1. Concepto de Teorema de Binomio.
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima
potencia de un binomio como un polinomio.
La fórmula general del binomio sea igual de la siguiente forma (a+b):
Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las
siguientes potencias:
(a+b)1= a+b
(a+b)2= (a+b) (a+b)= a2 + 2ab + b2
(a+b)3= (a+b) (a+b) (a+b)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
De esto descrito se puede concluir que:
1) El desarrollo de (a+b)n tiene n+1 términos.
2) Las potencias de a empiezan con nen el primer término y van disminuyendo
en cada término hasta cero en el último.
3) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y
van aumentando en uno cada término, hasta n en el último.
4) Por cada término la suma de los exponentes de a y b es n.
5) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n.
6) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente
del término anterior por el exponente a dividido entre el número que indica
el orden de ese término.
7) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
Algunas simetrías se pueden ver en el Triángulo de Pascal, para valores enteros
no negativos de n en el desarrollo de (a+b)n.

2. A este tipo de números se les llama coeficientes binomiales, dado que cada
renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes
del primer y último término son iguales a 1.
Cada elemento es la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y derecha
en el renglón superior. Por ejemplo n=4, el segundo coeficiente 4 es la suma de
los elementos 1 y 3 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón
superior, y también el coeficiente 6 es la suma de los elementos 3 y 3 del renglón
superior.
EJEMPLOS
Resolver por el teorema del binomio:
(a + 2b)4
- SOLUCION
n=4 Se utilizarán los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes
para cada término del desarrollo. Es decir:
(a + 2b)4= 1(a)4 + 4(a)3 (2b)1 + 6(a)2 + 4(a)1 (2b)3 + 1(2b)4
Efectuándose las potencias, se tiene que:
(a + 2b)4= 1.a4 + 4.a3.2b + 6.a2.4b2 + 4.a.8b3 + 1.16b4
Efectuando los productos:
(a + 2b)4= a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4
TEOREMA GENERALIZADO DEL BINOMIO DE NEWTON
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando
una serie infinita:

3. Si queremos el k-ésimo término de la serie lo podemos obtener:
Donde
EJEMPLOS
Encontrar el septimo término de
tenemos que:
sustituyendo.
resolvemos.

4. BIBLIOGRAFÍA
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_5_teo_b
in.htm
http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/38.%20Teorema%20del%20B
inomio.pdf
es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_del_Binomio