Sintesis.De.Precalculo

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Sintesis de Precálculo por prof. Juan José Ortiz. Universidad de Guadalajara. CUCEI.

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Sintesis.De.Precalculo

  1. 1. Síntesis de Precálculo ORTIZ MUÑOZ
  2. 2. ORTIZ MUÑOZ SINTESIS DE PRECÁLCULO
  3. 3. INTRODUCCIÓN La presente obra esta diseñada para cubrir con una de las más importantes recomendaciones de la evaluación que el CACEI (Consejo de Acreditación de la Enseñanza de la Ingeniería) ha hecho a nuestro centro de estudios, de forma general para todas las curriculas. Y de esta manera salvar el importante hueco de la creación de guías académicas, cuadernos de trabajo y material bibliográfico. Síntesis de Precálculo, es un resumen práctico de los contenidos temáticos del programa de esta asignatura actualizado y ajustado a los tiempos en el avance programático en nuestro Centro Universitario (CUCEI). Viniendo a ser un soporte, en el desarrollo y exposición de los temas de esta materia. Pudiendo usarse en Facultades, Escuelas e Instituciones semejantes. Presenta los puntos y criterios de coincidencia significativos de los cuales la mayoría de tus profesores comparten, anexando un cuaderno de trabajo en el cual encontraras ejercicios que te permitirán evaluar el grado de comprensión, así como las habilidades y destrezas adquiridas respecto a los contenidos y objetivos de está asignatura. No dudamos que el esfuerzo que hoy emprendes por la comprensión y estudio de este libro, sustentado con la reflexión del trabajo realizado en el aula y reforzado por la puntualidad de tus ejercicios, te permitirá alcanzar una alta autoestima y el éxito al cual aspiras. El Autor
  4. 4. Mtro. Cesar Eleazar Muñoz Aceves 978 – 970 – 764 – 621 – 6
  5. 5. PROGRAMA PARA EL CURSO DE PRECÀLCULO INDICE 1 - EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES……………………………5 Los números Naturales (N) y los Enteros (Z) Los números Racionales (Q) y los Irracionales (H) El campo de los números Reales (R) Propiedades de los números Relación de Orden Igualdades y Desigualdades Concepto de número Imaginario (i) Concepto de número Complejo (C) II – OPERACIONES FUNDAMENTALES…………………………………….25 Definiciones La adición La sustracción Axiomas y teoremas para la multiplicación Leyes de Exponentes para la multiplicación Multiplicación de dos o más monomios El producto de dos ó más polinomios La división El cociente de dos polinomios Ley de Exponentes Ley de radicales Operaciones algebraicas con los números complejos III – PRODUCTOS NOTABLES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES…52 Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa Binomio de exponente entero y positivo Binomio de exponente entero y negativo Cuatro casos significativos de Factorización Teorema del Binomio IV – FRACCIONES ALGEBRAICAS…………………………………………..71 Definiciones y principio fundamental Conversión de fracciones Multiplicaciones de fracciones Adición de fracciones Fracciones complejas
  6. 6. V – ECUACIONES LINEALES Y FRACCIONARIAS……………………….82 Definiciones Ecuaciones equivalentes Ecuaciones lineales con una incógnita Ecuaciones fraccionarias Inecuaciones Lineales (La relación de Desigualdad y Valor Absoluto) VI – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS………….95 Solución de sistemas como intersección de conjuntos Métodos Analíticos de solución Sistemas de 2 y 3 Incógnitas Solución por determinantes Interpretación grafica Coordenadas Cartesianas VII – ECUACIONES CUADRATICAS…………………………………………114 Métodos de solución Raíces reales Raíces complejas Factorización del trinomio cuadrático general Ecuaciones del tipo cuadrático Ecuaciones con radicales 1er EXAMEN DEPARTAMENTAL................................................... VIII – FRACCIONES PARCIALES………………………………………….. Factores Lineales Diferentes ( Caso I ) Factores Lineales Repetidos ( Caso II ) Factores Cuadráticos Diferentes ( Caso III ) Factores Cuadráticos Repetidos ( Caso IV ) IX – ECUACIONES ALGEBRAICAS DE GRADO SUPERIOR Teorema del Residuo Teorema del Factor y su inverso División Sintética Grafica de un Polinomio Raíces Racionales de una ecuación polinomica La ecuación reducida Proceso de obtención de todas las raíces racionales Raíces Imaginarias e Irracionales X – FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Funciones exponencial La función exponencial natural Funciones logarítmica Grafica de las funciones exponenciales
  7. 7. Logaritmos comunes y naturales Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Definición de funciones hiperbólicas y sus inversas (se omite) XI –TRIGONOMETRIA (CONCEPTOS BÁSICOS) (se omite) Ángulos, arcos y sistemas de medición Definición de las funciones trigonometricas Identidades fundamentales Grafica de funciones trigonometricas Ley de los Senos Ley de Cósenos Solución de triángulos XII – NÚMEROS COMPLEJOS (se omite) Forma polar de los números complejos Forma polar general de los números complejos Potencias de números complejos Raíces de números complejos Teorema D´Moivre XIII - GEOMETRÍA ANALÍTICA (CONCEPTOS BÁSICOS) (se omite) La Recta La Circunferencia La Parábola La Elipse La Hipérbola 2 do EXAMEN DEPARTAMENTAL....................................................... EJERCICIOS (REACTIVOS)…………………………………………...Adjunto en CD EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN…………………………………...Adjunto en CD BILIOGRAFIA
  8. 8. 1.- El Conjunto de los Números Reales Definiciones; Conjuntos – Un conjunto es una colección, lista o clase de objetos de la misma especie. Estos objetos son los elementos (∈) del conjunto. Las vocales del alfabeto = {a, e, i, o, u} Los números Naturales = { ,2,3,................ } 1 Los conjuntos se definen enumerando sus elementos o enunciando sus propiedades. Notación: Es usual denotar los conjuntos con letras mayúsculas. A,B,C,.......... Los elementos (∈) se representan con letras minúsculas. A,b,c,.............. Símbolos de uso frecuente en Conjuntos: ∀ , ∈ , ∉ , { } , U , I , ⊂ , ...... , = , ≠ , | Al definir un conjunto por enumeraciones se escriben los elementos separados por comas y encerrados entre llaves, si se define enunciando sus propiedades se emplea una letra, por lo general “x”. A = {a, e, i, o, u} B = { x /x Es un número Natural } Números Naturales ( N ) – Son la forma más antigua de contar. Si partiendo de la unidad le añadimos otra, y al número así obtenido otra, etc., y designamos cada vez por su nombre el número que resulta, efectuamos la operación de contar o numerar. Tales números 1,2,3,etc., obtenidos sucesivamente constituyen la serie numérica; sus términos son los números naturales, a´= a + 1 , 1´ =1 + 1= 2, 2´=2 + 1= 3, 3´=3 + 1= 4, 4´= 4 + 1=5........ N = { , sig (1), sig. (Sig.(1)),..... } 1 N = { ,2,3,................ } 1 N⊂Z Números Enteros ( Z ) –Son los números que permiten la consideración de magnitudes, como cantidades de dinero, temperaturas, fechas, etc., que dan lugar a dos sentidos (mayor que cero o menor que cero ), ( a favor o en contra ), etc. Los números enteros son la unión del conjunto de los números naturales( N ) con sus opuestos, más el cero. Esta es la razón de denominarlos Positivos (+) y Negativos (-). Ejem. Z={...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Números Reales ( R ) – Son una sucesión cualquiera de infinitas cifras decimales que pueden ser periódica(Q) o no periódicas(H). Son la unión de los números Racionales y los números Irracionales. Cada conjunto de números queda incluido en el posterior; es decir, los enteros incluyen a los naturales, los racionales a los enteros, los reales a los racionales, y los complejos a los reales. Los Números Reales se subdividen en: Números Racionales ( Q ) – Es la razón ( cociente ) de dos enteros, siempre y cuando el a 3 1 3 2 8 denominador sea diferente de cero , ..si..b ∈ Z .. y...b ≠ 0 . Ejem. , , , , . Otra b 1 5 4 3 7 definición es, las partes decimales de un Número Racional se prolongan indefinidamente en forma periódica o consecutiva, Ejem. 3.000.....= 3, .2000.....= .2 0 , .75000.....= . 750 , .6666.....= . 6 , 1.142657142657.....= 1 . 142657
  9. 9. Números Irracionales ( H ) - A diferencia del número Racional, el número Irracional es aquel en que sus partes decimales no son consecutivas o periódicas. Ejem. 2 =1.41421....., 3 =1.73205....., 5 =2.23606....., π =3.14159....., e =2.71828..... Recta Numérica – La recta en si es un conjunto de puntos encontrándose unos con respecto a otros a la misma distancia (equidistantes), la recta es infinita en ambos sentidos. En la grafica (Fig. 1) se puede observar los números N, Z, R, Q, H. Plano cartesiano – Si la recta numérica la giramos 1800 en contra de las manecillas del reloj, tendremos otra abscisa con las mismas características y para diferenciarla, la denominaremos ordenada al origen o eje de las y. Cuenta con cuatro cuadrantes cada uno de 900 y con las características que se observan en la Fig. 2. 2 = 1.41421.... x´ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1/2 1/2 π =3.14159.... Fig. 1 e = 2.71828.... PLANO CARTESIANO ( 900) y x=y x=y II I (− x, y ) ( x, y ) (1800) x´ x (00 ò 3600) (− x,− y ) ( x, − y ) III IV Fig. 2 2700
  10. 10. SISTEMAS NUMÉRICOS NÚMEROS COMPLEJOS NÚMEROS REALES NÚMEROS IMAGINARIOS NÚMEROS NÚMEROS RACIONALES IRRACIONALES (-) (+) ENTEROS FRACCIÓNARIO (-) (+) (-) 0 (+)
  11. 11. EJERCICIO 1
  12. 12. Números Complejos Números Complejos ( C ) - El número complejo esta formado por una parte real y una ( ) parte imaginaria a + bi = x + yi.. a ∨ x = parte real , bi ∨ yi = parte imaginaria , a ∧ ∧ esta representación se le denomina forma binómica ó binomial (rectangular).Fig. 3 Ejem. 1 + − 4 = 1 + 4(− 1) = 1 + 4 − 1 = 1 + 2i, 3 – 5i, etc. Nota: Número Imaginario ( i ) = i = − 1 . Ejem. − 4 = 2i, −3= 3 i, etc. Y i = −1 . 2 Ejem. 3i = −3,−7i = 7 2 2 El Número Imaginario sé grafica en el Plano Complejo ó Plano de Argand La b y/ó y con respecto al Número Imaginario serán coeficientes numéricos Partiendo de la anterior representación se tendrán dos acepciones, cuando; • Si la parte Imaginaria es igual a cero ( bi y/ó yi ) = 0 ∴ Existirá exclusivamente la parte real y se le denomina por algunos autores como ( ) Número Real Puro a = x = N o .. Re al...Puro . Ejem. 3, 7, etc. (estos se encontraran a 00 en el Plano Complejo, sobre el eje real en la parte positiva, entre el I y IV cuadrante). Los números -2,-9. (estos se encontraran a 180o en el Plano Complejo, sobre el eje real en la parte negativa, entre el II y el III cuadrante). • Si la parte real es igual a cero ( a y/ó x ) = 0 ∴ Existirá exclusivamente la parte Imaginaria y se le denomina por algunos autores como Número ( ) Imaginario Puro bi = yi = N o .. Im aginario...Puro . Ejem. − 4 = 2i, − 3 = 0 3 i, etc. (estos se encontraran a 90 , en el Plano Complejo, sobre el eje imaginario en la parte positiva, entre el I y el II cuadrante) y los números - − 4 = -2i, - − 3 = - 3 i, etc. (estos se encontraran a 270 0 , en el Plano Complejo, sobre el eje imaginario en la parte negativa, entre el III y IV cuadrante). Nos reservamos el trabajo con la forma binomica (rectangular) con respecto a las operaciones de suma, resta, multiplicación y división por medio del proceso algebraico, para abocarnos a su estudio al término del Capitulo 2.
  13. 13. PLANO COMPLEJO Ó PLANO DE ARGAND 90 o yi x=y x=y II I − x + yi x + yi (180 O ) x´ x (0 O Ó 360 O ) − x − yi x − yi III IV x=y x=y yi´ 270 0 Fig. 3
  14. 14. POSTULADOS DE 1CAMPO Y DE 2ORDEN (PROPIEDAD ó LEY) 1 Propiedad de Cerradura: a, b ∈ R Para la Suma a + b ∈ R Para la Multiplicación a ⋅ b ∈ R 1 Propiedad de Identidad: Para la Suma a + 0 = a Para la Multiplicación a ⋅ 1 = a 1 Propiedad del Inverso Aditivo: a + (− a ) = 0 1 Propiedad Asociativa: a, b, c ∈ R Para la Suma a + (b + c ) = (a + b ) + c Para la Multiplicación a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c 1 Propiedad Conmutativa: a, b ∈ R Para la Suma a + b = b + a Para la Multiplicación a ⋅ b = b ⋅ a 1 Propiedad del Inverso Multiplicativo: 1 a   = 1 ; a ⋅ a −1 = 1 a 1 Propiedad Distributiva: a, b, c ∈ R a ⋅ (b + c ) = ab + ac POSTULADOS DE LA IGUALDAD a = a representan el mismo elemento de algún conjunto Reflexiva a∈R, a = a Simétrica Si...a = b ∈ R, Si..a = b, entonces...b = a Transitiva Si...a = b, y..b = c, entonces...a = c Sustitución Si...a, b ∈ R, Si..a = b, entonces...a se sustituye por b Aditiva Si...a = b, y..c = d , entonces...a + c = b + d Multiplicativa ∀a, b, c, d ∈ R, a = b.. y..c = d ⇒ a × c = b × d EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.
  15. 15. Ley de los Signos 2 x es positivo si y sólo si x > 0 2 x es negativo si y sólo si x < 0 Para la: (+ ) + (+ ) = +  + ×+ = +  + ÷+ = +  (+ ) + (− ) = ±  − ×+ = −  + ÷− = −  Suma   Multiplicación   División   (− ) + (+ ) = m  + ×− = −  − ÷+ = −        (− ) + (− ) = −  − ×− = +  − ÷− = +  Propiedad de multiplicación por –1 Si a ⊂ R, entonces (–1)a = – a y a(–1) = – a Contesta a las siguientes preguntas: Si y es un número (–) y x es un número positivo (+) x+y= , x/y = ,x–y= EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.
  16. 16. Ley de Cocientes a a c ac a 1) =a 7) • = 11) Fracc..impropia, → a >b 1 b d bd b −a a a a c a d ad a 2) = =− 8) ÷ = × = 12) Fracc.. propia, →a<b b −b b b d b c bc b a c a × (b ÷ c ) 3) = ∴ ad = bc 9) Fracc.Complejas , b d d 4) a 0 = a1a −1 = a [a × (b ÷ c )] ÷ (d ÷ e) , etc. a a c a+c b ab 5) ± = 10) Fracc.Mixta, a × = b b b c c b ac + b a+ = c c a c ad + cb 6) ± = Nota: Si a∀R b d bd a 0 0 =a , =0, = indeterminación 1 a 0 EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades. Ejem. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.
  17. 17. BASE Ley de Exponentes a n EXPONENTE n −n 1 a a n 1) a = 1 0 7) a = n 13)   = n ,si n(+) y b≠ 0 a b b −n 1 a bn 2) a 1 = a 8) a n = 14)   = n a−n b a 3)a n = a • a • a. • .......... 9) a m a n = a m + n 15) (ab ) = a n b n n 4)1n = 1 ( ) 10) a m n = a mn ( ) 5) − 1 n = 1, n = par 11) am a n = a m − n , si..a ≠ 0..., m > n ( ) 6) − 1 n = −1, n = impar am 1 12) n = n − m , si..a ≠ 0..., m < n a a Atendiendo a la ley de los exponentes señalar la propiedad que aplica y resolver los siguientes ejemplos: 1) 30 = 2) 71 = 3) 24 = 4) 134 = 5) ( –1)32 = 6) ( –1)17 = 7) 4– 2= 8) 42 = 2 2 3 56 53 9) 3∙3 = ∙ 10) [(2 ) ] = 11) 3 = 12) 6 = 5 5 2 −2  32  3 2  52  13)   2  =  14) [(2) (3)] = 15)    3 =     EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades.
  18. 18. INDÍCE DEL RADICAL Ley de Radicales n a RADICANDO RADICAL RADICAL EXPONENCIAL RACIONAL | 1) n 1 = 1n = 1 m  1 m 2) n 1m = 1n    = 1n = 1   1 3) −1 = (− 1) 2 = i 1 4) n a = an n 5) n a n = a n = a ( a) m m m 6) n a = n = a n n 7) n a b = n ab 1 1 a n a  a n an 8) n   = =   = 1 b n b b bn 1 9) n m a = nm a = a nm EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Anexa ejemplo Aritmético de cada una de las propiedades. Atendiendo a la ley de los radicales señalar la propiedad que aplica y resolver los siguientes ejemplos: 3 1) 1= 2) (4 1 )3 = 3) − 32 = 4) 7 5= 7 7 7 7 5) 57 = 6) 53 = 7) 23 22 = 7 7 7 7 8) 23 24 = 9) 23 29 = 10) 5 3 2 = En los siguientes problemas racionalizar el denominador de ser posible 3 3 3 35 10) = 11) = 2 2
  19. 19. RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Para racionalizar denominadores Aritméticos, esto es únicamente cuando tenemos cualquier cantidad dentro del radical como denominador, para una mejor comprensión del proceso atenderemos los razonamientos y pasos a seguir en el ejemplo: 1 Si tenemos el cociente sabemos que el denominador es un número irracional y dicho 2 denominador lo queremos transformar a un número racional 1er Multiplicar el cociente que contiene 2 en su denominador por la unidad con la finalidad de no alterar el cociente 1 1 = * 1, lo anterior también se efectúa cuando se pide racionalizar el numerador 2 2 3 3 3 3 3 = 3 ∙ 1 2do Para transformar el número irracional de un cociente en un número racional, se multiplicara el denominador ò el numerador dependiendo del problema original ( n a m ), por el mismo índice del radical y radical que tenga el denominador ò numerador a racionalizarse ( ), y el radicando con un exponente igual a la diferencia del índice del radical original y el exponente original del radicando. Considerando lo anterior, si queremos eliminar el índice del radical y el radical, requerimos de la propiedad siguiente n a n donde podemos observar que se anulan el índice del radical y el radical con el exponente de radicando. 1 Ejem. Racionalizar el denominador n am a n−m a n− m a n−m a n−m a n−m 1 1 1= 1 n n n n n = ∙ ∙ = = = = n am n am n am n a n−m n a m a n−m n a m+n−n n an a El proceso completo puede observarse a continuación 1 1 1 2 2 = * 1= * = 2 2 2 2 2 NOTA: En la Aritmética podemos comprobar los resultados de estos cocientes
  20. 20. Ejem. Note que en ambos cocientes el resultado es el mismo. 1 2 1 2 ≈ .7071067 y ≈ .7071067 ; = 2 2 2 2 7 (en otro caso si como denominador se tuviese 3 , se efectuaría el mismo proceso 7 7 32 • ) 7 Ejem. ¿Como obtenemos que? 32 • = 3 En base a las sig. propiedades de radicales y exponentes: 5) n an y 7) n a n b = n ab : Si a,b → ∀R :. a = 2 y b = 3, a • b = 6 Si a,b → ∀R :. a = 3 y b = 3 (a = b) 9)a m a n = a m + n :. 3 2 • 35 = 3 2+5 = 37 Nota: m 1) Si n a , a > 1 donde m > n y m es múltiplo de n, se expresa en la forma exponencial m n a Ejem: 14 214 = 2 2 = 2 7 = 128 m 2) Si n a , a > 1 donde m > n y m no es múltiplo de n, el exponente del radicando se expresa como una suma donde uno de los sumandos es el mismo valor de n o un múltiplo mayor (Nm≥) mas el valor (L) que complete el valor de m ( m = Nm≥ + L ). Ejem: 12 213 = 212+1 = 212 2 = 212 2 = 2 2 2 = 2 6 2 = 64 2
  21. 21. Desigualdades - Notación Símbolo Se lee < Es mayor que > Es menor que ≤ Es mayor o igual que ≥ Es menor o igual que Desigualdad continua – Quiere decir que “b esta entre a y c” : a<b<c Ejem. 1 − 3 < < 2 etc. 2 2 Ley de Tricotomia - a.b y c ε R a < b, a = b, a > b
  22. 22. EJERCICIO 2
  23. 23. Rescribir un Número Imaginario Puro Para rescribir un Número Imaginario Puro elevado a una potencia, podemos hacerlo por medio de los siguientes métodos: Ley de Exponentes. Formula. Reloj Y considerando el valor del Número Imaginario ( i ) = i = − 1 y i 2 = −1 . Ley de Exponentes – Para poder efectuar la reescritura de un Número Imaginario Puro. Requerimos de las siguientes propiedades de exponentes: a0 = 1 (− 1 ) n = −1, n = impar (a ) m n = a mn 1 am a1 = a a−n = = a m− n , m > n an a n 1 am 1 1n = 1 an = −n n = n−m , m < n a a a (− 1 )n = 1, n = par * a m a n = a m+ n Nota: Cuando el exponente del número imaginario sea múltiplo de cuatro ó cuatro, al rescribirlo será igual a la unidad. Ejem. (i ) = (− 1) 2 2 2 ( ) = (1) = 1, i 8 = i 4 2 2 = 1, etc. Además consideraremos los valores de, i = 1, i = i , i = −1, i = i ⋅ i = i (− 1) = −i 0 1 2 3 2 Ahora considerando los conceptos expuestos y apoyándonos en ellos, rescribamos los siguientes números imaginarios, *factorizando las bases en términos del exponente: Ejem. ( ) Rescribir i 46 = i 4 11 * i 2 = 1 * i 2 = −1 , i 345 = i 4 ( ) 86 * i1 = i Formula - La formula esta desarrollada en términos de la ley de exponentes: i x = i 4 n+l = i l , Recuerda i 4 ( ) n = 1n = 1 ∴ i x = i 4 n + l = 1 * i l = i l Nota: Para encontrar el número n este es igual a dividir x entre cuatro, esto es: x n = = del resultado, únicamente consideraremos el número entero obtenido, las partes 4 decimales se descartan en el proceso, logrado esto, n se multiplica por cuatro y al resultado se le suma la cantidad (L) que se requiera para así tener el número x original , i x .
  24. 24. 46 Ejem. i 46 = i 4(11)+ 2 = i 2 = −1 , n = = 11.5..... y....n = 11 ; 4(11)+2 : i 2 = −1 4 Reloj – El método toma su nombre por su relación al reloj y el avance de sus manecillas, en el método de rescribir el número i x . Bajo este proceso el avance, será en contra de las manecillas del reloj para llevar un conteo de reescritura de un número i x . En el Eje Real positivo (x), se tienen como exponentes todos los números que se observan además de todas las centenas, millares, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, millones, etc. En el eje real negativo única y exclusivamente los números que se observan En el eje imaginario en su parte positiva y negativa única y exclusivamente los números que se observan. Ver ejemplo. PLANO COMPLEJO Ó PLANO DE ARGAND 900 i Bajo este proceso el avance, será en contra de las manecillas del reloj EXPONENTES 1,5,9 para llevar un conteo de reescritura x de un número i . i1, i5 II i41, i45 θ i40 2,6,10,30,50,70,90 2 6 0,4,8,20,40,60,80 -1 1800 x i , i i42,i46 1 i44 io, i4 x 00 1 102,200,etc 103,2000,etc. i43 104,20000,etc 105,etc. i3, i7 106,etc etc. 3,7 Fig. 4 -i 2700 Ejem. Rescribir i 46 = El procedimiento a seguir es: Observado el número que tenemos por exponente expresarlo en torno a una suma = 40 + 6, las decenas pares se encuentran a la derecha y sobre el eje real en la parte positiva, es punto será el de partida para contar en contra de las manecillas del reloj los seis números faltantes al número buscado = -1
  25. 25. Ejem. PROBLEMA ANÁLISIS i 4573 = 4000 + 500 + 70 + 3 Las dos primeras cifras que se adicionan (4000+500)se encuentran a la derecha en la parte real positiva, la tercera i 4573 =i cifra es 70 se encuentra en la parte real negativa y a partir de ese punto contamos las 3 unidades faltantes en sentido contrario a las manecillas del reloj, obteniendo el número ha rescribir PLANO COMPLEJO Ó PLANO DE ARGAND 900 i i4573 = i4000+500+70+3 = i EXPONENTES 1,5,9 i3 II θ 2,6,10,30,50,70,90 0,4,8,20,40,60,80, I70 i2 -1 1800 x 1 x 00 1 102,200, 500,etc 103,2000,4000etc. 104,20000,etc 105,etc. 106,etc i1 etc. 3,7 Fig. 5 -i 2700
  26. 26. EJERCICIO 3 Reescribir el número Complejo ( Forma binomica, a + bi )
  27. 27. II – OPERACIONES FUNDAMENTALES Definiciones La adición La sustracción Axiomas y teoremas para la multiplicación Leyes de Exponentes para la multiplicación Multiplicación de dos o más monomios El producto de dos ó más polinomios La división El cociente de dos polinomios Ley de Exponentes Ley de radicales Operaciones algebraicas con los números complejos La relación de desigualdad y valor absoluto GENERALIDADES Da respuesta a los siguientes cuestionamientos y adjunta ejemplo: ¿Qué es? Termino Algebraico – Entera Expresión algebraica – a) Racionales Fraccionaria b) Irracionales Coeficiente –
  28. 28. Monomio – Binomio – Trinomio – Multinomio – Polinomio – Factor – Producto Algebraico – Cociente Algebraico – Como se obtiene el grado de un término algebraico –
  29. 29. Como se obtiene el grado de una expresión algebraica – Fracción Propia Algebraica – Fracción Impropia Algebraica – Fracción Mixta Algebraica – Fracción Compleja Algebraica – División Exacta Algebraica – División Exacta no Exacta Algebraica –
  30. 30. SUMA Y PRODUCTO ALGEBRAICO: Sumar polinomios - Es sumar los términos semejantes (suma de coeficientes). .Ejem. PROBLEMA ANALISIS (5x5– 2x2 + 7x – 8) + Eliminamos los signos de agrupación, multiplicando por el + (8x5 – x2 – 8x + 9) = Signo que antecede a cada uno de los polinomios agrupados. 5x5– 2x2 + 7x – 8+ Se suman los términos semejantes(suma de su coeficientes), 8x5 – x2 – 8x + 9 = (Atendiendo nuestra ley de signos al efectuar operaciones) las ---------------------- x5con las x5, las x4 con las x4 si las hay, y así sucesivamente. = (5+8)x5+ (– 2– 1)x2 + (7– 8)x +(– 8+9) = = 13x5 – 3x2 – x + 1 Obtenemos la suma o resultado La multiplicación Aritmética: Esta constituida de los siguientes elementos, multiplicando multiplicador y producto Multiplicando – El numero a repetirse. (5) Multiplicador – El numero de veces que se repite (3) y se suma el Multiplicando. Producto – El resultado de esta adición reiterada. (15) Ejem. 5 x 3 = 5 + 5 + 5 = 15 El producto es una suma reiterada Axiomas y teoremas en la multiplicación – Básicamente los postulados de campo al igual que nuestras leyes o propiedades son los elementos que nos permiten realizar operaciones, el estar familiarizados con las mismas determina su aplicación en el proceso o algoritmo, en este caso del producto. Leyes de exponentes en la multiplicación – Dependiendo del problema en particular, en lo general pueden aplicarse en su totalidad Multiplicación de dos o más polinomios – Producto de un polinomio por un número real- Se multiplica cada coeficiente de los términos que componen el polinomio, por el número real. Ejem: 1) 3( 2a + ab2) = 6a + 3ab2 2) (a + b)0(a + 3b) = a +3b
  31. 31. Producto de dos monomios- Es otro monomio del cual el coeficiente es producto de los coeficientes. Y su parte literal, el producto de las partes literales de los monomios iniciales Ejem. 1) 5xy2z3( – 4x2yz) = –20x3y3z4 6 2 − 2 2 –1/5  1 −3  − u 5 = − 6 2) (–2u )(5u )  u  = 5  25  5u 5 Producto de un polinomio por un monomio- Se multiplica cada monomio del polinomio multiplicando por el monomio multiplicador Ejem. 1) 3ab(4a + b) = 12a2 b + 3ab2 2) x2y(x –1 + y–1) = x2 x –1y + x2y y–1 = xy + x2 Indica que postulados de campo y que propiedades de exponentes justifican las operaciones Producto de polinomios – Se multiplica cada termino del polinomio del multiplicando por todos los términos del multiplicador, y se suman los resultados Ejem 1) (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Propiedad Distributiva a+bx a+b= a2 + ab Multiplicación Algebraica 2 ab + b a2 + 2ab + b2 2) (x + 2y – 3z)(2x – y2 – z3) = x(2x – y2 – z3) + 2y(2x – y2 – z3) – 3z(2x – y2 – z3) = Propiedad Distributiva = 2x – xy – xz + 4xy – 2y – 2yz – 6xz + 3y z + 3z4 = 2 2 3 3 3 2 = 2x2 + 4xy – xy2 + 3y2z – 2y3 – 6xz – xz3 – 2yz3 + 3z4 x + 2y – 3z x 2x – y2 – z3 = 2x2 + 4xy – 6xz – x y2 – 2y3 + 3y2z Multiplicación Algebraica – xz3 – 2yz3 + 3z4 2x2 + 4xy – xy2 + 3y2z – 2y3 – 6xz – xz3 – 2yz3 + 3z4
  32. 32. EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Encuentre los valores de las expresiones tomando los valores asignados a las literales, en los siguientes problemas. 2x – 3y + 5z ; x=2 ,y=3 ,z=2 3x + 7y + 3z ; x=3 ,y=2 ,z=5 2x + y + 4z ; x=2 ,y=5 ,z=4 6x + 3y + 2z ; x=5 ,y=6 ,z=3 Encuentre la suma de las expresiones. z – 3x + 4y, 2y + x – 5z, 2x – 5y 3u + 7v – 8w, 3w – 9v, 8u – 3v Elimine los signos de agrupación y efectué las operaciones. 2x – (3x – y) + ( x + y) Encuentre el producto 3a - (3b - 2c) + (2a - c) (a + 2b)(2a – 3b) 5u– [4v – (2w -2v-5u)] (a + b + c)(c + b + a) 2x - {2x -[2x – (2x -y) -y ]- y}-y x(3x + y)- y(x – 4y) 3y +{7v - [2w - y - (2v – 3w)- 2y] -v } 4x2 – 3xy – y2 , x + y 2y(x – 2y +3z) – 2z(2x +3y) +2x(2z – y) x2 – x + 1, x2 – x – 2 2[2a – 8(a + b)] – 3{a2 – [2b – a(a + b)]} (u3 – u2 + u –1)(u2 – u + 1) (3y4 – 2y + 3) – (y3 + y2 – 2y) RESTA Y DIVISIÓN: RESTA ALGEBRAICA Ejem . PROBLEMA ANALISIS (5x7–2x3+3x– 4) – Eliminamos los signos de agrupación, multiplicando por el (2x7+7x3 + 5) = Signo que antecede a cada uno de los polinomios agrupados. Se restan los términos semejantes(suma de su coeficientes), 5x7-2x3+3x-4-2x7-7x3-5= (atendiendo nuestra ley de signos al efectuar operaciones) las x5con las x5, las x4 con las x4 si las hay, y así sucesivamente = 3x7–9 x3+3x–9 Obtenemos la diferencia o resultado
  33. 33. EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Efectuar las sustracciones siguientes: Réstese la segunda expresión de la primera 25 – 13 24 – 17 12 – 18 – 11 5 1) 2m – n – [m – (n – m)] 2) (– m2 + 6m – 9) – ( m2 + 6m – 9) 3) x2 – xy +y2 – (x2 – xy + y2 ) 4) 40 – (– 70) 5) a – (a – b) 6) (a – b) + (b – a) – (a – b) – (b – a) 7) (2m2 – 3mn + 5n2 ) – (5n2 – 6mn) – 9m2  a4 a3   a4 a3 a2  8)  −  3 + − a 2 + 3 −  −   6 + 4 − 3 + 1   2    DIVISIÓN ALGEBRAICA 1 – Monomio entre un monomio. 2 – Polinomio entre un monomio. 3 – Polinomio entre un polinomio. Generalidades 1 – Monomio entre un monomio. a0 1 z6 Ejem. 1) a0 entre a4 = 4 = 4 2) z6 entre z4 = 4 = z 6− 4 = z 2 a a z 2 4 3 u 1 1 18ab 6b 3) 7 = 7 − 2 = 5 4) 2 = u u u 3a b a a m m−n a m 1 Recuerde n = a , si a ≠ 0 : m > n y n = n − m , si a ≠ 0 : m < n a a a
  34. 34. 2 – Polinomio entre un monomio. Ejem. x3 − y 2 x3 y2 x2 1 1) = 3− 3 = 3− xy 3 xy xy y xy 1 1 1 1 − − 3x 3 + 6 xy + 12 x y 2 3x 6 xy5 3 12 x 5 y 3 3 2 2) = + + = 3 xy 6 3 xy 6 3 xy 6 3 xy 6 1 2 4 x 5−1 1 2 4x 4 = 1 + 1 + 6 −3 = 4 + 11 + 3 1+ 3 6 6− 2 y 3 6 y x y y x y y2 a+b a b Recuerde = + c c c 3 – Polinomio entre un polinomio. REGLA – Para dividir un polinomio entre otro: 1) Se escribe el dividendo a la derecha del divisor, disponiendo los términos de tal forma, que los exponentes de una misma letra (variable) en ambos polinomios se encuentren en progresión ascendiente o descendiente. 2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor: el resultado se escribe como primer término del cociente. 3) Se multiplica el divisor por este primer término y el producto se resta al dividendo. El resultado es un nuevo dividendo. 4) Se procede con este dividendo como con el primero y se continua verificando esto que no haya residuo[R(x) = 0] o hasta que el primer término del divisor no esté contenido en el primer término del dividendo[R(x) ≠ 0] Y se escribe de acuerdo al modelo matemático correspondiente. f ( x) R ( x) = Q( x) + si R ( x) = 0 ò R ( x) ≠ 0 g ( x) g ( x) f ( x) EXACTA [R(x) = 0] – = Q( x) f ( x) = Q( x) g ( x) g ( x) Ejem. x3 −1 (x3 – 1):(x2 + x + 1) = = x–1 Q(x) = x – 1 , R(x) = 0 x2 + x +1
  35. 35. Proceso : x–1 x2 + x + 1 x3 – 1 – x 3 – x2 – x – x2 – x – 1 x2 + x + 1 0 Comprobación : x3 −1 x3 −1 = (x – 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) x2 + x +1 x + x +1 2 Ejem. x3 −1 (x3 – 1):(x2 + x + 1) = = x–1 Q(x) = x – 1 , R(x) = 0 x2 + x +1 Proceso : x–1 x2 + x + 1 x3 – 1 – x 3 – x2 – x – x2 – x – 1 x2 + x + 1 0 Comprobación : x3 −1 x3 −1 = (x – 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) x2 + x +1 x + x +1 2 f ( x) R( x) NO EXACTA [ R(x) ≠ 0] – = Q( x) + f ( x) = g ( x)Q ( x) + R ( x) g ( x) g ( x) Ejem. y 3 - 3y 2 - 26y + 36 148 (y3 – 3y2 – 26y + 36):( y – 8) = = y2 + 5y +14 + y -8 y −8
  36. 36. Q(x) = y2 + 5y +14 y R(x) = 148 Proceso : y2 + 5y +14 y – 8 y3 – 3y2 – 26y + 36 – y 3+ 8y2 5y2 – 26y – 5y2 + 40y 14y + 36 –14y + 112 148 Comprobación : y 3 - 3y 2 - 26y + 36 148 = y2 + 5y +14 + y -8 y −8 y 3 - 3y 2 - 26y + 36 = (y 2 ) + 5 y + 14 ( y − 8) + 148 y -8 y −8 y3 – 3y2 – 26y + 36 = y3 – 3y2 – 26y + 36 Ejem. u4 − u2 +1 1 (1 – u2 + u4):(1 – u ) = (u4 – u2 + 1):( – u + 1) = = − u3 − u2 + − u +1 − u +1 Proceso : – u3 – u2 –u+1 u4 – u2 + 1 – u 4 + u3 u3 – u2 – u3 + u2 1 Comprobación : u4 − u2 +1 = − u3 − u2 + 1 :. = = ( u 4 − u 2 + 1 − u 3 − u 2 (− u + 1) ) − u +1 − u +1 − u +1 − u +1 u4 – u2 + 1 = ( – u3 – u2)( – u + 1) + 1 = u4 – u2 + 1
  37. 37. EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Efectúa las divisiones: a3 − 8 1) = a +1 6 y 3 − y 2 − 3 y + 20 2) = 3y + 4 u4 − v4 3) = u+v 16 x 4 − 81 y 4 4) = 2x + 3 y 7 a 2 b 3 − 2a 3 b 2 + a 5 + b 5 − 5ab 4 5) = 2ab − b 2 + a 2 Nota: Acostúmbrese a decir dividir entre y multiplicar por (no diga dividir por)
  38. 38. EJERCICIO 4 División
  39. 39. Ley de Exponentes an EXPONENTE n 1 a a n 1) a 0 = 1 7) a − n = 13)   = n , si n(+) y b≠ 0 an b b −n 1 a bn 2) a = a 1 8) a = − n n 14)   = n a b a 3)a n = a • a • a. • .......... 9) a m a n = a m + n 15) (ab ) = a n b n n 4)1n = 1 ( ) 10) a m n = a mn ( ) 5) − 1 n = 1, n = par 11) am a n = a m− n , si..a ≠ 0..., m > n ( ) 6) − 1 n = −1, n = impar am 1 12) n = n − m , si..a ≠ 0..., m < n a a EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Efectúa las operaciones y simplifica, tus respuestas exprésalas sin exponentes negativos 1) (xy)0 = 6) (– 3y)-3 = 2) (–1)731= 7) [(– 2xy)-2]-1 = 3) (–1)464 = 8) (a – b)0[(a – b)-5]2 = 4) (–3xy)3 = 9) ax • a5x = 2x 7 y 3 5) (– xy)242 = 10) = 4x 4 y 5
  40. 40. 17) La expresión (x 2 n −3 ) 3 y n− 2 se reduce a x n − 2 y 3 n −7 18) Simplificar y reducir a su mínima expresión a (x + x – 1)2 se obtiene 19) Simplificar y reducir a su mínima expresión a xy(x – 2 + y – 2) 20) Simplificar y reducir a su mínima expresión a xy(x – 2 + x – 2)
  41. 41. EJERCICIO 5 Exponenciación
  42. 42. INDÍCE DEL RADICAL Ley de Radicales n a RADICANDO RADICAL RADICAL EXPONENCIAL RACIONAL | 1) n 1 = 1n = 1 m  1 m 2) n 1m = 1n    = 1n = 1   1 3) −1 = (− 1) 2 = i 1 4) n a = an n 5) n a n = a n = a ( a) m m m 6) n a = n = a n n 7) n a b = n ab 1 1 a n a  a n an 8) n   = =   = 1 b n b b bn 1 9) n m a = nm a = a nm EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN − 125 x −6 y 1) La expresión 3 se reduce a: 8 y −7 Racionalizar de ser 8x 5 2x −1 posible el denominador 2) La expresión 4 ∗4 se reduce a: y 6 y −2 5 − 8 x 9 y −7 5 4 x 6 y −3 3) La expresión se reduce a: xy 2 3x 4) La expresión se reduce a: 2y3
  43. 43. EJERCICIO 6 Radicales Racionalizar de ser posible el denominador
  44. 44. OPERACIONES ALGEBRAICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS * Los números complejos son también pares ordenados (por tener orden) de números reales. x + yi = a + bi = ( x, y ) = (a, b) ⇔ x = a; y = b Ejem. (2, –3) = 2 – 3i Ejem. (0, –1) = – i Ejem. (7, 0) = 7 Nota: Los números complejos tienen la siguiente notación considerada por algunos autores; C=z Ejem. z = x + yi = a +bi ó z = 1 + i , z1 = a + bi , z2 = c + di , etc. * Serán números complejos conjugados, aquellos que solo difieren en signo de sus componentes y su notación es el encontrarse testado: z1 = –2 + i, su conjugado es z1 = −2 − i ANÁLISIS: El número real no tiene conjugado - 2 = –2 El número imaginario si tiene conjugado i = – i *A las operaciones de multiplicación, suma y división, resta se les llama fundamentales. Cuando se efectúan en los números complejos, sus definiciones cumplen con todas las leyes del álgebra. En la adición y sustracción de números complejos, en ambas operaciones se cumple sumando o restando la parte real con la parte real y la imaginaria con la imaginaria, teniendo como resultado otro número complejo: . z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (bi ± di), cumpliendo con la propiedad conmutativa tanto en la parta real como en la imaginaria, resultado de la operación: Ejem. Obtener la suma de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = –7 – 4i z1 + z2 = (3 – 7) + (5 – 4)i = – 4 + i En la multiplicación dos números complejos se definen: z1 • z2 = (a + bi) • (c + di) = (ac + bdi2) + (bc +ad)i = (ac – bd) + (bc + ad)i Ejem. Obtener el producto de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = –7 – 4i z1 • z2 = (3 + 5i) • (–7 – 4i) = (–21 – 20i2) + (–12 – 35)i = (–21 + 20) + (–12 – 35)i = = –1 – 47i
  45. 45. Nota: Las leyes de cancelación, asociativa, conmutativa y distributiva se cumplen en las operaciones de multiplicación y adición. En la división dos números complejos se definen: z1/z2 = a + bi = (a + bi )(c − di ) = (ac + bd ) + (bc − ad )i = (ac + bd ) + (bc − ad )i c + di (c + di )(c − di ) c 2 − d 2i 2 c2 + d 2 Como se observa el denominador se multiplica por el conjugado del número complejo y el numerador también, para no alterar el cociente. Ejem. Obtener el cociente de los siguientes números complejos z1 = 3 + 5i y z2 = – 4i z1 3 + 5i 3 + 5i 4i 12i + 20i 2 − 20 + 12i = = • = = z2 − 4i − 4i 4i − 16i 2 16 ¿Aplicando la ley de los signos para los cocientes, que otras soluciones equivalentes se pueden tener? Ejem. Obtener el cociente de los siguientes números complejos z1 = 1 + i y z2 = – 1 + i z1 1 + i 1 + i 1 + i 1 + 2i + i 2 2i = = • = 2 2 = =i z2 1 − i 1 − i 1 + i 1 −i 2
  46. 46. EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Transformar a la forma binomial los siguientes números complejos: 1) − 4 = 2) 3 − − 16 = 3) 5 + − 7 = Efectúa las siguientes operaciones con los números complejos: 4) z1 = 1 − − 1 , z 2 = 1 + − 1 , z 3 = −2 − 3i 2 2 (z1 )2 z1 :. z1 • z 2 = , z1 + z2 + x32 , = , + z3 = z2 z2 3+i 5) La expresión es equivalente a 3−i 6) La expresión i (1 − i ) es equivalente a 2 i 7 + 2i 2 7) Al escribir la expresión en la forma a + bi se obtiene i3 8) Al escribir la expresión i 3 (4 − 3i ) en la forma a + bi se obtiene 2 ( )( ) 9) Al escribir la expresión 5 + − 9 3 + 4 − 25 en la forma a + bi se obtiene 2 + 7i 10) Al escribir la expresión en la forma a + bi se obtiene 1 − 2i 2 + i 7345 11) Al escribir la expresión en la forma a + bi se obtiene 1 − 2i 327 12) La expresión 2i(1 − i ) es equivalente a 3
  47. 47. EJERCICIO 7 Operaciones algebraicas con el número complejo en la forma binomica(rectangular), a + bi
  48. 48. III-PRODUCTOS NOTABLES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa Binomio de exponente entero y positivo Binomio de exponente entero y negativo Cuatro casos significativos de Factorización Teorema del Binomio PRODUCTOS NOTABLES Las formulas que se exponen a continuación son el resultado de la obtención de algunos productos que con mayor frecuencia se presentan en el cálculo algebraico y con los que debe procurar familiarizarse en todo lo posible. La comprobación de los productos puede y debe verificarse efectuando la multiplicación correspondiente. I. a(b + c) = ab + ac II. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd III.(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab IV.(ax +b)(cx +d) = acx2 + (ad + bc)x + bd V.(a + b)(a – b) = a2 – b2 VI.(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 VII.(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 VIII.(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc IX.(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2(a + b)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 X.(a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)2(a –b)= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 XI.(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 XII.(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 XIII.(a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn :. Siendo n un número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......) XIV. (a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn :. Siendo n un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......) Algunos ejemplos sencillos por multiplicación directa: MODELO PROBLEMA ANÁLISIS MATEMÁTICO PROPIEDAD DISTRIBUTIVA r(2u + t) = Identifica los factores y obtén el a(b + c) = ab + ac = 2ru + rt Producto (a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd (2r + s)(t + u) = Identifica los factores y obtén el Producto = 2rt+2ru+st+su 2 (x + a)(x + b) = x +(a + b)x + ab (x + 2)(x – 3)= Identifica los factores y obtén el Producto = x2 – x – 6 (ax + b)(cx + d) = (2x + 2)(3x –3)= Identifica los factores y obtén el Producto = acx2 + (ad + bc)x + bd = 6x2 – 6
  49. 49. Repaso La multiplicación la podemos efectuar de las siguientes formas: Propiedad Distributiva (P.D) Ejem. 1) x(2y + 3) = 2xy + 3x (P.D.) = 2u(u – v) – 3v(u – v) = 2u2 – 5uv – 3v2 u-v Multiplicación 2u – 3v = Algebraica 2) ( 2u – 3v)(u – v) = 2u2 – 2uv - 3uv + 3v2 Diagrama del Producto 2u2 – 5uv + 3v2 2 2 ( 2u – 3v)(u – v) = 2u – 5uv + 3v MODELO PROBLEMA ANÁLISIS MÁTEMATICO BINOMIO CONJUGADO = DIFERENCIA DE . CUDRADOS (2x+3)(2x–3)= Identifica los factores y obtén el Producto 2 (a + b)(a – b) = a – b 2 = 4x2 – 9 BINOMIO CUADRADO PERFECTO PARA LA SUMA (5a + 2)2 = Identifica los factores y obtén el 2 (a + b) = (a + b)(a + b)= Producto = a2 + 2ab + b2 = 25a2 + 20a + 4 BINOMIO CUADRADO PERFECTO PARA LA DIFERENCIA (3x – 4)2= Identifica los factores y obtén el 2 (a – b) = (a – b)(a – b) = Producto = a2 – 2ab +b2 = 9x2 – 24x +16 TRINOMIO CUADRADO 2 (x + 2y – z)2 = (a + b + c) = = x2 + 4y2 + z2 + 4xy – 2xz – 4yz Identifica los factores y obtén el Producto =a +b +c2 +2ab +2ac +2bc 2 2 BINOMIO AL CUBO PARA LA SUMA 3 (a + b) = (x + 3y)3 = Identifica los factores y obtén el =(a + b)(a + b)(a + b)= Producto = (a + b)2(a + b)= = x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 BINOMIO AL CUBO PARA LA DIFRRENCIA (a – b ) = 3 (2x – y)3 = Identifica los factores y obtén el =(a – b)(a – b)(a – b) = Producto =(a – b)2(a – b)= = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 =a3 – 3a2b +3ab2 – b3 SUMA DE CUBOS (3x + 1)(9x2 – 3x + 1) = Identifica los factores y obtén el (a + b)(a2 – ab + b2) = = 27x3 + 1 Producto = a3 + b3 DIFERENCIA DE CUBOS 2 2 (2x - 2)(4x2 + 4x + 4) = Identifica los factores y obtén el (a – b)(a + ab + b ) = Producto = a3 – b3 = 8x3 – 8
  50. 50. Siendo n número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......) (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn Ejem. (u - v)(u4 + u3v + u2 v2 + uv3 + v4 ) = Identifica los factores y obtén el = u5 - v5 Producto Siendo n un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......) (a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn Ejem. (u + v)(u4 - u3v + u2 v2 - uv3 + v4 ) = Identifica los factores y obtén el = u 5 + v5 Producto Por medio de las formulas anteriores, resolver. Ejem. Obtener el producto notable de (x –y)(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + x6) Si n número entero positivo cualesquiera (1,2,3,4,5,.......) (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3 b2 + ............+ abn – 2b + bn – 1) = an – bn (x – y)(x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + x6) = x7 – y7 Ejem. El producto notable de (x + y)(x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + x6) Si n un número entero positivo impar (1,3,5,7,.......) (a + b)( an – 1 – an – 2b + an – 3 b2 – ............ – abn – 2b + bn – 1) = an + bn (x + y)(x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + x6) = x7 + y7 EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Indica cuales son los factores que nos dan como resultado el producto notable 1) ( )( ) = x6 – y 6 2) ( )( ) = x6 + y6
  51. 51. EJERCICIO 8 Productos Notables
  52. 52. TEOREMA DEL BINOMIO Generalidades Binomio – Expresión algebraica que consta de dos términos, ejemplo. 1 x + y , x – y , 3x – 3b , + x , etc. 7 Modelo Matemático a±b El binomio puede estar agrupado y tener un exponente, esto es: (a ± b)n Para desarrollarlo es conveniente contar con una formula general, para su aplicación. A continuación se proporciona una manera práctica de obtener los coeficientes de los términos del desarrollo. Desarrollo del Binomio por medio del producto Se obtienen sucesivamente :. Si, n ∀ Z(+) (a ± b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2+b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 +4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 +b5 . FORMULA GENERAL 1er 2do 3er 4to n a n na n −1b n(n − 1)a n − 2b 2 n(n − 1)(n − 2 )a n − 3b3 (a + b) = + + + + .......... 0! 1! 2! 3! Partiendo de los resultados obtenidos hacemos las siguientes observaciones: a) El numero de términos obtenidos del desarrollo es ( n + 1 ) b) El primer termino tiene coeficiente 1, además siempre aparece a elevado a la n, y no aparece b en el primer termino del desarrollo, la razón es que este se encuentra elevado a la potencia cero. c) El coeficiente numérico del 2do termino siempre es n, y a aparece teniendo como exponente a ( n – 1 ), b tendrá como exponente la unidad.
  53. 53. d) Conforme se avanza, el exponente de a disminuye de uno en uno y el exponente de b aumenta de uno en uno hasta llegara a n. e) En todo el desarrollo del binomio, el grado de los términos será igual a n. f) La magnitud de los coeficientes numéricos tiene simetría central, de manera que una vez que se llega a la mitad, los coeficientes se repiten en forma regresiva. Triangulo de Pascal Donde cada coeficiente es igual a la suma de los del renglón anterior, que queda arriba en diagonal con él. Ejem. *De acuerdo a lo anterior implementar el desarrollo de binomio siguiente: (x + u)7 = ¿Cuántos términos tiene el desarrollo? Sabiendo que (n + 1) = ......... 1er 2do 3er 8av = + + + .......................................+ ¡ Sabiendo que ! (x + u )7 = x 7 + 7 x 6 u + 21x 5 u 2 + 35 x 4 u 3 + 35 x 3 u 4 + 21x 2 u 5 + 7 xu 6 + u 7 *De acuerdo a lo anterior implementar el desarrollo de binomio sig.: (u + v)8 = ¿Cuántos terminos tiene el desarrollo? Sabiendo que (n + 1) = ......... 1er 2do 3er ? = + + + ..........................+
  54. 54. ¡ Sabiendo que ! (u + v )8 = u 8 + 8u 7 v + 28u 6 v 2 + 56u 5 v 3 + 70u 4 v 4 + 56u 3 v 5 + 28u 2 v 6 + 8uv 7 + v 8 Observe la simetría con respecto a la variable u8 (en el primer termino) va siendo descendente el valor del exponente hasta desaparecer en unidad en el ultimo termino, al igual respecto a la variable v, en el segundo termino aparece y se incrementa el valor del exponente hasta el ultimo termino v8. *Obtener el 4to término, implementar la aplicación de la fórmula del desarrollo del binomio (x + ½)16 = to 4 = ? ………………………….. ¡ Sabiendo que ! 4to 13 = 70x EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN  2 1  2 1  1) Efectúe el producto  x 3 − x 3  x 3 + x 3        ( 2) Efectúe el producto x − y + 1 x + y − 1 )( )  a 2 5b 3  a 2 5b3  3) Al simplificar y reducir a su mínima expresión  +  2  −   3  2  3  5 2 4) Al expander [(x – 2) – x ] 5) Al efectuar el producto (x + 1)(x – 1 )(x2 + 1), cual es el producto 6) Al expander a (3a3 – 2b5 )2 , cual es el producto
  55. 55. EJERCICIO 9 Teorema del binomio
  56. 56. FACTORIZACIÓN Factorizar es lo contrario a la obtención del producto notable Esto es, dada la expresión algebraica encontrar los factores que nos dan como producto la misma expresión. PROCESOS DE FACTORIZACIÓN Multinomios que tienen factor común Caso I) a) ab + ac = a(b + c) (Factor común) b) ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d) ( por agrupación) c) De la forma ax2 + bx + c (Metodo de Tanteo y/o De prueba y error) px2 +qx + r si acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax +b)(cx +d) p = ac, q = ad + bc, r =bd Caso II) Diferencia de Cuadrados a2 – b2 = (a + b)(a – b) Caso III) Trinomios que son cuadrados perfectos a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = (a – b)2 Nota: Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Caso IV) Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos a) Por agrupación b) Multinomios que son reductibles (trinomios) a la diferencia de dos cuadrados Nota: Se aplica solamente si se agrega un cuadrado perfecto (Inverso Aditivo-sumando y restando) al trinomio, este se convierte en cuadrado perfecto Ejem. a4 + a2b2 + b4 = = a4 + a2b2 + a2b2 + b4 – a2b2 = (a + b)2 – ( ab)2 = (a + b + ab)(a + b – ab) = = (a + ab + b)(a – ab +b)
  57. 57. Caso I) Multinomios que tienen factor común ANÁLISIS – 1erse busca un digito ó literal que este a) ab + ac = a(b + c) contenido en cada uno de los términos del Ejem. polinomio (factor común), se agrupa la expresión 1) 5x2 + 4x = x(5x + 4) algebraica y se extraen los factores común respecto 1 2 1 1  1  a los términos (digito y variable, la de menor 2) x y + xy 2 = xy x + y 3 6 3  2  exponente).El proceso no se considera completo 2 2 3 2 3) 3m n – 6mn + 9m n = hasta que cada factor ya no sea reductible = 3mn(m – 2n + 3m2n) (factorizable) b) ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d) Ejem. ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene cuatro o más 1) 2wy + 3yz – 8wz – 12zx = términos, será susceptible de factorizar mediante una = (2wy + 3yz) – (8wz + 12zx) = adecuada agrupación de sus términos y su posterior = [y(2w + 3z) – 4z(2w + 3z)] = factorización, siendo posible por algún método = (2w +3z)[y – 4z] = (2w +3z)(y - 4z) previo. Continuar factorizando los factores de ser 3 2 2) 3c – 12c + 5c – 20 = posible. = [c (c – 4) + 5(c – 4)] = (3c2 + 5)(c – 4) 2 3) x3 + 3x2 – 9x - 27 = x2(x + 3) – 9(x + 3) = (x2 – 9)(x + 3) = = (x + 3)(x + 3)(x – 3) = (x + 3)2(x – 3) = d) Método de Tanteo (Prueba y Error) px2 +qx + r :. acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax +b)(cx +d) p = ac, q = ad + bc, r =bd ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene tres términos Ejem. Se inspecciona si el 1er y el 3er son cuadrados perfectos de no serlo, se procede a factorizar por este método. 2 1) 3x - 5x + 2 = (3x – 1)(x – 2) Así mismo se observa el signo del 3er término si es positivo, es producto de signos iguales [+(+)] ó [– (+)] -2 , el 2do término se obtiene en base a una suma. 31 21 p = 3(1) = 3 er 1 3 -3 1 2 q = 3(-1) + 1(-2) = -5 Si 3 término si es negativo do producto de signos es a c --- b d r = -1(-2) = 2 diferentes [+(–)] ó [– (+)] , el 2 término se obtiene en -5 base a una resta. 2) 6x2 + 17x +12 =(3x + 4)(2x + 3) Luego procedemos a obtener los dígitos de los coeficientes del 1er y el 3er de acuerdo a sus diversos arreglos de producto, procediendo a la obtención del 8 término intermedio considerando los datos anteriores 32 43 p = 3(2) = 6 23 9 34 q = 3(3) + 2(4) = 17 del proceso. 6 1 --- 6 2 r = 4(3) = 12 17 16 26 a c 12 1 1 12
  58. 58. b d 3) 3x2 + x – 2 = (3x – 2)(x + 1) –2 Comprobar efectuando la 31 21 p = 3(1) = 3 13 3 12 q = 3(1) + 2(–1) = 1 multiplicación de los a c --- b d r = 2(–1) = –2 factores. 1 3) 6x2 – x – 12 = (3x + 4)(2x – 3) 8 32 43 p = 3(2) = 6 23 –9 34 q = 2(4) + 3(–3) = –1 6 1 --- 6 2 r = 4(–3) = –12 –1 16 26 a c 12 1 1 12 b d Caso II) Diferencia de Cuadrados ANÁLISIS – Cuando el polinomio 2 2 a – b = (a + b)(a – b) tiene dos términos Ejem. Si el 1er y el 2er son cuadrados 1) x2 – 25 = (x + 5)(x – 5) perfectos con respecto a digito y variable, de serlo se procede a 2) 25u2 – 36v2 = (5u + 6v)(5u – 6v) factorizar por este método. 3) a4 – 4a2 = a2(a2 – 4) = a2(a + 2)(a – 2) Recuerda el caso I) inciso a) Caso III) Trinomios que son cuadrados perfectos Cuando el polinomio ANÁLISIS – 2 2 tiene tres términos 2 a + 2ab + b = (a + b)(a + b) = (a + b) Se inspecciona si el 1er y el 3er son Ejem. cuadrados perfectos, observando 1) x2 + 4x + 4 = (x +2)(x + 2) = (x + 2)2 que el 2do sea el doble producto del 1er por el 2do.de serlo se 2) 25x2 + 30x + 9 = (5x + 3)(5x +3) = (5x +3)2 procede a factorizar por este método.
  59. 59. Trinomio cuadrado Perfecto para la diferencia ANÁLISIS – Cuando el polinomio a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = (a – b)2 tiene tres términos Ejem. Se inspecciona si el 1er y el 3er son 1) x2 – 4x + 4 = (x – 2)(x – 2) = (x – 2)2 cuadrados perfectos, observando que el 2do sea el doble producto 2) 25x2 – 30x + 9 = (5x – 3)(5x – 3) = (5x – 3)2 del 1er por el 2do.de serlo se procede a factorizar por este método. Nota: Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene Ejem. dos términos 1) 64a3 + 27 = (4a + 3)(16a2 – 12a + 9) Si el 1er y el 2er son cubos perfectos con 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 2) x + y = (x ) + (y ) = (x + y )(x + x y + y ) respecto a digito y variable, de serlo se 6 3 3 3 3 2 3) u + 27u = u (u + 3) = u (u + 3)(u – 3u + 9) procede a factorizar por este método. Recuerda el caso I) inciso a) Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejem. ANÁLISIS – Cuando el polinomio tiene 1) 27a3 – 64 = (3a – 4)(9a2 + 12a + 16) dos términos 2) 343a3 – a9 = a3(7 – a2)(49 + 7a2 + a4) Si el 1er y el 2er son cubos perfectos con Recuerda el caso I) inciso a) respecto a digito y variable, de serlo se 3) x3 – 125 = (x – 5)(x2 + 5x + 25) procede a factorizar por este método. Caso IV) Multinomios factorizables que no son cuadrados perfectos a) Por agrupación Ejem. PROBLEMA ANÁLISIS 2 2 a–b–a +b = Se agrupa el multinomio en dos términos, y se = (a – b) – (a2 – b2) = factoriza uno de ellos, reagrupándose = [(a – b) – (a – b)(a + b)] = nuevamente = (a – b)[1 – (a + b)] = Se extrae el factor común. = (a – b)(1 – a – b ) = Se eliminan los signos de agrupación no = – (a – b)(a + b – 1) Correspondientes y se factoriza el signo.
  60. 60. Ejem. PROBLEMA ANÁLISIS a – 4ab – ac + 3b2 + 2 bc = = [( a – 4ab + 3b2) – 2 Se agrupa el multinomio en dos términos, y se factoriza (ac – bc)] = uno de ellos, reagrupándose nuevamente. = [(a – b)(a – 3b) – c(a – b)] = = (a – b)[ (a – 3b) – c)] Se extrae el factor común eliminan los signos de = agrupación no Correspondientes. = (a – b)(a – 3b – c) Se obtiene la solución 2) Multinomios (Trinomios) que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados Nota: Se aplica solamente si se completa un cuadrado perfecto por medio de la propiedad del Inverso Aditivo, sumando y restando un mismo valor al trinomio, de ser así lo convierte en un trinomio cuadrado perfecto menos el valor que se agrego, lo cual nos permite al factorizar y reducir a la diferencia de cuadrados, se opera en estos términos y se obtiene la factorización completa. Ejem. PROBLEMA ANÁLISIS x4 + 4 = Se completa un cuadrado perfecto por medio de la = x + 4 – 4x2 +4x2 = 4 propiedad del Inverso Aditivo y se factoriza = (x4+ 4x2 + 4) – 4x2 = = (x2 + 2)2 – (2x)2 = Se reduce a la diferencia de dos cuadrados y se factoriza =[( x2 + 2)+2x][( x2 – 2) – Se eliminan los signos de agrupación que no corresponden 2x ]= =(x2 + 2x +2)(x2 – 2x – 2) Se obtiene la solución 1) Ejem. x4 + 3x2 + 4 = x4 + 3x2 + x2 + 4 – x2 = (x4 + 4x2 + 4) – x2 = (x2 + 2)2 – (x)2 = = [(x2 + 2) + x][(x2 + 2) – x] = (x2 + 2 + x)( x2 + 2 – x) 2) Ejem. a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a4 + 4a2 + 4) – 4a2 = (a2 + 2)2 – (2a)2 = = [(a2 + 2) – 2a][(a2 + 2) – (2a)] = (a2 + 2 + 2a)(a2 + 2 – 2a) = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)
  61. 61. 3) Ejem. 64x4 – 57x2y2 + 9y4 = 64x4 – 57x2y2 + 9x2y2 + 9y4– 9x2y2 = (64x4 – 48x2y2 + 9y4) – 9x2y2 = = (8x2 – 9y2)2 –( 3xy)2 = [(8x2 – 9y2) + 3xy][(8x2 – 9y2) – 3xy] = = (8x2 + 3xy – 9y2)(8x2 – 3xy – 9y2) EJERCICIOS DE PARTICIPACIÓN Factorizar los siguientes polinomios
  62. 62. EJERCICIO 10 Factorización
  63. 63. IV –SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Generalidades La Ley de los Cocientes anteriormente observada, es necesariamente aplicable en este capitulo: Ley de Cocientes a b ab a 1) =a 7) a ×= 12) Fracc..impropia, → a > b ; (*) 1 c c b a a a c ac a × (b ÷ c ) 2) •1 = 8) • = Fracc.Complejas , b b b d bd d −a a c a+c 13) < [a × (b ÷ c )] ÷ (d ÷ e ) , a a 3) = =− 6) ± = b −b b b b b a c a c a d ad a c 4) = ∴ ad = bc 10) ÷ = × = ÷ , etc b d b d b c bc b d a 5) a 0 = a1a −1 = . a a c a+c a 6) ± = 11) Fracc.. propia, → a < b; (*)Con respecto al grado del polinomio b b b b Conversión de fracciones ¿Se podrá tener una expresión equivalente que tenga el denominador que necesitemos por alguna razón? Si, esto es posible aplicado el principio fundamental de las fracciones. Ejem. Cambiar la fracción del lado izquierdo por el equivalente del lado derecho de la identidad y que tenga el denominador que indica 3 ? 3 9 = = 8 24 8 24 Si multiplicamos ambos cocientes por la unidad, esto es 3/3 no se alteran nuestros cocientes y logramos el objetivo solicitado. Ejem. x ¿Si tenemos el siguiente cociente , como obtener ay en el denominador? y x x a ax •1 = • = Con lo cual se da cumplimiento a lo solicitado y y a ay
  64. 64. Ejem. 7w ¿Si tenemos el siguiente cociente , como obtener a 2 − b 2 en el denominador? a+b 7a 7a b − c 7a •1 = • = 2 : Con lo cual se da cumplimiento a lo solicitado b+c b + c b − c b − c2 Aplicar el proceso al Ejemplo Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando el numerador por el numerador y el denominador por el denominador de cada una de las fracciones. Al efectuar el producto se puede, o no, obtener una fracción que tenga algún factor que sea común, tanto para el numerador como para el denominado; de presentarse lo anterior, el factor deberá reducirse a la unidad con el propósito de simplificar el resultado obtenido siendo expresado este en su forma mínima. Ejem. 7u 4vw 7 Obtener el producto de las siguientes fracciones • 5s 7 ru 3 7u 4vw 7 4uvw 7 4vw 7 • = = 5s 7 ru 3 5rsu 3 5rsu 2 Ejem. Efectuar la operación y simplificar 2 12a 2 b 3 c 3 xy 2a 3 cy 2 • • 13a 3 xy 5ab 2 3ab 2 y 12a 2 b 3 c 3 xy • • 2 = 5 3 2 ( 2a 3 cy 2 a 4 b 3 xy 2 24ay 2 = ) 24a 5 b 3 c 2 xy 4 24c 2 y 2 = 13a 3 xy 5ab 2 3ab 2 y a b xy (65b ) 65a 5 b 4 xy 2 65b Ejem. x2 − x − 2 4x 2 Efectuar la operación y simplificar • 2 2x − 4 x + x +1 x2 − x − 2 • 2 4x 2 = ( 4x 2 x 2 − x − 2 ) = 4 x 2 ( x − 2 )( x + 1) = 2 x 2 ( x + 1) 2x − 4 ( ) ( x + x + 1 (2 x − 4 ) x 2 + x + 1 2( x − 2) x 2 + x + 1 ) ( x2 + x +1 )

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