Pasos para resolver ecuaciones diferenciales con la transformada de laplace

1. PASOS PARA RESOLVER
ECUACIONES DIFERENCIALES
CON LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Maricruz Buendía Solís
América Reyes Garay
8-A
Lic. Edgar Mata Ortiz

2. Transformada de Derivadas
A continuación se explicara un problema del libro
matemáticas Avanzadas, Ecuaciones
diferenciales del autor Dennis G. Zill, se mostrara
los pasos completos que faltaron para llegar al
resultado sacando la primer derivada y después la
segunda

3. 4.2.2 Transformada de Laplace
I
f)/( dtdy
Transformada de una derivada tal como fue señalado en la
introducción de este capitulo, nuestra meta inmediata es usar la
Transformada de Laplace para resolver Ecuaciones Diferenciales con
ese fin, necesitamos evaluar cantidades como y
Por ejemplo, si es continua cuando t > 0, la integración por partes
entonces.
I
f
dttfestfedttfetf stIstIstI






0
0
0
)()()()}({
)0()()}({
)}({)0(
fssftf
tfsf
I





4. dttfestfedttfet IstIstIIstII
)()()()}(
0
0
0






)(
)(
)(
)(
tfv
dttfv
dttfdv
dtsedu
sedu
eu
I
II
II
st
st
st









Ahora empezaremos a resolver las ecuaciones diferenciales sacando la p
Para eso tenemos que identificar y sacra cual es u , la derivada de u la
la derivada de V como lo hicimos a continuación:

5. dttfestfe
dtsetftfe
IstIst
stIst








0
0
0
0
1
)(.)](.[
))(()](.[
Ahora hay que separar las variables aquí utilizaremos la integr
partes para esto utilizaremos la siguiente formula:  duvdvu ..
Lo que sigue es utilizar la transformada de Laplace
)}({)0(.)(lim )0(
tfsfebfe IIsIsb
b
 

b tiende a infinito
Aquí sustituiremos
La t por el 0
El siguiente paso es que se pasa dividiendo a la expresión f(
el expone quedaría en positivo
sb
e
sb
e
)}({)0().1(
)(
lim tfsf
e
bf II
sb
I
b


El resultado de
Es 1
sb
e

6.  Sustituimos b por infinito y cuando hacemos eso la
división da 0 lo cual por siguiente obtenemos el
resultado que se obtenía a un principio.
)}({)0( tfsf II

Solo se acomodan los términos para obtener el Resultado de la prime
)()0(
)}({)0(
ssFf
tfsf

 
)](.[ tfe st


7.  Ahora resolveremos la segunda derivada para
resolverla seguiremos los mismo pasos de la
anterior solo que en esta se hará una integración
doble integración por partes:
dttfestfedttfetf IstIstIIstII
)()()()}({
0
0
0






)(
)(
)(
)(
tfv
dttfv
dttfdv
dtsedu
sedu
eu
I
II
II
st
st
st









Aquí como anteriormente
identificamos que será u
y la deriva de u, v
y su derivada que es Dv

8.  Hacemos la integración por partes:
dttfestfe
dtsetftfe
IstIst
stIst








0
0
0
0
1
)(.)](.[
))(()](.[
Lo que sigue es utilizar la transformada de Laplace
)}({)0(.)(lim )0(
tfsfebfe IIsIsb
b
 

b tiende a infinito
Aquí sustituiremos
La t por el 0
El siguiente paso es que se pasa dividiendo a la expresión
f(b) aquí
el expone quedaría en positivo
sb
e
El resultado de
Es 1
sb
e
)}({)0().1(
)(
lim tfsf
e
bf II
sb
I
b



9. Sustituimos b por infinito y cuando hacemos eso la división da 0 lo
cual por siguiente obtenemos el resultado que se obtenía a un
principio.
)0()0()()}({
)0()()0(
)]0()([)0(
2
2
III
I
I
fsfsfstf
sfsfsf
fssfsf




)}({)0( tfsf 
Ahora haremos la segunda integración por partes sera lo mismo que hicim
derivada de con lo que obtendremos la transformada como a continuI
f
dttfestfe
dtsetftfe
stst
stst
)(.)](.[
))(()](.[
0
0
0
0








)0()(
)}({)0(
)}({)0().1(
)(
lim
)}({)0().1(
)(
lim
)}({)0(.)(lim )0(
fssf
tfsf
tfsf
e
f
tfsf
e
bf
tfsfebfe
sb
sbb
ssb
b
















10. Una vez que se realizo la anterior transformada se
realizan las siguientes operaciones para obtener el
resultado de la segunda derivada acomodamos los
términos para obtener el resultado final.
)0()0()()}({
)0()()0(
)]0()([)0(
2
2
III
I
I
fsfsfstf
sfsfsf
fssfsf





11. Bibliografía:
Matemáticas Avanzadas, Ecuaciones
diferenciales
Autor: Dennis G. Zill