DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1. PREPARADO POR: ERIC RODRIGUEZ

2. La Derivada
Razón de Cambio
En geometría analítica se define la pendiente m de una recta como la tangente de
un ángulo de inclinación, ó en forma equivalente, como la razón del cambio en la
distancia vertical con respecto a la distancia horizontal.
2 1
2 1
tan
y y y
m
x x x
θ
− ∆
= = =
− ∆
2 1y y y∆ = −
2 1x x x∆ = −
x2
y2
(x2,y2)
x1
y1
(x1,y1)
θ

3. El problema de la recta tangente
El desarrollo del cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocupaban a los
Matemáticos europeos en el siglo XVII.
1. El problema de la tangente.
2. El problema de la velocidad y la aceleración.
3. El problema de máximos y mínimos.
4. El problema del área.
Cada uno involucra la noción de límite y sirvió para introducir el calculo.
Por su naturaleza geométrica trataremos el problema de la tangente.
Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un punto P se
reduce a hallar su pendiente.

4. El problema de la recta tangente
Una manera de aproximar la pendiente mtan consiste en determinar las pendientes
de rectas secantes que pasen por el punto fijo p y el punto móvil Q.
x∆
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −
Sí P y Q son puntos de una
función continua
La razón es la
pendiente de la recta
secante PQ.
( )y f x=
tan
y
m
x
∆
=
∆
x
( )f x
P
( )f x x+ ∆
x x+ ∆
Q

5. El problema de la recta tangente
sec
( ) ( )y f x x f x
m
x x
∆ + ∆ −
= =
∆ ∆
Supóngase que el punto móvil Q se mueve a lo largo de la curva, hacia el
punto P, la recta PQ gira alrededor de P y por lo general tiende a una
posición límite PT. Esta recta PT es la recta tangente a la curva en P.
p
Q
Por consiguiente
tan
0
tan
0
lim
( ) ( )
lim
x
x
y
m
x
f x x f x
m
x
∆ →
∆ →
∆
=
∆
+ ∆ −
=
∆

6. Ejemplo:Encontrar la pendiente de la recta
tangente a la curva en el punto (1,3).
2
( ) 2f x x x= +
tan
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
m
x∆ →
+ ∆ −
=
∆
( ) ( ) ( )2 2
tan
0
2 2
lim
x
x x x x x x
m
x∆ →
+ ∆ + + ∆ − +
=
∆
( )
22 2
tan
0
2 2 2 2
lim
x
x x x x x x x x
m
x∆ →
+ ∆ + ∆ + + ∆ − −
=
∆
( )
2
tan
0
2 2
lim
x
x x x x
m
x∆ →
∆ + ∆ + ∆
=
∆

7. ( )( )
( )( )
tan
0
tan
0
tan
2 2
lim
lim 2 2
2 2
x
x
x x x
m
x
m x x
m x
∆ →
∆ →
∆ + ∆ +
=
∆
= + ∆ +
= +
Tomando x = 1, obtenemos que la pendiente tiene un valor de:
tan
tan
2(1) 2
4
m
m
= +
=

8. (1,3)
2
( ) 2f x x x= +
tan 2 2m x= +
tan 4m =

9. La Derivada De Una Función
Consideremos la función: ( )y f x=
Dando a x un incremento la función tomará el incremento tal que:x∆ y∆
( )y y f x x+ ∆ = + ∆
Este incremento tiene por valor:
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −
Dividiendo por y tomando límite, resulta:x∆
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
y f x x f x
x x∆ → ∆ →
∆ + ∆ −
=
∆ ∆

10. La Derivada De Una Función
Sí el límite existe, será, en general, una función de x.
llamando a este límite se tendrá:( )f x′
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
y a este valor se le llama función derivada de la función primitiva
. Por tanto, la definición rigurosa es:
( )f x′
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ES EL LÍMITE DEL INCREMENTO
DE LA FUNCIÓN ENTRE EL INCREMENTO DE LA VARIBLE CUANDO
ESTE ÚLTIMO TIENDE HACIA CERO.
( )f x

11. Regla para encontrar derivadas
• Sea la función:
• La derivada de esta función es:
=)x(f c xn
=
dx
df 1−n
cnx

12. Derivadas especiales
• Sea la función:
• La derivada de esta función es:
=)x(f c x1
=
dx
df 0
cx
c
dx
df
=

13. Derivadas especiales
• Sea la función:
• La derivada de esta función es:
cxf =)(
0=
dx
df

14. Derivada de una suma y
diferencia de funciones
• Sea la función:
• La derivada de la suma o diferencia es:
)()()( xhxgxf ±=
dx
dh
dx
dg
dx
df
±=

15. Derivada de un producto de
funciones
• Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x),
existe una regla para encontrar la
derivada de esta función.
)x(h)x(g)x(f =
dx
dh
xgxh
dx
dg
dx
df
)()( +=

16. Derivadas
• Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de
esta función.
)x(h
)x(g
)x(f =
[ ]2
)(
)(
xh
dx
dh
gxh
dx
dg
dx
df
−
=

17. Derivadas
• Si la función que voy a derivar f(x) es una
h(x), que está elevada a una potencia n,
existe una regla para encontrar la
derivada de esta función.
[ ]n
xhxf )()( =
[ ] 





=
−
dx
dh
xhn
dx
df n 1
)(

18. Bibliografía
Calculo Diferencial Un Enfoque Moderno;
Toribio Cruz Sánchez, EDIMAT