1. CONTENIDO DEL CURSO : AVENTURAS MATEMÁTICAS
Unidad I: Triángulo Rectángulo
Tema: Teorema de Pitágoras
Indicador: G. FG.10.11.1
Prueba el Teorema de Pitágoras y su recíproco.
Actividad de Exploración
Materiales
• Papel cuadriculado
• Tijera
• Lápiz
Pasos:
• Dibuja un triángulo rectángulo sobre el papel cuadriculado, y sobre cada uno de sus lados traza un
cuadrado.
• Recorta los cuadrados pequeño y mediano.
• Ahora recorta el cuadrado mediano y pequeño en trozos.
¿ Eres capaz de acoplar todos los trozos recortados de forma que llenen el cuadrado grande?
Has demostrado un teorema. ¿Cuál?
Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud del lado más largo (la
hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los demás lados (los catetos).
a2 + b2 = c2 .
A
c
a Hipotenusa
Cateto
C
B Cateto
b
Preparado por Yahaira Román UGHS

2. - Demostrar el Teorema de Pitágoras.
a. geométricamente
+ =
32 + 42 = 52
9 + 16 = 25
b. algebraicamente
A
a =6 c = __
C
B b = 8
Si a = 6 y b = 8 entonces c = _10__.
a2 + b2 = c2
62 + 82 = c2
36 + 64 = c2
√ 100 = √ c2
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3. 10 = c
1. Longitud de un cateto
√ a2 = √ c2 – b2 √ b2 = √ c2 – a2
A
a c
C
B b
a = √c2 – b2 b = √c2 – a2
2. Longitud de la hipotenusa
c 2 = a 2 + b2
√ c2 = √ a2 + b2
c = √ a2 + b2
3. Triple pitagórico (recíproco)
Un triple pitagórico es un triple de números naturales a, b, c que satisface a2 + b2 = c2. El triple es
primitivo si a, b, c no tienen factor común > 1.
El conjunto de tres números positivos que satisfacen la fórmula de Pitágoras se conoce
como un triple pitagórico. El código siguiente creado en el lenguaje de Delphi encuentra los
primeros 20 triples pitagóricos.
Pitagoras.exe
- Determinar el recíproco del Teorema de Pitágoras (Triple Pitagórico)
Triple pitagórico (recíproco)
c = √ a2 + b2
4. Aplicación
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4. G.LR.10.11.2
Aplica el Teorema de Pitágoras en situaciones de dos o tres dimensiones.
Ejercicios
Realizar estos ejercicios por el Teorema de Pitágoras (Recordar que a y b son los catetos, c es la
hipotenusa)
1) a = ___? si b = 5 c = 8
2) b = ___? si a =3 c = 10
3) c = ___? si a = 10 b = 15
4) a = ___? si b = 7 c = 9
5) b = ___? si a = 6 c = 10
6) c = ___? si a = 13 b = 10
7) a = ___? si b =2 c = 10
8) a= x, b=x+2, c=10. Hallar x
9) a=4, b= x-2 , c=x. Hallar x
10) a= x+1 b=x-1, c=5. Hallar x
Contesta
1) El área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 y un cateto 6 cm.
2) Calcular el área de un triángulo isósceles de 12 m de base y cuyos lados iguales miden 10 m cada uno.
3) Calcular la diagonal de un cuadrado de lado a.
4) Calcular el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 15 cm.
5) Calcular el lado de un rectángulo cuya diagonal mide 10 cm y el otro lado mide 6 cm.
6) Encuentra el área de un rectángulo, si la base mide 15 metro y la distancia diagonal mide 20 metros.
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5. G.LR.10.11.2
Aplica el Teorema de Pitágoras en situaciones de dos o tres dimensiones.
- Aplicar el Teorema de Pitágoras en figuras de tres dimensiones.
Localización y Relación Espacial
El teorema de pitágoras en el espacio
El teorema de pitágoras se puede aplicar también en un espacio tridimensional.
En efecto, para hallar la longitud de la diagonal D hallamos primero la longitud de la diagonal d:
Ahora tenemos un triángulo rectángulo de catetos b y d, e hipotenusa D. Ahora utilizamos el teorema de
pitágoras de nuevo para hallar la longitud de la hipotenusa.
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6. El exponente 2 elimina la raíz cuadrada, quedando:
Ejemplo 1:
=6
=6
=8
d= √a2 + c2
d= √62 + 82
d= √36 + 64
d= √100
d= 10
D2 = a2 + b2 + c2
D2 = 62 + 62 + 82
D2 = 36 + 36 + 64
√ D2 = √136
D = 11.79
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7. Ejemplo 2:
Paso 1: Comprender el problema.
Se trata de sumar las longitudes de todas las aristas de todas las diagonales. La longitud de la arista es un
dato: 0.8 m en cambio la longitud de cada diagonal es desconocida.
Paso 2: Hacer una figura de análisis y elaborar un plan.
La diagonal dibujada en azul es la hipotenusa del triangulo ABC. Observen que el ángulo ABC es recto,
aunque el dibujo no lo parezca.
Del triángulo ABC sólo se conoce el segmento de la arista AB, que es de 0.8 m.
Las medidas de los lados segmento CB y AC son desconocidos.
Para responder a la pregunta del problema se puede trazar el siguiente plan:
1. Calcular la medida del segmento CB.
2. Calcular la medida de la diagonal del segmento AC.
3. Calcular la cantidad total de alambre.
Respuesta:
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8. 1) CB = √(0.8)2 + (0.8)2
CB = √0.64 + 0.64
CB = √1.28
CB = 1.13
2) AC = √(0.8)2 + (0.8)2 + (0.8)2
AC = √0.64 + 0.64+ 0.64
AC = √1.92
AC = 1.39
3) 12( 0.8 ) + 4(1.39) = 9.6 + 5.56 = 15.2 m
Se necesitaran 15.2 metros de alambre.
Ejercicios:
1. Calcular la longitud de la diagonal AB del siguiente paralelepípedo recto.
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9. Unidad I: Triángulo Rectángulo
Tema: Distancia
Indicador: G.LR.10.11.3
Desarrolla y aplica la fórmula de distancia para determinar la distancia entre dos puntos en el plano de las
coordenadas rectangulares.
Distancia (entre dos puntos en dos dimensione) se puede calcular mediante la fórmula
d= ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Ejemplo: Encuentra la distancia entre los puntos (-3, 5) y (-2 ,-8)
(x1, y1) y (x2, y2)
d= ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
d= ( − 2 − −3) 2 + ( − 8 − 5) 2
d= ( − 2 + 3) 2 + ( − 8 + −5) 2
d= (1) 2 + ( − 13) 2
d= (1) 2 + ( − 13) 2
d = 1 + 169
d = 170
d = 13.04
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10. - Aplicar la fórmula de la distancia en el plano cartesiano para hallar la distancia entre los puntos.
Encuentra la distancia entre los puntos (1, 1) y (5 ,4)
4
d= ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
( 5 − 1) 2 + ( 4 − 1) 2
3
d=
2
d= ( 4) 2 + ( 3) 2
1
d = 16 + 9
-2 -1 1 2 3 4 5
d = 25
-1
d =5
-2
2. Aplicaciones
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11. Unidad I: Triángulo Rectángulo
Tema: Triángulos especiales
Triángulo 300-600-900
Indicador: G.FG.10.12.1
Reconoce y aplica las propiedades de un triángulo 300-600-900 y 450-450-900
C. Triángulos especiales
- Reconocer las propiedades de triángulos especiales 300-600-900 y 450-450-900.
1. Triángulo 300-600-900
En un triángulo de 300-600-900 la medida de la hipotenusa es de dos veces la medida del
lado más corto. Las medida del lado más largo es √3 veces la medida del lado más corto.
30
2b
b3
60
b
Ejemplo:
1. 2.
A
60
30
B 12 C
A
60
8
30
B C
Determina la longitud del BC =8√3 y AC = 16. Determina la longitud del AB = 4√3 y AC =8√3.
12 = b√3
12 = b√3
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12. √3 √3
12 = b
√3
b = 12 . √3 = 12√3 = 4√3
√3 √3 3
Hallar el valor de x y el valor de y.
60◦
y
x
3
x√3 = 3
x√3 = 3
√3 √3
x = 3 . √3
√3 √3
x = 3√3
3
x = √3
y = 2x
y = 2(√3)
y = 2√3
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13. Unidad I: Triángulo Rectángulo
Tema: Triángulo 450-450-900
Indicador: G.FG.10.12.1
Reconoce y aplica las propiedades de un triángulo 30° − 60° − 90° y 45° − 45° − 90°
En un triángulo de 450-450-900 la medida de la hipotenusa es √2 veces la medida de los
lados.
45
a 2
a
45
a
Ejemplo:
A
45
10
45
C
B
Determina la longitud del AC = ____BC = ____
- Aplicar las propiedades (geométricas y algebraicas) de los triángulos especiales en la solución de
problemas.
3. Aplicaciones
Libro: Matemática Integrada 2 Página 493.
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14. Unidad I: Triángulo Rectángulo
Tema: Razones Trigonométrico
Indicador: G.FG.10.12.1
G.FG.10.12.2
Aplica las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente para determinar medidas de
los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Libro: Matemática Integrada 2 Página 491-496.
- Definir razones trigonométricas.
1. Identificación
B
Cateto
opuesto Hipotenusa
ángulo A
A
C
Cateto adyacente
a ángulo A
Sen A = medida de lados opuestos A = BC
Medida de la hipotenusa AB
Cos A = medida de lados opuestos adyacentes a A = AC
Medida de la hipotenusa AB
Tan A = medida de lados opuestos A = BC
Medida de los adyacentes A AC
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15. c= √ a2 + b2
B c= √ 32 + 42
60
c= √ 9 + 16
c c= √ 25
c=5
a =3 Sen 30 = 3
5
30
C
A Cos 30 = 4
b=4 5
Tan 30 = 3
4
Libro Matemática Integrada 3 Pág. 432
2
y
(x,y) 1
r
x
-2 -1 1 2
-1
-2
cos a = x
r
sen a = y
r
tan a = y (Cuando x ≠ 0)
x
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16. donde
• xy y representan las coodenadas x y y de un punto con coordenadas polares (r, a)
• x y y pueden ser positivas, negativas o cero (excepto si se indica lo contrario).
• r es positivo. 1
b (a,b)
Las funciones seno y coseno se definen del sguiente modo:
x
-1
cos(x) = a 0 a 1
sen(x) = b
Los valores de x son medidas
-1 de ángulos y puede ser
cualquier número real.
seno α = AP
coseno α = BP
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17. tangente α = CD
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18. LAS FUNCIONES CIRCULARES
Nombre de la Definición en el Definición en un
función círculo unitario círculo de radio r
seno sen ( θ ) = b sen ( θ ) = b / r
coseno cos ( θ ) = a cos ( θ ) = a / r
tangente tan ( θ ) = b / a tan ( θ ) = b / a
cotangente cot ( θ ) = a / b cot ( θ ) = a / b
secante sec ( θ ) = 1 / a sec ( θ ) = r / a
cosecante csc ( θ ) = 1 / b csc ( θ ) = r / b
Signos de las funciones en los cuadrantes
Función I II III IV
seno + + - -
coseno + - - +
tangente + - + -
cotangente + - + -
secante + - - +
cosecante + + - -
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19. 2. Funciones reciprocas
tan t = sen t cot t = cos t
cos t sen t
cot t = 1 sec t = 1 csc t = 1_
tan t cos t sen t
sen² t + cos² t = 1
Las definiciones de seno y coseno no dependen de que el círculo sea unitario. Si así fuera entonces
podríamos tener diferentes valores para cos x ó sen x, dependiendo del círculo en que lo definamos, y esto
haría que estas funciones fueran de muy poco valor práctico.
Si un círculo tiene radio r > 0 y el punto en el círculo para el lado terminal del ángulo x es (a,b)
entonces :
sen x = b y cos x = a
r r
r
b (a,b)
x
-r 0 a 1 r
Es este diagrama -r
r>1
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20. - Aplicar las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos, para la
solución de problemas.
3. Aplicaciones (resolver triángulos)
Ejercicios: Determina el valor para las funciones seno y coseno si el punto en el lado terminal de un
ángulo x es (3,4).
[Ayuda: Dibuja el círculo, localiza el punto y busca el radio del círculo.]
Podemos comprobar que el punto con coordenadas (a, b) en el lado terminal de un ángulo x
define un triángulo rectángulo en el cual se cumple que
a2 + b2 = 1
Esta también es la ecuación que satisfacen los puntos de un círculo unitario. (ver figura)
1
r=
b
x
a
Como cos(x)=a y sen(x)=b se cumple que para todo número x:
sen2 x + cos2 x = 1
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21. 3. Aplicaciones (resolver triángulos)
G.FG.10.12.2 Aplica las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para determinar
medidas de los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Ejemplos:
1. ¿Cuál de las siguientes alternativas se puede usar para calcular la altura de la antena en la
figura a continuación?
A a=100cos(35°)
B a=100cot(35°)
C*a=100sen(35°)
D a=100 tan(35°)
G.FG.11.5.1
Contestación
sen (35°) = _a__
100
100[sen (35°)] = _a__ (100)
100
100sen (35°)= a
2. Observa el triángulo ABC.
A. ¿Cómo puedes obtener el seno del ángulo A?
B. Si el seno de 70º es 0.94, ¿cuál es el seno del ángulo A? Muestra el proceso que
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22. seguiste para calcular el seno del ángulo A.
A
15cm
70
10cm B
C
G.FG.11.5.5
La respuesta debe indicar que el seno de A se puede obtener usando la ley de seno,
a__ = __b__, y luego debe usar su aplicación al problema para encontrar el resultado pedido, por
sen A sen B
ejemplo así:
10__ = _15__,
sen A 0.94
sen A (15) = (10) (0.94)
sen A = 9.4
15
sen A = 0.63
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