FORMULARIO

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
ALGUNAS FÓRMULAS ESTÁNDAR DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
SÍMBOLOS. En las tablas siguientes a, b, c, m y n denotan
constantes, mientras que u, v, w y x son variables, u, v, y w son
todas funciones de x. La base del sistema Neperiano o también
llamado natural de logaritmos se denota usualmente por la letra e que
es aproximadamente igual a 2.718281. A menos que se indique
alguna otra cosa, la base de los logaritmos es e. Se supone también
que todos los ángulos son medidos en radianes. En la tabla de
integrales comúnmente aparece como sumando una constante
arbitraria al lado derecho de cada fórmula.
DERIVACIÓN. A continuación se dan las fórmulas elementales
para derivar. El diferencial se obtiene "multiplicando" toda la
expresión por dx.
1. 0
dx
dc
2. 1
dx
dx
3.  
dx
dw
dx
dv
dx
du
wvu
dx
d

4.  
dx
dv
ccv
dx
d

5.  
dx
du
v
dx
dv
uuv
dx
d

6.   dx
dv
nvv
dx
d nn
 1
en particular: 1
 nn
nxx
dx
d
7. 2
v
dx
dv
u
dx
du
v
v
u
dx
d







en particular:
dx
du
cc
u
dx
d





 1
8.  
dx
dv
v
e
v
dx
d a
a 
log
log en particular:  
dx
dv
v
v
dx
d
e 
1
log
9.   dx
dv
aaa
dx
d
e
vv
 log en particular:   dx
dv
ee
dx
d vv

10.   dx
dv
uu
dx
du
vuu
dx
d v
e
vv
 
log1
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
11.  
dx
dv
CosvSenv
dx
d

12.  
dx
dv
SenvCosv
dx
d

13.  
dx
dv
vSecTanv
dx
d
 2
14.  
dx
dv
vCscCotv
dx
d
 2
15.  
dx
dv
TanvSecvSecv
dx
d

16.  
dx
dv
CotvCscvCscv
dx
d


2. FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA I
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
17.  
dx
dv
v
arcSenv
dx
d



2
1
1
18.  
dx
dv
v
arcCosv
dx
d



2
1
1
19.  
dx
dv
v
arcTanv
dx
d


 2
1
1
20.  
dx
dv
v
arcCotv
dx
d


 2
1
1
21.  
dx
dv
vv
arcSecv
dx
d



1
1
2
22.  
dx
dv
vv
arcCscv
dx
d



1
1
2
REGLA DE LA CADENA
23.
dx
dv
dv
dy
dx
dy
 donde y es una función de v y v a su vez es una
función de x.
DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
24.  
dx
dv
CoshvSenhv
dx
d

25.  
dx
dv
SenhvCoshv
dx
d

26.  
dx
dv
vSechTanhv
dx
d
 2
27.  
dx
dv
vCschCothv
dx
d
 2
28.  
dx
dv
TanhvSechvSechv
dx
d

29.  
dx
dv
CothvCschvCschv
dx
d

DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
30.  
dx
dv
v
arcSenhv
dx
d



1
1
2
31.  
dx
dv
v
arcCoshv
dx
d



1
1
2
32.  
dx
dv
v
arcTanhv
dx
d


 2
1
1
33.  
dx
dv
v
arcCothv
dx
d


 2
1
1
34.  
dx
dv
vv
arcSechv
dx
d



2
1
1
35.  
dx
dv
vv
arcCschv
dx
d



2
1
1
DERIVADAS SUCESIVAS
36.  
dx
dv
dx
ud
nv
dx
ud
uv
dx
d
n
n
n
n
n
n
 

1
1
  .....
!2
1
2
2
2
2


 

dx
vd
dx
dnn
n
n
n
n
n
n
dx
vd
u
dx
vd
dx
du
n  

1
1
también conocida como la fórmula de
Leibnitz.

3. FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA I
TABLA DE INTEGRALES
Integrales algebraicas racionales
37. xdx 
38.   dxxfadxxaf )()(
39.     wdxvdxudxdxwvu )(
40.  



1cuando
1
1
m
m
x
dxx
m
m
41.   xdx
x
ln
1
42.    
  




1cuando
1
1
m
ma
bax
dxbax
m
m
43.   

bax
a
dx
bax
ln
11
44.    

baxbbax
abax
xdx
ln
1
2
45.
 
  









bax
bax
b
abax
xdx
ln
1
22
46.
      











baxbbaxb
bax
abax
dxx
ln2
2
1 2
2
3
2
47.
 
  









baxb
bax
b
bax
abax
dxx
ln2
1 2
32
2
48.
  







 bax
x
bbaxx
dx
ln
1
49.
    









 bax
x
bbaxbbaxx
dx
ln
11
22
50.
  




 

 x
bax
b
a
bxbaxx
dx
ln
1
22
51.
    




 




 x
bax
b
a
baxxb
bax
baxx
dx
ln
22
2222
52.  








a
x
abx
dx 1
22
tan
1
53.  
















x
a
aax
ax
aax
dx 1
22
tanh
1
ln
2
1
  bax
dx
2
se reduce a
la 52 o la 53 tomando como factor a
a
1
fuera del signo de
integral.
54.
      



122
12
mm
baxbm
x
bax
dx
    


 
1cuando
12
32
12
m
bax
dx
bm
m
m
55.
      




1cuando
12
1
122
m
baxambax
xdx
mm
56.  bax
abax
xdx


2
2
ln
2
1
57.  

 bax
dx
a
b
a
x
bax
dxx
22
2
58.
      



122
2
12
mm
baxam
x
bax
dxx
    

 
1cuando
12
1
12
m
bax
dx
am m

4. FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA I
59.  







 



3
2
tan3
3
1
3
k
kx
b
k
bax
dx
3
22
dondeln
a
b
k
xkxk
xk









60.  







 



3
2
tan3
3
1
3
k
kx
ak
k
bax
xdx
3
22
dondeln
a
b
k
xkxk
xk









61.
  







 bax
x
bnbaxx
dx
n
n
n
ln
1
Suponiendo que cbxaxX  2
y que acbq 42

62. 0cuando
2
2
ln
1










 q
qbax
qbax
qX
dx
63. 0cuando
2
tan
2 1













q
q
bax
qX
dx
Para el caso en que q= 0, use la fórmula 42 con m = -2
64.
 
 
   





 
1cuando
1
322
1
2
11
n
X
dx
nq
an
qXn
bax
X
dx
nnn
65.  
X
dx
a
b
X
aX
xdx
2
ln
2
1
66.
 




X
dx
a
bman
X
a
m
X
dxnmx
2
2
ln
2
67.  


X
dx
a
acb
X
a
b
a
x
X
dxx
2
2
2
2
2
2
ln
2
Integrales que involucran expresiones del tipo bax 
 
 
42
fórmulalausandointegradasser
puedensexpresioneestasTodas



















baxbax
dx
dxbaxbax
bax
dx
dxbax
n
n
68.
   


 2
3
15
232
a
baxbax
dxbaxx
69.
   


 3
3222
2
105
812152
a
baxbabxxa
dxbaxx
70.
 
   



 

 
dxbaxxmbbaxx
ma
dxbaxx mmm
32
2 13
71. 



















 
0si40fórmulalause
0sitan22
0siln22
1
b
b
b
bax
bbax
b
bbax
bbax
bbax
x
dxbax
72.
 
   







 





  11
3
m
2
52
1
1
x mmb
x
dxbaxam
x
bax
m
dxbax
cuando 1m
73.
 
 



bax
a
bax
bax
xdx
2
3
22

5. FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA I
74.
 
 



bax
a
babxxa
bax
dxx
3
2222
15
8432
75.
   











2
1cuando
12
2 1
m
bax
dxx
mbbaxx
mabax
dxx m
m
m
76. 




















0si40fórmulalause
0sitan
2
0siln
b
1
1
b
b
b
bax
b
b
bbax
bbax
baxx
dx
77.
 
 
   






 
1cuando
22
32
1 11
m
baxx
dx
bm
am
bxm
bax
baxx
dx
mmm
Integrales que involucran expresiones del tipo 22
ax  y
22
xa  .
(Estas integrales son casos especiales de las integrales más generales
dadas en la siguiente sección.)
78. *   2222222
ln
2
1
axxaaxxdxax 
79.  





 
a
x
senaxaxdxxa 122222
2
1
80. *   

22
22
ln axx
ax
dx
81. 


 a
x
sen
xa
dx 1
22
82.   
32222
3
1
axdxaxx
83. *
      22222
2
322222
ln
84
axxaaxx
a
ax
x
dxaxx 
84.  32222
3
1
xadxxax 
85.   





 
a
x
senaxax
a
xa
x
dxxax 1222
2
322222
84
86. *
x
xaa
axa
x
dxxa 22
22
22
ln




87. 



x
a
aax
x
dxax 122
22
cos
88. *   


 22
22
2
22
ln xax
x
xa
x
dxxa
En las fórmulas marcadas con ``*´´, podemos reemplazar
 22
ln xax  por
a
x1
sinh
 22
ln axx  por
a
x1
cosh







 
x
xaa 22
ln por
x
a1
sinh







 
x
xaa 22
ln por
x
a1
cosh

6. FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA I
89. 





a
x
sen
x
xa
x
dxxa 1
22
2
22
90.  

22
22
xa
xa
xdx
91.  

22
22
ax
ax
xdx
92. *   

22
2
22
22
2
ln
22
axx
a
ax
x
ax
x

93.
a
x
sen
a
xa
x
xa
dxx 1
2
22
22
2
22




94. 


 x
a
aaxx
dx 1
22
cos
1
95. *  






 

 x
xaa
axax
dx 22
22
ln
1
96. 


 xa
xa
xax
dx
2
22
222
97. 


 xa
xa
xax
dx
2
22
222
98. *
      





 22
4
22
2
322
4
1
322
ln
2
3
2
3
axx
a
ax
xa
xaxdxxa
99.     





 
a
x
sen
a
xa
xa
xaxdxxa 1
4
22
2
322
4
1
322
2
3
2
3
100.
  222322 axa
x
ax
dx





101.
  


222322 xaa
x
xa
dx
Integrales que involucran expresiones del tipo cbxax 2
Sea cbxaxX  2
y acbq 42

102.
 














 



0si
21
0si
2
2
ln
1
1
a
q
bax
sen
a
a
a
bax
X
a
X
dx
103.  
X
dx
a
b
a
X
X
xdx
2
104.
 
 



X
dx
a
bman
a
Xm
X
dxnmx
2
2
105.
 
 




X
dx
a
acb
a
Xbax
X
dxx
2
2
2
2
8
43
4
32
106. 
























 
0si
2
0si
21
0si
2
ln
1
1
c
bx
X
c
qx
cbx
sen
c
c
c
b
x
cX
c
Xx
dx

7. FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA I
107.
 
  
 
  































 






0si
2
2
0si
221
0si
2
2
ln
1
1
k
nmxanbm
Xm
k
qnmxm
knmxanbm
sen
k
k
k
anbm
nmx
Xmk
k
Xnmx
dx
cuando cmbmnank  2
108.  
Xx
dx
c
b
cx
X
Xx
dx
22
109.
 
 


X
dx
a
q
a
Xbax
dxX
84
2
110.
 


 2
2
24
56
a
XXbax
dxXx
    





X
dx
a
qacb
a
Xbaxacb
3
2
3
2
128
45
64
245
111.   
Xx
dx
c
X
dxb
X
x
dxX
2
112.  


 X
dx
m
anbm
m
X
nmx
dxX
2
2
2
  


Xnmx
dx
m
cmbmnan
2
22
113.   
X
dx
a
Xx
dxb
x
X
x
dxX
22
114.
 



Xq
bax
XX
dx 2
115.
   
2
64
23
8
22
a
Xbaxq
a
XXbax
dxXX





X
dx
a
q
2
2
128
3
Miscelánea de Integrales Irracionales
116.
a
ax
sen
a
xax
ax
dxxax



 

1
2
22
2
2
2
2
117. 




a
xa
xax
dx 1
2
cos
2
118.
 
   




bnxanbmamx
dxnmx
dx
bax
nmx
2
y entonces use la
fórmula 104
Integrales Logarítmicas
119.  
e
x
xxdx aa loglog
120.    1lnln xxxdx
121.
  










 
2
1
1
log
1
log
log
m
e
m
x
xxdxx aam
a
m
122.
  










 
2
1
1
1
1
ln
ln
mm
x
xxdxx mm
Integrales Exponenciales
123.  
a
a
dxa
x
x
ln
124. xx
edxe 
125.    1xedxxe xx

8. FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA I
126.  

 dxexmexdxex xmxmxm 1
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
NOTA: En las siguientes fórmulas, los números m y n son enteros
positivos, a menos que sea indicada otra cosa.
127.   xsenxdx cos
128.    xsenxxxdxsen cos2
12
129.
 
 






















paressi
1cos
112fórmulalaluegoy
cos1de
expansiónlaUse
imparessicos1
1
1
2
1
2
2
1
2
nxdxsen
n
n
n
xxsen
x
nsenxdxx
xdxsen
n
n
n
n
n
130.
 
 


















141fórmulalauseluegoy
parescuando
csc
1imparescuando
1
2
1
cos
21
n
xdx
n
xsen
dx
n
n
xsenn
x
xsen
dx
n
nn
n
131.   senxxdxcos
132.  xsenxxdxx coscos 2
12

133.
 
 





















paressicos
1cos
135fórmulalaysen-1
deexpansiónlaUse
imparessicos1
cos
2
1
2
1
2
2
1
2
nxdx
n
n
n
xsenx
x
nxdxxsen
xdx
n
n
n
n
n
134.
 

















147fórmulalausey
paressisec
1imparessi
cos1
2
cos1
cos n
21
nxdx
n
x
dx
n
n
xn
senx
x
dx
nn
n
135.
1
cos
1



 n
xsen
xdxxsen
n
n
136.
1
cos
cos
1



 n
x
dxxsenx
n
n