Revista digital Matemática, Educación e Internet   (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)         Introducción breveAlgebra l...
VECTORES, RECTAS Y PLANOS.VERSIÓN 1.0. JULIO 2011.PDF InteractivoPuede ver y manipular las figuras (marcadas con   .   ), e...
Contenido1     Vectores                                                                                                   ...
1                     VECTORESA partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos ( a, b) ∈ R2 se a...
Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y en R3 . La direcciónde la flech...
3   Ejemplo 1.3.                                                                       . Hacer clic en la figura para ver e...
4      VECTORES    Ejemplo 1.6.                                                                               . Hacer clic...
5  Continuación...                                                                                               . Hacer c...
6     VECTORES    Ejemplo 1.11.                                                                                           ...
7   1.13           Propiedades de los vectoresLas propiedades más útiles de los vectores, según lo que ha demostrado la ex...
8       VECTORESTeorema 1.18 (Propiedades del producto punto).Consideremos los vectores − , − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces  ...
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10       VECTORES     Ejemplo 1.22.     a.) (Vectores unitarios) Sea − = (1, 0, 2), entonces                              ...
11                                             − · − = ||− || ||− || cos θ                                             → →...
12        VECTORES     Ejemplo 1.28.                                                                                      ...
13     1.30         Paralelismo, perpendicularidad y cosenos directores.Definición 1.31Dos vectores − , − ∈ R3 distintos de...
14      VECTORES                                                             u                                            ...
15                              −                              →                              v.   Si θ = − − , entonces p...
16      VECTORES     Ejemplo 1.36.     Consideremos un triángulo determinado por los puntos A, B, C ∈ R3 . Podemos calcula...
17     1.38         Producto Cruz en R3El producto cruz entre dos vectores en R3 es un vector que es simúltaneamente perpe...
18      VECTORES.    El producto cruz − × − es un vector que es tanto perpendicular a − como a − .                      → ...
19Teorema 1.41 (Propiedades del producto cruz).Consideremos los vectores − , − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces                 ...
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21   1.44           (*) El producto cruz solo existe en R1 R3 y R7 .Con el producto punto tal y como lo hemos definido, si ...
22      VECTOREScon n ≥ 4, entonces n ≥ 7. Para cerrar, se tiene el siguiente teorema [12, pág. 191] , Teorema 1.46 Sea C ...
2                         RECTAS Y PLANOS EN EL                           ESPACIO   2.1         Rectas en R3 .            ...
24       RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO     Ejemplo 2.3.     Consideremos la recta L que pasa por P = (1, 3, 2) y Q = (2, 1...
25.   Observe que el segmento que va de P a Q es el conjunto de puntos                             { P + t ( Q − P); t ∈ [...
26       RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIOIntersección. Sean P = ( p1 , p2 ,3 ) y Q = (q1 , q2 , q3 ) en R3 .Consideremos las ...
27   Continuación...          .   L1 no interseca a L4 : ( x, y, z) = (0, 2, −1) + t (−1, 4, 3) pues el sistema           ...
Vectores r2 y r3
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Vectores r2 y r3

  1. 1. Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/) Introducción breveAlgebra linealVectores, rectas,planos y rotaciones PDF Interactivo Walter Mora F. Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Versión 1.1 - Agosto 2011
  2. 2. VECTORES, RECTAS Y PLANOS.VERSIÓN 1.0. JULIO 2011.PDF InteractivoPuede ver y manipular las figuras (marcadas con . ), en 3D haciendo clic sobre ellas (Internet).Prof. Walter Mora F.,Escuela de MatemáticaInstituto Tecnológico de Costa Rica.Julio, 2011.
  3. 3. Contenido1 Vectores 1 1.1 Operaciones Básicas 2 1.13 Propiedades de los vectores 7 1.15 Producto punto y norma. 7 1.24 Ángulo entre vectores en R 3 . 10 1.30 Paralelismo, perpendicularidad y cosenos directores. 13 1.32 Proyección ortogonal 13 1.38 Producto Cruz en R 3 17 1.44 (*) El producto cruz solo existe en R 1 R 3 y R 7 . 212 Rectas y Planos en el espacio 23 2.1 Rectas en R 3. 23 2.7 Distancia de un punto a una recta 27 2.9 Rectas en R 2 283 Planos. 30 3.1 Ecuación vectorial 30 3.2 Ecuación normal y cartesiana. 30 3.5 Paralelismo, perpendicularidad y ángulo 33 3.10 Intersección entre recta y plano. 36 3.12 Distancia mínima de un punto a un plano. 37 3.14 El punto de un plano más cercano a un punto dado. 37 3.15 Proyección ortogonal sobre un plano. 384 Rotación de un punto alrededor de una recta. 40 Bibliografía 42Bibliografía 42Límite de responsabilidad y exención de garantía: El autor o los autores han hecho su mejor esfuerzo en la preparación de este material.Esta edición se proporciona “tal cual” Se distribuye gratuitamente con la esperanza de que sea útil, pero sin ninguna garantía expresa o .implícita respecto a la exactitud o completitud del contenido.La Revista digital Matemáticas, Educación e Internet es una publicación electrónica. El material publicado en ella expresa la opinión de susautores y no necesariamente la opinión de la revista ni la del Instituto Tecnológico de Costa Rica.Este libro se distribuye bajo la licencia: Creative Commons Reconocimiento - No Comercial - Sin obra derivada 3.0 Unported License. Estalicencia permite copiado y distribución gratuita, pero no permite venta ni modicaciones de este material.Ver http://creativecommons.org/about/licenses/.
  4. 4. 1 VECTORESA partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos ( a, b) ∈ R2 se asocian con puntos deun plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rect-angulares donde la interseccón representa a (0, 0) y cada ( a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la rectahorizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y). Figura 1.1 Punto ( a, b)Analógamente, los elementos ( a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tresrectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X,Y y Z). . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Figura 1.2 Punto ( a, b, c)
  5. 5. Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y en R3 . La direcciónde la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Figura 1.3 Vector ( a, b) Figura 1.4 Vector ( a, b, c)Notación. Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como − , − , − . Los → → → v y zpuntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A , B , C . En el contexto de los vectores, los números realesserán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como α, β, k. − → El vector nulo se denota con 0 = (0, 0, 0) Z Los vectores están anclados en el origen. Sin embargo, fre- cuentemente visualizamos un vector como su traslación: −→ El vector AB está anclado en el origen pero lo visual- izamos como el “vector” que va A hasta B. Formalmente −→ − → − → AB = OB − OA. A veces hablamos del espacio Rn . Un vector en el Rn es Y un n−tuple ( x1 , x2 , · · · , xn ) con cada xi ∈ R. A xi se le llama componente i −ésima del vector. X 1.1 Operaciones BásicasIgualdad. Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.Definición 1.2 (Igualdad).Si − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y − = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 , entonces − = − si y sólo si v1 = w1 , v2 = w2 , v3 = w3 . → v → w → → v w2 Cálculo Superior. Walter Mora F. Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
  6. 6. 3 Ejemplo 1.3. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z 4 w 3 v Sea − = (1, 3, 4) y − = (3, 1, 4) , entonces − = − . → → → → 2 v w v w 1 1 1 2 3 Y 2 3 4 XSuma y resta. La suma y resta de vectores en Rn se hace componente a componente.Definición 1.4 (Suma y resta). Si − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y − = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 ; → v → w − + − = (v + w , v + w , v + w ) y − − − = (v − w , v − w , v − w ) → → v w → → v w 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 Ejemplo 1.5. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z v w w v Sea − = (1, 3, 4) y − = (3, 1, 4) , entonces − + − = (4, 4, 8) → v → w → → v w Y X
  7. 7. 4 VECTORES Ejemplo 1.6. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z Sea P = (0, 3, 1), Q = (1, 2, 4) y R = (10, 1, 6). Entonces −→ − → − → − → OR = OP + PQ + QR. Y X Ejemplo 1.7. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z v w (traslación) w v Sea − = (1, 3, 4) y − = (3, 1, 4) , entonces → v → w − − − = (−2, 2, 0) y − − − = (2, −2, 0). → → v w → → w v v w w v Y X Ejemplo 1.8. Considere los puntos A = (0, 0, 1), B = (3, 5, 0) y C = (2, 0, 0). Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A, B, C y D sean los vértices de un paralelogramo. Hay tres soluciones. Supongamos que el paralelogramo tiene lados AB y AC , entonces B − A = D1 − C de donde D1 = C + B − A , en este caso, D1 es el vértice opuesto al vértice A . Las otras dos soluciones son D2 = C + A − B y D3 = A + B − C. Así, tenemos los paralelogramos ACBD3 , ACD1 B y AD2 CB.
  8. 8. 5 Continuación... . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z Z D2 A A D3 D3 C Y Y X B C D1 X BMultiplicación por un escalar. Un escalamiento de un vector, por un factor k ∈ R, se logra multiplicando cadacomponente por el mismo número real kDefinición 1.9 (Multiplicación por un escalar).Consideremos el vector − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y el escalar k ∈ R, entonces → v k − = ( k v1 , k v2 , k v3 ) → v Ejemplo 1.10. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Sea − = (1, 3, 4) entonces → v 2− → v = (2, 6, 8) 1− → 1 3 4 2 v = 2, 2, 2 Y X
  9. 9. 6 VECTORES Ejemplo 1.11. Z c Si ı = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), entonces ı ı ı ( a, b, c) = aı + bı + cı a b Y X Ejemplo 1.12. Sea − = (4, −1, 1), − = (0, 0.5, 3) y − = (0, 3, 0.5). → u → v → w . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z v a.) − + 0.5 − + − → u → → v w = (4, −1, 1) + [0.5 (0, 0.5, 3) + (0, 3, 0.5] u + 0.5 v + w = (4, −1, 1) + (0, 3.25, 2) = (4, 2.25, 3) 0.5 v +w b.) − + t − + s− = (4, −1, 1) + [t (0, 0.5, 3) + s (0, 3, 0.5] → u → v → w = (4, −1, 1) + (0, 3s + 0.5t, 0.5s + 3t) = (4, −1 + 3s + 0.5t, 1 + 0.5s + 3t) u w Y X
  10. 10. 7 1.13 Propiedades de los vectoresLas propiedades más útiles de los vectores, según lo que ha demostrado la experiencia, se enuncian en el siguienteteorema,Teorema 1.14 (Propiedades de los vectores).Si − , − , − ∈ R3 y α, β ∈ R entonces, → → → v w u 1.) Conmutatividad: − + − = − + − → → → → v w w v 5.) 1 − = − → → v v 2.) Asociatividad: − + (− + − ) = (− + − ) + − → u → → v w → → u v → w 6.) α β− = α ( β− ) → v → v → − → → 3.) Elemento neutro: − + 0 = − v v 7.) α − + − = α− + α− → → v w → v → w → − → 4.) Inversos: − + −− = 0 → v v 8.) (α + β) − = α− + β− → v → v → v 1.15 Producto punto y norma.El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta operación es intro-ducida para expresar algebraicamente la idea geométrica de magnitud y ángulo entre vectores.Definición 1.16 (Producto punto o interior).Consideremos los vectores − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y − = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 . El producto punto (o escalar) − · − se →v → w → → v wdefine de la siguiente manera, − ·− =v ·w + v ·w +v ·w ∈R → → v w 1 1 2 2 3 3 Ejemplo 1.17. √ a.) Sean − = (−1, 3, 4) y − = (1, 0, 2) entonces → v → w − · − = −1 · 1 + 3 · 0 + 4 · √2 = 4√2 − 1 → → v w b.) Sea − = ( a, b, c) entonces → u − · − = a2 + b2 + c2 → → u u De aquí se deduce que − · − ≥ 0 y que − · − = 0 solamente si − = 0. → → u u → → u u → uPropiedades del producto punto. En los cálculos que usan el producto punto es frecuente invocar laspropiedades que se enuncian en le teorema que sigue. También, el producto punto se generaliza como el pro-ducto interno (en contraposición con el producto exterior). Las propiedades que permanecen en esta generalizaciónson,Cálculo Superior. Walter Mora F.Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
  11. 11. 8 VECTORESTeorema 1.18 (Propiedades del producto punto).Consideremos los vectores − , − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces → → → v w u → → v v → − v → 1.) − · − > 0 si − = 0 (el producto punto es definido positivo) 2.) − · − = − · − → → → → v w w v 3.) − · − + − = − · − + − · − → → → u v w → → → → u v u w 4.) α− · − = α − · − → → v w → → v w − → − − → → − − → →Nota: No hay propiedad asociativa pues “ v · ( w · u )” no tiene sentido dado que w · u es un número real.Norma (Euclidiana). La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclideanaDefinición 1.19 (Norma).Consideremos el vector − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 . La norma de − se denota ||− || y se define de la siguiente manera, → v → v → v √ ||− || = → v v·v = v2 + v2 + v2 1 2 3 La distancia de A a B se define como d( A, B) = || B − A||. Observe que v · v = ||v||2 Ejemplo 1.20. √ √ 2 √ a.) Sea − = (1, 0, 2) entonces ||w|| = → w 12 + 02 + 2 = 3 b.) La distancia de A = ( x, y, z) a B = (1, −3, 2) es || B − A|| = ( x − 1)2 + ( y + 3)2 + ( z − 2)2Teorema 1.21 (Propiedades de la norma).Consideremos los vectores − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces, → → v w 1.) ||− || ≥ 0 y ||− || = 0 si y sólo si − = 0 → v → v → v 2.) ||α− || = |α| ||− || → v → v 3.) ||− + − || ≤ ||− || + ||− || (desigualdad triangular) → → v w → v → w 4.) |− · − | ≤ ||− || ||− || (desigualdad de Cauchy-Schwarz) → → v w → → v w
  12. 12. 9 vLa propiedad 4.) parece geométricamente muy intuitiva: Unoespera que si − = 0, entonces → w v u v proyw − → − ·− → → − − → → v ||− || ≥ proy− = → v v w − → = | v · w |, w → w ||− ||2 → w ||− || → wde aquí se obtiene ||− || − ≥ |− · − |. También, intuitiva- → → v w → → v w − → − = proy v . →mente la igualdad se da si v w − →w v proywPara formalizar el razonamiento usamos algo que no necesita verificación y que es equivalente al argumento in- − → vtuitivo: Si − = 0 =⇒ ||− ||2 ≥ 0. La demostración formal es así: Sea − = − − proy− . Entonces − · − = 0. → w → u → → u v → → → u w − = 0, → wLuego, si w − − → → − − → → 0 ≤ ||− ||2 → u = − − v ·w − · − − v ·w − → v → w → v → w ||− ||2 → w ||− ||2 → w − − → → 0 ≤ − − v · w − ·− → v → → w v pues − · − = 0, → → u w ||− ||2 → w − → ( − · − )2 → → v w pues − · − = − → → → 2 2 0 ≤ v − v v v ||− ||2 → w ( − · − )2 → → − → ||− ||2 =⇒ |− · − | ≤ ||− || − → → → → → 2 v w ≤ v w v w v wLa propiedad 3.) se obtiene usando la desigualda de Cauchy-Schwarz, ||− + − ||2 → → v w = (− + − ) · (− + − ) → → v w → → v w = − 2 + 2− · − + − →v → → v w →w 2 ≤ − → v 2 +2 − → v ·− + − → w → w 2 = (||− || + ||− ||)2 → v → w ∴ ||− + − || ≤ ||− || + ||− || → → v w → v → wEl caso − = 0 produce una identidad de verificación directa. → w
  13. 13. 10 VECTORES Ejemplo 1.22. a.) (Vectores unitarios) Sea − = (1, 0, 2), entonces → w −→ √ w 1 − → = 1 − || = √5 = 1 → = || → − || w → w ||− || w → || w ||− || w 5 √ b.) Sea − = (1, 0, 2) entonces ||−2− || = 2 ||− || = 2 5 → w → w → wDefinición 1.23 (Vector unitario). Un vector v se dice unitario si su norma es 1. Es común escribir v para indicar que este vector es unitario. → − → Observe que si − = 0 entonces w w es unitario. ||w|| √ El vector − = (cos θ, sin θ ) es unitario para todo θ ∈ R, pues ||(cos θ, sin θ )|| = cos2 θ + sen2 θ = 1. → w 1.24 Ángulo entre vectores en R3 .A partir de la Ley de los cosenos podemos establecer una relación Zentre el producto punto, normas y ángulos, como se muestra acontinuación.Ley de los cosenos. Si a, b y c son las longitudes de los lados deun triángulo arbitrario, se tiene la relación v w 2 2 2 c = a + b − 2ab cos θdonde θ es el ángulo entre los lados de longitud a y b. XPara visualizar esta ley usando vectores, consideremos el trián- Ygulo determinado por los vectors − , − ∈ R3 , como se muestra → → v wen la figura.Entonces ||− − − ||2 = ||− ||2 + ||− ||2 − 2||− || ||− || cos θ (∗) → → v w → v → w → → v wahora, puesto que ||− − − ||2 = (− − − ) · (− − − ) = ||− ||2 + ||− ||2 − 2− · − → → v w → → v w → → v w → v → w → → v wentonces, despejando en (*) obtenemosCálculo Superior. Walter Mora F.Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
  14. 14. 11 − · − = ||− || ||− || cos θ → → v w → → v wÁngulo entre vectores en Rn . En el caso del Rn , si − , − ∈ Rn son vectores no nulos, entonces usando la → → v wdesigualdad d Cauchy-Schwarz: |− · − | ≤ ||− || ||− || y la propiedad del valor absoluto | x | ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k → → v w → → v w − ·− → → v wpara un número k ≥ 0, obtene-mos −|| v − || ||− || ≤ − · − ≤ ||− || ||− || y entonces −1 ≤ → → → → → → w v w v w → → ≤ 1. ||− || ||− || v wSe puede garantizar que para v w − , − ∈ Rn vectores no nulos, es posible encontrar un único θ ∈ [0, π ] tal que → →− · − = ||− || ||− || cos θ. Formalmente,→ → v w → → v wDefinición 1.25Si − , − ∈ Rn son vectores no nulos, el ángulo entre − y − es el único θ ∈ [0, π ] tal que → → v w → → v w − ·− → → v w − · − = ||− || ||− || cos θ, → → v w → → v w i.e. θ = arccos , ||− || ||− || → → v w − − → → − →Notación: ∠ v , w denota el ángulo entre v y w − →Como una consecuencia, tenemos una caracterización para vectores ortogonales. Recordemos que dos vectores sonortogonales si al menos uno de ellos es nulo o si el ángulo entre ellos es π/2. EntoncesTeorema 1.26 (Vectores ortogonales).Los vectores − , − ∈ Rn son ortogonales si y sólo si − · − = 0 → → v w → → v w − →Nota: El único vector ortogonal consigo mismo es el vector 0 Ejemplo 1.27. Z v w √ √ Sean − = (1, 0, 2) y − = (−2, 1, 2) entonces − y − son → w → v → w → v − · − = −2 + 2 = 0 → → ortogonales pues w v X Y
  15. 15. 12 VECTORES Ejemplo 1.28. Z Sean − = (2, 0, 2) y − = (0, 2, 2) entonces el ángulo entre − → w →v → w − es → y v 1 θ = arccos = π/3; w v 2 pues, − ·− → → v w − ·− → → v w 1 cos θ = −→|| ||− || =⇒ θ = arccos → − || ||− || → → = arccos || v w || v w 2 Y X Ejemplo 1.29. Sean − = (1, −1, 0) y − = (1, 1, 0). Consideremos el problema de encontrar un vector − ∈ R3 que cumpla las tres →v →w → u condiciones siguientes − ⊥−; → u → v ||− || = 4; → u y ∠− , − = → → u w π 3 Para resolver el problema, supongamos que − = ( x, y, z), → u . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) entonces tenemos que Z u   − − → → x−y = 0  u · v = 0          ||− || → x 2 + y2 + z2   u = 4 =⇒ = 16       → →  − −  √ 1 = ||− || ||− || cos π → → v  u · w u w  3   x+y = 4 2· Y 2 w  X   x = y    =⇒ 2x2 + z2 = 16  √     x = 2, de donde finalmente obtenemos, − = → u √ √ √ 2, 2, ± 2 2 u
  16. 16. 13 1.30 Paralelismo, perpendicularidad y cosenos directores.Definición 1.31Dos vectores − , − ∈ R3 distintos de cero, → → u v Z a.) son paralelos si − , − = 0 o π, i.e. − = λ − para algún → → u v → u → v Y λ ∈ R. X b.) son perpendiculares si − , − = π/2. En este caso − · − = 0. → → u v → → u vLos cosenoss directores de un vector son las componentes de un vector untario. → − →Sea − = OP = (w1 , w2 , w3 ), sus cosenos directores son, w w w2 w3 cos α = −1 , cos β = − , cos γ = − || →|| w || →|| w || →|| wdonde α, β, γ son los ángulos directores de − → w − →α: ángulo entre OP y la parte positiva del eje X − →β: ángulo entre OP y la parte positiva del eje Y − →γ: ángulo entre OP y la parte positiva del eje Z. Observe que si − es unitario, entonces − = (cos α, cos β, cos γ) → w → w 1.32 Proyección ortogonalGeométricamente lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar ortogonalmente el vector− = 0 sobre el vector − . Si denotamos a este vector con proy− entonces, de acuerdo con la figura, se debe cumplir→u → w → u − → wqueCálculo Superior. Walter Mora F.Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
  17. 17. 14 VECTORES u u tw proyu w w − → = t− →  − → − → u = t− → = t− →  proy− w   u u →   proy− → w w   proy− → w w   w =⇒ =⇒ − ·− → →  − −  → · (→ − t − ) →  − −  → · → − − · t− → →  w u w u w = 0 w u w w = 0   t= = − ·− → → w wy finalmente, − → u − ·− → → w u → proy− = − − − → →·→ w w w wDefinición 1.33 (Proyección ortogonal de − sobre − ). → v → w − , − ∈ R3 con − = 0. → →Si v w →w . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z Se llama proyección ortogonal de − sobre − al vector → v → w − → v − ·− → → w v → proy− = − 2 − w v → w || →|| w Y v proyw w X − → v − → v. Como − · − = proy− · w ; si ponemos λ = proy− → → v w → → entonces, el producto punto de − y − es “λ veces → → v w w wla longitud de − ”. → w − → v. Al vector − − proy− se le conoce como “la componente de − ortogonal a − ”. → v → → v → w w
  18. 18. 15 − → v. Si θ = − − , entonces proy− = ||− || cos θ →→ v w → → v w Ejemplo 1.34. Z √ √ Y Sean − = (5, 0, 2) y − = (2, 1, 2) entonces → v → v − → − ·− → → √ v w v → 12 √ 24 12 12 2 proy− = − − − = → →·→ w (2, 1, 2) = , , w w w 7 7 7 7 − → − ·− → → √ w w v → 12 √ 60 12 2 proy− = − − − = → →·→ v (5, 0, 2) = , 0, v v v 27 27 27 X Ejemplo 1.35. Sean − = (3, 1, 0) y − = (2, 2, 0). → v →w Consideremos el problema de determinar un vector − ∈ → u − → u R3 tal que − = ( x, y, x ) y que cumpla las dos condiciones proy− = −− →u → →v y − ⊥ −. →u → w v Z Bien, X  − →  proy u  3x + y = −− → v (3, 1, 0) = −(3, 1, 0),  − →  10   v =⇒   − −  → →   u · w = 0 2x + 2y = 0. Resolviendo el sistema, x = −5, y = 5, y entonces − = (−5, 5, −5) → u Y
  19. 19. 16 VECTORES Ejemplo 1.36. Consideremos un triángulo determinado por los puntos A, B, C ∈ R3 . Podemos calcular la altura y el área de la siguiente manera, − → Sean − = B − A, − = C − A, entonces la altura es h = ||− − proy− || . Luego, como la base mide ||− ||, entonces → u → w → u u → w → w u − → ||− || ||− − proy− || → → w u u → w Área = 2 proyu w w Ejemplo 1.37. Sea A = (2, 2, 2), B = (1, 1, 0) y C = (0, 2, 2). Nos interesa Calcular el punto E en el segmento BC tal que el segmento AE sea la "altura" del triángulo ABC sobre este segmento. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z u proyw Sean − = A − B, − = C − B, el punto buscado es → u → w u −→ − → u w E = B + proy− . → w La traslación es necesaria pues la proyección es un vector an- u proy w clado en el origen. X Y
  20. 20. 17 1.38 Producto Cruz en R3El producto cruz entre dos vectores en R3 es un vector que es simúltaneamente perpendicular a v y a w.Definición 1.39 Consideremos los vectores − = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 y − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 . El producto cruz − × − se define de la → u → v → → u v siguiente manera, . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z w − × − = (u v − u v )ı − (u v − u v ) + (u v − u v )k → → u v v 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 w v = (u2 v3 − u3 v2 )ı + (u3 v1 − u1 v3 ) + (u1 v2 − u2 v1 )k X v w YLa posición del vector v × w se puede establecer con la “regla de la mano derecha”,. Recordemos que ı = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), entonces también podríamos escribir − × − = (u v − u v , u v − u v , u v − u v ) → → u v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1. Esta fórmula se puede calcular como un determinante,Cálculo Superior. Walter Mora F.Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
  21. 21. 18 VECTORES. El producto cruz − × − es un vector que es tanto perpendicular a − como a − . → → v w → v → w Ejemplo 1.40. Si i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1); entonces i ×j =k k, j ×k =i y k ×i = j √ √ Sean − = (5, 0, 2) y − = (2, 1, 2) entonces → u → v Z ı  k − ×− = → → √ √ √ u v 5 0 2 = (− 2, −3 2, 5) √ 2 1 2 ı  k v √ √ √ Y − ×− = → → v u 2 1 2 = ( 2, 3 2, −5) u √ 5 0 2 XPropiedades del producto cruz. Recordemos que el producto cruz solo lo hemos definido en R3 ,
  22. 22. 19Teorema 1.41 (Propiedades del producto cruz).Consideremos los vectores − , − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces → → → v w u 1.) − · (− × − ) = 0 → → → u u v 2.) − · (− × − ) = 0 → → → v u v 3.) ||− × − ||2 = ||− ||2 ||− ||2 − (− · − )2 → → u v → u → v → → u v (igualdad d Lagrange) 4.) − × − = − (− × − ) → → u v → → v u 5.) − × (− + − ) = − × − + − × − → u → → v w → → → → u v u w 6.) (− + − ) × − = − × − + − × − → → u v → w → → → → u w v w 7.) α(− × − ) = (α− ) × − = − × (α− ) → → u v → u → v → u → v → − u → − → → − u → 8.) − × 0 = 0 × − = 0 9.) − × − = 0 → → u u. Observe que no tenemos una propiedad de asociatividad para el producto cruz.. De la propiedad 9 y la propiedad 7 podemos deducir que si dos vectores son paralelos, el producto cruz es cero − → u − → v =⇒ − = α− → u → v =⇒ − ×− =0 → → u v. De la igualdad de Lagrange se puede deducir la fórmula (de área) ||− × − || = ||− || ||− || sin θ → → u v → → u v (1.1). Consideremos un paralelogramo determinado por dos vectores − , − ∈ R3 , como se ve en la figura de la derecha. → → u vSi θ es el ángulo entre estos vectores, el área del paralelogramo es, A = ||− || ||− || sin θ = ||− × − || → → u v → → u v. Consideremos un paralelepípedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanares − , − , − ∈ R3 , → → → u v wcomo se ve en la figura. El volumen del paralelepípedo es,
  23. 23. 20 VECTORES . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z   u1 u2 u3   w − · (− × − ) | = Det  v → → → V =|w u v  1 v2 v3       w1 w2 w3 v Y u X Ejemplo 1.42. Z El área del triángulo con vértices en P = (1, 3, −2), R Q = (2, 1, 4) y R = (−3, 1, 6) es v ı  k Q 1 −2 6 −→ − → √ || PQ × QR|| −5 0 2 1140 Área = = = Y 2 2 2 X w P Ejemplo 1.43. El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores − = (1, 3, −2), − = (2, 1, 4), − = (−3, 1, 6) es → u → v → w Z w −2   1 3   v V = | − · (− × − ) | = Det  2 → → →   w u v  1 4  = 80    −3 1 6 X Y u
  24. 24. 21 1.44 (*) El producto cruz solo existe en R1 R3 y R7 .Con el producto punto tal y como lo hemos definido, si un “producto cruz” cumple las propiedades del teorema(1.41), solo podría existir en en R1 , R3 y R7 . La teoría que sigue es un resumen de ([7]) y ([12]).Este producto existe en R1 , pero como aquí todos los vectores son paralelos, la única opción sería v × w = 0 paratodo v , w ∈ R.No hay producto cruz en R2 pues v × w es un vector ortogonal a v y a w ∈ R2 y no estaría en el plano ex- − →cepto que sea v × w = 0 , pero esto no puede pasar si estos vectores son ortogonales y unitarios pues en este caso v × w = 12 12 − 02 = 1 (por la igualdad de Lagrange).En R3 ya tenemos nuestro producto cruz y es único excepto por el signo.Si el producto cruz existe en Rn con n ≥ 4 entonces n = 7. Esto es un poco más complicado de ver y requiere unpoco de conocimiento de espacios vectoriales.Un subespacio W de Rn se dice cerrado bajo la operación binaria × si v × w ∈ W para todo v , w ∈ W. Por ejemplo,en R3 el subespacio W generado por ı y  W =< ı  >, no es cerrado bajo × pues ı ×  = k ∈ W. En cambio el , ı, /subespacio W generado por k W =< k >, si lo es pues αk × βk = 0 ∈ W. k,Si W es un subespacio de Rn entonces W ⊥ = {v ∈ Rn tal que v · w = 0 para todo w ∈ W }. Por ejemplo, en R3 ,si W =< ı  > entonces W ⊥ =< k > o, si V =< k > entonces V ⊥ =< ı  > . El resultado que nos importa es: ı, ı,Si V es subespacio vectorial de Rn entonces, dimV + dimV ⊥ = nEn [12, pág. 190] se establece el teorema,Teorema 1.45 Sea × un producto cruz en Rn y sea A un subepacio de Rn el cual es cerrado bajo × y posee una base ortonormal { f 1 , ..., f k .} Sea b ∈ A⊥ . Entonces los vectores {b , f 1 × b , ..., f k × b } ⊂ A⊥ y son mutuamente ortogonales y con la misma longitud que b .El teorema es fácil de probar (como se puede ver en la referencia). Para ver como funciona el teorema, consideremospor ejemplo el subespacio A =< k > de R3 que es cerrado bajo ×. Una base ortonormal de A es, por supuesto,k Luego como  ∈ A⊥ , { k ×  } = { −ı } ⊂ A⊥ . En este caso, dimA + dimA⊥ = 3.k. , ,En el caso Rn , sea A =< e1 , e2 , e3 > con e1 = ı e2 =  e3 = k A es claramente cerrado bajo ×. Un vector a ∈ Rn ı, , k.se puede escribir como ∈A ∈ A⊥ 3 3 a= ∑ a · ei + a − ∑ a · ei i =1 i =1con el primer sumando en A y el segundosumando en A⊥ (como se puede verificar haciendo el producto puntoy utilizando el hecho de que ei · ei = 1 ). Ahora, de acuerdo al teorema (1.46), si n ≥ 4, existe b ∈ A⊥ unitario talque {b , e1 × b , e2 × b , e3 × b } es un subconjunto ortonormal de A⊥ y entonces {e1 , e2 , e3 , b , e1 × b , e2 × b , e3 × b } esun conjunto ortonormal de Rn . Esto nos dice, a la luz del teorema (1.46), que si hay un un producto cruz en RnCálculo Superior. Walter Mora F.Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
  25. 25. 22 VECTOREScon n ≥ 4, entonces n ≥ 7. Para cerrar, se tiene el siguiente teorema [12, pág. 191] , Teorema 1.46 Sea C =< e1 , e2 , e3 , b , e1 × b , e2 × b , e3 × b > . C es cerrado bajo ×.Para probar que la única posibilidad es n = 7 se procede por contradicción, si n > 7 entonces habría un vectorunitario n ∈ C ⊥ y b × n sería un vector unitario en C ⊥ . Sea p = b × n entonces n × p = b y p × b = n . Uncálculo sencillo pero un poco extenso muestra que si i = j entonces (ei × b ) × (e j × n ) = (e j × n ) × (ei × b ) lo cualcontradice la no conmutatividad del producto cruz (pues estos vectores no son nulos, son de norma 1). Así, no hayproducto cruz si n > 7. Solo queda el caso n = 7. ¿Hay un producto cruz en R7 ?. La respuesta es: hay varios. Seana = ( a1 , ..., a7 ) ∈ R7 y b = (b1 , ..., b7 ) ∈ R7 . Sea a = ( a1 , a2 , a3 ), α = a4 , a = ( a5 , a6 , a7 ) y b = (b1 , b2 , b3 ), β = b4 , b =(b5 , b6 , b7 ). Entonces un producto cruz en R7 es, a × b = (αb − βa + a × b − a × b , a · b − a · b , − αb + βa − a × b + b × a ) b a b aAunque este es un producto cruz en R7 , no cumple algunas identidades deseables que se obtienen en R3 .
  26. 26. 2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 2.1 Rectas en R3 . . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)Consideremos la recta L que pasa por P y por Q. Esta recta → − →es paralela al vector − = PQ, por lo tanto, dado un punto vR = ( x, y, z) ∈ L, se debe cumplir que Z −→ PR = t − , o sea R − P = t − ; t ∈ R →v → v − →de donde L = {( x, y, z) ∈ R3 : ( x, y, z) = OP + t − }. Informal- → v −. →mente escribimos L : ( x, y, z) = P + t · v Y XDefinición 2.2 (Rectas). Si L es una recta que pasa por los puntos P = ( p1 , p2 , p3 ), Q = (q1 , q2 , q3 ) y si − = Q − P, entonces → v 1.) La ecuación vectorial de L es ( x, y, z) = P + t − , t ∈ R → v   x (t) = p1 + t v1 2.) Despejando x, y y z obtenemos las ecuaciones parámetricas de L : y(t) = p2 + t v2 z(t) = p3 + t v3  x − p1 x − p2 x − p3 3.) Si cada vi = 0, despejando ”t” obtenemos las ecuaciones simétricas de L: = = v1 v2 v3Cálculo Superior. Walter Mora F. 23Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
  27. 27. 24 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Ejemplo 2.3. Consideremos la recta L que pasa por P = (1, 3, 2) y Q = (2, 1, 4). Z → − → En este caso − = PQ = Q − P = (1, −2, 2), luego v Ecuación vectorial: ( x, y, z) = (1, 3, 2) + t (1, −2, 2) Q Ecuaciones parámetricas: v x (t) = 1 + t, y(t) = 3 − 2t, P z(t) = 2 + 2t Ecuaciones simétricas: X Y x−1 y−3 z−2 = = . 1 −2 2 Ejemplo 2.4. a.) Consideremos la recta L que pasa por P = (1, 3, −2) y Q = (2, 1, −2). En este caso − = Q − P = (1, −2, 0), luego → v Ecuación vectorial: L : ( x, y, z) = (1, 3, −2) + t (1, −2, 0) Ecuaciones parámetricas:   x (t) = 1 + t, L: y(t) = 3 − 2t, z(t) = −2.  Ecuaciones simétricas: x−1 y−3 = ; z = −2. 1 −2 b.) Consideremos la recta L1 de ecuaciones simétricas, x+1 y+2 = = z − 1, 3 2 entonces L1 va en la dirección de − = (3, 2, 1) → v
  28. 28. 25. Observe que el segmento que va de P a Q es el conjunto de puntos { P + t ( Q − P); t ∈ [0, 1]}. 1 En particular, si t = 2, obtenemos el punto medio del segmentoP + 1 ( Q − P ) = P+ Q 2 2Ángulo, paralelismo, perpendicularidad e intersección. Consideremos dos rectas, L1 : ( x, y, z) = P + t− ; t ∈ R ∧ L2 : ( x, y, z) = Q + s− ; s ∈ R → v → w L1 L2 si y sólo si − → v − → w L1 ⊥ L2 si y sólo si − ⊥ − → v → w El ángulo entre L1 y L2 es igual al ángulo entre − y − → → v w . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet). Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta, las ecuaciones no son únicas pero sonequivalentes.
  29. 29. 26 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIOIntersección. Sean P = ( p1 , p2 ,3 ) y Q = (q1 , q2 , q3 ) en R3 .Consideremos las rectas . Ver en 3D L1 : ( x, y, z) = P + t − y L2 : ( x, y, z) = Q + s − . → v → wPara determinar si hay intersección igualamos la ecuaciones, Z  t v 1 − s w1 = q1 − p1     − = Q + s− ⇒ → →  P+t v w t v 2 − s w2 = q2 − p2     t v 3 − s w3 = q3 − p3 Si este sistema tiene solución, entonces esta solución nos da elo los puntos de intersección entre L1 y L2 . Como el sistema eslineal puede pasar que, . Y hay solución única: las rectas se intersecan en un solo punto, . hay infinitas soluciones: las rectas coinciden, X . no hay solución: las rectas no se intersecan. .Observe que, para el cálculo de la intersección usamos un párametro distinto en cada recta. Esto es así porque el punto de intersección se obtiene en general, con un valor del parámetro que varía en cada recta. Ejemplo 2.5. Consideremos la recta L1 : (−1, 3, 1) + t (4, 1, 0). . L1 y la recta L2 : (−13, −3, −2) + s (12, 6, 3), se intersecan en el punto (−1, 3, 1). Este punto se obtiene con t = 0 en la primera recta y con s = 1 en la segunda recta. (−1, 3, 1) = (−1, 3, 1) + 0 · (4, 1, 0) (−1, 3, 1) = (−13, −3, −2) + 1 · (12, 6, 3) . L1 es paralela a la recta L3 : ( x, y, z) = (1, 3, −2) + t (8, 2, 0) pues (8, 2, 0) = 2(4, 1, 0) . L1 es perpendicular a la recta L4 : ( x, y, z) = (0, 2, −1) + t (−1, 4, 3) pues (−1, 4, 3) · (4, 1, 0) = 0
  30. 30. 27 Continuación... . L1 no interseca a L4 : ( x, y, z) = (0, 2, −1) + t (−1, 4, 3) pues el sistema . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Z   −1 + 4t = −s 3+t = 2 + 4s 1 = −1 + 3s  L2 L4 no tiene solución (es inconsistente). L3 X L1 Y Ejemplo 2.6. Sea v = (1, 1, 1) y consideremos la recta L1 : P + t · − . Si la recta → . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) v Z L2 : Q + t · (w1 , w2 , w3 ) es perpendicular a L1 , tenemos (w1 , w2 , w3 ) · (1, 1, 1) = 0 =⇒ w1 + w2 + w3 = 0 L1 por lo que hay muchas posiblidades para encontrar rectas perpendiculares a L1 que no sean paralelas entre sí. Dos rectas L1 y L2 que son perpendiculares a la recta L : P + t · − no son, en general, paralelas. Esto es así porque en R3 → Y v la ecuación − .− = 0 tiene infinitas soluciones − no paralelos →→ w v → w entre sí. X 2.7 Distancia de un punto a una rectaSea L una recta y P, Q dos puntos distintos en L. Dado R = L, queremos calcular la distancia mínima de R a Ly el punto E ∈ L en el que se alcanza este mínimo. Por supuesto, la distancia mínima es la longitud del segmento − → − → PRperpendicular que va desde R a L : La distancia mínima de R a la recta es PR − proy− → y esta distancia PQ − → PRmínima se alcanza en E = P + proy− . → PQCálculo Superior. Walter Mora F.Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)

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