; en x = 0 15. Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites: xx xx x 23 3 lim 4 23 0 − − → b) 675 252 lim 2 2 2 −− +− → xx xx x 20 1 lim x ex x x −+ → d) 2 )1ln( lim 2 − − → x x x
  6. 6. 2 2 0 32 lim x ee xx x − → +− f) 1 21 lim 1 − −+ → x x x
  7. 7. 2 2 0 32 lim x ee xx x − → +− f) 1 21 lim 1 − −+ → x x x

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