UNIDAD 1:
VECTORES
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Por: Marcos Guerrero.
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REPASO DE VECTORES
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SISTEMAS DE COORDENADAS
ESPACIALES.
x
y
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z
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Sistema de coordenadas espaciales que contiene:
•3 ...
UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE
COORDENADAS ESPACIALES.
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• En el origen, las 3
coordenadas valen cero...
VECTORES EN EL ESPACIO.
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REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR
UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS
(VECTORES BASES).
¿Qué es un vector base?
Es un...
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¿Paraquéseutilizalosvectoresbase?
Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector
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¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?
Si el vector se encuentra en un plano sól...
MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.
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a

Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar...
DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.
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z
x
y
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xa
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ya

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
α
β
γ
α,β,γ se llaman ángulos directores ...
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¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector con los ejes negativos?a

x(+) x(-)
a
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α
1800 -α
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ax
a
α
ay
a
β
az
a
γ
Con ayuda de los cosenos directores.
¿Cómo se determinan los ángulos directores?
Co...
GRAFICANDO UN VECTOR EN EL ESPACIO.
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)(4ˆ2ˆ3 mkjia 
Graficar el vector
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VECTOR UNITARIO ( )
Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.
Todo ...
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kajaiaa zyx
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
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j
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Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales
direcciones. ¿Ti...
MULTIPLICACIÓN ENTRE
VECTORES.
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oPueden ser de igual o de diferentes unidades.
oExisten dos tipos:
•Produ...
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PRODUCTO PUNTO.
También llamado producto escalar.
Definición:
 A

B
es el ángulo entre los vectores
y...
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PROPIEDADES DEL
PRODUCTO PUNTO.
Propiedad Conmutativa: ABBA


Propiedad Distributiva: CABACBA
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VECTORES UNITARIOS .kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto punto entre vectores unitarios iguales .
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Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.
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90ˆˆˆˆ 0
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
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PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y :A

B
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

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ZZYYXX BABABABA 

Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.
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APLICACIONES DEL PRODUCTO
PUNTO.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar el ángulo entre dos vectores.
•D...
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Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la
ecuación:







 
 
BA
BA...
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PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN
VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.
Proyección escalar de un vector sobre otr...
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Del gráfico anterior tenemos:
CosAAB


Si comparamos con la definición de producto punto:
CosBABA
...
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Proyección vectorial de un vector sobre otro vector.
Del gráfico anterior tenemos:
A

B
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
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Dibujemo...
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Del gráfico, podemos observar que:
BBB AA 


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PRODUCTO CRUZ.
También llamado producto vectorial.
Definición:
 A
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B
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es el ángulo entre los vectores...
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Con la regla de la mano derecha:
“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operació...
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¿Cómo se determina la dirección del vector ?AB


CB
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

PROPIEDADES DEL
PRODUCTO CRUZ.
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Propiedad homogenidad
escalar
BABABA
:
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
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
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ABBA
...
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PRODUCTO CRUZ ENTRE
VECTORES UNITARIOS .kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares...
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Producto cruz entre vectores unitarios iguales.
0ˆˆ

ii
0ˆˆ

 jj
0ˆˆ
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kk
El producto vectorial ...
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PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y :A

B

kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
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

...
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ZX
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ZYX
ZYX
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

kCjCiCC ˆˆˆ 131211 ...
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A

B
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¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado
por los vectores y ?
A
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Altura
Base
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Si la comparamos con la ecuación:
SenBABAC


Conclusión: el área del paralelogramo formado por ...
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A
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¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los
vectores , y ?BA


BA

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APLICACIONES DEL PRODUCTO
CRUZ.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar un vector perpendicular al plano ...
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TRIPLE PRODUCTO ENTRE
VECTORES .
A

B

D

BAC


Vamos a determinar el producto
cruz entre los ve...
MarcosGuerrero
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Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector
sobre el vector es la altura ...
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Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la
base del paralelepípedo obtenemos ...
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  1. 1. UNIDAD 1: VECTORES MarcosGuerrero 1 Por: Marcos Guerrero.
  2. 2. 2 MarcosGuerrero REPASO DE VECTORES
  3. 3. 3 MarcosGuerrero
  4. 4. 4 MarcosGuerrero
  5. 5. 5 MarcosGuerrero
  6. 6. MarcosGuerrero 6 SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES. x y z z x y y z x Sistema de coordenadas espaciales que contiene: •3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z. •3 planos x-y, x-z, y-z. •8 octantes : X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+). X(-), y(-),z(+). X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-). X(-), y(-),z(-).
  7. 7. UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS ESPACIALES. MarcosGuerrero 7 • En el origen, las 3 coordenadas valen cero. (0,0,0) z x y a b c (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c) (a,b,0) (a,0,c) (0,b,c) (a,b,c) (x,y,z) Triada ordenada Cuando el punto de coordenadas está: • En el eje, 2 coordenadas valen cero. • En el plano, una coordenada vale cero. • En el espacio, las 3 coordenadas son diferente de cero.
  8. 8. VECTORES EN EL ESPACIO. MarcosGuerrero 8 z x y a  xa  ya za  z x y xa  ya  za  a  zyx aaaa   kajaiaa zyx ˆˆˆ   son llamados componentes ortogonales del vector o proyecciones del vector a lo largo de los ejes x,y,z respectivamente. zyx aaa  ,, a  a  Representación de un vector utilizando vectores unitarios Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los ejes x y z respectivamente a  a 
  9. 9. MarcosGuerrero 9 REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS (VECTORES BASES). ¿Qué es un vector base? Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura
  10. 10. 10 MarcosGuerrero ¿Paraquéseutilizalosvectoresbase? Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector
  11. 11. MarcosGuerrero 11 ¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje? Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si se encuentra en un eje sólo tiene una componente. z x y a  xaa   za  z x y zx aaa   xa 
  12. 12. MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL ESPACIO. MarcosGuerrero 12 a  Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su magnitud viene dada por la expresión: 222 zyx aaaa 
  13. 13. DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO. MarcosGuerrero 13 z x y a  xa  ya  za  α β γ α,β,γ se llaman ángulos directores y son los ángulos que determinan la dirección de un vector en el espacio. α es el ángulo que forma el vector con el eje x(+)a  β es el ángulo que forma el vector con el eje y(+)a  γ es el ángulo que forma el vector con el eje z(+)a 
  14. 14. MarcosGuerrero 14 ¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector con los ejes negativos?a  x(+) x(-) a  α 1800 -α 1800-α es el ángulo que forma el vector con el eje x(-)a  1800 -βes el ángulo que forma el vector con el eje y(-)a  1800 -γes el ángulo que forma el vector con el eje z(-)a 
  15. 15. MarcosGuerrero 15 ax a α ay a β az a γ Con ayuda de los cosenos directores. ¿Cómo se determinan los ángulos directores? Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos directores están relacionados por la expresión: a  a a Cos x  z x y a  xa  ya za  a a Cos y  1222   CosCosCos a a Cos z 
  16. 16. GRAFICANDO UN VECTOR EN EL ESPACIO. MarcosGuerrero 16 )(4ˆ2ˆ3 mkjia  Graficar el vector x y z a 
  17. 17. 17 MarcosGuerrero
  18. 18. 18 MarcosGuerrero
  19. 19. 19 MarcosGuerrero
  20. 20. MarcosGuerrero 20   VECTOR UNITARIO ( ) Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad. Todo vector posee su vector unitario. z x y a  a  Definición: Los vectores y tienen la misma dirección. a  a  a  El vector es adimensional. a a a    a  : vector unitario del vector a 
  21. 21. MarcosGuerrero 21 kajaiaa zyx ˆˆˆ   a kajaia zyx a ˆˆˆ    k a a j a a i a a zyx a ˆˆˆ   kCosjCosiCosa ˆˆˆ    222 zyx aaaa  En función de las componentes y la magnitud En función de los cosenos directores
  22. 22. MarcosGuerrero 22 Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta. V  F  Ambos tienen el mismo vector unitario. V  F  Ambos vectores unitarios tienen la misma magnitud y la misma dirección. 1 FV  
  23. 23. MULTIPLICACIÓN ENTRE VECTORES. MarcosGuerrero 23 oPueden ser de igual o de diferentes unidades. oExisten dos tipos: •Producto punto o producto escalar. vectorvectorescalar  •Producto cruz o producto vectorial. vectorvectorvector  sFW   Fr  
  24. 24. MarcosGuerrero 24 PRODUCTO PUNTO. También llamado producto escalar. Definición:  A  B es el ángulo entre los vectores y . CosBABA   Viene dado en unidades cuadradas sólo si los vectores que se multiplican tienen unidades u.
  25. 25. MarcosGuerrero 25 PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO. Propiedad Conmutativa: ABBA   Propiedad Distributiva: CABACBA   )( Propiedad de Homogenidad: )()()( BmABAmBAm   donde m es un escalar Propiedad de Positividad: 2 AAA   0  Asi
  26. 26. MarcosGuerrero 26 PRODUCTO PUNTO ENTRE VECTORES UNITARIOS .kji ˆ,ˆ,ˆ Producto punto entre vectores unitarios iguales . 1ˆˆ 0ˆˆˆˆ 0   ii Cosiiii Utilizando la definición de producto punto tenemos: 1ˆˆ  jj 1ˆˆ kk El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es igual a 1. En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos y de la misma dirección siempre es igual a 1.
  27. 27. MarcosGuerrero 27 Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares. 0ˆˆ 90ˆˆˆˆ 0   ji Cosjiji Utilizando la definición de producto punto tenemos: 0ˆˆ kj 0ˆˆ ik El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares siempre es igual a 0.
  28. 28. MarcosGuerrero 28 PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS VECTORES. Sean los vectores y :A  B  kBjBiBB kAjAiAA ZYX ZYX ˆˆˆ ˆˆˆ     demostrar que: ZZYYXX BABABABA  
  29. 29. MarcosGuerrero 29 ZZYYXX BABABABA   Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.
  30. 30. MarcosGuerrero 30 APLICACIONES DEL PRODUCTO PUNTO. Se lo puede utilizar para: •Determinar el ángulo entre dos vectores. •Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector sobre otro vector. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL PRODUCTO PUNTO. Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben estar unidos por un mismo punto de aplicación.
  31. 31. MarcosGuerrero 31 Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la ecuación:            BA BA Cos   1 
  32. 32. MarcosGuerrero 32 PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO VECTOR. Proyección escalar de un vector sobre otro vector. A  B   Imaginemos que tenemos dos vectores y unidos por un mismo punto de aplicación. A  B  Vamos a determinar la proyección escalar del vector sobre el vector que se lo denota como . A  B  BA BA
  33. 33. MarcosGuerrero 33 Del gráfico anterior tenemos: CosAAB   Si comparamos con la definición de producto punto: CosBABA   La ecuación anterior la podemos expresar como: BABBA   Despejando :BA B BA AB    
  34. 34. MarcosGuerrero 34 Proyección vectorial de un vector sobre otro vector. Del gráfico anterior tenemos: A  B   BA Dibujemos el vector unitario del vector ( ).B  B  Donde: B B B     B  BA  Ahora dibujemos la proyección vectorial del vector sobre el vector y lo denotamos . A  B  BA 
  35. 35. MarcosGuerrero 35 Del gráfico, podemos observar que: BBB AA   
  36. 36. 36 MarcosGuerrero
  37. 37. 37 MarcosGuerrero
  38. 38. 38 MarcosGuerrero
  39. 39. MarcosGuerrero 39 PRODUCTO CRUZ. También llamado producto vectorial. Definición:  A  B  es el ángulo entre los vectores y . Viene dado en unidades cuadradas sólo si los vectores que se multiplican tienen unidades u. SenBABA  Magnitud
  40. 40. MarcosGuerrero 40 Con la regla de la mano derecha: “Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación, luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante” ¿Cómo se determina la dirección del vector ?BA   El producto vectorial sólo existe en el espacio tridimensional. CB CA    
  41. 41. MarcosGuerrero 41 ¿Cómo se determina la dirección del vector ?AB   CB CA    
  42. 42. PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ. MarcosGuerrero 42 Propiedad homogenidad escalar BABABA : )()()(     ABBA  Propiedad anti-conmutativa CABACBA   )(Propiedad distributiva 0   BA si BA  //
  43. 43. MarcosGuerrero 43 PRODUCTO CRUZ ENTRE VECTORES UNITARIOS .kji ˆ,ˆ,ˆ Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares. kji ˆˆˆ  iˆ jˆ kˆ  jik ˆˆˆ  ikj ˆˆˆ  iˆ jˆ kˆ  kij ˆˆˆ  jki ˆˆˆ  ijk ˆˆˆ 
  44. 44. MarcosGuerrero 44 Producto cruz entre vectores unitarios iguales. 0ˆˆ  ii 0ˆˆ   jj 0ˆˆ  kk El producto vectorial de dos vectores unitarios iguales es el vector nulo.
  45. 45. MarcosGuerrero 45 PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS VECTORES. Sean los vectores y :A  B  kBjBiBB kAjAiAA ZYX ZYX ˆˆˆ ˆˆˆ     ZYX ZYX BBB AAA kji BAC ˆˆˆ   fila columna
  46. 46. MarcosGuerrero 46 k BB AA j BB AA i BB AA BBB AAA kji BAC YX YX ZX ZX ZY ZY ZYX ZYX ˆˆˆ ˆˆˆ   kCjCiCC ˆˆˆ 131211   donde: YZZY BABAC 11 XZZX BABAC 12 XYYX BABAC 13
  47. 47. MarcosGuerrero 47 A  B  ¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado por los vectores y ? A  B   Altura Base ABase     SenBAltura B Altura Sen     SenBAArea AlturaBaseArea   
  48. 48. MarcosGuerrero 48 Si la comparamos con la ecuación: SenBABAC   Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores y viene dada por la magnitud del vector . A  B  C  BACArea  
  49. 49. MarcosGuerrero 49 A  B   A  B ¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los vectores , y ?BA   BA   Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores , y viene dada por la mitad de la magnitud del vector . A  B  C  BA   22 BAC Area   
  50. 50. MarcosGuerrero 50 APLICACIONES DEL PRODUCTO CRUZ. Se lo puede utilizar para: •Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos vectores. •Determinar el área del paralelogramo formado por dos vectores. •Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.
  51. 51. 51 MarcosGuerrero
  52. 52. 52 MarcosGuerrero
  53. 53. MarcosGuerrero 53 TRIPLE PRODUCTO ENTRE VECTORES . A  B  D  BAC   Vamos a determinar el producto cruz entre los vectores y ( ). B  BAC   A  CD Vamos a determinar la proyección escalar del vector sobre el vector ( ). D  C  CD
  54. 54. MarcosGuerrero 54 Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector sobre el vector es la altura del paralelepípedo. D  C  C CD Dh C       BA BAD h      Donde es el área de la base del paralelepípedo.BA  
  55. 55. MarcosGuerrero 55 Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo, entonces tenemos que:  BADBAhVolumen    BADVolumen  
  56. 56. 56 MarcosGuerrero

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