El plano cartesiano
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El plano cartesiano

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  • 1. -PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO-PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS -DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS-PERÍMETROS Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS-LA FUNCIÓN LINEAL Y SU GRÁFICA POSICIÓN Y DIRECCIÓN DE UNA RECTA PARALELISMO, COINCIDENCIA Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS-ECUACION PRINCIPAL Y ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS ECUACIÓN DE LA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS EJERCICIOS PROPUESTOS DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA RESUMENSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN EscEsc Sale Sale Mouse ooAv. Pág. Avanza Mouse Av. Pág. Avanza
  • 2. y (3,4) 4(-5,3) 3 (4½,2½) 2 (1,2) (-4,1½) (-2,1) 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 (-4½,-1) (3,-1½) -2 (-1½,-2) (2,-2½) -3 (-3,-3) (5,-3½) -4
  • 3. y IDENTIFICA LOS PUNTOS 4 QUE SE INDICAN Y LUEGO (-3, 3½) (-4½, 3) COMPRUEBA. 3 (1½, 2) 2 (5, 1) 1-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 -2 (2, -1½) (-4, -2) -3 (-1½, -3) (3½, -3½) -4
  • 4. OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) y y2 P2 y1 +y2 PM 2 P1 y1 x1 x2 x x1 +x2 2EL PUNTO MEDIO PM ENTRE P1 y P2 TIENE COORDENADAS: PM( x1 +x2 , y1 +y2 ) 2 2
  • 5. OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO ENTRE LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (6, 7) SEGÚN FÓRMULA ANTERIOR: PM( x1 +x2 , y1 +y2 ) 2 2 ESTO ES: PM( 2 +6 , 3 +7 ) y P2 2 2 7 PM 5 LUEGO: P1 3 PM( 4 , 5 ) 2 4 6 x
  • 6. APLICANDO EL y 8TEOREMA DEPITÁGORAS, ESPOSIBLE 7-4 = 3 6 = 5 3DETERMINAR LADISTANCIA dENTRE DOS 4PUNTOS DELPLANO. 2 4-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 xSegún Pitágoras: -2 6-2 =4d = 4 +3 2 2 2 -4 d = 16 + 9 ¡SIRVE EL TEOREMA -6 d = 25 = 5 DE PITÁGORAS! ¡AH!
  • 7. SEAN LOS PUNTOS P1 y P2,, DE LA DISTANCIA ENTRE DOS y COORDENADAS (x1,y1) y (x2,y2) PUNTOS SE y2 P2 OBTIENE COMO CONCLUSIÓN DEL PROCESO y2 -y1 d y2 -y1 SIGUIENTE: P1 y1Aquí, Según Pitágoras: x2 -x1 x1 x2 xd = 2 (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 x2 -x1ESTO ES: ESTA ES LA FÓRMULA GENERAL PARA DETERMINARd= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
  • 8. CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (14, 8) y P2 (14, 8) 8 6 d= 13 5 4 P1(2,3) 2 12 x 2 4 6 8 10 12 14Según Pitágoras: d2 = (14 - 2)2 + (8 - 3)2 d=13
  • 9. AL UNIR LOS VÉRTICES,SEAN LOS PUNTOS : MEDIANTE SEGMENTOS DEA(-2, -4) B( 3, 8) C(6, 4) RECTA, SE DETERMINA EL TRIÁNGULO ABC EN UN PLANO, ESTO ES: y ENTONCES, EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO ABC SE B OBTIENE SUMANDO LA MEDIDA DE SUS LADOS AB, BC Y AC. C PARA EL CÁLCULO DE ESTAS MEDIDAS, SE APLICA LA x FÓRMULA DE DISTANCIA: A d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Continúa...
  • 10. APLICANDO LAFÓRMULA: d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 ENTRE LOS PUNTOS: A(-2, -4) B( 3, 8 ) d AB = (3 - -2)2 + (8 - -4)2 = 5 + 12 2 2 = 25 + 144 = 169 = 13LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS: B( 3, 8 ) C(6, 4)d BC = (6 - 3)2 + (4 - 8)2 = 3 + (−4) 2 2 = 9 +16 = 25 = 5 Continúa...
  • 11. Y CONSIDERANDO LOS PUNTOS: A(-2, -4) C(6, 4)d AC = (6 - -2)2 + (4 - -4)2 = 8 +8 2 2 = 64 + 64 = 128 = 11,31CON LO CUAL SE CONCLUYE QUE EL PERÍMETRO DELTRIÁNGULO QUE DETERMINAN LOS PUNTOS A,B,C, ES: P= 13 + 5 + 11,31 P = 29,31 Continúa...
  • 12. PARA RESOLVER EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO ABC , EXISTE UNA FÓRMULA QUE PERMITE DETERMINAR EL ÁREA DE CUALQUIER TRIÁNGULO CUANDO LAS MEDIDAS DE SUS LADOS SE CONOCENESTA ES, A = p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c ) p es la mitad del perímetro del triánguloAQUÍ: a, b, c son las medidas de los respectivos lados del triángulo ABC. Continúa...
  • 13. ASÍ, ENTONCES, CONSIDERANDO QUE LAS MEDIDASDE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO ABC, SON:13, 5 y11.31 Y QUE SU PERÍMETRO ES 29.31CON LA FÓRMULA DE HERÓN: AREA = p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c )SE TIENE: a = 11,31 b = 5 c = 13 p = 14,66ESTO ES: AREA = 14,66 ⋅ 3,35 ⋅ 9,66 ⋅1,66 = 780.47 = 27,93
  • 14. EN UN PLANO DE COORDENADAS, SE TIENEN LOS PUNTOS A(-3, -2) , B (-2, 5) y C (7, -4) y AL UNIR LOS VÉRTICES, MEDIANTE SEGMENTOS DE 6 RECTA, SE DETERMINA EL B TRIÁNGULO ABC. 4 ¡DETERMINA SU PERÍMETRO 2 Y LUEGO COMPRUEBA! 2 4 6 8-8 -6 -4 A -2 -2 x -4 C ¡DETERMINA SU ÁREA -6 Y LUEGO COMPRUEBA! Continúa...
  • 15. APLICANDO LA FÓRMULA: d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 ENTRE LOS PUNTOS: A(-3,-2) B( -2, 5 ) d AB = (-2 - -3)2 + (5 - -2)2 = 1 +7 2 2 = 1 + 49 = 50 = 7,07LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS: B( -2, 5 ) C(7, -4)d BC = (7 - 2) + (-4 - 5) - 2 2 = 9 + (−9) 2 2 = 81 +81= 162 = 12,72 Continúa...
  • 16. ADEMÁS, CON LOS PUNTOS: A(-3,-2) C(7, -4)d AC = (7 - 3) + (-4 - 2) = 10 + ( −2) - 2 - 2 2 2 = 100 + 4 = 104 = 10,19 ASÍ, ENTONCES, EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO ABC ES: P = 7,07 + 12,72 + 10,19 = 29,98 Y CON LA FÓRMULA DE HERÓN: AREA = p ⋅( p −a ) ⋅( p − ) ⋅( p −c ) b AREA = 14,99 ⋅ 7,92 ⋅ 2,27 ⋅ 4,8EL ÁREA DEL TRIÁNG. ES: = 264,7 = 16,27
  • 17. UNA MANERA INGENIOSA PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO, DIBUJADO EN UN PLANO, ES INSCRIBIRLO EN UN RECTÁNGULO. SEA EL TRIÁNGULO: P(-6, -2) , Q (-3, 4) y R (5, 1) y AL INSCRIBIRLO EN UN RECTÁNGULO, SE TIENE: 6 AHORA, EL ÁREA DEL TRIÁNGULO PQR, SE OBTIENE 4 CALCULANDO EL ÁREA DEL T2 T1 RECTÁNGULO Y LUEGO 2 RESTÁNDOLE LAS ÁREAS DE LOS TRES TRIÁNGULOS 2 4 6 xRECTÁNGULOS T1, T2 Y T3-8 -6 -4 -2 T3 QUE SE DETERMINARON -2 POR LO TANTO, EL ASÍ, EL ÁREA: ÁREA DEL TRIÁNGULO PQR ES:DEL RECTÁNGULO ES: 11 • 6 = 66DE LOS TRIÁNGULOS 66 - 37.5 = 28.5T1 + T2 + T3 ES: 12 + 9 + 16.5 = 37.5
  • 18. ANÁLOGAMENTE AL CASO ANTERIOR, SE PUEDE CALCULAREL ÁREA DE UN CUADRILÁTERO, CON AYUDA DE UNRECTÁNGULO. ¡INTÉNTALO CON EL CUADRILÁTERO: A(-2, -3) , B(6, 0) , C (3, 4) y D (-5, 3) ¡LUEGO ! COMPRUEBA! Área del rectángulo = 77 y Área de T1 = 12 6 Área de T2 = 6 4 C T3 D T2 Área de T3 = 2.5 2 Área de T4 = 9 B 2 4 6 x ASÍ, EL ÁREA DEL-8 -6 -4 -2 CUADRILÁTERO ABCD ES: T4 A -2 T1 77 - 29.5 = 47.5
  • 19. DETERMINAR LADISTANCIA Y EL PUNTOMEDIO, ENTRE LOSPUNTOS SIGUIENTES: DISTANCIA PUNTO MEDIO1.- A(-4,-5) y B (2,3) 10 (1, -1)2.- C(-3,6) y D (9,1) 13 (3, 3½)3.- E(1,-7) y F (10,5) 16,27 (5½, -1)4.- G(-6,-2) y H (6,14) 20 (0, 6)5.- I(0,-4) y J (3,0) 5 (1½, -2)6.- K(-1,1) y L (7,7) 10 (3, 4)
  • 20. CALCULAR EL PERÍMETRO Y EL ÁREA, DEL POLÍGONO QUE RESULTA AL UNIR LOS PUNTOS SIGUIENTES: PERÍMETRO ÁREA7.- A(-4,-5), B (2,3) y C (1,-7) 25.42 25.968.- D(-3, 6), E (9,1) y F (6, 0) 26.97 17.479.- G(-6,-2), H (6,14) C(1,-7) y D(-3,6) 49.18 127.510.- A(-4,-5), H (6,14) F(6, 0) y D(-3,6) 48.26 46
  • 21. EL PLANO CARTESIANO PERMITEDIBUJAR DIVERSOS TIPOS DELÍNEAS, RECTAS Y CURVAS . y LA IMPORTANCIA DE LOS GRÁFICOS RADICA EN QUE 6 PERMITEN DAR HA CONOCER, MEDIANTE UN IMPACTO 4 VISUAL, DIVERSAS SITUACIONES, COMO SER: 2 ESTADO DE UNA EMPRESA, COMPRA VENTA DE PRODUCTOS, MOVIMIENTO DE 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 - x UN MÓVIL, ÍNDICES DE PRODUCIÓN, NACIMIENTO, 2 MORTALIDAD, INTERESES, - PRECIPITACIONES Y OTROS 4 CASOS; QUE PERMITEN A - SIMPLE VISTA OBTENER 6 INFORMACIÓN VÁLIDA, PARA LA TOMA DE DESICIONES.
  • 22. EN EL GRÁFICO DE LA FIGURA, SE INDICAN LOS y MILES DE PARES DE 400 CALZADO VENDIDOS POR UNA FÁBRICA, ENTRE LOSM MESES DE ENERO YI 300 SEPTIEMBRE DEL AÑO 2005.LE 200 LAS LÍNEAS PERMITENS UNA MEJOR APRECIACIÓN DE LA SITUACIÓN. 100 x E F M A M J J A S MESES ¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MÁS BAJAS? ¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MEJOR?¿QUÉ PRODUCCIÓN DE CALZADO DEBE ASEGURAR LA EMPRESA PARA EL PRÓXIMO PERÍODO?
  • 23. LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEA, QUE SE DIBUJAN EN UNPLANO CARTESIANO, SE PUEDEN ESCRIBIR ALGEBRAICAMENTE,DE ACUERDO A SU FORMA:* LAS LÍNEAS RECTAS SE ESCRIBEN DE LA FORMA: f ( x) = ax + b DONDE, a, b ∈ IRY ADEMÁS, xES UNA VARIABLE INDEPENDIENTEA LA CUAL SE LE PUEDEN DAR DIFERENTESVALORES, PARA OBTENER RESPECTIVOS VALORESDE f (x )EN UN PLANO CARTESIANO, LOS VALORES QUESE LE VAYAN ASIGNANDO A LA VARIABLE xSE UBICAN EN EL EJE DE LAS X, A PARTIR DEDONDE SE UBICA, EN EL EJE Y, SU VALOR f (x )CON LO CUAL: y = f (x )
  • 24. A TODAS LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS y = f (x)SE LES DENOMINA FUNCIONES.EN PARTICULAR, A LAS FUNCIONES f ( x ) =ax +bQUE REPRESENTAN LÍNEAS RECTAS, SE LES DENOMINAFUNCIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO. ASÍ, SU GRÁFICA ES: ySea la función lineal: f ( x) = 2 x − 5 5En una tabla de valores;esto es: f ( x) = 2 x − 5 x f ( x) = 2 x − 3 ( x, f ( x)) 1 2•1 - 3= -1 (1, -1) 1 4 x -1 4 2•4 - 3= 5 (4, 5)
  • 25. ¡OBSERVA! GRAFICAMENTE; y ESTO ES: SI: f ( x) = 3x − 4 11 ENTONCES: x f ( x) = 3x − 4 ( x, f ( x)) 0 3•0 - 4= -4 (0, -4) 5 3•5 - 4= 11 (5, 11) 5 f ( x) = 3x − 4SI: f ( x) = −2 x + 5ENTONCES: x 3 5 -1 x f ( x) = − 2 x + 5 ( x, f ( x)) 0 -2•0 + 5= 5 (0, 5) -4 f ( x) = − 2 x + 5 3 -2•3 + 5= -1 (3, -1)
  • 26. EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LASRECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DELAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES: yf ( x) = x − 3 6f ( x) = 2 x + 1 4f ( x) = − x + 3 2 2 4 6 8f ( x) = −2 x + 1 -8 -6 -4 -2 -2 x -4 ¡LUEGO -6 COMPRUEBA! ¿QUÉ PUEDES CONCLUIR?
  • 27. EN EL PLANO, LAS LÍNEAS SE DIBUJAN DE IZQUIERDA A DERECHA Y PRESENTAN UNA y INCLINACIÓN ASCENDENTE O DESCENDENTE, DENOMINADA 6 COEFICIENTE DE DIRECCIÓN O PENDIENTE DE LA RECTA, 4 CUYO VALOR NUMÉRICO SE REPRESENTA CON LA LETRA m. 2 AL PUNTO DONDE LAS-6 -4 -2 2 4 6 x RECTAS CORTAN AL EJE -2 DE LAS Y SE LE DENOMINA COEFICIENTE -4 DE POSICIÓN Y SU VALOR NUMÉRICO SE REPRESENTA CON LA -6 LETRA n.
  • 28. EN LAS FUNCIONES LINEALES f ( x) = ax + b EL VALOR DE LA PENDIENTE COINCIDE CON EL VALOR DEL COEFICIENTE DE a x Y EL VALOR DEL COEFICINTE DE POSICIÓN COÍNCIDE CON EL TÉRMINO b PENDIENTE COEF. DE POSICIÓNFUNCIÓN LINEAL (m) (n) f ( x) = x − 3 1 -3 f ( x) = 2 x + 1 2 1 f ( x) = − x + 3 -1 3 f ( x) = −2 x + 1 -2 1
  • 29. COMPLETA LA TABLA CON EL VALOR DE LA PENDIENTE Y EL COEFICIENTE DE POSICIÓN DE CADA UNA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES: PENDIENTE COEF. DE POSICIÓNFUNCIÓN LINEAL (m) (n) 2 2 f ( x ) = x +5 3 5 3 1 -1f ( x ) = − x +3 2 3 2 3 3 f ( x ) = x −7 4 -7 4 5 -5f ( x ) = − x −1 7 -1 7 2 2 f ( x ) = x −2 -2 3 3
  • 30. EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS RECTASCORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONESLINEALES SIGUIENTES: f ( x ) = 3x − 7 y f ( x ) = 3x − 1 6 f ( x ) = 3x + 5 4 2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 -2 x¿QUÉ PUEDES DECIRDE SUS PENDIENTES? -4¿POR QUÉ LAS RECTAS ¿DÓNDE CORTAN, LAS -6 SON PARALELAS? RECTAS, AL EJE Y?
  • 31. EN GENERAL, SIEMPRE QUE DOS O MÁS RECTASPRESENTEN LA MISMA PENDIENTE Y DISTINTOCOEFICIENTE DE POSICIÓN, PODEMOS ASEGURARQUE ESTAS SON PARALELAS; ES DECIR, NUNCA SEINTERSECTAN. f ( x) = 2 x + 9 m=2 n= 9EJEMPLO: f ( x) = 2 x − 5 m=2 n = -5CUANDO DOS RECTAS COÍNCIDEN EN EL VALOR DEAMBOS COEFICIENTES (PENDIENTE Y POSICIÓN), SEDICE QUE ÉSTAS SON COINCIDENTES EN TODA SUEXTENSIÓN. f ( x ) = 3x + 4 m=3 n= 4EJEMPLO: f ( x ) = 3x + 4 m=3 n= 4
  • 32. AHORA, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES: 2 y f ( x) = x + 1 3 6 3 f ( x) = − x + 4 4 2 2 2 4 6 8¿QUÉ PUEDES DECIR -8 -6 -4 -2 -2 xDE SUS PENDIENTES? -4 ¿QUÉ POSICIÓN PRESENTAN LAS ¿FORMAN UN -6RECTAS, UNA RESPECTO DE LA OTRA? ÁNGULO DE 90°?
  • 33. EN GENERAL, SIEMPRE QUE EL VALOR DE LAPENDIENTE DE UNA RECTA CORRESPONDA CON ELVALOR DEL OPUESTO AL INVERSO MULTIPLICATIVODE OTRA RECTA, PODEMOS ASEGURAR QUE ESTASSON PERPENDICULARES; ES DECIR, SE INTERSECTANFORMANDO UN ÁNGULO DE 90°. 3 3 f ( x) = x − 2 m= 4 4EJEMPLO: 4 f ( x) = − x + 7 m=- 4 3 3NOTA QUE AL MULTIPLICAR AMBAS 3 -4PENDIENTES, EL PRODUCTO ES -1. 4 • 3 = -1
  • 34. EN ADELANTE, LAS FUNCIONES f ( x) = mx + nSE ESCRIBEN COMO y = mx + n CUYA IGUALDADRECIBE EL NOMBRE DE ECUACIÓN PRINCIPAL DE LARECTA. PENDIENTE ECUACIÓN COEF. DE POSICIÓN (m) PRINCIPAL (n) 2 2 3 4 y = x +4 3 -3 3 -1 y = − x −1 4 4 -5 -2 5 2 y =− x − 7 3 7 3 2 5 2 y = x +5 3 3 1 1 3 2 y =3 x + 2
  • 35. CUANDO UNA ECUACIÓN PRINCIPAL PRESENTACOEFICIENTES FRACCIONARIOS, ES POSIBLEEVITARLOS APLICANDO PROPIEDADES DE LASIGUALDADES. 2EJEMPLO: SI: y = x +4 ·3 3 3 y = 2 x + 12 + (−2 x) 3 y + (−2 x) = 2 x + 12 + (−2 x) 3 y − 2 x = 12 ·(-1) ESTO ES: 2 x − 3 y = −12 A ESTA EXPRESIÓN DE LA RECTA, SE LE DENOMINA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
  • 36. A PARTIR DE UNA ECUACIÓN GENERAL, TAMBIÉNES POSIBLE DETERMINAR SU ECUACIÓN PRINCIPAL SI: 2 x − 3 y = −12 + (−2 x) 2 x − 3 y + (−2 x) = −12 + (−2 x) 1 − 3 y = −12 − 2 x ⋅ (− ) 3 2 y =4 + x 3 LA ECUACIÓN 2 PRINCIPALESTO ES: y = x+4 DE LA RECTA 3
  • 37. CONSIDERANDO QUE LA PENDIENTE DE UNA RECTA SEREPRESENTA POR LA LETRA m, Y QUE EL COEFICIENTE DEPOSICIÓN SE REPRESENTA POR LA LETRA n; COMPLETA,SEGÚN CORRESPONDA, LA TABLA SIGUIENTE:. ECUACIÓN ECUACIÓNm n PRINCIPAL GENERAL 1 1 3 2 y = x+ 3 2 x - 3y = -6-3 3 4 3 y = − x +3 4 3x + 4y = 12 -3 3 21x - 7y = 3 3 y = x− 3 7 7 2 -2 2 3 y = x− 3 2 2x - 3y = 6 2 -1 2 1 5 2 y = x− 5 2 4x - 10y = 5
  • 38. LA PENDIENTE m DE UNA RECTA TAMBIEN SE PUEDE OBTENERA PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:SEAN ESTOS: P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) SE DEFINE A LA y EN UN PLANO, ESTO ES: PENDIENTE DE LA RECTA y2 P2 COMO EL CUOCIENTE ENTRE LA y 2 −y1 MEDIDA DEL CATETO P1 α OPUESTO, AL y1 ÁNGULO α, Y x2 −x1 LA MEDIDA DE x1 x2 x SU CATETO ADYACENTE. y2 − y1 ASÍ, m= = tg (α) Donde α es x2 − x1 la inclinación de la recta USANDO UNA CALCULADORA: α = tg -1 (m)
  • 39. SI: P1(1, 4) y P2 (5, 12) DETERMINA, LA PENDIENTE DE LA RECTA QUE PASA PORENTONCES, LA PENDIENTE LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 22)DE LA RECTA QUE PASA POR APLICANDO LA FÓRMULA:LOS PUNTOS P1 y P2 SEPUEDE DETERMINAR y2 − y1APLICANDO LA FÓRMULA: m= x2 − x1 y2 − y1 m= x2 − x1 ¡VEAMOS! 22 - 7 15ESTO ES: m= 8-3 = 5 12 - 4 8m= 5-1 = 4 =2 m=3
  • 40. PARA LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 2); EN UN PLANO CARTESIANO, SE TIENE:y P17 P1P2 = 5 + 6 = 61 2 2 52 6 P2 m P1P2 = -5 6 3 9 x ¿PORQUÉ LA PENDIENTE DA NEGATIVA? ¿QUÉ SIGNO TIENE LA PENDIENTE CUANDO LA RECTA ES ASCENDENTE?
  • 41. LA ECUACIÓN DE UNA RECTA TAMBIÉN SE PUEDE OBTENER APARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:SEAN ESTOS PUNTOS : P1 (1, 2) y P2 (9, 7) SI SE UBICA EN LA EN UN PLANO, ESTO ES: RECTA UN PUNTO y P2 CUALQUIERA (x,y), 7 SE DETERMINA UN NUEVO TRIÁNGULO RECTÁNGULO, CON y 7-2 LO CUAL SE PRESENTAN DOS y-2 P1 α ALTERNATIVAS 2 x-1 PARA EL CÁLCULO DE LA PENDIENTE; 1 x 9 x ESTO ES : 9-1 8y - 16 = 5x - 5ASÍ: y-2 7-2 DE DONDE: 5x - 8y = -11 m= x-1 = 9-1
  • 42. EN GENERAL, A PARTIR DE DOS PUNTOS , LA ECUACIÓN DE UNARECTA SE OBTIENE COMO CONCLUSIÓN DE LO SIGUIENTE:SEAN LOS PUNTOS CONOCIDOS : P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) EN UN PLANO, ESTO ES: AL UBICAR EN LA y RECTA UN PUNTO CUALQUIERA (x,y), SE y2 P2 DETERMINA UN NUEVO TRIÁNGULO RECTÁNGULO, CON y LO CUAL SE y2 - y1 PRESENTAN DOS y - y1 ALTERNATIVAS PARA EL CÁLCULO P1 α DE LA PENDIENTE; y1 x - x1 x1 x x2 x DE DONDE SE OBTIENE LA FÓRMULA PARA OBTENER LA ECUACIÓN x2 - x1 GENERAL DE LA RECTA.ASÍ: y - y1 y2 - y1 y2 - y1 ·(x - x )m= x - x1 = x2 - x1 y - y1 = x2 - x1 1
  • 43. SEAN LOS PUNTOS : P1(2, 3) y P2 (7, 9) y2 - y1 ·(x - x )ENTONCES, SEGÚN LA FÓRMULA: y - y1 = x2 - x1 1SE TIENE: 9 - 3 ·(x - 2) y- 3 = 7- 2 6ESTO ES: y- 3 = 5 ·(x - 2) ·5 5y - 15 = 6x - 12DE DONDE LA ECUACIÓNGENERAL DE LA RECTA ES: 6x - 5y = -3 ¡COMPRUEBA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS : P 1(1, 6) y P2 (5, 7) ES x - 4y = -23 !
  • 44. m y2 - y1 ·(x - x )EN LA ECUACIÓN : y - y1 = x2 - x1 1ESTO ES: y - y1 = m ·(x - x1) IGUALDAD QUE TAMBIÉN PERMITE DETERMINAR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA, A PARTIR DE UN PUNTO CONOCIDO Y SU PENDIENTE CONOCIDAEJEMPLO: SI UNA RECTA PASA POR EL PUNTO (5, -2) y TIENE PENDIENTE m = 4; ENTONCES:DE ACUERDO A: y - y1 = m ·(x - x1)SE TIENE: y - -2 = 4 ·(x - 5)DE DONDE LA ECUACIÓNGENERAL DE LA RECTA ES: 4x - y = 22
  • 45. EN VIRTUD DE TUS AVANCES, EN LOS TEMAS CONSIDERADOS, INTENTA COMPLETAR LA TABLA DE DOBLE ENTRADA, A PARTIR DE LOS DATOS QUE SE APORTAN. ECUACIÓN ECUACIÓNP1(x1, y1) P2(x2, y2) m PRINCIPAL GENERAL 3 3(6, 2) (1, 5) y =− x + 5 5 5 3x + 5y = 28 (7, 1) -3 y =− x +22 3 3x + y = 22 3 3 y =− x +(-3, 4) (5, -2) 4 1 4 3x + 4y = 7 y =2 x +(-1, 3) 2 5 2x - y = -5 1 1 (4, 0) (1, -1) y = x+ 3 1 3 x - 3y = 4
  • 46. LA DISTANCIA ENTRE UNPUNTO P1(x1, y1) Y UNARECTA DE ECUACIÓN a x1 + b y1 - cCONOCIDA ax + by = c SE d= a2 + b2PUEDE DETERMINARAPLICANDO LA FÓRMULA :LA DISTANCIA, ENTRE EL 5 ·2 + 12 · 3 - 7PUNTO P(2, 3) Y LA RECTA d= 52 + 122DE ECUACIÓN CONOCIDA5x + 12y = 7, APLICANDOLA FÓRMULA ES: d=3
  • 47. EN EL PRESENTE PROGRAMA, TE HABRÁS DADO CUENTA QUE:UNA FUNCIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO, 3GRÁFICAMENTE, ES UNA RECTA QUE SE y = x−5PUEDE EXPRESAR ALGEBRAICAMENTE EN 4FORMA DE ECUACIÓN PRINCIPAL(y = mx + n) Y/O EN FORMA DE 3x − 4 y = 20ECUACIÓN GENERAL ( ax + by =c ). yDOS O MAS RECTAS SON PARALELAS SI Y y = 2x + 1SOLO SI TIENEN LA MISMA PENDIENTE YDISTINTO COEFICIENTE DE POSICIÓN. y = 2x + 3 x yDOS O MÁS RECTAS PARALELAS QUETIENEN EL MISMO COEFICIENTE DE 2x + 3y = 5POSICIÓN SON COINCIDENTES EN TODA 4 x + 6 y = 10 xSU EXTENCIÓN (es una misma recta)DOS RECTAS SON PERPENDICULARES 2 y = x + 1 3SI Y SOLO SI EL PRODUCTO ENTRE SUS 3PENDIENTES DA -1, y =− x +7 2
  • 48. ADEMÁS, LA ECUACIÓN DE UNA RECTA SE PUEDE OBTENER APARTIR DE :UN PUNTO CONOCIDO P1(x1, y1)Y SU PENDIENTE CONOCIDA m. y - y1 = m ·(x - x1)DOS PUNTOS CONOCIDOS y2 - y1 ·(x - x )P1(x1, y1) Y P2(x2, y2) y - y1 = x2 - x1 1Y, LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P1(x1, y1) Y UNARECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA ax + by = c SEPUEDE DETERMINAR APLICANDO LA FÓRMULA : a x1 + b y1 - c d= a2 + b2
  • 49. CORRESPONDE A DOS IGUALDADES ALGEBRAICAS, EN FORMA DEECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS, QUE PRESENTAN LAS MISMASVARIABLES O INCÓGNITAS Y QUE BUSCA DETERMINAR, MEDIANTEALGÚN PROCEDIMIENTO APROPIADO, EL VALOR DE AMBASINCÓGNITAS QUE SATISFACEN LA IGUALDAD DE LAS ECUACIONES. SU FORMA ES: DONDE, a1 x +b1 y =c1 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 ∈ IR a2 x +b2 y =c2 Y LAS INCÓGNITAS SON: x, y LOS VALORES QUE SATISFACEN EJEMPLO: EN EL SISTEMA, AMBAS IGUALDADES A LA 3 x +2 y =9 VEZ SON: 2 x −5 y = 25 x =5 Y y = −3¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!
  • 50. LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS PUEDENRESULTAR DE LA INTERPRETACIÓN DE PROBLEMAS COMO LOSSIGUIENTES:SI EN UN CIRCO INGRESARON 600 INTERPRETACIÓNPERSONAS, CANCELANDO $500 LOSADULTOS Y $300 LOS NIÑOS, N+A = 600REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS NIÑOS 300N + 500A = 220000Y CUÁNTOS ADULTOS INGRESARON?POR DOS NOVILLOS Y CINCO INTERPRETACIÓNCABALLOS, SE CANCELARON $640000. SILA DIFERENCIA ENTRE EL COSTO DE UN N - C = 40000NOVILLO Y UN CABALLO ES $40000.¿CÚANTO COSTARÁN 12 NOVILLOS Y UN 2N + 5C = 640000CABALLO, AL MISMO PRECIO ANERIOR?LA SUMA DE LAS EDADES ENTRE DOS INTERPRETACIÓNPERSONAS ES 100 AÑOS Y SU E1 + E2 = 100DIFERENCIA ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SONSUS EDADES? E1 - E2 = 20
  • 51. PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SEPUEDEN UTILIZAR DIFERENTES PROCEDIMIENTOS. EN ESTEPROGRAMA SE ESTUDIAN LOS SIGUIENTES:MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN, POR SUSTITUCIÓN,POR REDUCCIÓN Y POR DETERMINANTE. 9− x 3PARA EL 3x + 2 y = 9 y = 2SISTEMA: 2 x − 5 y = 25 2 x −25 =y 5POR IGUALACIÓN DE LA VARIABLE y, SE TIENE: 9 −3 x 2x − 25 • 10 Amplificando por el m.c.d. = 2 5 45 - 15x = 4x - 50 + 15 x + 50 REEMPLAZANDO x = 5, EN 45 + 50 = 4x + 15x CUALESQUIERA DE LAS ECUACIONES INICIALES, SE 95 = 19x 5=x OBTIENE EL VALOR y = -3
  • 52. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN SE DESPEJAUNA DE LAS INCÓGNITAS EN CUALESQUIERA DE AMBASECUACIONES Y SE REEMPLAZA EN LA OTRA ECUACIÓN. 9− x 3 3x + 2 y = 9 y =PARA EL 2SISTEMA: 2 x − 5 y = 25REEMPLAZANDO EN LA 9 −3 x •2SEGUNDA ECUACIÓN, SE 2x − 5 ( ) = 25TIENE: 2ESTO ES: 4 x − 45 +15 x = 50 + 45 15x = 50 + 45 15x = 95 x=5 5REEMPLAZANDO x = 5, EN LA ECUACIÓN 3x + 2y = 9 SE TIENE: 15 + 2y = 9 2y = -6 y = -3
  • 53. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN SE BUSCA IGUALAR LOSCOEFICIENTES DE UNA MISMA INCÓGNITA EN AMBAS ECUACIONES, A SUMÍNIMO COMÚN U OTRO MÚLTIPLO EN COMÚN, MEDIANTEAMPLIFICACIÓN, PARA LUEGO SUMAR O RESTAR, SEGÚN CONVENGA, DEMANERA QUE QUEDE UNA SOLA ECUACIÓN CON UNA SOLA INCÓGNITA. EL MÍNIMO COMÚN ENTRE LOS EN EL SISTEMA: COEFICIENTES DE LAS y ES 103x + 2 y = 9 • 5 REEMPLAZANDO x = 5, EN LA2 x − 5 y = 25 ECUACIÓN QUE SE CONSIDERE • 2 MÁS SIMPLE; EN ESTE CASO EN, 5 15x + 10 y = 45 3x + 2y = 9 15 + 2y = 9 -15 4x - 10 y = 50 + 2y = 9 -15 19x = 95 1 2y = -6 • x=5 2 y = -3
  • 54. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES SE PUEDENDETERMINAR LAS INCÓGNITAS, APLICANDO EL CONCEPTO DEDETERMINANTE, CON AYUDA DE LOS COEFICIENTES QUE PRESENTAN LASECUACIONES, DE ACUERDO AL PROCEDIMIENTO SIGUIENTE: REEMPLAZANDO x = 5, EN 3x + 2y = 9 CUALESQUIERA DE LASEN EL ECUACIONES INICIALES, SESISTEMA: 2x - 5y = 25 OBTIENE EL VALOR y = -3 9 2 EL VALOR DE y TAMBIÉN SE 25 -5 9 · 5 - 25 · 2 - PUEDE OBTENER ALx = = 3 2 3 · -5 - 2 · 2 RESOLVER LA EXPRESIÓN: 3 9 57 2 -5 2 25 75 - 18 -45 - 50 -95 y = =x = = 3 2 -15 - 4 -15 - 4 -19 -19 2 -5 x =5 y = -3
  • 55. TODA ECUACIÓN NO SIMPLIFICADA, DEBE SER ESCRITA EN SU FORMAGENERAL, PARA UNA MEJOR OPERACIÓN DE LA MISMA.EJEMPLO: EN LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO: 1 1 1 2 2 3 4 2 3 50, 3x − 0,25 y + 2,5 = 2 −1, 6 ⋅ (9 x − 0,4) 1 1 5 5 2 x − y + = − ⋅ 9x − ) 2 ( 3 4 2 3 5 1 1 5 2 • 12 x− y + = − x+ 2 15 3 4 2 3 4 x - 3 y + 30 = 24 - 180 x + 8 + 180x - 30 184 x - 3y = 24 + 8 - 30ESTO ES: 184 x - 3 y = 2 SU FORMA GENERAL
  • 56. EN UN CIRCO INGRESARON 600 POR DOS NOVILLOS Y CINCOPERSONAS, CANCELANDO $500 LOS CABALLOS, SE CANCELARONADULTOS Y $300 LOS NIÑOS, $640000. SI LA DIFERENCIA ENTREREUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS EL COSTO DE UN NOVILLO Y UNNIÑOS Y CUÁNTOS ADULTOS CABALLO ES $40000. ¿CUÁL ES ELINGRESARON? PRECIO DE UN CABALLO Y EL PRECIO DE UN NOVILLO?INTERPRETACIÓN N = 600 - A INTERPRETACIÓN N+A = 600 N - C = 40000 • 5300N + 500A = 220000 2N + 5C = 640000DESARROLLO, POR SUSTITUCIÓN: + DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:300 (600-A) + 500A = 220000 7N = 200000 + 640000180000 - 300A + 500A = 220000 7N = 840000 N = $120000 200A = 220000 - 180000200A = 40000 ESTO ES: ADULTOS ESTO ES: NOVILLO $120000 Y 200 Y NIÑOS 400 CABALLO $ 80000 A = 200
  • 57. LA SUMA DE LAS EDADES POR LA VENTA DE 3 TORTAS Y 6 EMPANADAS SE CANCELARONENTRE DOS PERSONAS ES $17100. SI EN OTRA VENTA DE 2100 AÑOS Y SU DIFERENCIA TORTAS Y 9 EMPANADAS SEES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON CANCELAN $ 13150, ¿CUÁL ES ELSUS EDADES?. PRECIO DE CADA PRODUCTO?.INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓNE1 + E2 = 100 3T + 6E = $ 17100E1 - E2 = 20 + 2T + 9E = $ 13150DESARROLLO, POR REDUCCIÓN: DESARROLLO, POR DETERMINANTES2E1 = 120 17100 6 E1 = 60 13150 9 153900 -78900 ESTO ES: T = = 3 6 27 - 12UNA EDAD ES 60 AÑOS Y LA OTRA ES 40 AÑOS T = $ 5000 2 9 E = $ 350
  • 58. LOS PROCESOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DEPRIMER GRADO, CON DOS INCÓGNITAS, NO SIEMPRE SE PUEDENAPLICAR INMEDIATAMENTE. HAY CASOS EN LOS CUALES LASECUACIONES DEBEN PLANTEARSE EN FUNCIÓN DE NUEVASVARIABLES O INCÓGNITAS, DENOMINADAS VARIABLESAUXILIARES, PARA FACILITAR LA APLICACIÓN DE LOSPROCEDIMIENTOS.EJEMPLO: EN EL SISTEMA, SE TIENE EL SISTEMA: 3 2 3m - 2n = 5 − =5 x +2 y− 1 m + 4n = -7 1 4 + =− 7 LAS SOLUCIONES DE ESTE NUEVO x +2 y− 1 SISTEMA SE REEMPLAZAN EN: 1 1SI SE CONSIDERA: =m Y =n x +2 y− 1 1 1 = m Y =n PARA OBTENER LOS VALORES DE xx+2 y −1 Y DE y DEL SISTEMA INICIAL.
  • 59. EN EL SISTEMA, POR SUSTITUCIÓN DE m, QUEDA: 2 + 2n 8 − 2 =2 7( ) + 5n = 4 •8 4 x +1 5 y −11 8 14 + 14n + 40n = 32 -14 7 5 + =4 4 x +1 5 y −11 1 54n = 18 n= 3SI: 1 1 1 REEMPLAZANDO EN: n=m= Y n= 5 y − 11 4x + 1 5 y − 11 SE TIENE: 1 1SE TIENE EL SISTEMA = 5 y − 11 = 3 ( )2AUXILIAR, 3 5 y − 11 2 + 2n 5y - 11 = 98m - 2n = 2 m= DE DONDE, y=47m + 5n = 4 8 ANÁLOGAMENTE x=3
  • 60. SON DE LA FORMA: DONDE,a1 x +b1 y + c1 z = d1 SUS COEFICIENTES ∈ IRa2 x +b2 y + c2 z = d 2 Y SUS INCÓGNITAS SON: x,y,za3 x +b3 y + c3 z = d 3EJEMPLO: EN EL SISTEMA, LOS VALORES QUE SATISFACEN TODAS LAS IGUALDADES A LA VEZ 2x + 3y - 5z = 18 SON: 5x - 4y + 2z = -4 x=2 y=3 Y z = -1 x - y - 7z = 6¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!
  • 61. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRESECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS. IGUALANDO LOS COEFICIENTES DE y ALEN EL SISTEMA: MÍNIMO COMÚN ENTRE ELLOS, SE TIENE:2x + 3y - 5z = 18 •4 8x + 12y - 20z = 725x - 4y + 2z = -4 •3 15x - 12y + 6z = -12 + x - y - 7z = 6 • 12 12x - 12y - 84z = 72 -SUMANDO O RESTANDO DE A DOS 23x - 14z = 60ECUACIONES, CONVENIENTEMENTE,SE OBTIENE EL SISTEMA: 3x + 90z = -84APLICANDO CUALESQUIERA DE LOS MÉTODOS DE x=2RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOSINCÓGNITAS SE OBTIENEN LOS VALORES: z = -1FINÁLMENTE, REEMPLAZANDO LOS VALORES DE x YDE z, EN CUALESQUIERA DE LAS TRES ECUACIONES y=3INICIALES, SE OBTIENE EL VALOR DE y.
  • 62. SISTEMAS DE ECUACIONES LITERALES ¡OBSERVA Y ANALIZA!(a + b)x - (a - b)y = 4ab (a + b)(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2 (a - b) +Igualando los coeficientes de las y a su MCM que es a2 -b2 ,a fin de aplicar la reducción de coeficientes, se tiene:[(a + b)2 + (a - b)2 ]x = 4ab (a + b) + [2a2 - 2b2] (a - b)(2a2 +2b2)x = 4ab (a + b) + 2(a2 - b2) (a - b)2(a2 + b2)x = 2(a + b) [2ab + (a - b)2] 12(a + b )x = 2(a + b) [a + b ] 2 2 2 2 2(a2 + b2)Esto es: x =a+b Continúa ...
  • 63. Ahora, remplazando el valor obtenido de x en cualquiera de las ecuaciones, se tiene que: Como , x =a+b entonces en ; (a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2 Se tiene: (a - b)(a + b) + (a + b)y = 2a2 - 2b2 a2 -b2 + (a + b)y = 2a2 - 2b2 1 (a + b) y = a - b 2 2 (a + b) Esto es: y = a- bLuego el conjunto solución es: {(a+b, a-b)}
  • 64. AL FINALIZAR EL ESTUDIO DEL PLANO CARTESIANO, FUNCIONES LINEALES Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO;TE INVITAMOS A INCREMENTAR TUS CONOCIMIENTOS EN OTROS TÓPICOS DE LA MATEMÁTICA, MEDIANTE EL ESTUDIO DEPROGRAMAS COMO ÉSTE. Solicítame copia de este u otros al email apoloniofigueroa@gmail.com ¡DESCUBRIRÁS EL GENIO QUE HAY EN TI! Esc Esc Sale Sale