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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
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  1. 1. -1- MATEMÁTICA
  2. 2. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 3 - MATEMÁTICA 01. Sea el número E = 2 2001 + 3 2001 . Calcule el residuo de dividir E entre 7. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 02. ¿Cuántos números de la forma son primos?(4a3)(3b)(4a3) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 03. En la expresión siguiente, b0 0,a - 0,b = 0,4b Ð a Ð 4 Ñ Entonces la suma de todos los valores posibles de 0,a que satisfacen lab Ð ecuación anterior es: A) 0,6 B) 1,3 C) 2,11 Ð 3 Ð 6 Ð D) 3,1 E) 4,11 Ð 6 Ð 04. Se tiene la siguiente igualdad: (9)(aaa1(9))1/3  1(a2) Entonces podemos decir que el conjunto. {a  {1, 2, 3, ...., 8} / existe}(aaa1(9))1/2 A) No posee elementos B) Posee un solo elemento C) Posee dos elementos D) Posee tres elementos E) Posee cuatro elementos 05. Semanalmente, un trabajador ahorra cierta cantidad en soles, y durante 40 semanas ahorra las siguientes cantidades: 21 35 29 31 23 22 28 33 28 25 31 26 24 27 27 33 37 29 19 36 23 18 46 12 26 41 30 18 39 15 24 4 25 33 10 28 20 27 17 31 Se construye una tabla de frecuencias de 7 intervalos de igual longitud fija A. Si F5 es la frecuencia acumulada del quinto intervalo (ordenados los extremos de los mismos de forma creciente), determine el valor de (A+F5) - 1. A) 30 B) 32 C) 37 D) 38 E) 39 06. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: ( ) Sean A  B  C  D, entonces la probabilidad P(D) = P(DA) + P(CA) + P(BA) + P(A) ( ) Se lanzan dos dados normales, entonces la probabilidad que su suma sea 7 es . 1 2 ( ) Se lanzan dos dados normales, uno cada vez, entonces la probabilidad de que salga 3 dado que antes salió 1 es . 1 36 A) VVV B) VFV C) FVV D) FFV E) FFF 07. Sabiendo que K = = yab(4) cd(5) a+b+c+d = 11 en el sistema decimal ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 4 - con a  0, c  0. Determine K en el sistema decimal. A) 14 B) 23 C) 32 D) 41 E) 51 08. Se sabe que en una división entera el divisor en 50 y el residuo es 15. ¿Cuántas unidades como mínimo se le debe disminuir al dividendo, para que el cociente disminuya en 13 unidades? A) 614 B) 615 C) 616 D) 617 E) 618 09. En el primer cuadrante del plano se forma el conjunto A con los puntos con coordenadas enteros positivos, esto es: A = {(m, n) / m  , n  } A cada punto (m, n) de A se le asigna el valor . Calcule la suma de 1 2mn todos los valores de los puntos (m, n) de A con coordenadas m  n. A) B) C) 1 1 3 2 3 D) 2 E) + 10. Si S es el conjunto solución de la inecuación: |x1||x2| < 2 se afirma: I. <1/4; +>  S II. S  <1/3; +> III. S  <-; 1/2>  Φ ¿Cuáles son afirmaciones correctas? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) lI y III 11. Respecto a la función f(x) = |x| - x, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. f(x + y)  f(x) + f(y); x, y   II. Si hacemos g(x) = x 2 - 2x - 3 entonces el conjunto solución de g(x) = f(x) es  3; 3 III. Si hacemos h(x) = x 2 - 3x + 5 entonces el conjunto solución de h(x) = f(x) es vacío. A) VFV B) VFF C) VVV D) FVV E) FVF 12. Indique el intervalo al cual pertenece el valor de m, para que la inecuación: 4x4x2 x2 x1 < m se cumpla para todo x   A) ;  13 3 B) <1; -> C) <2; +> D) <3; 9> E) <5; +> 13. Sea una función f:   <0; +> que cumple f(a + b) = f(a).f(b)  a, b  . Calcule el valor de f(a).f(-a) A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 14. Considere la siguiente función f:  definida por f(x) = ax 2 + bx + c, a > 0, b > 0. Si f(0) = 2 y Rang(f) = [b; +>, determine el siguiente valor: M = 8ab 2 ab A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 -2- -3-
  3. 3. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 5 - 15. Sea f una función cuya regla de correspondencia está dada por: f(x) = loga (x x2 1) Encuentre su función inversa. A) a x + a -x B) C) a x - a -xa x a x 2 D) E) a x a x 2 a x 2 16. Si A es una matriz invertible, despeje la matriz X a partir de la expresión. (AX)1 t  0,5 B 1 A) X = 0,5 A -1 B t B) X = 0,5 B t A -1 C) X = 2A -1 B D) X = 2B -1 A t E) X = 2A -1 B t 17. Determine el conjunto solución del sistema de ecuaciones no lineales: x2 y 2 2x2y  1  0 x2 2xy1  0 A) {(3, 1), (1, 1), (-1, -1)} B) {(2, -2), (2, 1), (1, 1)} C) {(-1, 0), (1, 1), (1, 2)} D) {(1, 0), (0, 1), (2, 1)} E) {(1, -1), (1, 0), (2, -1)} 18. Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que puede sembrar maíz o trigo. Él calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación de verano. En el caso del maíz, el trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene una utilidad de S/. 40 por acre, mientras que en el trigo el trabajo es de 1 hora por acre y la utilidad es de S/. 30 por acre. ¿Cuántos acres de maíz y trigo debe plantar, respectivamente, para maximizar su utilidad? A) (160, 320) B) (140, 340) C) (340, 140) D) (320, 160) E) (180, 300) 19. Considere la sucesión: 1, 1 22 , 1 32 , ...., 1 n 2 , ... Determine el menor valor de n  , de modo que se cumpla: 1 n 2 < 1 × 107 A) 2 081 B) 2 091 C) 2 991 D) 3 001 E) 3 163 20. Halle el menor grado del polinomio x n + ax + b, a  0, (n > 1) para que x 2 - 1 sea un divisor. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 21. El punto P se encuentra situado sobre la altura de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista de cada vértice, calcule esta distancia. A) B) C) a 3 4 a 2 3 a 3 3 D) E) a 6 4 a 2 2 22. Un vaso de forma de prisma recto exagonal con diagonal mayor de la base que mide 6 cm, contiene agua “al tiempo”. Para enfriarla se coloca un cubo de hielo y se observa que el nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud de la arista del cubo de hielo (en cm). ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 6 - A) 3 B) C)3 6 3 3 4 3 D) E)3 3 3 3 3 23. En un cilindro de revolución de 5 cm de altura se inscribe un paralelepípedo rectangular con superficie lateral de 250 cm 2 . Una de sus aristas, ubicada en la base del cilindro, mide 16 cm. Calcule la razón (en cm) entre el volumen y el área lateral del cilindro. A) B) C) 337 4 337 2 337 4 D) E) 337 2 337 24. En la Panamericana cerca de Casma se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolución. Las longitudes de las circunferencias son 4π m y 2π m. Ver figura. Halle el volumen de la duna en metros cúbicos. A) 3π B) 5π C) 7π D) 10π E) 11π 25. En un tronco de cono de revolución el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Si el volumen del tronco de cono es 336π cm 3 y el radio de la base menor es 6 cm, entonces el volumen de una esfera tangente a las bases del tronco de cono (en cm 3 ) es: A) π B) π C) π 30 3 31 3 32 3 D) π E) π 33 3 34 3 26. En una pirámide cuadrangular regular la arista básica mide 8 u y su altura mide 15 u. ¿A qué distancia (en u) de la base de la pirámide se debe trazar un plano paralelo a dicha base, para que el volumen del prisma recto, que tiene por base a dicha sección y por altura la distancia de la sección al vértice de la pirámide, sea los del 3 8 volumen de la pirámide? A) 9,5 B) 8,5 C) 7,5 D) 6,5 E) 5,5 27. En el gráfico AB = AD = DC, calcule α (en grados). A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13 -4- -5-
  4. 4. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 7 - 28. En la figura las circunferencias tienen radios r = 3 u y R = 6 u, respectivamente, C es punto de tangencia y D es centro. Calcule producto DA.DB (en u 2 ) A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 40 29. En la figura se muestra el triángulo rectángulo ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD = 3 cm, entonces la medida (en cm) del segmento es:EF A) 2,14 B) 2,16 C) 2,25 D) 2,56 E) 2,82 30. En la siguiente figura, I es el incentro del triángulo ABC, BI = 6 u, DE = 1 u. Calcule BE (en u) A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 31. En la figura AC = CD, AD = 6 u y área (∆BCD) = r (área ∆ABD). Halle r. A) 1 + B) 2 + C) 2 -3 3 3 D) 1 + 2 E) 2 - 13 3 32. ABCD es un cuadrado y desde su centro O se traza un segmento OE perpendicular al plano ABC, si OE = AB entonces la medida del diedro E - DC - B es: A) ArcTg 1 2 B) ArcTg(1) ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 8 - C) ArcTg 3 2 D) ArcTg(2) E) ArcTg 5 2 33. Si x  entonces determineπ, 3π 2 los valores de y = 4 - 9 Csc 2 x 2π 3 A) <-, -12> B) <-, -11> C) <-, -10> D) <-, -9> E) <-, -8> 34. Al simplificar la expresión: k = (1Sen(2x))Cos 2 π 3 x Cos2 π 3 x  3 2 se obtiene: A) - Cos 2 (2x) 3 2 B) Sen 2 (2x) 3 2 C) - Sec(2x) 3 2 D) Csc(x) 3 2 E) 3 2 35. Si x  y0, π 2 = Tg , calcule el 1Sen(x) 1Sen(x) x a  π 2a valor de (a 2 + 1). A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 36. Sea la función f(x) = x3 ArcTg(x)x Dadas las siguientes proposiciones: I. La función f es impar II. Si x  Dom(f), entonces -x  Dom(f) III. La gráfica de f corta a la curva y = x 2 Son correctas A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III 37. Si ABCD es un cuadrado de lado 2 u y T es un punto de tangencia, entonces el área sombreada (en u 2 ) es igual a: (O centro de la circunferencia que pasa por A, T y D) A) 0,57 B) 0,68 C) 0,79 D) 0,81 E) 0,92 38. En todo triángulo ABC la suma de los cuadrados de sus lados es igual a: K(bcCosA + acCosB + ab CosC) donde K vale: A) B) C) 1 1 4 1 2 D) 2 E) 4 -6- -7-
  5. 5. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 9 - 39. Al resolver la ecuación: Sen(2x) - 12(Sen(x) - Cos(x)) + 12 = 0 obtenemos como soluciones: A) kπ , k  Z B) 2kπ y , k  Zk 1 2 π C) 2kπ y kπ, k  Z D) (2k + 1)π y π , k  Z2k 1 2 E) (3k + 1)π y , k  Zk 1 2 π 40. Del gráfico mostrado, el resultado de: E = Tgθ + Tgβ + TgΦ, es: A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 4 ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 10 - RESOLUCIÓN 01. 2 3 = +12 2001 =(2 3 ) 667 =( +1) 667 = +17 o 7 o 7 o 3 3 = -13 2001 =(3 3 ) 667 = ( -1) 667 = -17 o 7 o 7 o E = ( +1)-( -1) =7 o 7 o 7 o  Resto = 0 Rpta. A 02. Luego, son primos: 101; 131; 151; 181; 191; 313; 353; 373; 757; 797; 919 y 929  Hay 12 números NO HAY CLAVE Observación: Suponiendo que a y b son enteros, los números primos son: 101; 131 y 191  Hay 3 números Rpta. C 03. 0,a - 0,b = 0,4 ; b  0b Ð a Ð 4 Ð 8a - 8b = 40 a - b = 5   6 1 7 2 8 3 9 4  0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 = 3,11 Ð 2 Ð 3 Ð 4 Ð 1 Ð Rpta. D 04. 1/3 = ; a + 2 < 9aaa19 1(a2)9 ( +1) = ( +a+2) 3 9 o 9 o Verificando la igualdad, sólo cumple para a = 5  El conjunto posee un elemento Rpta. B 05. De acuerdo a la tabla:  A = =6 42 7 -8- -9-
  6. 6. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 11 - Entonces: Ahorro [Li; Ls> Número de semanas fi 4; 10 1 10; 16 3 16; 22 6 22; 28 12 28; 34 12  F5=34 34; 40 4 40; 46 2  A + F5 - 1 = 39 Rpta. E 06. I. Falso A  B  C  D P(DA) = P(D) - P(A) P(DA) + P(A) = P(D) P(CA)  0 P(BA)  0 | P(D A) + P(C A) + P(BA) + P(A) P(D) II. Falso : se lanzan dos dados  n() = 6 × 6 = 36 A : La suma es 7  n(A) = 6 Luego: P(A) = = 6 36 1 6 III. Falso Sean los eventos: A: En el 2do dado salió 3 B: En el 1er dado salió 1 P(A/B) = = = P(AB) P(B) 1 36 6 36 1 6 Rpta. E 07. K = (4) = (5)ab cd a + b + c + d = 11 Se cumple: Para: K = 14 = 32(4) = 24(5) Obs: a + b + c + d = 3 + 2 + 2 + 4 = 11  K = 14 Rpta. A 08. Se tiene: Se cumple: D = 50q + 15 ..... (1) D - x = 50(q-13) + 49 ..... (2) Restando (1) - (2): x = 15 + 650 - 49  x = 616 Rpta. C ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 12 - 09. Como: (m; n) se le asigna el valor de 1 2mn al reemplazar se forman las siguientes series: S1 = 1 22  1 23  1 24 ....  1 2 S2 = 1 24  1 25  1 26  ....  1 8 S3 = 1 26  1 27  1 28  ....  1 32  finalmente: S = S1 + S2 + S3 + .... = 1 2 1 1 4  2 3 Rpta. B 10. Como: |x1||x2| < 2 se cumple: |x+1| - |x-2|  0  2  0  |x+1|-|x-2|<4 I. |x + 1| 2  |x - 2| 2 x 2 +2x+1x 2 -4x+4  ... (α)x  1 2 II. 2  0  .... (β)x   III. |x + 1| - |x - 2| < 4 es equivalente “a”: |x + 1| - |2 - x | < 4 Se cumple: |x + 1| - |2 - x|  |x + 1 + 2 - x| |x + 1| - |2 - x|  3  |x + 1| - |2 - x| < 4 .... (θ) x   Finalmente α  β  θ C.S = 1 2 ;   S  1 3 ;  Rpta. B 11. Como f(x) = |x| - x I. Verdadero f(x + y)  f(x) + f(y);  x; y   |x + y| - x - y  |x| - x + |y| - y  |x + y|  |x| + |y| II. Verdadero x 2 - 2x - 3 = |x| - x |x| = x 2 - x - 3 x = x 2 - x - 3  x = -x 2 + x + 3 0 = (x  3)(x + 1)  0 = (x + )(x )3 3 x = 3  x = -1  x = -  x =3 3 no cumplen x = -1; x = 3 C.S = {3; - }3 III. Verdadero x 2 - 3x + 5 = |x| - x |x| = x 2 - 2x + 5 ∆ = (-2) 2 - 4(1)(5)  ∆ < 0  No hay soluciones reales. Rpta. C -10- -11-
  7. 7. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 13 - 12. 4x4x2 x2 x1 < m Como x 2 - x + 1 > 0, entonces: 4 + x - 4x 2 < mx 2 - mx + m 0 < (m + 4)x 2 - (m + 1)x + m - 4 ∆ = [-(m+1)] 2 -4(m+4)(m-4)<0m+4> 0 0 < 3m 2 - 2m - 65 0 < (3m + 13)(m-5)  m > -4 Luego m  <5; +>  <5; +> Rpta. E 13. Sea f:   <0; +> Como: f(a + b) = f(a)f(b) :  a; b   hacemos: a = b = 0 f(0) = f(0).f(0)  f(0) = 0  f(0) = 1 pero f(0) = 0 no cumple:  f(0) = 1 hacemos b = -a = f(a)f(-a)f(0) È 1  f(a)f(-a) = 1 Rpta. C 14. Se tiene f:   /f(x) = ax 2 + bx + c siendo f(0) = 2  Ran(f) = [b; +> del dato f(0) = 2 resulta que c = 2 Luego la función queda así: f(x) = ax 2 + bx + 2 Completando cuadrados: f(x) = a x b 2a 2  8ab 2 4a Además como Ran(f) = [b; +> se tiene: b = 8ab 2 4a  4 = 8ab 2 ab Rpta. D 15. Tenemos: y = f(x) Loga(x+ )x2 1 Notamos que f es una función inversible. Luego, despejando x en función de y. x + = a y x2 1  = a y - xx2 1   2xa y = a 2y - 1  x = a 2y 1 2a y  x = a y a y 2  f -1 (x) = a x a y 2 Rpta. D ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 14 - 16. Tenemos A inversible con: ((AX) -1 ) t = 0,5B -1 Como tenemos (AX) -1 en la igualdad, podemos concluir que X también es una matriz inversible. Luego, tomemos transpuesta a ambos miembros: (AX) -1 = 0,5(B t ) -1 Multiplicando por AX a la derecha: I = 0,5(B t ) -1 (AX) Finalmente multiplicando a la derecha por la matriz 2A -1 B t resulta: 2A -1 B t = X Rpta. E 17. Completando cuadrados en las ecuaciones se tiene: (x1)2 (y1)2 1 .... Ec. de circunferencia y(x1)2 ..... Ec. de parábola Graficando: Aquí los cortes nos representan las soluciones | C.S. = {(1; 0); (0; 1); (2; 1)} Rpta. D 18. Del enunciado tenemos el cuadro: Horas Terreno Maíz 2 h 1 Trigo 1 h 1 Total = 800 h Total = 480 Función objetivo: f(x; y) = 40x + 30y Las condiciones son: x, y  0 2x  y  800 x  y  480 El máximo ocurre en (320; 160) f(320; 160) = 40(320) + 30(160) = 12 800 + 4 800 = 17 600 soles Rpta. D 19. Tenemos la sucesión: {an} = {1; ; ; ...; ; ....} 1 22 1 32 1 n 2 la condición es: < 1 × 10 -71 n 2 -12- -13-
  8. 8. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 15 - Se tiene luego de operar: n > 3 162, 2 ....  El menor valor de n es 3 163 (n  ) Rpta. E 20. Se tiene el polinomio: p(x) = x n + ax + b con a  0  n > 1 Por condición x 2 - 1 es un divisor de p(x), es decir: x n + ax + b = (x+1)(x-1)q(x) Si x = 1: a + b = -1 ............... (I) Si x = -1: (-1) n + a(-1)+b = 0  -a+b = -(-1) n ...... (II) Como n > 1, supongamos que n = 2, entonces se tendría en (II): -a + b = -1 que al combinar con (I) resulta:  a = 0  b = -1 ab1 ab1 Pero por dato a  0. Por consiguiente n  2. Entonces, si suponemos que n = 3 tenemos en (II): -a + b = 1 Combinando con (I)  a = -1  b = 0 ab1 ab1 Conclusión: el menor valor de n es 3. Rpta. B 21. En la figura: “P” es el centro del tetraedro regular, cuyo circunradio mide R. Luego: R = ; h = 3h 4 a 6 3  R = a 6 4 Rpta. D 22. En la figura: 2L = 6  L = 3 Luego: Vsólido = Vlíquido ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 16 - sumergido desplazado ÆÉÉÉÈÉÉÉÇ ÆÉÉÉÈÉÉÉÉÇ Vcubo = Vprisma x 3 = 6 × 2 3 2 3 4 x 3 = 27 3  x = 3 6 3 Rpta. B 23. Se pide: x  Vcilindro SL(cilindro) x = π r 2 g 2π rg x = ..... (I) r 2 Luego, del dato: (2r) 2 = 16 2 + a 2 = 16 2 + 9 2 r = 337 Reemplazamos en (I):  x  337 4 Rpta. A 24. Del dato: L1 = 2π = 2πr; r = 1 L2 = 4π = 2πR; R = 2 Por Pitágoras en : h 2 + 1 2 =  h = 3( 10)2 -14- -15-
  9. 9. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 17 - Luego: V  π(3) 3 [4 12]  V = 7π Rpta. C 25. Dato: Vtronco = 336π Por dato: π(2R) 3 (62 122 6×12)  336π  VEsfera = π.R 3 = 4 3 32π 3 Rpta. C 26. Al trazar el plano paralelo a la base de la pirámide, la pirámide parcial que se forma será semejante a la pirámide inicial. Luego en la pirámide parcial: a = 8k  h = 15k Por dato: VPrisma = Vpirámide 3 8 (8k) 2 . 15k = 3 8 . 1 3 .82 .15 k =  h = 1 2 15 2  x = = 7,5 15 2 Rpta. C ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 18 - 27. Se traza y se prolonga hastaBD BA “E”. En ∆ABD: mABD = mADB = 6α  mDBC = α Luego: ∆BDC: Isósc: BD = DC  ∆ABD: equilátero: 6α = 60  α = 10 Rpta. C 28. Calcular: DA.DB. Datos: r = 3 u; R = 6 u En la circunferencia mayor se traza el diámetro y se traza . Luego:DE AE BDC ~ EDA AD r  2R DB AD . DB = 2Rr AD . DB = 2(6)(3)  AD.DB = 36 Rpta. D 29. En ABD: BD = 4 En ABC: 5 2 = (AC)(3)  AC = 25/3 En ABC: 4 2 = (DC)(3)  DC = 16/3 Luego: ABC ~ DEC: x 4  16/3 25/3  x  64 25  x = 2,56 Rpta. D -16- -17-
  10. 10. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 19 - 30. Del gráfico: AE = EI = x - 6 (mIAE = mAIE = α + β) En el triángulo AEB, por propiedad: (x - 6) 2 = x . 1 x2 13x36  0 x  9 x  4 De donde: x = 9 (x = 4 no es solución) Rpta. B 31. Sea P un punto interior al triángulo DBC, tal que el triángulo PCD sea congruente con el triángulo BCA. Luego BC = PC= b, mBCP = 2α  mBDP = α Por propiedad en el cuadrilátero DBCP: mDBC = 120 - α En ∆DBC : α = 15 Observe que , del gráficoAB//DC reemplazamos en el dato: S(BCD) = rS(ABD) 2k.k 2 r k( 31).k 2 De donde: r = 2 31  r = +13 Rpta. A ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 20 - 32. Sea: AB = OE = 2a Se traza:  y se traza:OM DC EM | OM = a  EM CD mOME = x En OME: Tgx = 2  x = ArcTg(2) Rpta. D 33. x  π, 3π 2 π < x < 3π 2 < x + < 5π 3 2π 3 13π 6 | Csc < -  Csc >2x 2π 3 2 3 x 2π 3 Luego: Csc 2 >x 2π 3 4 3 -9Csc 2 < -12x 2π 3 4 - 9Csc 2 < -8x 2π 3  y < -8 y  <-, -8> Rpta. E 34. k = [Cos 2 (60°+x)Cos 2 (60°x) ](1Sen2x) 3 2 k = [Sen 2 (60°x)Sen 2 (60°+x) ](1Sen2x) 3 2 k = [Sen120° Sen2x  ](1Sen2x) 3 2 k =  (1+Sen2x)(1-Sen2x) 3 2  k =  Cos 2 2x 3 2 Rpta. A 35. 0 < x < π 2 = Tg 1Senx 1Senx x a  π 2a = Tg 1Cos π 2 x 1Cos π 2 x x a  π 2a -18- -19-
  11. 11. ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 21 - Ctg = Tg π 4  x 2 x a  π 2a Tg = Tg x 2  π 4 x a  π 2a | a = 2 Lo pedido: a 2 + 1 = 5 Rpta. D 36. Sea la función: f(x)  x3 ArcTgx  x  Su dominio:  - {0}  f(-x) = f(x) (x)3 ArcTg(x)(x)  x3 ArcTgxx Es una función par, por lo tanto si x  Dom(f), entonces -x  Dom(f) Graficando: La gráfica: Por lo tanto las funciones: f(x) =  y = x2 x3 ArcTgxx no se cortan Contestando las proposiciones: I. Falso II. Verdadero III. Falso Rpta. B 37. Ssombreada = Strapecio - Ssemicírculo APCD = = 5π 2 = 53,1416 2 = 0,92 Rpta. E ACADEMIA PITÁGORAS EXAMEN DE ADMISIÓN 2015-I UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - 22 - 38. Condición: a 2 +b 2 +c 2 = K(bcCosA + acCosB + abCosC) 2(a 2 +b 2 +c 2 )=K(2bcCosA+2acCosB+2abCosC) (Por el T. cosenos) 2(a 2 +b 2 +c 2 ) = K(a 2 +b 2 +c 2 )  K = 2 Rpta. D 39. Sen2x = 1 - (Senx - Cosx) 2 Sen2x - 12(Senx - Cosx) - 12 = 0 (Senx-Cosx) 2 + 12(Senx-Cosx)-13=0 I. Senx - Cosx = 13 (No hay solución) II. Senx - Cosx = 1  x = (2k + 1)π x = 2k 1 2 π Rpta. D 40. De la figura:  Tgθ = 1 2  Tg (-β) = | Tgβ = - 1 2 1 2  TgΦ = 2  Tgθ + Tgβ + TgΦ = 2 Rpta. D -20- -21-
  12. 12. -22-

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