La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia recorrida a lo largo de una curva. Históricamente ha sido difícil determinar esta longitud para curvas irregulares, aunque se usaron métodos para curvas específicas. La llegada del cálculo trajo fórmulas generales para algunos casos. La longitud de una curva plana se puede aproximar sumando pequeños segmentos rectos que se ajusten a la curva, siendo más precisa entre más segmentos se usen. Si la primera deriv

1. LA LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA, TAMBIÉN
LLAMADA RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA, ES LA
MEDIDA DE LA DISTANCIA O CAMINO RECORRIDO A
LO LARGO DE UNA CURVA O DIMENSIÓN LINEAL.
HISTÓRICAMENTE, HA SIDO DIFÍCIL DETERMINAR ESTA
LONGITUD EN SEGMENTOS IRREGULARES; AUNQUE
FUERON USADOS VARIOS MÉTODOS PARA CURVAS
ESPECÍFICAS, LA LLEGADA DEL CALCULO TRAJO
CONSIGO LA FÓRMULA GENERAL PARA OBTENER
SOLUCIONES CERRADAS PARA ALGUNOS CASOS
LA LONGITUD DE UNA CURVA PLANA SE PUEDE
APROXIMAR AL SUMAR PEQUEÑOS SEGMENTOS DE
RECTA QUE SE AJUSTEN A LA CURVA, ESTA
APROXIMACIÓN SERÁ MÁS AJUSTADA ENTRE MÁS
SEGMENTOS SEAN Y A LA VEZ SEAN LO MÁS PEQUEÑO
POSIBLE. , ESCOGIENDO UNA FAMILIA FINITA DE
PUNTOS EN C, Y APROXIMAR LA LONGITUD MEDIANTE
LA LONGITUD DE LA POLIGONAL QUE PASA POR
DICHOS PUNTOS. CUANTOS MÁS PUNTOS
ESCOJAMOS EN C, MEJOR SERIA EL VALOR OBTENIDO
COMO APROXIMACIÓN DE LA LONGITUD DE C
FORMULA GENERAL:
Longitud de una Curva

2. SI LA PRIMERA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ES CONTINUA
EN [A,B] SE DICE QUE ES SUAVE Y SU GRÁFICA ES UNA
CURVA SUAVE.
CUANDO LA CURVA ES SUAVE, LA LONGITUD DE CADA
PEQUEÑO SEGMENTOS DE RECTA SE PUEDE CALCULAR
MEDIANTE EL TEOREMA DE PITÁGORAS (DL)2=(DX)2+(DY)2.
SI F ES SUAVE EN [A,B], LA LONGITUD DE LA CURVA DE F(X)
DESDE A HASTA B ES:

3. Ejemplo:
Longitud de una curva plana
Vamos a determinar la longitud $s$
del arco de una curva con ecuación
$y=f(x)$, comprendida entre los
puntos A (a, f(a)), B (b, f(b))
Como se muestra en la figura
anterior, dividimos el arco $AB$ en
$n$ partes, uniendo luego los
sucesivos puntos de división por
segmentos rectilíneos.
Por ejemplo, el segmento DE tendrá
como longitud

4. Luego, tendremos una aproximación de la
longitud de la curva AB mediante la suma:
Si aumentamos indefinidamente el número de
puntos de división, entonces las longitudes de
los segmentos tienden a cero, por lo que:
Para expresar el límite como una integral
tenemos lo siguiente:
supongamos que la función con ecuación
y=f(x)$ es continua y posee derivada continua
en cada punto de la curva, donde A( a, f(a))
hasta B ( b, f(b)). Luego, por el teorema del
valor medio para derivadas, existe un punto
D*(xi* yi*)entre los puntos D y E de la curva,
donde la tangente es paralela a la cuerda DE,
esto es:

5. Luego:
Que por definición corresponde a la
integral:
(hemos expresado f`(x) como dy /dx).
Como la longitud de una curva no
depende de la elección de los ejes
coordenados, si $x$ puede expresarse
como función de $y$, entonces la
longitud del arco está dada por

6. Joaquín Alejandro Torres Álvarez
CI:21.459.743
Electrónica «80»
Matemática II
Profesor: Domingo Méndez