El documento presenta la demostración del Teorema de las Cofunciones, el cual establece que la función trigonométrica de un ángulo es igual a la cofunción del complemento del ángulo. La demostración analiza cada una de las igualdades del teorema (sen β = cos α, sec β = cosec α, tg β = cotg α) utilizando definiciones trigonométricas y considerando los ángulos como ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
VOLUMEN 1 COLECCION PRODUCCION BOVINA . SERIE SANIDAD ANIMAL
Teorema cofunciones demostración
1. U N P S J B – M S . A N A M A R Í A T E R E S A L U C C A
TEOREMA DE LAS
COFUNCIONES
Ms. Ana María Teresa Lucca
UNPSJB
mapc.lucca@gmail.com
2. TEOREMA DE LAS COFUNCIONES
Una función trigonométrica de un ángulo es siempre
igual a la cofunción del complemento del ángulo.
Es decir, si 𝛼 + 𝛽 = 90° entonces
sen 𝛽 = cos 𝛼
sec 𝛽 = cosec 𝛼
tg 𝛽 = cotg 𝛼
4. DEMOSTRACIÓN
• Analizaremos cada una de las igualdades
enunciadas en el Teorema de las cofunciones.
• Pero antes observemos que si 𝛼 + 𝛽 = 90° ,
podemos considerar al ángulo 𝛼 y al ángulo 𝛽
como los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo.
𝛼
𝛽
5. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
6. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de seno
y coseno de un ángulo tenemos:
sen 𝛽 =
𝑏
𝑐
= cos 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
7. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de seno
y coseno de un ángulo tenemos:
sen 𝛽 =
𝑏
𝑐
= cos 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
8. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de seno
y coseno de un ángulo tenemos:
sen 𝛽 =
𝑏
𝑐
= cos 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
9. DEMOSTRACIÓN: sen 𝛽 = cos 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de seno
y coseno de un ángulo tenemos:
sen 𝛽 =
𝑏
𝑐
= cos 𝛼
• Así,
𝐬𝐞𝐧 𝜷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
10. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
11. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de secante
y cosecante de un ángulo tenemos:
sec 𝛽 =
𝑐
𝑎
= cosec 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
12. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de secante
y cosecante de un ángulo tenemos:
sec 𝛽 =
𝑐
𝑎
= cosec 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
13. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de secante
y cosecante de un ángulo tenemos:
sec 𝛽 =
𝑐
𝑎
= cosec 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
14. DEMOSTRACIÓN: sec 𝛽 = cosec 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de secante
y cosecante de un ángulo tenemos:
sec 𝛽 =
𝑐
𝑎
= cosec 𝛼
• Así,
𝐬𝐞𝐜 𝜷 = 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝜶
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
15. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
16. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de tangente
y cotangente de un ángulo tenemos:
tg 𝛽 =
𝑏
𝑎
= cotg 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
17. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de tangente
y cotangente de un ángulo tenemos:
tg 𝛽 =
𝑏
𝑎
= cotg 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
18. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de tangente
y cotangente de un ángulo tenemos:
tg 𝛽 =
𝑏
𝑎
= cotg 𝛼
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
19. DEMOSTRACIÓN: tg 𝛽 = cotg 𝛼
• Consideremos el triángulo de la figura.
• Aplicando las definiciones de tangente
y cotangente de un ángulo tenemos:
tg 𝛽 =
𝑏
𝑎
= cotg 𝛼
• Así,
𝐭𝐠 𝜷 = 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝜶
𝛼
𝛽
𝑎
𝑏
𝑐
20. MUCHAS GRACIAS
FIN DE LA DEMOSTRACION
Ms. Ana María Teresa Lucca
UNPSJB
mapc.lucca@gmail.com