1. Apuntes de Matemática II. Instituto Tecnológico de Soledad. ITSA Blas Torres Suárez
INSTITUTO TECNOLOGICO DE SOLEDAD ATLANTICO
ASIGNATURA : MATEMÁTICA II (BAC05)
DOCENTE : BLAS TORRES SUAREZ
APUNTES DE CLASE
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:
Sea f una función en x y 'f su derivada, definimos como derivadas de orden superior, a las siguientes:
NOMBRE: SIMBOLO: DEFINICION:
Segunda derivada: 2
2
),('';''
dx
yd
xfy , la segunda derivada de f es la derivada de 'f
Tercera derivada: 2
3
),(''';'''
dx
yd
xfy , la tercera derivada de f es la derivada de ''f
Cuarta derivada: 4
4
4)4(
),(;
dx
yd
xfy , la cuarta derivada de f es la derivada de '''f
n-ésima derivada: n
n
nn
dx
yd
xfy );(; )()(
, la n-ésima derivada de f es la derivada de
)1( −n
f
Ejercicios:
I. Hallar la segunda derivada de:
1.
2/3
4)( xxf =
2.
1
)(
−
=
x
x
xf 3. senxxf 3)( =
II. Hallar las derivadas de orden superior que se indican:
Dada Hallar
1.
2
)(' xxf = ; )('' xf
2.
x
xf
2
2)('' −= ; )(''' xf
3. 12)( += xxf ; )()3(
xf
III. Hallar todas las derivadas de la función definida por 672)( 235
+−+= xxxxg
****************************

2. Apuntes de Matemática II. Instituto Tecnológico de Soledad. ITSA Blas Torres Suárez
En muchas situaciones prácticas, una cantidad está dada como una función de una variable que, a su vez,
puede expresarse como una función de una segunda variable (a esto se llama función compuesta). El
problema de hallar la derivada de la cantidad original, puede resolverse por medio de la regla de la cadena,
o regla para derivar una función compuesta
Función compuesta: Se llama función compuesta de la función f con la función g a la función:
)]([))(( xgfxgf =
Ejemplo 1:
141)(4][)]([)(
:)14(]14[)]([)(
14)()(
6322
233
32
+=+===
+=+==
+==
xxxgxfgxfg
quetieneseparteotradeyxxfxgfxgf
entoncesxxgyxxfSi


Ejemplo 2 :
xsensenxsenxgxfgxfg
xsenxfxgfxgf
xxgysenxxfSi
22
22
2
3)(3)()]([))((
3)3()]([))((
3)()(
====
===
==


A continuación veremos cómo hacer para derivar una función compuesta.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Ó REGLA DE LA CADENA :
)(')]([')()'( xgxgfxgf =

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Ejemplo 1: Hallar la derivada de
32
)1( −= xy
2222
2223
3223
)1(6)2()1(3)(')](['',Finalmente
2)('además
)1(3)](['y3)('entonces,)(Pero
)(')]([''tantoPor
)1()]([entonces1)()(Sea:Solución
−=−==
=
−===
=
−==−==
xxxxxgxgfy
xxg
xxgfxxfxxf
xgxgfy
xxgfyxxgyxxf
Otra forma de enunciar la regla de la cadena :
Si y es derivable en u y u es derivable en x , entonces y es una función compuesta de x y:
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=
Ejemplo 1: Hallar ,
dx
dy
si 2y13 223
+=+−= xuuuy :
Solución:
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= ; pero )63( 2
uu
du
dy
−= y además =
dx
du
x2 , entonces:
dx
dy
)63( 2
uu −= . xxxx 2)].2(6)2(3[2 222
+−+= sacamos factor común y queda
=
dx
du
= )2(6)2)()(2(32)].2)2)((2(3[ 232222
+=+=−++ xxxxxxxx
O sea , =
dx
du
)2(6 23
+xx
Ejemplo 2: Hallar
dx
dy
cuando 13y
1
si1 2
−=
+
== xu
u
u
yx
222
)1(
6
entonces6y;
)1(
1
)1(
)1()1(
pero;
+
==
+
=
+
−+
=⋅=
u
x
dx
dy
x
dx
du
uu
uu
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
Ahora,
3
2
9
6
entonces
)3(
)1(6
entonces1si 2
===
dx
dy
x
Ejercicios:
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, aplicando regla de la cadena :
1. xy 2
sec= 2.
93
)143( +−= xxy 3.
22
)4( −
+= xy
4. 3
)1(
1
)(
+
=
x
xg 5. xy 4tan3= 6. xsenxf 3)( 3
=
7.
2
13
12






−
+
=
x
x
y 8.
2
2
7
)( 





+
−
=
x
x
xf 9.
2
3
2
3
12





 +
=
t
t
y
10. 23)( 2
++= xxxf
11.
1
1
)(
−
+
=
t
t
tf 12. )3(sec 24
xy =

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Emplear la regla de la cadena para hallar
dx
dy
en cada uno de los siguientes ejercicios :
1. 23;12
−=+= xuuy 2. 32; 2
−+== xxuuy
3. 1;
1 2
2
+== xu
u
y
4. 9;
1 2
−== xu
u
y 5.
2
;
1
1
xu
u
y =
−
=