informe de dinamica

1. II semestre 2012
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DINÁMICA APLICADA
Elementos físicos de un sistema mecánico dinámico
Oscar Díaz (8-855-700), Juan Montero (4-754-1074) .Panamá 24 de Septiembre de 2012. Dinámica
Aplicada. Universidad Tecnológica de Panamá, Facultad de Ingeniería Mecánica. Grupo 1IM-131 A.
Abstracto:
El siguiente informe tiene como objetivo
principal determinar los parametros de un
sistema de pendulo simple bajo vibracion
libre no amortiguada, aparte de desarrollar y
analizar el modelo matematico, comparando
resultados teoricos y experimentales.
Marco Teorico:En este informe se basa
principalmente en la segunda ley de Newton
la cual dice que el cambio de movimiento es
proporcional a la fuerza motriz impresa y
ocurre según la línea recta a lo largo de la
cual aquella fuerza se imprime.[1]
Procedimiento:
a) Seleccione los parametros (longitud
y masa) de un pendulo simple. Para
cada una de las tres experiencias a
realizar.
b) Especifique las condiciones iniciales
indicadas en el pnto 2.4 de los
objetivos especificos.
c) Mida el periodo natural de oscilacion
para tres ciclos de movimiento.
Calcule el periodo promedio de la
oscilacion. Calcule la frecuencia
natural y la frecuencia natural
circular.
d) Obtenga la ecuacion diferencial de
movimiento en funcion de θ .
Obtener la posicion, velocidad y
aceleracion para:
 Θ(0) = X0 y 𝜃̇(0)=0. Graficar
utilizando: Excel, Matlab o
Scilab y Simulink o Xsico.
e) Determine analiticamente el
periodo, la frecuencia natural y la
frecuencia natural de movimiento.
Resultados:
Modelo matemático por Energía Cinética y
Potencial:
𝐸 = 𝑇 + 𝑈
𝐸 =
1
2
𝑚(𝑙𝜃)̇ 2
+ 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃)
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(
1
2
𝑚(𝑙𝜃)̇ 2
+ 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃))
𝑚(𝑙𝜃̇)𝑙𝜃̈ + 𝑚𝑔𝑙(sin 𝜃)𝜃̇ = 0
(𝑙𝜃̈ + 𝑔 sin 𝜃)𝑚𝑙𝜃̇ = 0
(𝑙𝜃̈ + 𝑔 sin 𝜃) = 0
La solución es la siguiente:
𝜃 = 𝐶𝑒 𝑠𝑡
𝜃̈ = 𝐶𝑒 𝑠𝑡
𝑠2
(𝑚𝑠2
+ 𝑘)𝐶𝑒 𝑠𝑡
𝑠2
= 0

2. II semestre 2012
(𝑚𝑠2
+ 𝑘) = 0
𝑠12 = ±√𝑘/𝑚
𝑤 𝑛 = √𝑘/𝑚
Remplazamos esta solución en la función de
posición:
𝜃(𝑡) = 𝐶1 sin 𝑤 𝑛 𝑡 + 𝐶2 cos 𝑤 𝑛 𝑡
= 𝐶1 sin√
𝑘
𝑚
𝑡
+ 𝐶2 cos √
𝑘
𝑚
𝑡
Derivando la función de posición para
encontrar la función de velocidad:
𝜃̇( 𝑡) = 𝐶1 𝑤 𝑛 cos 𝑤 𝑛 𝑡 − 𝐶2 𝑤 𝑛 sin 𝑤 𝑛 𝑡
= 𝐶1√
𝑘
𝑚
cos √
𝑘
𝑚
𝑡
− 𝐶2√
𝑘
𝑚
sin √
𝑘
𝑚
𝑡
Derivando la función de velocidad para
encontrar la función de aceleración:
𝜃̈( 𝑡) = −𝐶1(𝑤 𝑛)2
sin 𝑤 𝑛 𝑡
− 𝐶2(𝑤 𝑛)2
cos 𝑤 𝑛 𝑡
= −𝐶1
𝑘
𝑚
sin √
𝑘
𝑚
𝑡
− 𝐶2
𝑘
𝑚
cos √
𝑘
𝑚
𝑡
Con las condiciones iniciales de 𝜃(0) = 𝑋𝜃0
y 𝜃̇(0) = 0 remplazamos en las ecuaciones
de posición y velocidad para encontrar las
constantes 𝐶1 y 𝐶2
𝜃(0) = 𝐶1 sin 𝑤 𝑛 0 + 𝐶2 cos 𝑤 𝑛 0
= 𝐶1 sin √
𝑘
𝑚
0
+ 𝐶2 cos √
𝑘
𝑚
0
𝑋𝜃0 = 𝐶1 sin0 + 𝐶2 cos 0 = 0 + 𝐶2
𝐶2 = 𝑋𝜃0
𝜃̇(0) = 𝐶1 𝑤 𝑛 cos 𝑤 𝑛 0 − 𝐶2 𝑤 𝑛 sin 𝑤 𝑛 0
= 𝐶1√
𝑘
𝑚
cos√
𝑘
𝑚
0
− 𝐶2√
𝑘
𝑚
sin√
𝑘
𝑚
0
0 = 𝐶1√
𝑘
𝑚
cos 0 − 𝑋𝜃0√
𝑘
𝑚
sin 0
= 𝐶1√
𝑘
𝑚
+ 0
𝐶1 = 0
Finalmente remplazamos las constantes 𝐶1 y
𝐶2 en las ecuaciones de posición, velocidad y
aceleración:
𝜃(𝑡) = 𝐶2 cos 𝑤 𝑛 𝑡 = 𝑋0 cos 𝑤 𝑛 𝑡
= 𝑋𝜃0 cos√
𝑘
𝑚
𝑡
𝜃̇( 𝑡) = −𝐶2 𝑤 𝑛 sin 𝑤 𝑛 𝑡 = −𝑋0 𝑤 𝑛 sin 𝑤 𝑛 𝑡 = −𝑋𝜃0√
𝑘
𝑚
sin √
𝑘
𝑚
𝑡

3. II semestre 2012
𝜃̈( 𝑡) = −𝐶2(𝑤 𝑛)2
cos 𝑤 𝑛 𝑡 = −𝑋0(𝑤 𝑛)2
cos 𝑤 𝑛 𝑡 = −𝑋𝜃0
𝑘
𝑚
cos√
𝑘
𝑚
𝑡
La Amplitud X esta dada por:
𝑋 = √ 𝐶1
2
+ 𝐶2
2
= √ 𝐶2
2
= 𝐶2
 Para L1= 0.20 m.
mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2
) (0.20 m) = 1.0192=K1
t1=2.51, t2=2.59, t3=2.57 , Tprom=2.55.
ƒn=1/τn= 1/ 2.55=0.39 ωn=2π ƒn= 2.46
 Para L2= 0.40 m.
mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2
) (0.40 m) = 2.0384=K2
t1=3.51, t2=3.53, t3=3.50 , Tprom=3.51.
ƒn=1/τn= 1/ 3.51=0.28 ωn=2π ƒn= 1.79
 Para L3= 0.60 m.
mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2
) (0.60 m) = 3.0576=K3
t1=4.38, t2=4.18, t3=4.34 , Tprom=4.30.
ƒn=1/τn= 1/ 4.30=0.23 ωn=2π ƒn= 1.46

4. II semestre 2012
Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.
 Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √
𝑘
𝑚
𝑡

5. II semestre 2012
Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.
 𝜃̇(𝑡) = −𝑋𝜃0√
𝑘
𝑚
sin√
𝑘
𝑚
𝑡

6. II semestre 2012
Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.
 𝜃̈( 𝑡) = −𝑋𝜃0
𝑘
𝑚
cos √
𝑘
𝑚
𝑡

7. II semestre 2012
Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.
 Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √
𝑘
𝑚
𝑡

8. II semestre 2012
Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.
 𝜃̇(𝑡) = −𝑋𝜃0√
𝑘
𝑚
sin√
𝑘
𝑚
𝑡

9. II semestre 2012
Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.
 𝜃̈( 𝑡) = −𝑋𝜃0
𝑘
𝑚
cos √
𝑘
𝑚
𝑡

10. II semestre 2012
Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.
 Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √
𝑘
𝑚
𝑡

11. II semestre 2012
Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.
 𝜃̇(𝑡) = −𝑋𝜃0√
𝑘
𝑚
sin√
𝑘
𝑚
𝑡

12. II semestre 2012
Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.
 𝜃̈( 𝑡) = −𝑋𝜃0
𝑘
𝑚
cos √
𝑘
𝑚
𝑡