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Ecuaciones diferenciales no lineales
- 1. Ecuaciones Diferenciales No Lineales Lider Eduardo Pilligua Menéndez
- 2. Sabemos que son pocas las ecuaciones diferenciales no lineales que pueden ser convertidas en ecuaciones diferenciales lineales, entre las cuales destacan: la Ecuación Diferencial Bernoulli de y la de Riccatti.
- 3. Es una ecuación de la forma: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚 𝒏 Donde 𝑷 𝒙 y 𝑸(𝒙) son funciones continuas de 𝒙 (o constantes) y, 𝒏 ≠ 𝟎 ; 𝒏 ≠ 𝟏(en el caso contrario resulta una ecuación lineal). Ecuación Diferencial de Bernoulli
- 4. Paso Nº1: Dividir para 𝒚 𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚 𝒏 𝒚−𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚𝒚−𝒏 = 𝑸(𝒙) 𝒚−𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝑸(𝒙) Esta ecuación, llamada de Bernoulli, se reduce a una ecuación lineal mediante la siguiente transformación: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚 𝒏
- 5. Paso Nº2: Cambiar de variable 𝐳 = 𝒚 𝟏−𝒏 Además derivando la nueva variable con respecto a 𝒙. 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = (𝟏 − 𝒏)𝒚 𝟏−𝒏−𝟏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = (𝟏 − 𝒏)𝒚−𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟏 (𝟏 − 𝒏)𝒚−𝒏 𝒅𝒛 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒏 (𝟏 − 𝒏) 𝒅𝒛 𝒅𝒙
- 6. Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta: 𝒚−𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝑸(𝒙) 𝒚−𝒏 𝒚 𝒏 𝟏 − 𝒏 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒛 = 𝑸(𝒙) 𝟏 (𝟏 − 𝒏) 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝑷 𝒙 𝒛 = 𝑸(𝒙) 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝟏 − 𝒏 𝑷(𝒙)𝒛 = 𝟏 − 𝒏 𝑸(𝒙) 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 𝒏 (𝟏 − 𝒏) 𝒅𝒛 𝒅𝒙
- 7. Es una ecuación no lineal de la forma: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝑷 𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒚 + 𝑹 𝒙 𝒚² Para resolver, se debe conocer una solución particular 𝒚 𝟏. Después de conocida dicha solución se realiza la siguiente sustitución: 𝒚 = 𝒚 𝟏 + 𝒖 Ecuaciones Diferenciales de Riccatti
- 8. Para resolverla suponemos una solución particular conocida 𝑦1 de tal forma que 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢 es una solución de la ecuación de Riccatti, con esto reducimos la ecuación de Bernoulli, veámoslo. Si y es una solución entonces.
- 9. Ejercicios Resueltos Los Ejercicios del 1 al 5 son de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli y del 6 al 10 son de Ecuaciones Diferenciales de Riccatti.
- 10. Ejercicio Nº1 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝒙𝒚³ A la ecuación diferencial dada expresamos así: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒚 = 𝒚³ 𝟐 ;multiplicamos por 𝒚−𝟑 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒚−𝟐 = 𝟏 𝟐 multiplicamos por −𝟐 −𝟐𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒙 𝒚−𝟐 = −𝟏 Sea 𝒛 = 𝒚−𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = −𝟐𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙 Reemplazamos 𝒅𝒛 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒙 𝒛 = −𝟏; ecuación lineal en z Y la solución general es: 𝒛 = 𝒆 − 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒛 = 𝒆−𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝒄 = 𝒆𝒍𝒏𝒙−𝟐 + 𝒄 = 𝒙−𝟐 Multiplicamos para toda la ecuación 𝒙−𝟐
- 11. 𝒙−𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒙 − 𝟐𝒙−𝟑 𝒛 = −𝒙−𝟐 Reemplazamos 𝒅 𝒅𝒙 𝒙−𝟐 𝒛 = −𝒙−𝟐 Integramos 𝒙−𝟐 𝒛 = − 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 𝒙−𝟐 𝒛 = 𝒙−𝟏 + 𝒄 𝒛 = 𝒙−𝟏 𝒙−𝟐 + 𝒄 𝒙−𝟐 𝒛 = 𝒙 + 𝒄𝒙² Reemplazamos 𝒛 𝒚−𝟐 = 𝒙 + 𝒄𝒙² 𝒚² = 𝟏 𝒙+𝒄𝒙² 𝒚 = 𝟏 𝒙+𝒄𝒙² 𝒛 = 𝒚−𝟐
- 12. Ejercicio Nº2 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒙 𝒚 = −𝟐𝒙𝒚² Multiplicamos para 𝑦−2 𝑦−2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2 𝑥 𝑦−1 = −2𝑥 Sustituimos 𝑦−2 −𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 2 𝑥 𝑧 = −2𝑥 Multiplicamos para – 1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 2 𝑥 𝑧 = 2𝑥; ED Lineal Multiplicamos por el Factor Integrante 𝑥−2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 2𝑥−3 𝑧 = 2𝑥−1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥−2 𝑧 = 2𝑥−1 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝟐 𝒛 = 𝒚−𝟏 Derivamos 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = −𝒚−𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝒚² 𝒅𝒛 𝒅𝒙 Factor Integrante 𝒆 − 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆 −𝟐𝒍𝒏𝒙 = 𝒆 𝒍𝒏𝒙−𝟐 = 𝒙−𝟐
- 13. 𝑑 𝑥−2 𝑧 = 2𝑥−1 𝑑𝑥 𝑥−2 𝑧 = 2𝑙𝑛𝑥 + 𝐶 𝑧 = 2𝑙𝑛𝑥 𝑥−2 + 𝐶 𝑥−2 𝑧 = 2𝑥²𝑙𝑛𝑥 + 𝐶𝑥² 𝑦−1 = 2𝑥²𝑙𝑛𝑥 + 𝐶𝑥² 𝑦 = 1 2𝑥²𝑙𝑛𝑥+𝐶𝑥² 𝒚 = 𝟏 𝒙²(𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝑪)
- 14. Ejercicio Nº3 Resolver 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 = 𝒙𝒚− 𝟏 𝟐 Multiplicamos para 𝒚 𝟏 𝟐 𝒚 𝟏 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙𝒚 𝟑 𝟐 = 𝒙 Reemplazamos 𝒚 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑𝒚 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝒙𝒛 = 𝒙 Multiplicamos 𝟑 𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝟑 𝟐 𝒙𝒛 = 𝟑 𝟐 𝒙 ; ED Lineal Sea 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏 𝒛 = 𝒚 𝟏− − 𝟏 𝟐 𝒛 = 𝒚 𝟑 𝟐 Derivamos 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟐 𝒚 𝟏 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 ; 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟑𝒚 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒙 Factor Integrante 𝒆 𝟑 𝟐 𝒙𝒅𝒙 = 𝒆 𝟑 𝟐 𝒙𝒅𝒙 = 𝒆 𝟑 𝟐 𝒙² 𝟐 = 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙²
- 15. Multiplicamos por 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙² 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙² 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙² 𝟑 𝟐 𝒙𝒛 = 𝟑 𝟐 𝒙 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙² Reemplazamos 𝑑 𝑑𝑥 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 𝒛 = 𝟑 𝟐 𝒙 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙² Integramos 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 𝒛 = 𝟑 𝟐 𝒙 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙² 𝒅𝒙 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 𝒛 = 𝒆 𝒗 𝒅𝒗 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 𝒛 = 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙² + 𝑪 𝒛 = 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 + 𝑪 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 𝒛 = 𝟏 + 𝑪 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 𝒚 𝟑 𝟐 = 𝟏 + 𝑪 𝒆 𝟑 𝟒 𝒙2 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝟑 𝟐 𝒙𝒛 = 𝟑 𝟐 𝒙 ED Lineal 𝑣 = 𝟑 𝟒 𝒙² 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 3 2 𝑥 𝒛 = 𝒚 𝟑 𝟐
- 16. Ejercicio Nº4 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒚 = 𝒙𝒚² Multiplicamos para 𝒚−𝟐 𝒚−𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒚−𝟏 = 𝒙 Sustituimos 𝑦−2 −𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 1 𝑥 𝑧 = 𝑥 Multiplicamos para – 1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 1 𝑥 𝑧 = − 𝑥; ED Lineal Multiplicamos por el Factor Integrante 𝑥−1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝑥−2 𝑧 = −1 𝑑 𝑑𝑥 𝑥−1 𝑧 = − 1 𝑥−1 𝑧 = −𝒅𝒙 Sea 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝟐 𝒛 = 𝒚−𝟏 Derivamos 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = −𝒚−𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝒚² 𝒅𝒛 𝒅𝒙 Factor Integrante 𝒆 − 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆 −𝒍𝒏𝒙 = 𝒆 𝒍𝒏𝒙−𝟏 = 𝒙−𝟏
- 17. 𝒙−𝟏 𝒛 = −𝒙 + 𝒄 𝒛 = − 𝒙 𝒙−𝟏 + 𝑪 𝒙−𝟏 𝒛 = −𝒙2 + 𝑪𝒙 Reemplazamos 𝒚−𝟏 = −𝒙2 + 𝑪𝒙 𝒚 = 𝟏 −𝒙2+𝑪𝒙 𝒛 = 𝒚−𝟏
- 18. Ejercicio Nº5 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟐𝒚 𝒙 = 𝟐𝒚² Dividimos para y² 𝒚−𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒙 𝒚−𝟏 = 𝟐 Reemplazando 𝒚−𝟐 −𝒚2 𝒅𝒛 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒙 𝒛 = 𝟐 Simplificamos y multiplicamos para – 1 𝒅𝒛 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒙 𝒛 = −𝟐 Multiplicamos para 𝒙−𝟐 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝒏 𝒛 = 𝒚 𝟏−𝟐 𝒛 = 𝒚−𝟏 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = −𝒚−𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝒚² 𝒅𝒛 𝒅𝒙 Factor Integrante 𝒆 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆−𝟐𝒍𝒏𝒙 = 𝒆𝒍𝒏𝒙−𝟐 = 𝒙−𝟐
- 19. 𝒙−𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒙 − 𝟐𝒙−𝟑 𝒛 = −𝟐𝒙−𝟐 𝒅 𝒅𝒙 𝒙−𝟐 𝒛 = −𝟐𝒙−𝟐 𝒙−𝟐 𝒛 = −𝟐 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 𝒙−𝟐 𝒛 = 𝟐𝒙−𝟏 + 𝒄 𝒛 = 𝟐𝒙−𝟏 𝒙−𝟐 + 𝒄 𝒙−𝟐 𝒛 = 𝟐𝒙 + 𝒄𝒙² 𝒚−𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝒄𝒙² 𝒚−𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝒄𝒙² 𝒚 𝟏 = 𝟐𝒙𝒚 + 𝒄𝒙²𝒚 𝟎 = 𝟐𝒙𝒚 + 𝒄𝒙² − 𝟏
- 20. Ejercicio Nº6
- 23. Ejercicio Nº7
- 25. Ejercicio Nº8
- 28. Ejercicio Nº9
- 31. Ejercicio Nº10
- 34. Ejercicio Extra
- 35. Ecuación Diferencial de Bernoulli • Sea la ecuación: •Lo primero que debemos hacer es revisar si la ecuación cumple con la forma ordinaria Si la ecuación cumple con la forma básica, ahora debemos sacar los valores siguientes:
- 36. Solución En este punto sacaremos el valor de w. Por lo tanto: Expresamos la ecuación en términos de la diferencial:
- 37. Resolvemos los paréntesis y queda: Ahora determinamos el factor integrante: Factor integrante
- 38. Ya que tenemos el factor integral aplicamos la siguiente formula: Donde: u es el factor integrante. q(x) seria igual al valor que tiene f(x) Evaluamos la ecuación: Y nos queda:
- 39. Al analizar la ecuación nos damos cuenta que necesitamos hacerla por partes entonces tomamos un valor para u y para dv pero solo de : Realizamos las integrales que aun quedan y el resultado es:
- 40. Multiplicamos para quitar los corchetes y paréntesis: Ya tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el valor que teníamos al principio el de w=y-³ La respuesta simplificada es:
- 41. Conclusión Podemos resumir que para realizar una E.D.B es necesario: Acomodar la ecuación en la forma básica. Sacar los valores de la ecuación. Poner la ecuación en términos de la diferencial. Sacar el factor integrante. Evaluar la ecuación con la formula
- 42. Libros: 1. Calculo Diferencial e Integral - Tomo II – Piskunov – 3ra Edición – Mir Moscú – 1977 2. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Kiseliov - Krasnov - Makarenko - 4ta Edición – Mir Moscú – 1984 3. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones - Eduardo Espinoza Ramos - 5ta Edición - Lima – Perú – 1996 4. Ecuaciones Diferenciales - Isabel Carmona Jover - 5ta Edición - Pearson Educación - México – 2011 5. Cálculo Diferencial E Integral - William Anthony Granville - México - LIMUSA - 2009 Bibliografía
- 43. GRACIAS...